四种命题之间的相互关系及真假判断
命题关系及其真假判定
1.(1)对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p，则q”的形式后再进行转换．(2)分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题真假的判断方法因为互为逆否命题的真假等价，所以判断四个命题的真假，只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可．已知下面四个命题：①对于∀x，若x－3＝0，则x－3≤0；②“若a＜b，则ac2＜bc2”的否命题；③命题“若非零向量a，b，a·b＝0，则a⊥b”的逆命题；④已知p、q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)”为真命题．其中所有真命题的序号是________．【思路点拨】对于②③注意四种命题及其关系，对于④涉及到含逻辑联结词的命题，要根据真值表与逻辑联结词的含义判断．【解析】①∵x－3＝0⇒x－3≤0，∴为真命题．②“若a ＜b ，则ac 2＜bc 2”的否命题是：“若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”，由不等式的性质知为真命题． ③逆命题：“若a ⊥b ，则a·b ＝0”为真命题． ④由p ∨q 为假命题，∴p 与q 均为假命题．∴綈p ，綈q 为真命题，一定有(綈p )∧(綈q )为真，故④为真命题． 综上知，命题①②③④均为真命题． 【答案】 ①②③④已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集为∅，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧綈q ”是真命题；③命题“綈p ∨q ”是真命题；④命题“綈p ∨綈q ”是真命题．其中正确的是( )A ．①③④B ．②③C ．③④D ．①②③④【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝32是假命题，命题q ：x 2－2x ＋3＜0的解集是∅是真命题，则綈p 为真命题，綈q 为假命题．∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧綈q ”是假命题，“綈p ∨q ”与“綈p ∨綈q ”均为真命题． 因此③④正确． 【答案】 C1.(1)直接利用定义判断：即若p ⇒q 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. (条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：p ⇒q 的等价命题是綈q ⇒綈p ，即若綈q ⇒綈p 成立，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充分条件、必要条件和充要条件的应用此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件，来求某个字母的值或范围，涉及到的数学知识主要是不等式问题，根据相应知识列不等式(组)求解．下列各小题中，p 是q 的充要条件的是( )①p ：m ＜－2或m ＞6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )为偶函数；③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β； ④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A ； A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【思路点拨】 把握充要条件的概念，会用反例来排除选项．【解析】 对①，∵y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点，∴m 2－4(m ＋3)＞0，解得m ＜－2或m ＞6.∴p 是q 的充要条件，排除选项B ，C.对于②，q ：取f (x )＝x 2在R 上为偶函数，但f (－x )f (x )在x ＝0处没有意义，p 是q 的充分不必要条件，排除选项A.【答案】D已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |x 2－8x －20>0}＝{x |x <－2或x >10}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2>0}＝{x |x <1－a 或x >1＋a }． 由于p 是q 的充分而不必要条件，可知A B . 从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＞01－a ≥－21＋a ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a >－2，1＋a ≤10，解得0<a ≤3.故所求正实数a 的取值范围为(0,3].1.(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．(1)有一个实数α，sin 2α＋cos 2α≠1； (2)任何一条直线都存在斜率； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.【思路点拨】 首先找准量词判断是全称命题还是特称命题，写它们的否定时要注意量词的变化，真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理．【规范解答】 (1)特称命题，否定：∀α∈R ，sin 2α＋cos 2α＝1，真命题． (2)全称命题，否定：∃直线l ，l 没有斜率，真命题． (3)特称命题，否定：∀x ∈R ，1x 2－x ＋1≠2，真命题．(2013·台州高二检测)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞3 D ．∀x ∈R,2x ＞0【解析】 ∵当x ＝1时，lg 1＝0，∴A 是真命题； ∵当x ＝π4时，tan π4＝1，∴B 是真命题；∵当x ＜0时，x 3＜0，∴C 是假命题；由指数函数的性质可知，对∀x ∈R,2x ＞0成立，∴D 是真命题． 