赛氪考研：为什么无限个无穷小之和(积)不一定是无穷小
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较
冲刺高考数学无穷小量与无穷大量的比较在高考数学的广袤知识海洋中，无穷小量与无穷大量的比较是一个颇为重要的考点，也是很多同学在学习和解题过程中容易感到困惑的地方。
让我们一起深入探讨这个有趣且关键的数学概念，为高考冲刺做好充分准备。
首先，我们要明白什么是无穷小量和无穷大量。
简单来说，无穷小量就是在某个变化过程中，极限为零的变量。
比如说，当 x 趋近于无穷大时，函数 f(x) ＝ 1/x 的值就越来越接近于零，那么 1/x 就是 x 趋近于无穷大时的无穷小量。
而无穷大量则是在某个变化过程中，绝对值无限增大的变量。
比如当 x 趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ 1/x²的值就变得越来越大，趋向于无穷，那么 1/x²就是 x 趋近于 0 时的无穷大量。
理解了基本概念后，我们来看看无穷小量和无穷大量的性质。
对于无穷小量，有这么几个重要的性质。
其一，有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量。
但要注意，无限个无穷小量的和、差、积就不一定是无穷小量了。
其二，有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。
接下来，我们讲讲无穷小量的比较。
在同一个变化过程中，设α和β都是无穷小量。
如果lim(β/α) ＝ 0，那么就说β是比α高阶的无穷小量，记作β ＝o(α)；如果lim(β/α) ＝∞，则说α是比β高阶的无穷小量；如果lim(β/α) ＝c（c 为非零常数），那么就说α和β是同阶无穷小量；特别地，如果 c ＝ 1，就称α和β是等价无穷小量，记作α ～β。
等价无穷小量在解题中有着非常重要的作用。
比如在求极限的时候，如果能够巧妙地运用等价无穷小量进行替换，往往可以使计算变得简单快捷。
常见的等价无穷小量有：当 x 趋近于 0 时，sin x ～ x，tanx ～ x，1 cos x ～ x²/2 等等。
再来说说无穷大量。
无穷大量也有相应的比较方法。
同样在某个变化过程中，如果lim(β/α) ＝ 0，那么α是比β更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝∞，则β是比α更高阶的无穷大量；如果lim(β/α) ＝ c（c 为非零常数），那么α和β是同阶无穷大量。
无穷个无穷小的乘积反例
无穷个无穷小的乘积反例标题：无穷个无穷小的乘积：究竟是否存在反例？摘要：无穷个无穷小的乘积在数学领域中引起了广泛的关注和讨论。
本文将探讨这一问题的重要性、定义以及存在可能的反例。
通过列举数学历史上的经典案例和对该问题的深入分析，本文旨在为读者提供对这个复杂而有趣的数学概念的全面理解。
正文：1. 引言从柯西(Cauchy)时代开始，无穷个无穷小的乘积一直是数学中的一道困扰。
这个问题涉及到极限和无穷概念的交叉，引发了许多数学家的思考。
在本文中，我们将探讨无穷个无穷小的乘积这一重要且极具挑战性的概念，并思考是否存在反例。
2. 无穷个无穷小的乘积的定义在数学中，无穷个无穷小的乘积是指由无穷个无穷小元素相乘得到的结果。
无穷小是数学中的一个重要概念，表示极限趋于零的量。
无穷个无穷小的乘积的定义是相对复杂的，需要通过极限的观念来理解。
然而，我们将尽力从简单的例子开始，以便更好地理解这个概念。
3. 包含指定主题文字的案例现在，让我们考虑一个例子：无穷个无穷小的乘积。
假设有一个数列{a_n}，其中每个元素都是一个无穷小，即a_n → 0 当n → ∞。
我们考虑乘积 P_n = a_1 * a_2 * ... * a_n，其中 n 为正整数。
那么问题来了，P_n 的极限是什么？4. 经典案例与分析事实上，无穷个无穷小的乘积存在许多经典案例。
欧拉(Euler)在18世纪提出的无穷乘积公式就是一个重要的案例。
该公式用于计算正弦函数的近似值，并且被广泛应用于数学和物理领域。
然而，正如我们所看到的，欧拉的无穷乘积公式需要满足一定的条件才能成立，这在一定程度上限制了其应用范围。
5. 反例的可能性鉴于无穷个无穷小的乘积问题的复杂性，我们是否能找到一个反例来证明不存在无穷乘积的极限？这个问题一直困扰着数学家们。
然而，直到目前为止，还没有确凿的反例被找到。
这使得我们对于无穷个无穷小的乘积的研究更加深入和有价值。
6. 个人观点和理解在我看来，无穷个无穷小的乘积是数学中的一个非常有趣的领域。
无穷小与无穷大的关系
1 由于 f ( x ) 0, 从而 M. f ( x)
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混 淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
f ( x ) 总满足不等式 f ( x ) M ,
则称函数 f ( x ) 当 x x 0 ( 或 x ) 时为无穷大, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
0, N 1 0, N 2 0, 使得
当 x N 1时恒有 ; 当 x N 2时恒有 ; 2 2 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 x N时, 恒有 , 2 2 0 ( x )
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 1 恒有 f ( x ) , 即 . f ( x) 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
同济大学高等数学第七版极限的运算法则
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
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极限的计算 一些基本极限（已经证明或明显的）
12
例 1 求lim(3x2 5x 8). x1
解：lim(3x2 5x 8) lim3x2 lim5x lim8.
