2017届南京市高三综合复习数学试题(解析版)
南京市2017届高三年级三模数学卷(第三稿)
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学 2017.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数． 柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为 复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1， 则输入x 的值为 ▲ ．5的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3) （x ∈[0，2π]）的图象和直线y ＝12 的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m ＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|l o g 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1＝2，则a 5的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．7 7 9 0 8 94 8 1 0 35 甲 乙 （第5题图）（第4题图）ACB A 1B 1C 1D（第10题图）ABCFED（第15题图）16．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)． （1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．（本小题满分14分）在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC ，及矩形表演台BCDE 四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．（1）求BC 的长（用含θ的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．（本小题满分16分）已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *． （1）若a 1＝－1，p ＝1，①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．（2）若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p的取值范围．20．（本小题满分16分）已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； （2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．（第17题图）（第18题图）南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{2} 2．383． 5 4．－1 5．6.8 6．27．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．313．[－65，0] 14．[27，30]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 证明：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． …………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以 EF ∥平面ABD ． …………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以 AE ⊥CD ． …………………… 8分 因为 BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以 CD ⊥EF ， …………………… 10分 又 AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以 CD ⊥平面AEF ． …………………… 12分 又 CD ⊂平面ACD ，所以 平面AEF ⊥平面ACD ． …………………… 14分16．（本小题满分14分） 解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ ． …………………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ，＝4AC 2－23AC 2 cos θ． ＝(4－23cos θ)800sin θ， 即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以 BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分（2）设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元，所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6 时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分 因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分（2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． ……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14． ………………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)． ……………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1． ① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． …………………………… 3分 ② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2) ． …………………………… 5分 当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32 ．所以 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －1－32，n ≥2，n ∈N *， 即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分（2）因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分 （i ）当a 1p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ，所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ， 即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． （*）因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即（*）不成立．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分 （ii ）当－1＜a 1p＜1时，有－p ＜a 1＜p ．此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ， 于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．若{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列， 同（i ）可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )． 因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p ＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0．因为2×3s －2－3t－2是整数，所以a 1a 1＋2 p≤－1，于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分 （iii ）当a 1p ≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0，于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ， 此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p ≤－1． ……………………………… 16分20．（本小题满分16分） 解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0， 又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． ………………………… 2分 （2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx．当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． ………………………… 4分 当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx2＞0恒成立，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分 ①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe ，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分 且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分 （3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx ．若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立， 所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ． 于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分 当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减， 即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减． 所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0． 这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………………… 16分。