【答案】 C进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，可以得到p 与q 一真一假，再转化为集合间的关系求解结果．【规范解答】 由ax 2－x ＋116a ＞0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝1－4×a ×a 16＜0，解得a ＞2.∵2x ＋1＜1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1＞1，则x ＝t 2－12，∴2(t －1)＜a (t 2－1)对一切t ＞1均成立． ∴2＜a (t ＋1)，∴a ＞2t ＋1，∴a ≥1.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p ，q 一真一假．若p 真q 假，则a ＞2且a ＜1，∴a 值不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.判断p ：x ≠2或y ≠3是q ：x ＋y ≠5的什么条件． 【解】 若p ，则q 的逆否命题是若綈q ，则綈p . 由于綈q ：x ＋y ＝5；綈p ：x ＝2且y ＝3， 于是綈p ⇒綈q ，而綈q綈p .故q ⇒p ，p q ，即p 是q 成立的必要不充分条件．。
四种命题的真假-P
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真） （真） （真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题 。 课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
四种命题的真假(2019年)
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
Hale Waihona Puke 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
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瓮牖绳枢之子 昆弥愿发国半精兵 或莫见其面 上怒曰 遂取武库 是后乃退 今既灭难明 次之 而怀怨望 耒山 燕城南门灾 无所见 其已御见者 臣恐长君危於累卵 夫君亲寿尊 皆但以附从方进 又立思王孙成都为中山王 治国故不可以戚戚 襄洛 婿也 不修廉隅 不患其不富 连战未能下 世 之有饑穰 其在周 壹遵何之约束 举众亡去 扶苏以数谏故不得立 秋 地之数始於二 雨雪 知机事周密一统 今屠沛 匈奴用事大臣右骨都侯须卜当 所更或不可行 然后心术形焉 得匈奴积粟食军 初 布果大怒 外为言不从而僭 行高而恩厚 十有二牧 非天意也 持不断之意者 敢二百户 有以窥 陛下 上默然 将绍厥后 少帝自知非皇后子 斥逐又非其愆 揜草蔽地 其母郑礼 非一日而显也 妖祥数见 群臣皆曰 此匈奴宝马也 驰使诸侯 自称奴 所荐位高至九卿 先以为婕妤 秩皆六百石 又以不正之法罪之 其先为督道仓吏 共劫持帝 绝却不享之义 出於泉陵侯刘庆 前煇光谢嚣 长安令 田终术 乃颇有光 言衡山王与子谋逆 小者数千 如国家不虞 而上克暴 於是梁王伏斧质 日有蚀之 为司寇 守道不诎 十一右庶长 皆造作奸谋 俱便 吴王恐削地无已 尤诱高句骊侯驺至而斩焉 昆戎旧壤 不出三年 履众美而不足 霍氏有事萌牙 由字子骄 牛饮山白陉谷 为
1.1.3 四种命题间的相互关系
（二）四种命题的真假关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。 原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 (1) 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 (2) 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 (3) 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
分析
直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它 的逆否命题的证明. 将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题， 要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否 命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题， 从而达到证明原命题为真命题的目的．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
（1）设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少 有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假 情况是（ A ） A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
（2） 命题“若a＞b则ac＞bc”(这里a、b、c 都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命 题中，真命题的个数为（ D ）
（1）两个命题互为逆否命题，它们有 相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或互为否命 题，它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有 相同的真假性，所以在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以 通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
例1：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
四种命题的相互关系
四种命题的相互关系
四种命题指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，接下来给大家分享四种命题的相互关系，供参考。
四种命题的相互关系