x1
x1
x1
x1
3lim x2 5lim x 8.
x1
x1
3(lim x)2 5 8 3 5 8 6. x1
lim x2 5x4 12 514
x1 2x3
213
0
lx i1mx22x5x34
24
练习3.
12 lxi m 1(1x1x2).
通分
解： lx im 1(11x12x2)
lx i1m 1 1x(1x)21 (x)
lx im 1(1xx)(11x)
lim 1 x11 x
1 2
.
x2
练习4
lim x01 1 x2
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
直观记忆：M*0=0 这是一个很有用的性质，常用于极限的计算。 回忆一些重要的有界函数。
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
关于无限个无穷小量的乘积问题
关于无限个无穷小量的乘积问题
今天上高数课我们学到有限个无穷小量的乘积为无穷小量，但是对于无限个无穷小量乘积问题老师并未解释清楚，根据方法论，推到“无限个无穷小量乘积仍为无穷小量”这一错误命题，我们只需找到一个反例即可，网上有一不错例子，希望对大家有所帮助。
这个例子可能颇为复杂，我解释一下：
实际上这种方法为构造数列，以一个任意定值ｉ来作为载体，通过n与i的关系来达到构造一个无穷小数列的目的。
在n>i时，所有数列项均有极限0。
这样在求其乘积是只需对第三个大式子（红字）求极限即可（之前的两个比较简单），在此之后将其每一项展开，所得项可相消，最后求得其极限不是无穷小，故命题得证。
附带从1988年《高等数学》一书上摘下的一段话
希望以上资料能对大家对于“无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量”这一定理有更好的理解。
关于无穷小量的几个问题的解析
关于无穷小量的几个问题的解析作者：李丽芳杜娟宋庆凤来源：《教育教学论坛》2016年第34期摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。
关键词：无穷小；数学危机；大学数学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02一、无穷小量的起源无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。
历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。
例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）= gt ，求物体在的瞬时速度。
这可以先求平均速度，即用下落距离的改变量除以时间的改变量，易求 =gt + g·Δt，当Δt越小时，该平均速度就越接近物体在t 的瞬时速度；当Δt变成无穷小时，上式右端的g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是gt ，牛顿认为这就是物体在t 的瞬时速度。
由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。
尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。
但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。
贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt ，这在推导中有逻辑上的毛病。
贝克莱认为，式子=gt + g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。
关于无穷小量的几个问题的解析
关于无穷小量的几个问题的解析作者：李丽芳，杜娟，宋庆凤来源：《教育教学论坛》 2016年第34期李丽芳，杜娟，宋庆凤（天津城建大学理学院，天津300384）摘要：本文以无穷小量的历史起源（即第二次数学危机）为载体，旨在介绍要用“运动”观点和极限思想学习无穷小理论，并给出了教学实践中常遇到的几个关于无穷小量问题的解析。
关键词：无穷小；数学危机；大学数学中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）34-0178-02基金项目：天津城建大学教育教学改革与研究项目（JG-1321）作者简介：李丽芳（1979-），女，山西长治人，天津城建大学数学系，讲师，硕士学历，研究方向：常微分方程。
一、无穷小量的起源无穷小量是高等数学体系中的一个极其重要的概念。
历史上的第二次数学危机[1]就是由于对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。
牛顿创立的微积分基础就是无穷小量，这是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。
我们以一个浅显的例子来看牛顿的思考。
例：自由落体在时间t下落的距离为S（t）=g·Δt也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是gt0，牛顿认为这就是物体在t0的瞬时速度。
由于当Δt变成无穷小时，ΔS也是无穷小，因此牛顿认为，瞬时速度是两个无穷小的比。
尽管当时对于什么是无穷小并没有公认的一个精确定义，但牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题，所以由牛顿创立的微积分就被科技界广泛接受，并得以迅速发展。
但是，从上述例子中也可以看出，当时的微积分在推导上并不严谨，因此在当时遭到了以英国大主教贝克莱为代表的许多人的责难。
贝克莱的责难相当直接：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？具体说，上述例子中，牛顿从平均速度的表达式中，让Δt变成无穷小，得到物体的瞬时速度gt0，这在推导中有逻辑上的毛病。
贝克莱认为，式子g·Δt成立是以Δt≠0为前提的，那么，为什么又可以让Δt=0而求得瞬时速度呢？贝克莱还讽刺挖苦说：既然ΔS和Δt都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的灵魂”了！这就是著名的“贝克莱悖论”。
无穷小的运算法则
无穷小的运算法则“嘿，同学们，今天咱们来讲讲无穷小的运算法则。
”无穷小的运算法则呢，主要有这么几条。
