关于二项式展开式系数最大值的讨论

关于二项式展开式系数最大值的讨论
作者：张宾
来源：《科教导刊》2011年第09期
摘要本文主要讨论如何求得二项式展开式中哪项的系数最大，从而找到一个便捷的方法或公式。

关键词二项式系数最大值
中图分类号：O151 文献标识码：A
Discussion of the Maximum Expansions in the Binomial Coefficient
ZHANG Bin
(Preparatory College of Education College, Hubei Institute For Nationalities, Enshi, Hubei 445000)
AbstractThis article mainly discuss how to seek which item is the maximum expansions in the binomial coefficient, so as to find a convenient method or formula.
Key wordsbinomial; coefficient; maximum
二项式(ax + by)n (n∈N+)的展开式有n+1项，相应的有n+1个系数。

下面分两种情况来讨论这n+1个系数的最大值。

1 第一种情形：a＞0且b＞0
系数的最大值可能出现在首项，末项，或是中间的某一项。

此时将首项系数，末项系数以及所有中间项系数的最大值逐个进行比较，就可以找出系数的最大值。

①首项T1的系数为an；②末项Tn+1的系数为bn；
③找出n-1个中间项T2，T3，……Tn系数的最大值：
设第r + 1项的系数最大(r = 1,2,……,n)，则下面的不等式组成立解得：≤r≤
而 -= 1，故不等式组的解是一个自然数或者是两个相邻的自然数。

下面接着讨论解的情况：
若不是整数，则也不是整数，此时不等式组的解只有一个，记为r0 =[ ]，其中[]表示取整。

若是整数，则也是整数，此时不等式组的解有两个，记为r1 = 或r2 =
当r1 = 时，
即第r1 + 1项和第r2 + 1项系数同时取得最大值；
当r2 = 时，
即第r2项和第r2 + 1项系数同时取得最大值；
又由r2 = r1+1，故可总结为r = 时，第r+1项和第r+2项系数同时取得最大值。

综上可得：对于n-1个中间项T2，T3，……Tn系数来说，当r =[]时，第[] + 1项的系数最大。

由以上①②③的讨论可得出：
(ax + by)n (n∈N+)的最大系数为max {an,bn,Crnan-rbr}，其中r =[]
下面几个结论是关于(ax + by)n (n∈N+)中系数的增减性与最大值的关系。

结论一：在(ax + by)n的n+1个系数中，若首项系数最大，则此n+1个系数是逐项递减的。

证明：首项T1的系数为an，若首项系数最大，则有
an≥C1nan-1b，即a≥nb
下证Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1对所有的r = 1,2,……,n-1都成立。

即证＞
因为a≥nb，故≥＞
故首项系数最大时，二项式展开式中的系数是逐个严格递减的。

推论一：(ax + by)n中首项系数最大的充要条件是a≥nb
证明：必要性：因为首项系数最大，故有an≥C1nan-1b，所以a≥nb
充分性：因为a≥nb，所以an≥C1nan-1b，同时由结论一的证明可得Tr+1的系数≥Tr+2的系数，其中r = 1,2,……,n-1
故此n+1时个系数是逐项递减的，所以首项系数最大。

结论二：(ax + by)n在的n+1个系数中，若末项系数最大，则此个系数是逐项递增的。

证明：末项Tn+1的系数为bn，若末项系数最大，则有
bn≥Cn-1abn-1，即b≥na
下证Crnan-rbr＞Cr+1nan-r-1br+1对所有的r = 1,2,……,n-2都成立。

即证＜
因为a≥nb，故≥＞
故末项系数最大时，二项式展开式中的系数是逐个严格递增的。

推论二：(ax + by)n中末项系数最大的充要条件是b≥na
证明：必要性：因为末项系数最大，故有bn≥Cn-1nabn-1，即b≥na
充分性：因为b≥na，所以bn≥Cn-1nabn-1，同时由结论二的证明可得Tr+1的系数≤Tr+2的系数，其中r = 1,2,……,n-2
故此时n+1个系数是逐项递增的，所以末项系数最大。

结论三：(ax + by)n在的展开式中，若中间项的系数最大，则n+1由个系数组成的数列先增后减。

证明：由以上的讨论知，系数的最大值在中间项T2，T3，……Tn的某项，则最大值不在首项和某项。

因首项系数不为最大，根据推论一，故有a＜nb，从而有an＜C1nan-1b，即T1系数＜T2系数；因末项系数不为最大，根据推论二，故有b＜na，从而有bn＜Cn-1nabn-1，即Tn+1系数＜Tn系数；又因为中间项的系数只有一个最大值，故所有的n+1个系数组成的数列先增后减。

2 第二种情形：a＞0且b＜0
要讨论(ax + by)n (n∈N+)的n+1个系数的最大值，先考虑二项式(ax + |b|y)n：根据第一种情形：a≥n|b|时，首项系数最大，此时n+1个系数组成递减数列；|b|≥na时，末项系数最大，此
时n+1个系数组成递增数列；中间项系数最大时，时，相应的项的系数最大，此时n+1个系数组成先增后减数列。

(ax + by)n与(ax + |b|y)n对应项系数的关系为：r为偶数时，对应的奇数项系数相等；r为奇数时，对应的偶数项系数互为相反数。

根据第一种情形，故可得下列结论：
①a≥n|b|时，首项系数的绝对值最大，此时首项系数为正，故(ax + by)n展开式中最大系数为首项系数an。

②|b|≥na时，当n为偶数时，末项系数的绝对值最大，且末项系数为正，故此时展开式中最大系数为某项系数bn；当n为奇数时，(ax + by)n展开式中的n+1个系数的绝对值组成递增数列，又因末项系数为负，倒数第二项Tn的系数为正，故此时系数最大为倒数第二项Tn的系数nabn-1。

③当a,b均不满足a≥n|b|与|b|≥na时，中间项的系数最大。

(ax + |b|y)n展开式的系数最大值位于奇数项时，即为偶数时，(ax + by)n也在相应的项，即第项，系数达到最大值。

(ax + |b|y)n 展开式的系数最大值位于偶数项时，即为奇数时，(ax+|b|y)n展开式中第r+1项为负，但此时第r项与第r+2项的系数为正，又因为(ax+|b|y)n展开式的系数组成的数列先增后减，故(ax + by)n 的系数在第r项或第r+2项达到最大值。

此时(ax + by)n的系数最大值为max {Cr-1nan-r+1br-1,Cr+1nan-r-1br+1}，其中。

参考文献
[1]唐先成.二项式定理及其应用[J].数学教学通讯,2002(S5).
[2]龚彦森,魏立国.二项式定理的应用[J].数理天地(高中版),2006(8).
[3]方厚良,罗灿.二项式定理的应用[J].数学通讯,2004(7).。