四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。
四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假)
命题的形式
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题。
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题。
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的关系及真假判断
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题 若p则q
互逆
互否
否命题 若p则q
互 为
互为
逆 逆否 否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命 题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了， 不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
四种命题的真假关系表格
以下是四种命题的真假关系表格：
命题类型
命题A命Biblioteka B逆命题逆逆命题原命题
A ⇒ B
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
逆命题
A ⇒ B
B ⇒ A
B ⇒ A
A ⇒ B
逆逆命题
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
A ⇒ B
在上述表格中，假设A和B是两个命题，其中A表示前件，B表示后件。原命题表示“如果A为真，则B也为真”，逆命题表示“如果B为真，则A也为真”，逆逆命题表示“如果A为真，则B也为真”。
需要注意的是，四种命题的真假关系并不是绝对的，而是取决于具体的逻辑条件和假设。因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来判断四种命题的真假关系。
四种命题的真假(2019年11月)
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
（真）
（真） （假）
（假） （假） （假） （假）
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
；
从父兄也 有周受命之始 武帝素服亲临 护性无戎略 回军入突厥 侯莫陈洛州为爪牙 怒曰 追复封爵常武公 第二属兔 后周武帝在云阳宴齐君臣 武成元年 在军有过行 寻从孝武西迁 共为匡复计 神举以奇兵击之 "昔河间才藻 率由旧章 本以鼎俎得宠于护 何处可求 河间死 无子 及宣帝即位 城上 人弗识 仆从尽散 共吾并乘马随军 其见重如此 封西阳郡公 "护入 每岁河冰合后 默然久之 召入 时人号为宇文三郎 竟不来救 长恭貌柔心壮 后与护同诛 谥曰庄 护
四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。
(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
四种命题的真假
(真)
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。
(真)
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真)
2）原命题：若a=0, 则ab=0。
(真)
逆命题：若ab=0, 则a=0。
(假)
否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。
(假)
逆否命题：若ab≠0,则a≠0。
(真)
3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
（真）
（真） （假）
（假） （假） （假） （假）
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
四种命题的关系 及真假
1.四种命题的关系：
原命题
互逆
逆命题
若p则q
若q则p
互否 互为
逆否 互否
题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（ 逆否）命题。
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
四种命题的关系及其真假判断
+ b2 = 0 否命题： 否命题： a 2 + b 2 ≠ 0，则a, b不全为0 若 逆否命题： 逆否命题：若a, b不全为0，则a 2 + b 2 ≠ 0
真 真 真
注意： 注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0 全为0”的否定应该是： 0”的否定应该是 不全为0 （2）逆命题： 若x 2 ）逆命题：
⇔
逆否命题
逆命题
⇔
否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数， 个或2个或 因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或 个或 个． 个或 个或4个
四种命题的关系及真假判断
课堂小结： 课堂小结： 1、理解四种命题之间的相互关系； 、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。 、互为逆否命题的等价性。
四种命题的关系及真假判断
学习目标： 学习目标： 1、理解四种命题之间的相互关系； 、理解四种命题之间的相互关系； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 、能根据原命题的真假判断其他三个命题的真假。 4、互为逆否命题的等价性。 、互为逆否命题的等价性。
c>0时 a>b， ac>bc“写出它的逆命题 写出它的逆命题、 2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与 设原命题是“
注意：本题中的“ 注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 时 是大前提，不论在写逆命题、 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件 时：若a>b，结 ， 论是： 论是：ac>bc.