首先是有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。
比如说啊，当 x 趋近于 0 的时候，x 是一个无穷小，2x 也是一个无穷小，那么 x+2x 也就是 3x 还是无穷小。
再比如，sinx 在 x 趋近于 0 时是无穷小，x 也是无穷小，那么它们的乘积 xsinx 同样是无穷小。
然后呢，有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
啥叫有界函数呢，就是存在一个数 M，使得函数的值总是在-M 到 M 之间。
举个例子，当 x 趋近于0 时，sin(1/x)是有界的，而 x 是无穷小，那么它们的乘积 xsin(1/x)就是无穷小。
再有，常数与无穷小的乘积是无穷小。
这个好理解吧，一个常数乘以一个趋近于 0 的量，结果肯定也是趋近于 0 的嘛。
最后要注意的一点是，无穷小的商不一定是无穷小哦。
比如当 x 趋近于0 时，sinx 和 x 都是无穷小，但是它们的商 sinx/x 的极限是 1，就不是无穷小啦。
再给大家说个实际应用的例子吧。
假设我们在研究一个物理问题，比如一个小球的自由落体运动。
在某个很短的时间间隔内，我们可以把这段时间内的位移看作是无穷小。
然后根据无穷小的运算法则，我们可以计算出在这个很短时间内的速度、加速度等物理量。
如果我们忽略了无穷小的运算法则，可能就会得出错误的结果哦。
同学们，无穷小的运算法则虽然看起来简单，但是在很多数学和科学问题中都有着非常重要的应用。
大家一定要好好理解和掌握，这样才能在以后的学习和研究中运用自如呀。
好了，今天就讲到这里，大家要是有什么问题随时来找我交流哈。
关于无穷个无穷小量的积及面积的问题释疑
学术论坛科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald194在高职数学教学中。
有些理论或公式的证明都不写出来或大大简化或只用通俗的语言来进行说明，或干脆一带而过。
这给教师在阐述这些理论或公式带来一些困难。
为了更好的提高教学质量和满足一些程度较好的学生要求，在不影响教学进度的情况下，对一些较难的问题还是有必要进行更进一步的探讨和说明。
1 无穷个无穷小量的积在教授无穷小量和无穷大量这节中，在讲到无穷小的性质时指出，有限个无穷小的和与积还是无穷小。
这当然是正确的。
但并没有指出无穷多个无穷小的和与积是否是无穷小。
这使许多学生提出一些疑问。
事实上无穷多个无穷小的和并不一定是无穷小。
所以，为了证明该理论，需要举出反例来证明，lim ∞→n 3n n1∗=∞。
即无穷多个无穷小的和甚至是一个无穷大 。
但无穷多个无穷小的积 呢？从表面上看似乎是无穷小，一时分析透彻也是有难度的，如果说不是，要举出反例，也不好举。
书上并没有说明这个问题，在很多书上并没有涉及这个问题。
在武汉大学数学与统计学院齐友民主编的《微积分》上的注上明确指出无穷多个无穷小的和与积不一定是无穷小。
这句话前一部分是对的，但无穷多个无穷小的积不一定是无穷小，这个讲法欠妥。
至少容易引起不必要的误会。
退一步说，如果这个说法正确，但反例却很难一时之间举出来。
所以对学生在解释这个问题时，不要轻易做出结论，以免被动。
事实上无穷多个无穷小的积应该还是无穷小。
这可利用0+∞型的未定式来进行说明，即l n 0+∞=+∞l n 0=+∞*(∞)=-∞,所以0+∞=0。
即0+∞为无穷小。
(底数0表示无穷小，指数为+∞表示无穷多个无穷小的幂（也就是乘积）)。
这说明无穷多个无穷小的积应该还是无穷小。
当然该证明仅仅是正确的，并不能说明它的严密性。
所以，对此类问题的分析与解释还是谨慎为好。
2 梯形模型和扇形模型求连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而生成的旋转体体积公式是dx x f V ba )(2⎰=π.（1）而求连续曲线)(x f y =，],[b a x ∈绕x轴旋转一周而生成的旋转体表面积公式是.)(2⎰=bads x f S π （2）其中ds是弧微分，即dx x f ds 2)]([1'+=。
大学数学分析-关于无穷小量的研究王杰
大学数学分析-关于无穷小量的研究王杰学士学位论文关于无穷小量的研究目录1 引言...................................................................... .. (1)2 无穷小思想的由来...................................................................... ......................................2 3 无穷小量的性质...................................................................... ..........................................3 3.1 无穷小量的运算...................................................................... .. (3)3.2 无穷小量阶的比较...................................................................... . (6)3.2.1 高阶无穷小...................................................................... (6)3.2.2 等价无穷小...................................................................... (7)3.2.3 同阶无穷小...................................................................... .................................8 4 无穷小量的应用...................................................................... .........................................9 4.1 极限中的无穷小量...................................................................... ...............................9 