(江苏专用)高考数学总复习 专题1.1 集合试题(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题1.1 集合【三年高考】1．【2017高考某某1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防X 空集．在解决有关,AB A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．【2016高考某某1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确某某高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.2．【2015高考某某1】已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算3．【2014某某1】已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B ⋂=. 【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-.4.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。
江苏省南京市2017届高三上学期迎一模模拟考试数学试题 含答案
（第6题） 结束 输出y y ←x 2-2x +2y ←5x <4Y 输入x 开始 N 2016-2017高三数学迎一模模拟卷第I 卷（共160分)一．填空题（每题5分，共70分） 1．已知集合{|||2}A x x =≤，{|321}B x x =-≥，则AB =▲ ．【答案】[1,2]2．复数iia 212+-(i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】 4 3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题,则实数a 的取值范围是_______。
【答案】]1,(-∞4.从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 . 【答案】125．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在区间［4，5)上的数据的频数为__________． 【答案】 30．6． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】47． 在平面直角坐标系xOy 中,点F 为抛物线x 2=8y 的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为 ▲ ．【答案8．已知a ,b 为实数,且a ≠b ，a <0，则a ▲ 2b —ab 2.(填“〉”、“<"或“=”) 【答案】“〈”9．ABC ∆是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点，14AM AB m AC =+⋅，向量AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．【答案】 ()2,6-10．已知正数1234,,,a a a a 依次成等比数列，且公比1q ≠．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则公比q 的取值集合是 ．【答案】⎪⎪⎩⎭；11．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，F 是棱BC 的中点，M 是线段1A F上的动点，则△1MDD 与△1MCC 的面积和的最小值是 ．【答案】；12．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =-++∈的值域为(,0]-∞，若关于x 的不等式()1f x c >-的解集为(4,1)m m -+，则实数c 的值为 ． 【答案】 214-13。
数学---江苏省南京市2017届高三上学期调研试卷(解析版)
江苏省南京市2017届高三上学期调研试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，2{|0}B x x x =-≤，则A B = .2.设复数满足()34z i i i +=-+（为虚数单位），则的模为 .3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.4.若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出的值是 .6.设向量(1,4)a =- ，(1,)b x =- ，3c a b =+ ，若//a c，则实数的值是 .7.某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的一条渐近线与直线21y x =+平行，则实数的值是 .9.在平面直角坐标系xOy 中，若直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()16x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为直角三角形，则实数的值是 .10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 .11.各项均为正数的等比数列{}n a ，其前项和为n S ，若2578a a -=-，313S =，则数列{}n a 的通项公式n a = .12.已知函数312,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的取值范围为[16,)-+∞，则实数m 的取值范围是 .13.在ABC ∆中，已知3AB =，2BC =，D 在AB 上，13AD AB = ，若3DB DC ∙=，则AC 的长是 .14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1()()()2xf xg x +=，若存在01[,1]2x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数的取值范围是 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是10，点B 的纵坐标是5（1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,M N 分别为线段11,A B AC 的中点. （1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，1AD DC ⊥，求证：MN AD ⊥.17.（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m 的半圆形（以O 为圆心，AB 为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在AB 的延长线上取点D ，使80OD m =，在半圆上选定一点C ，改建后的绿化区域由扇形区域AOC 和三角形区域COD 组成，其面积为2Sm ，设A O C x r a d ∠=.（1）写出S 关于的函数关系式()S x ，并指出的取值范围； （2）试问AOC ∠多大时，改建后的绿化区域面积S 最大.18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆上一点（在轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=. （1）若点P 的坐标为3(1,)2，且2PQF ∆的周长为8，求椭圆C 的方程；（2）若2PF 垂直于轴，且椭圆C 的离心率1[,22e ∈，求实数λ的取值范围.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前项和为n S ，且2315a a =，416S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=. ①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数,()m n m n ≠，使得2,,m n b b b 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分16分）已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-.参考答案：一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.【答案】{0，1}【解析】2{|0}[0,1]B x x x =-≤=，A B = {0，1}2.【答案】3.【答案】80【解析】时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯=4.【答案】125.【答案】56.【答案】4【解析】由题意得(1,4)//(2,43x)843x x 4---+⇒=-+⇒=7.【答案】568.【答案】1 【解析】由题意得221a a=⇒= 9.【答案】－1【解析】由题意得C 到直线20ax y +-=1.a =⇒=- 10.【答案】611.【答案】3n －1 【解析】由题意得321111(1)78,(1)13(1)6,03,1,3n n a q q a q q q q q q a a --=++=⇒-=>∴===12.【答案】[－2，8]【解析】320,1212402x y x x y x x '≤=-⇒=-=⇒=-（正舍），(2)16f -=-；由2168x x -=-⇒=，所以当2m <-时，()16f x >-；当28m -≤≤时，()16f x ≥-；当8m >时，min ()16f x <-；因此实数m 的取值范围是28m -≤≤ 13.14.【答案】【解析】11()()()()()()()()222xxx f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+-=⇒-+=，所以11()2()222(),()22x x x xf xg x -+==，所以00000022200(2)22223,22[]()2222x x x x x x g x t a t t f x t t ---++=-===+=-∈-，所以min max t a t a ====即实数的取值范围是 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.【答案】（1）－（2）34π（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋si nαsinβ＝10×(－5)＋10×5＝－10． …………………… 8分（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ×(2． …………………… 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π)， 所以α＋β＝34π． ……………… 14分 16.解：17.【答案】（1）S ＝1600sin x ＋800x ，0＜x ＜π．（2）23π（2）由（1）知， S(x)＝1600sin x＋800x，0＜x＜π．S′(x)＝1600cos x＋800＝1600(cos x＋12)．…………… 8分由S′(x)＝0，解得x＝23π．从而当0＜x＜23π时，S′(x)＞0；当23π＜x＜π时，S′(x)＜0 ．因此S(x)在区间(0，23π)上单调递增；在区间(23π，π)上单调递减．………… 11分所以当x＝23π，S(x)取得最大值．答：当∠AOC为23π时，改建后的绿化区域面积S最大．…………… 14分18.【答案】（1）22143x y+=（2）[73，5]．