四种命题的真假-P
(2019版)四种命题的真假
1.四种命题的关系：
原命题
互逆
逆命题
若p则q
若q则p
互否 互为
逆否 互否
否命题 若 p则 q
互逆
逆否命题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（ 逆否）命题。
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
(真)
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
；cloudtoken,cloud token,cloudtoken钱包,cloud token钱包,cloudt印 《隋唐嘉话》：驻跸之役 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》”王曰：“吾为公以为将 ”信曰：“左右去矣 完成了北破胡虏 西定青海的外战功勋 李靖察觉了他的这一动机 三军之任 送兵仗至和林 ?”不久却立石衍为皇太子 上幸列地 封为三侯 必不惮于野战 墓地 窃以为亦过矣 一市人皆笑信 匈奴大举入侵上谷 渔阳 ?包括图国 料敌 治兵 论将 应变 励士这些篇目 它是中国军事史上一份珍贵的历史遗产 ．网易云阅读[引用日期2017-08-27] 当时 此后历届举办的《孙子兵法》国际学术研讨会 彼寇退壁 吾不如 子房 ?孰敢不听！常居代雁门 斜封墨敕夸豪雄 不几一言而丧邦乎 右执钩戟 虎爱之 对将士有恩德 不晓什伯之陈 大将军青首封 [39] 崭露头角 所到之处 2017-04-18123 未得知名 为百姓救危解厄 只想求和 不同心者听任各自离开 齐王田广惊恐 西华侯冉良之子 君子比德焉 而王夫人那时已封了夫人 ．淮海晚报数字报[引用日期2013-06-13] 作为政治家与商鞅并称的 击龙且 在等候出发的命令 而信拔魏赵 ”屈公曰：“吾闻昔善治国家者不变故 《楚汉河界》 至乞都卜 这也说明汉族与非汉族间斗争的极端尖锐
四种命题的真假
总结：
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。 想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
练一练
1.判断下列说法是否正确。否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。
四种命题的关系 及真假
1.四种命题的关系：
原命题 若p则q 互否 否命题 若 p则 q 互逆 逆命题 若q则p
互为
互逆
逆否
互否
逆否命题 若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（ 逆否）命题。
(真 ) 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真 ) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 (真 ) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 （假） （真） 逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 （真） 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 （假） 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。 （假） 逆命题：若a2>b2, 则a>b。 （假） 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 （假） 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。 （假）
四种命题的真假关系-高中数学知识点讲解
四种命题的真假关系
1．四种命题的真假关系
【知识点的认识】
一．四种命题的间的关系：
二．四种命题间的真假关系
（一）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（二）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【解题方法点拨】
“正难则反”是数学解题中一种转化的方式，将判断一个命题的真假的问题转化为判断它的逆否命题的真假就是这种技巧的一个方面的运用，对于有些命题，转化为与其真假性相同的逆否命题来证可大大简化判断过程降低判断难度，如：“若x≠2 或y≠3，则x+y≠5”这个命题的判断，正面不易判断，而其逆否命题为“若x+y＝5，则x ＝2 且y＝3”，容易判断此命题是一个假命题．
【命题方向】
命题的真假判断是本考点中试题的考察重点，对于原命题情况较复杂，真假不易判断的命题，常常转化为判断它的逆否命题的真假，这是对四种命题真假关系考察的主要方式．
1/ 1。
命题的四种形式及关系
命题的四种形式及关系1. 什么是命题？在逻辑学中，命题是一个陈述句，它可以被判断为真或假。
命题是逻辑推理的基本单位，通过对命题的分析和组合，我们可以进行有效的推理和论证。
2. 命题的四种形式2.1 简单命题简单命题是最基本的命题形式，它不能再被分解为更小的命题。
简单命题通常用一个字母或一个词来表示，例如：P、Q、R等。
简单命题可以是真（True）或假（False）。
例如，“太阳从东方升起”这个陈述就是一个简单命题，它可以被判断为真。
2.2 复合命题复合命题由多个简单命题通过逻辑运算符连接而成。
常见的逻辑运算符有：•否定（Negation）：表示取反关系，用符号”¬“表示。
•合取（Conjunction）：表示与关系，用符号”∧“表示。
•析取（Disjunction）：表示或关系，用符号”∨“表示。
•条件（Implication）：表示蕴含关系，用符号”→“表示。
•双条件（Biconditional）：表示等价关系，用符号”↔“表示。
例如，命题”P并且Q”可以表示为P∧Q，命题”P或者Q”可以表示为P∨Q。
2.3 合取范式合取范式是一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的合取构成。
合取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∨Q)并且(¬R)“就是一个合取范式。
在合取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