4.2 微分中的无穷小量...................................................................... .............................11 4.3 积分中的无穷小量...................................................................... .............................13 4.4 级数中的无穷小量...................................................................... .............................14 5 结束语...................................................................... .. (18)参考文献...................................................................... .. (19)致谢...................................................................... . (20)关于无穷小量的研究关于无穷小量的研究摘要:无穷小量在数学分析中占有举足轻重的地位，无穷小量具有很好的性质，它使得一些复杂的极限问题、微积分问题、级数问题简单化(从无穷小的思想出发，追述历史发展过程到分析学中的应用(全文主要分为三个部分:第一部分是对无穷小量的发展过程进行概述;第二部分给出无穷小量的相关性质，其中主要对无穷个无穷小量的和与积运算后未必是无穷小量进行了详细证明;第三部分应用无穷小量的等价性、可加性、可乘性解决函数极限、微分、积分、级数问题;这些问题的解决对加深无穷小量概念的理解有很大的帮助(关键词:无穷小量;极限;微分;积分;正项级数Research on the InfinitesimalInfinitesimal in mathematical analysis in a pivotal position,the :Abstractnature of infinitesimals good, it makes the limits of some of the complexproblem of calculus problems, series simplification of the problem. From theinfinitely small idea, goes back to the analysis of the historical development ofscience. Full-text is divided into three parts, the first part of the infinite processof the development of a small overview, the second part gives the relevantproperties of infinitesimals, mainly on the infinitely infinitesimal and withproduct operation carried out after a small amount may not be infinite full proof.The third part of the application of the equivalence of infinitesimal, additive,multiplicative function to solve the limit, differentiation, integration, positiveseries problems the solution of the concept of deepening the understanding ofinfinitesimals of great help.Key words:Infinitesimal;Limit;Differential;Integration;Series1 引言无穷小思想历史悠久，源远流长， M.克莱因曾说过:“数学史上最使人惊奇的实事之一是实数系的逻辑基础竞迟至19世纪后叶才建立起来”(而这明显是由于人[7]们在理解无穷这个概念上所遇到的巨大困难造成的(二千多年来，人们一直没有放弃对无穷概念的思考探索，企图明白无穷思想的真谛，然而，诚如希尔伯特所说:“无穷是一个永恒的谜”要揭开这个谜底还有待时日(本文试图从无穷小的几个性质及其作用做一点探索(本文从无穷小的思想出发，首先给出无穷小数列的相关定义和关于函数为无穷小量的定义，明确在什么前提下才能谈无穷小量.其次谈无穷小量的性质，无穷小量是- 1 -关于无穷小量的研究有极限变量中最简单而且是最重要的一类，有其自身特殊的性质，两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量，无穷小量与有界量的乘积为无穷小量，本文重点论证了无穷个无穷小量的和与积不一定是无穷小量(无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢(为此，本文考察两个无穷小量的比，以便对他们的收敛速度作出判断即无穷小量阶的比较(再次，无穷小量在高等数学中有着非常重要的地位，他是解决极限问题的基础，而且技巧性很强，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果(最后本文运用无穷小量性质来解决求极限问题、微积分的证明、求级数的敛散性判别、级数的收敛域问题(2 无穷小思想的由来无穷小思想最初是在哲学范围内提出的，无论是在古希腊还是在中国都是如此，哲学家们对“无穷小”都进行了一定程度的论述(中国就曾有“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，并且我国第一个创造性地将无穷小思想运用到数学中的人是魏晋时期的著名数学家刘徽，他天才地提出了用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体,7,而无所失矣”(可见刘徽对无穷小的认识已相当深刻(到17世纪六七十年代，牛顿和莱布尼茨以无穷小思想为依据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学，无穷小量才有一席之地(数学不再由几何学独占，而是支撑在几何学与微积分这两根支柱上(古希腊时期，哲学家，数学家就注意了无穷概念(达哥拉斯学派发现了无理数的存在，引起了古希腊数学的危机(稍后埃利亚学派的芝诺提出了四个悖论:二分说，阿基里斯追龟说，飞箭静止说，运动场悖论，使危机更加加深(这些悖论显然违背人们的常识，迫使更多哲学家和数学家思考无穷小的问题(亚里士多德考虑过无穷的问题，但他只承认潜无穷(阿基米德发明的“穷竭法”中引进了无穷小，无限分割的思想，他的这种类似今天求极限的方法被公认为微积分计算的鼻祖，正是芝诺提出的悖论使人们对无穷小有了最初的认识(人们从无穷小思想出发，进而想到无穷小量的问题(首先由无界单调增加数列引入无穷小概念，下面给出几个相关定义.xy定义1 