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………… 5分 （2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以220221y c a b +=，解得y 0＝2b a ，即P (c ，2b a)． ………… 7分 因为F 1(－c ，0)，所以1PF ＝(－2c ，－2b a)，1FQ ＝(x 1＋c ，y 1)． 由1PF ＝λ1FQ ，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－2b a＝λy 1， 解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－2b a λ，所以Q (－2λλ+c ，－2b aλ)． …… 11分 因为点Q 在椭圆上，所以(2λλ+)2e 2＋222b aλ＝1， 即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝2431e--． …………………… 14分因为e ∈112，2]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5． 所以λ的取值范围为[73，5]． …………… 16分19.解：（1）设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0．由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得111()(2)154616a d a d a d ++=⎧⎨+=⎩ 解得112a d =⎧⎨=⎩或172a d =⎧⎨=-⎩（舍去）所以a n ＝2n －1． …………………… 4分又b2＝43，b n＝3221nn--＝32－142n-，b m＝32－142m-，所以43＋(32－142n-)＝2(32－142m-)，即121m-＝16＋142n-，化简得：2m＝721nn-+＝7－91n+．………… 14分当n＋1＝3，即n＝2时，m＝2，（舍去）；当n＋1＝9，即n＝8时，m＝3，符合题意．所以存在正整数m＝3，n＝8，使得b2，b m，b n成等差数列．…………………… 16分20.解：（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，从而f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1x＝22(21)1ax a xx-++＝(21)(1)ax xx--，x＞0．… 5分当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．…………………… 7分当0＜a＜12时，由f ′(x)＞0得0＜x＜1或x＞12a，由f ′(x)＜0得1＜x＜12a，所以f(x)在区间(0，1)和区间(12a，＋∞)上单调递增，在区间(1，12a)上单调递减．当a＝12时，因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号），所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．当a ＞12时， 由f ′(x )＞0得0＜x ＜12a 或x ＞1，由f ′(x )＜0得12a ＜x ＜1， 所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减． …………………… 10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x -+ (x ＞0)． 由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0， 所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． ………… 12分 f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln 12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ……… 14分 令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t -－ln t ． 因为φ′(t )＝22(1)2t t -≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增， 所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………… 16分。
2017高考江苏卷数学试卷(解析版)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ .【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.记函数()f x D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ .【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则P，Q，1(F，2F，则S ==9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 12. 如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】313. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[52,1]-α A CB(第12题)【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，学#科网则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2） 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为4737(,).18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,11E G的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱1CC上,求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x --，2=3a x -+列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a-+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：（1）;PAC CAB∠=∠（2）2AC AP AB=⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC切半圆O于点C，所以PCA CBA=∠∠，因为AB为半圆O的直径，所以90ACB=︒∠,因为AP⊥PC，所以90APC=︒∠，所以PAC CAB∠=∠.（2）由（1）知APC ACB△∽△，故AP ACAC AB=，所以2·AC AP AB=B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=，B=.（1）求AB;（2）若曲线221:182x yC+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2C,求2C的方程. 【答案】（1）（2）228x y+=【解析】解：（1）因为A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ， 从而点P 到直线l 的的距离2222422)5(1)(2)s d ==-+-当2s =min 45d =因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45.D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++， 因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.【答案】（1）17（2）7(1) 11(3,1,3),(3,13)A B AC =--=u u u r u u u u r，则111111(3,1,3)(3,1,3)1 cos,77||||A B ACA B ACA B AC⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.从而(3,0,0)(3,3,2)3cos,4||||34AEAEAE⋅⋅===⨯u u u ru u u ru u u r mmm,设二面角B-A1D-A的大小为θ，则3|cos|4θ=.因为[0,]θ∈π，所以27sin1cosθθ=-=.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.。
2017年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年江苏，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =,则实数a 的值为_______．【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=,解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．（2）【2017年江苏，2,5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=，则应从丙 种型号的产品中抽取630018100⨯=件．【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致,按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．(4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为116，则输出y 的值是_______．【答案】2-【解析】初始值116x =,不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5)【2017年江苏，5，5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ，则12VV 的值是________．【答案】32【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ⋅=．则313223423V R R V ππ==．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(7）【2017年江苏，7,5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】59【解析】由260x x +-≥得260x x --≤，得23x -≤≤，则2[]3D =-，，则在区间[45]-，上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率()()325549P --==--． 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D ，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．（8）【2017年江苏,8，5分】在平面直角坐标系xoy 中 ，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______． 