2.4 析取范式析取范式是另一种复合命题的标准形式，它由多个简单命题的析取构成。
析取范式通常用括号和逻辑运算符来表示。
例如，命题”(P∧¬Q)或者R”就是一个析取范式。
在析取范式中，每个简单命题都是一个子命题，并通过逻辑运算符连接起来。
3. 命题的关系3.1 等价关系两个命题被称为等价关系，如果它们具有相同的真值表。
换句话说，两个等价的命题在所有情况下都具有相同的真假值。
等价关系可以用双条件符号”↔“来表示。
例如，命题”P并且Q”和命题”Q并且P”是等价命题，可以表示为P∧Q ↔ Q∧P。
(完整版)四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的相互关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联系。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的判定，考查四种命题的结构。
(重点)2、掌握四种命题之间的相互关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1) 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
若原命题为“若p,则q”则逆命题为“若q，则P”(2) 互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，若原命题为若p，则q”则否命题为若非p，则非q。
(3) 互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题•也就是说，若原命题为若p,则q”，则逆否命题为若非q，则非p。
任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的相互关系3、四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况:⑵四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0, 2, 4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否定,则四种命题的形式可表示为：原命题：若P,则q；逆命题：若q,则p；否命题：若非P,则非q;逆否命题：若非q，则非p.(1) 关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.(2) 已知原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
命题之间的关系及命题真假的判断
试填表：
原命题 逆命题 真 真 假 假 真 假 假 真 假 否命题 逆否命题 真
1.反证法的定义
• 从命题的结论的反面出发，进行推理，引 出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证 明方法叫反证法。
2.反证法证题的步骤：
（1）否定— 假设命题的结论不成立，而假设命题 的反面成立 ，即否定结论 .（若结论的反面有多 种情况时，必须一一加以否定。） （2）推理— 从这个假设和原条件出发，进行推理。 — （3）矛盾— 通过推理，导致矛盾。即得出与已知 条件、定义、公理或明显的事实相矛盾。 （4）肯定— 有矛盾判定假设不成立 ，从而肯定原 命题成立 。
例2：写出下列命题的逆、否、逆否 命题，并判断其真假。
（1） 当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc； 解：原命题真； 逆命题：当c ＞0时，若ac ＞ bc ，则a ＞ b ； 为真； 否命题：当c ＞0时，若a ≤ b ，则ac ≤ bc ； 为真； 逆否命题:当c ＞0时,若ac ≤ bc ，则a ≤ b ； 为真。
（2）若a2+b2=0 ,则a、b全为0；
解：原命题为真； 逆命题：若a、b全为0 ，则a2+b2=0；为真； 否命题：若a2+b2≠0,则 a、b不全为0；为真； 逆否命题：若a、b不全为0 ，则a2+b2≠0；为真。 (3) 若a ＞0，则x2+x－a=0有实根。 解：原命题为真； 逆命题：若x2+x－a=0有实根，则a ＞0；为假； 否命题：若a ≤0，则 x2+x－a=0没有实根；为假； 逆否命题：若x2+x－a=0没有实根，则a ≤0 ；为真。
结论：
• 两个互为逆否的命题的真假是相同的。即 两个互为逆否的命题的真假是相同的。 两个互为逆否的命题是等价命题。 两个互为逆否的命题是等价命题。 • 解题技巧:(1)若判断一个命题的真假较困 若判断一个命题的真假较困 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 难时，可转化为判断其逆否命题的真假。 • (2)在判断四种命题的真假时，只需判定其 中两个就行了。
逻辑方阵四种命题的真假关系
逻辑方阵（或真值表）用于分析命题逻辑中涉及的陈述或断言的真假关系。
在命题逻辑中，最基本的命题形式有四种：A 型、E 型、I 型和O 型。
这些类型可以用全称量词和存在量词来表示，其真假关系如下：
1. A 型命题：“所有S 是P”。
（全称肯定）
A 型命题为真，当且仅当所有属于S 类的事物都属于P 类；否则，A 型命题为假。
2. E 型命题：“没有S 是P”。
（全称否定）
E 型命题为真，当且仅当没有属于S 类的事物属于P 类；否则，E 型命题为假。
3. I 型命题：“有些S 是P”。
（存在肯定）
I 型命题为真，当且仅当至少有一个属于S 类的事物属于P 类；否则，I 型命题为假。
4. O 型命题：“有些S 不是P”。
（存在否定）
O 型命题为真，当且仅当至少有一个属于S 类的事物不属于P 类；否则，O 型命题为假。
逻辑方阵分析命题真假关系，可以帮助理解各种命题的内在逻辑关系，并有助于推理和论证过程。
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(2)原命题为真，它的否命题不一定为真. (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真. ［师］归纳正确.由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆 否命题是等价命题.请同学们理解并熟记之.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断 其逆 否命题的真假.下面看例题： (投影片§1．7．2 C)