设有数列，如果有一无界单调增加数列使 ,,,,nn1x,， nyn,2,x则称是无穷小数列( ,,nxa定义2 设有数列，如果有一个实数和一无穷小数列使得 a,,,,nn- 2 -关于无穷小量的研究， xaa,，nn,2,limxa,x则称以为极限，记作 ( a,,nn,,nx,,0N定义3 设有数列，是常数，若对于任意给定的，总存在一个整数，a,,n nN,使当一切时，都有xa,,,， n[14]limxa,x则称为数列的极限，记为( a,,nn,,nlim0a,定义4 若则称a为无穷小数列( ,,nnn,,与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义(0fUx定义5 设在某内有定义，若，，n， lim0fx,，，xx,0ff则称为当时的无穷小量(则称为当时的无穷小量( xx,xx,003 无穷小量的性质穷小量是有极限变量中最简单而且是最重要的一类，有其自身特殊的性质(下面通过所给无的定义和例题进一步剖析无穷小量理论(3.1 无穷小量的运算1. 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量(2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量(12xx,0下面看这个例子，当时，是无穷小量，为有界量，故 sinx12. x,limsin0x,0x由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论:limfxAfxA,,,,,，，，，xx,0是当时的无穷小量( xx,03. 下面来研究一下无穷个无穷小量作和、作积运算后是否仍为无穷小量(在数学分析中，无穷小量及其运算起着非常重要的作用，由定义5可得，任意有限个无穷小量的积均为无穷小量，在接下来的例题中我们将证明，无限个无穷小量的乘积未必收敛即使收敛，也未必是无穷小量(Unk假设对每一个固定的，当时，为无穷小量，即 n,,，，k- 3 -关于无穷小量的研究k,1,2,3？， lim0Un,，，k,,n无限个无穷小量的乘积应理解为,mUnUnUnUn,,,limlim ，，，，，，，，,,kkmmm,,,,11kk,,mUnUn,其中，当时，的极限存在(否则，无限个无穷小量的乘积无m,,，，，，,kmk,1[5]意义(Un我们的问题是，当时，是否为无穷小量，即 n,,，，，，limlimlim0UnUn,, ，，，，m,,,,,,nnm，，是否成立(其实无限个无穷小量的乘积不一定是无穷小量，举一个“无限个无穷小量的乘积不是无穷小量”的例子(例1 设,,1,nk,,n,1 Unnnkk,1,2,3,,,,？，，,k,1,,nk,n,因为1 UnUn,,,limlimlim0，，，，kk,,,,,,nnnn,nkk,1,2,3,？Un所以，对于当时，为无穷小量( n,,，，k为了看出,mUnUnUnUn,,,limlim ，，，，，，，，,,kkmmm,,,,11kk,,Un我们将写成如下形式，，k11111Un:1，，，，，，…，，，1246351111Un:1，2，，，，，…，，，24635111Un:1，1， 9，，，，…，，，345611Un:1，1，1，64，，，…，，，456因为- 4 -关于无穷小量的研究mm111,1n UnUnUnn,,,,,,,,？？limlimlim1111，，，，，，,,Kk,,,,,,mnmnnn,,11kk,mn所以， lim1Un,，，n,,[5]Un即无限个无穷小量的乘积不是无穷小量( ，，不仅如此，还可以举出无限个无穷小量的乘积为无穷大量的例子(只要将上例改写一下即可(例2 设,,1,nk,,n Unnnkk,,,,1,2,3,？，，,k,1,,nk,n,这里，k,1,2,3？， lim0Un,，，k,,k而mUnUnn,,lim, ，，，，,k,,m1,klimUn,,，，n,,Un即无限个无穷小量的乘积为无穷大量( ，，例1和例2表明，无穷小量的无穷乘积运算是非常复杂的，类似的计算也发生在无穷小量的无限求和运算中(,,1tt,0ftt,例如时的无穷小量，但并不收敛，下面的例子ft,为，，，，,,nnnn11nn,,表明，即使无限求和收敛，也未必是无穷小量( 例3 设1,0,1,,t,n,11,ftt,,,1, ，，,nnn，1,1,0,0,,t,n，1,,nftt,,2,0为t,0ft则对每个时的无穷小量(另一方面，不再是时的无，，，，,nn,n2穷小量(- 5 -关于无穷小量的研究 3.2 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢(为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对他们的收敛速度作出判断(3.2.1 高阶无穷小量fxgx与定义6 设均为无穷小量，若，，，，fx，，， lim0,xx,0gx，，时，则称当xx,fg为的高阶无穷小量。
高数A1知识点回顾
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为垂直渐近线. x1 x 1
2. 斜渐近线(Slant asymptotes) ( P75 题13)
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
lim x[ f (x) k b ] 0
x x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
莱布尼兹(Leibniz) 公式
高阶导数的基本公式
(a x )(n) a x ln n a(a 0)
(sin x)(n) sin(x n )
2
(cos x) (n)
cos(x
n )
2
(ln x)(n) (1) n1 (n 1)!