【答案】23【解析】双曲线2213x y -=的右准线:32x =，双曲线渐近线方程为：33y x =，所以33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,33,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()12,0F -．()22,0F ．则四边形12F PF Q 的面积是：143232⨯⨯=．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．（9)【2017年江苏，9，5分】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =,则8a =________． 【答案】32【解析】设等比数列{}n a 的公比为1q ≠,∵374S =，6634S =，∴()311714a q q -=-，()6116314a q q -=-， 解得114a =,2q =．则7812324a =⨯=．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10,5分】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是________． 【答案】30【解析】由题意可得:一年的总运费与总存储费用之和=6009006442240x x x x⨯+≥⨯⨯⋅=（万元）． 当且仅当30x =时取等号．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题．（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数()312x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2120f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是________．【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】函数()312x xf x x x e e =-+-的导数为：()21132220x xxx f x x e e e e '=-++≥-+⋅=，可得()f x 在R 上 递增;又()()()331220x x x x f x f x x x e e x x e e--+=-++-+-+-=，可得()f x 为奇函数，则()()2120f a f a -+≤，即有()()()2211f a f a f a ≤--=-，即有221a a ≤-，解得112a -≤≤．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC ，的模分别为1，1,2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒。
2017届南京市高三数学综合题及答案
南京市2017届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →²BD →＝－12，则AD →²BC →＝ ． 【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →²BD →＝AD →2－23AB →²AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →²BC →＝AD →²(AC →－AB →)＝AD →²(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →²AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12²2πr²l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)， 所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．【答案】{－1＋ 52，1＋52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3， 整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一 因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二 由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ， 即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35． 又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334． 【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ²c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ²c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ²3sin B ＝sin A ²cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ²tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ． 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ， 所以DO ⊥面ABC ．BA1B1C1 MNA又AE⊥面ABC，则AE//DO．又AE⊂/面DBC，DO⊂面DBC，故AE // 面DBC．(2)由（1）知DO⊥面ABC，AB⊂面ABC，所以DO⊥AB．又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，则AB⊥面DBC．因为DC⊂面DBC，所以AB⊥DC．又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂面ABD，则DC⊥面ABD．又AD⊂面ABD，故可得AD⊥DC．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC ＝60o．在面ABC中，AB＝23，BC＝4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．(1)求证：N为AC中点；(2)平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．解 (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．因为AB// A1B1，所以MN//AB，所以CNAN＝CMBM．因为M为AB的中点，所以CNAN＝1，所以N为AC中点．(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC＝60o．在三角形A1AN中，AN＝1，AA1＝2，由余弦定理得A1N＝3，故A1A2＝AN2＋A1N2，从而可得∠A1NA＝90o，即A1N⊥AC．在三角形ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3， 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3． 当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3． 【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3． 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22²23²1＝－(23)2＋1－a 22²23²1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)， 则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3． 方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0． 则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6． （2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6． 答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4． 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ²CE OA2为定值． 解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y 代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 2 1＋4k 2，CE ＝21＋k 2．因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2， 化简得CD ²CE OA 2＝2，所以CD ²CE OA2为定值． 【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)， 若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233， 若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ²k 2＝4y 13(x 1＋2)²y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上， 所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点( 2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0， 可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增； 当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减． 综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)． 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32²3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1， 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12． 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2． 又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1² 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方． （3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。
江苏省南京市2017届高三综合复习数学试题+Word版含解析
．
－(n2－n)2＝4n3． 【说明】考查等差数列前 n 项和． 7．已知椭圆 C：mx2＋y2＝1 (0＜m＜1)，直线 l：y＝x＋1，若椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 6 【答案】( 3 ，1)． 【提示】设 AB 中点 P，由中点弦问题可知 kAB•kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，联立直线 l 与 1 m 1 2 m 2 直线 OP 可得 P( ， )，由点 P 在椭圆内 m( ) ＋( ) ＜1 ， m－1 m－1 m－1 m－1 1 6 得 m∈(0，3)．离心率 e＝ 1－m∈( 3 ，1)． ．