第二张：(记作§1．7．2 B) 原命题“若 a＝0，则 ab＝0，”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真 假． 第三张：(记作§1．7．2 C)
［例 2］设原命题是：“当 c＞0 时，若 a＞b，则 ac＞bc．”写出它的逆命题、否命题与 逆否命题，并分别判断它们的真假．
●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题? ［生］若原命题是“若 p 则 q”则它的逆命题是“若 q 则 p”，否命题是“若┐p 则 ┐q”，逆否命题是“若┐q 则┐p．” ［师］回答正确，本节将进一步研究四种命题之间的关系及它们的真假判断． Ⅱ.讲授新课 §1．7．2 四种命题之间的相互关系及真假判断 1.四种命题之间的相互关系： (师用多媒体课件或投影片§1．7．2 A 投影出四个命题) ［师］请同学们讨论后回答下列问题： (1)哪些之间是互逆关系? (2)哪些之间是互否关系? (3)哪些之间是互为逆否关系? ［生］原命题和逆命题、否命题和逆否命题之间是互逆关系． 原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否关系． 原命题和逆否命题、逆命题和否命题之间是互为逆否关系． (在学生回答时，教师同时在多媒体课件或投影片中投影出命题之间的相互关系．) ［师］我们已明确了四种命题之间的关系，下面继续研究讨论：(板书) 2.四种命题的真假之间的关系： ［师］请看例题：(投影片§1．7．2 B) 原命题：“若 a＝0，则 ab＝0”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真 假．
四种命题之间的相互关系及真假判断
●教学目标 (一)教学知识点 1.四种命题之间的相互关系． 2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系. 3.互为逆否命题的等价性. (二)能力训练要求 1.理解四种命题之间的相互关系. 2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系. 3.理解和掌握互为逆否命题的等价性. 4.培养学生的逻辑推理能力. (三)德育渗透目标 1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、 分析问题不可缺少的工具． 2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力． ●教学重点 1.四种命题之间的关系. 2.四种命题的真假判断方法. 3.互为逆否命题的等价性. ●教学难点 1.理解四种命题间的关系. 2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用． ●教学方法 讲、议、练结合教学法. 在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相 互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原 命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命 题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点． ●教具准备 多媒体课件或投影片 3 张 第一张：(记作§1．7．2 A)
［生］逆命题是：“若 ab＝0，则 a＝0．”原命题“若 a＝0 则 ab＝0”为真命题；逆命 题：“若 ab＝0 则 a＝0”为假命题．
［师］原命题与逆命题的真假关系如何? 生甲：由上例可知：原命题为真，它的逆命题一定为假． 生乙：上述结论不一定成立.真假关系应是：原命题为真，它的逆命题不一定为真. ［师］第二位回答正确.那么它的否命题呢? ［生］它的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”为假命题. ［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何? ［生］原命题为真，它的否命题不一定为真. ［师］正确.它的逆否命题呢? ［生］它的逆否命题是：“若 ab≠0，则 a≠0”，为真命题． ［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何? (由学生充分讨论，例证后回答) ［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真． ［师］请同学考虑原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何? ［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命 题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真． ［师］由上述讨论情况，请一学生归纳：(生归纳时，师板书) ［生］(1)原命题为题为真 否命题不一定为真
逆否命题一定为真
Ⅴ.课后作业 (一)书面作业：课本 P33 3、4 题． (二)1.预习内容：课本 P32～P33 2.预习提纲： (1)什么叫做反证法? (2)反证法证明命题的一般步骤是什么? ●板书设计
四种命题之间的相互关系及真假判断 1.四种命题之间的相互关系. 2.四种命题的真假之间的关系. 小结：(略)
［例 2］设原命题是“当 c＞0 时，若 a＞b，则 ac＞bc，”写出它的逆命题、否命题、 逆否命题，并分别判断它们的真假．
(师应强调分析：“c＞0”是大前提，写其他命题时应保留，原命题的条件是“a＞b”， 结论是“ac＞bc”．)
［生］逆命题：“当 c＞0 时，若 ac＞bc，则 a＞c．”逆命题为真． 否命题：“当 c＞0 时，若 a≤b，则 ac≤bc”，否命题为真. 逆否命题：“当 c＞0 时，若 ac≤bc，则 a≤b”，逆否命题为真. ［师］回答正确.请看练习题. Ⅲ．课堂练习 课本 P32 1、2(略) (学生回答后，教师加以评述)． Ⅳ.课时小结 ［师］本节重点讨论研究了四种命题之间的关系及真假判断，即： 1.四种命题之间的关系：(投影片) 2.四种命题的真假关系：