xn
[(x a) ](n) ( 1) ( n 1)(x a)n
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. Domain:确定函数 及周期性 ;
的定义域 ,并考察其对称性
2. 求
的点 ;
并求出 及
为 0 和不存在
f (n) (x0 ) 0,
关于无穷小量乘积的讨论
第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132 N o13 M ay,2002 关于无穷小量乘积的讨论孟 健, 赵迁贵(中国矿业大学数学与系统科学系,江苏徐州 221008)摘要: 本文由有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量的证明入手,给出无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量的例子,并根据这种方法得到无穷多个无穷大量的和也不一定是无穷大量的结论.关键词: 无穷小量;无穷大量;无穷和;无穷乘积我们知道有限个无穷小量之和是无穷小量,而无穷多个无穷小量的和却不一定是无穷小量.那么关于它们的乘积结论又如何呢?首先有结论:在自变量同一变化中,有限个无穷小量的乘积是无穷小量.这里仅以自变量x趋于x0为例证明这个结论.设当x→x0时,函数f1(x),f2(x),…, f n(x)为无穷小量,由无穷小量的定义,对函数f i(x)(i=1,2,…,n)有对于任意给定的正数Ε,总存在正数∆i,使得对于适合不等式0< x-x0 <∆i的一切x,对应的函数值f i(x)都满足不等式f i(x) <nΕ取∆=m in1ΦiΦn{∆i},从而对适合0< x-x0 <∆的一切x,不等式∏n i=1f i(x)<∏ni=1nΕ=Ε都成立.故有限个无穷小量的乘积∏ni=1f i(x)是当x→x0时的无穷小量.有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量,那么无穷个无穷小量的乘积是否还是无穷小量呢?结论从直观上看似乎是肯定的,但是通过分析有限个乘积的证明看出,此时对无穷多个∆i(i=1,2,…),不一定能找到它们的最小值,从而结论不一定成立.事实上,我们从以下的两个例子中可以知道在自变量同一变化中,无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量.例1 考虑函数列f n(x)=x, x <1n, n, x Ε1n显然对每一个给定的n,函数f n(x)都是当x→0时的无穷小量,下面只需证明它们的无穷乘积当x→0时不是无穷小量.取定Ε0=1,对任意给定的正数∆,总存在自然数N,使得1N<∆,由函数f n(x)的定义f n1N=1N,当m<N时,m,当mΕN时故∏2Nn =1fn1N=∏N -1n =1fn(x )∏2Nn =Nfn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1注意到当m ΕN 时f m1N=m ,因此,函数列f n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积也大于给定的正数Ε0,故它不是x →0时的无穷小量.例2 考虑函数列g n (x )=n ,x Φn ,1x,x >n 根据定义对每一个给定的n ,函数f n (x )都是当x →∞时的无穷小量,这里同样可证,它们的无穷乘积也不是当x →∞时的无穷小量.对任意给定的正数X (不妨设X >1),总存在自然数N >X,由g n (x )的定义知g m (N )=1N,当m <N 时,m ,当m ΕN 时故∏2Nn =1gn(N )=∏N -1n =1gn(x )∏2Nn =Ngn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1由于当m ΕN 时,g m (N )=m >1,故可取Ε0=1,对任意的X >1,总有适应 x >X 的N ,使得函数列g n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积的值大于等于Ε0,因此结论成立.根据以上讨论,我们还容易得到无穷多个负(正)无穷大量的和不一定是负(正)无穷大量的例子.例3 设函数列h n (x )=ln x ,x <1n,ln n ,x Ε1n由无穷大量的定义,对每个给定的n ,函数h n (x )为x →0时的无穷大量,由例1的方法可以证明,它们的无穷和却不是当x →0时的无穷大量.参考文献:[1] 复旦大学数学系1数学分析[M ].上海:上海科学技术出版社,1979.[2] 同济大学数学教研室1高等数学[M ].北京:高等教育出版社,19971[3] 张晓宁等1高等数学习题课教程[M ]1徐州:中国矿业大学出版社,19881815数 学 的 实 践 与 认 识32卷第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132 N o13 M ay,2002 On the I nf i n ite Product of the I nf i n itely S mall Quan tityM EN G J ian, ZHAO Q ian2gu i(D epartm en t of M athem atics,Ch ina U n iversity of M in ing and T echno logy,Xuzhou221008,Ch ina)Abstract: In th is no te,w e con struct som e examp les to show that the infin itely p roduct of theinfin itely s m all quan tity m ay be no t infin itely s m all quan tity.Keywords: infin itely s m all quan tity;infin itely large quan tity;infin itely sum;infin ite p roduct数字技术与科技进步李 冰(中央民族大学物理与电子工程系,北京 100081)摘要: 本文讨论并提出数字技术与数学科学的内在联系.并根据实际的分析和研究,认为数字化技术只是信息化促进科技发展的一个阶段,尽管数字技术已经并将继续推动科技和生产力的发展速度.关键词: 数字技术;数字化程序设计;应用数学;科技发展0 序 言数字化和信息化有密不可分的联系,进而影响着科技进步的现代化进程.在上世纪末,美国麻省理工学院教授、媒体实验室负责人尼葛洛庞帝出版了《数字化生存》[4]一书,引起了世界范围的广泛讨论[6].在新千年到来之际,1999年12月,美国的副总统戈尔曾在加利福尼亚科学中心作了“数字地球——认识我们这颗星球”的演讲[6];2000年6月5日光明日报报道了中国国家主席江泽民在接见中科院、工程院部分院士时,也提到“数字地球”这一概念[6].在新世纪的新经济时代,推动时代发展的根本力量,仍必将是信息化和科技进步推动的全球经济一体化.对科技进步的现状(包括数字技术)与经济发展前景的联系,会引起人们的各种思考.一方面,数字技术对推动科技进步(以新颖性、创造性、实用性为标准)带来的机遇,不容忽略;另一方面,人类综合能力、实践能力和创新能力的提高,也会推动数字信息化在更宽阔的领域里有所新的创造.1 数字技术把数学和物理有机结合了起来李政道博士曾经讲过,(上世纪)的科学门类繁多,总体可以归于数学和物理两类.我们认为[1],数学可以被理解为指导思维(特别是创新思维)的科学;而人类对外部的物质世界的被称为“物理”的研究,可以归纳为对物质运动所表现出的信息进行“整理”和“条理”的工作.物质运动的信息,来自物体之间的相互作用,大致可以分为物体之间的力的相互作用、物质。
定理有限个无穷小的和也是无穷小
x 而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x
定理6 (复合函数的极限运算法则) 设函数y=f [g(x)]是由函数y=f (u)与函数u=g(x)复合而成,f [g(x)] 在点 x0 的某去心领域内有定义,若
x x0
lim g( x ) u0 , lim f ( x ) A,
x x0
且存在 0 0,当x U 0 ( x0 , 0 )时, 有g( x) u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
u u0
证明 按 函 数 极 限 的 定 义 , 要 证: 0, 0, 使 得
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立.
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB
当0 x x0 时, 恒 有 f [ g( x )] A lim f ( u) A, 0, 0, 使 得 uu
0
当0 u u0 时, 恒 有 f [u] A
由假设 ,当x U 0 ( x0 , 0 )时, g( x ) u0 , 取 min{ 0 , 1 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有 g( x ) u0 及 g( x ) u0 0
2
因 为 是 当x x0时 的 无 穷 小 , 对 于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒 有
有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证明
有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证明以有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证明为标题在数学中，有界函数和无穷小是常见的概念。
有界函数指的是函数在某一区间上的取值都有上下界，而无穷小则表示函数在某一点上趋于零。
本文将证明一个重要的数学性质，即有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
我们来正式定义有界函数和无穷小。
定义1：函数f(x)在区间[a, b]上是有界的，如果存在常数M，使得对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x)| ≤ M。
定义2：函数f(x)在点x=a处是无穷小，如果对于任意的ε > 0，存在δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)| < ε。
现在，我们来证明有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
证明：设函数f(x)在区间[a, b]上是有界函数，且在点x=a处是无穷小。
我们需要证明对于任意的ε > 0，存在δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)·g(x)| < ε。
由于f(x)在点x=a处是无穷小，根据定义2，对于任意的ε1 > 0，存在δ1 > 0，使得当0 < |x - a| < δ1时，有|f(x)| < ε1。
又因为f(x)在区间[a, b]上是有界函数，根据定义1，存在常数M，使得对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x)| ≤ M。
现在我们取ε = ε1/M，对于这个ε，根据有界函数的定义，存在常数δ2 > 0，使得当0 < |x - a| < δ2时，有|f(x)| ≤ M。
取δ = min(δ1, δ2)，则当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)·g(x)| ≤ |f(x)|·|g(x)|。
由于|f(x)| ≤ M，且|f(x)| < ε1，所以|f(x)|·|g(x)| < M·ε1。
无穷小减无穷小等于无穷小吗
无穷小减无穷小等于无穷小吗
两个无穷小的差也是无穷小。
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。
无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。
无穷小
无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。
无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。
确切地说，当自变量x无限接近x0（或x 的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。
特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。
无穷大
在集合论中对无穷有不同的定义。
德国数学家康托尔提出，对应于不同无穷集合的元素的个数（基数），有不同的“无穷”。
两个无穷大量之和不一定是无穷大，有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数），有限个无穷大量之积一定是无穷大。
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为什么无限个无穷小之和（积）不一定是无穷小
19世纪70年代，德国数学家维尔斯特拉斯严格定义极限概念后，无穷小也有了准确的定义，并一直沿用至今。
现在我们的数学分析或者高等数学课本中，无穷小的定义为： 若
()lim 0x f x →=
，则称()f x 为x → 时的无穷小。
这里的 可以是
0x ，0x +，0x -或∞，+∞，-∞中的某一个。
我们单纯从无穷小的定义来看，有两点需要特别注意：（1）无穷小是一个函数，并不是一个数；（2）当谈论无穷小时，只有加上
x → 这个条件才有意义。
由无穷小量的定义可以推出关于“有限个无穷小的和差积运算”与“无穷多个无穷小的和差积运算”的4个性质：
（1）有限个无穷小之和仍是无穷小； （2）有限个无穷小之积仍是无穷小；
（3）无穷多个无穷小之和不一定是无穷小； （4）无穷多个无穷小之积不一定是无穷小。
对于小伙伴们，上述性质让我们摸不着头脑，似懂非懂，云里雾里。
今天的这篇文章，我们主要讲述这4个性质。
“有限个无穷小之和仍然是无穷小”以及“有限个无穷小之积仍然是无穷小”比较容易理解，但“无穷多个无穷小之和不一定是无穷小”以及“无穷多个无穷小之积不一定是无穷小”为什么？
这个问题涉及到收敛与一致收敛的问题。
我们先来直观解释一下：无穷小是一个函数，并不是一个数，它收敛到0的速度取决于函数自身的表达式；无穷多个无穷小相乘，本质上是无穷多个函数相乘，虽然每个函数在
x → 时的极限都是0，但是它们趋向于0的速度不
一定是一致的；可能任意时间都仍然有无穷多个项是不小于1的，这样总的和就可能不趋于0，总的乘积也可能不趋于0。
上面这段话直观理解看上去有道理，但我们不能满足现状。
对于数学而言，需要严格证明，这恰恰是数学的魅力所在。
有限个无穷小之和仍是无穷小
令
()()()12,,,n f x f x f x 均为0x x →时的无穷小，
由无穷小的定义可得，
()0
lim 01,2,,k x x f x k n →== ，。
由极限的定义可知，对于任
有限个无穷小之积仍是无穷小
无穷多个无穷小之积不一定是无穷小
有限与无穷的区别
从一到无穷不仅是量的变化，更重要的是质变。
从某种意义上讲，无穷是经典数学与现代数学的一个分水岭。
在无穷世界里有着许多和有穷世界里不同的规律。
例如，在有穷世界里，x显然不等于
x+是相等的；再比如，对于只x+；但在无穷世界，当x趋于无穷时，x和1
1
有有限项的数列来讲，整个数列是不可能和它的任何子列对等的，但对于拥有无穷项的数列来讲，整个数列与它的某一子列对等是经常遇见的情况。
对于由自然数构成的无穷数列来讲，
它的奇数项和偶数项构成的子列都和自然数列对等。
伟大的数学家Hilbert在一次讨论无穷大性质的演讲中，提出了“无穷旅馆”的概念，以帮助人们形象地理解有穷与无穷的区别。
作为生活常识，我们都知道，对于一个内设有限个房间的旅馆（有穷世界）来说，如果所有房间都已客满，这时又来一位客人要订个房间。
前台只好礼貌的说，“对不起，所有的房间都住满了”。
现在设想有一个“无穷旅馆”，内设无穷个房间，所有的房间也都客满了。
这时又来了一位客人想订房间。
前台会说，“没问题，我给你安排”。
这在有穷世界是没有解的事情，但在无穷世界里却完全可以做到：只要把1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，...，n号房间的客人搬n 号房间，这样新来的客人就可以住进已被腾出的1号房间了。
更有甚者，如果这到1
时又来了无穷位客人要订无穷个房间，前台仍然会说，“没问题，我给你安排”。
于是，他就把1号房间的客人搬到2号房间，把2号房间的客人搬到4号房间，...，把n号房间的客人搬到2n号房间。
这样一来，所有的单号房间都腾了出来，新来的无穷位客人就可以住进去了。