【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系．
11
*8．已知函数 f(x)＝(x－2)3，数列{an}是公差不为 0 的等差数列，若∑ f(ai)＝0，则数列{an}的
i=1
前 11 项和 S11 为 【答案】22
．
【提示】f(x)＝(x－2)3 为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则 f(2＋x)＋f(2－x)＝0．设数列 {an}公差为 d，若 a6＞2，则 f(a6)＞0，f(a5)＋f(a7)＝f(a6－d)＋f(a6＋d)＞f(2－d)＋f(2
1－x2， －1＜x≤1， 10． 已知函数 f(x)是以 4 为周期的函数， 且当－1＜x≤3 时， f(x)＝ 若 1－|x－2|，1＜x≤3． N D M
．
C
t (x －2)， 1－2 0
A
B
函数 y＝f(x)－m|x|恰有 10 个不同零点，则实数 m 的取值范围为
．
1 【答案】(6，8－2 15) 【提示】作出函数 f(x)与 y＝m|x|的图象． 【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置 关系．
江苏省南京市2017届高三年级三模数学卷(不含附加题)解析版
于是有an＝3n－2(n≥2)．……………………………5分
当n＝1时，S1＝－1；
当n≥2时，Sn＝－1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋＝．
所以Sn＝
即Sn＝，n∈N*．…………………………8分
（2）因为an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2p＞0，
则f()的值为▲．
【考点】函数的周期性与奇偶性
【解析】由函数的周期性可得：
有函数的奇偶性可得：
【答案】
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为▲．
【考点】等比数列通项公式、基本不等式的应用
【解析】
【答案】8
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，
【考点】三角函数的图像与性质
【解析】 ， 或 ，
或 ，且
或 ，∴有两个交点
【答案】2
7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是▲．
【考点】双曲线的性质
【解析】∵双曲线的焦距为6，∴ ，根据 得： ，且
解得： （舍）
∴ 构成的集合为
【答案】
8．已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－)|，
设C(x0，y0)，则＋y02＝1．
因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0．
联立消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得x＝x0（舍去）或x＝2y0．
所以点D的坐标为(2y0，x0)．………………………13分
【江苏省南京市、盐城市】2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷(附答案与解析)
南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则AB =__________．2．设复数满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为__________．3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为__________． 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是___________．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为_________．6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则yx 的最小值是__________．7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为__________．8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S =__________．9．将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移ϕ（π02ϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ=_________．10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG △为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是___________．11．在ABC △中，已知AB ，3C π=，则CA CB ⋅的最大值为___________．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线)1y x +上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +△都是等边三角形，则101011A B A △的边长是___________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为_________． 14．在ABC △中，A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若22228a b c ++=，则ABC △面积的最大值为__________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． （1）求证：11B C ∥平面1A DE ； （2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且sin2sin b C c B =． （1）求角C ；（2）若π3sin()35B -=，求sin A 的值． 17．（本小题满分14分）ABC A 1B 1C 1D E 第15题图在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x yE b+=(02)b <<的焦点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值．18．（本小题满分16分）如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角满足3tan 4θ=． （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（本小题满分16分） 设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a ∈R ）． （1）当2a =时，解关于的方程(e )0xg =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求第18题图AD出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈）. 20．（本小题满分16分）若存在常数(,2)k k k ∈≥*N 、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d k a n qa k +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N 则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差．设数列{}n b 为“段比差数列”． （1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3． ①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由． 附加题21．A （选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C ．若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长．21．B （选修4-2：矩阵与变换） 设矩阵223m =-M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值．21．C （选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长．21．D （选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值．P22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E （X ）． 23．（本小题满分10分） 设n ∈*N ，3n ≥，k ∈*N ． （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211k k k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k n n n n n nC C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++．南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷答 案1．{}1- 2．1- 3．12 4．95．56 6．3478．639．5π12 10．411．3212．13．981415．（1）略（2）略16．（1）π3C =（217．（1）22142x y +=（2）12-18．（1）能（2）20AB =米且5AD =米19．（1）0x =或ln2x =-（2）当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞．（3）λ的最小值为0． 20．（1）①6，②[)14,λ∈+∞（2）n b b =或()11n n b b -=-．21．A ．B ．0m =，4λ=-C ．65AB =D ．1622．（1）23（2）5()3E X = 23．（1）①0，②，0，（2）()22254n nn -++南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试卷解 析1．试题分析：{1,0,1}{,0}{1}A B =--∞=-考点：集合运算【方法点睛】集合的基本运算的关注点（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2．试题分析：(1i)21z z i +=⇒=-，所以虚部为 1.- 考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,,)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈(,)a b 、共轭为a bi -． 3．试题分析：由题意得方差为2224312s =⨯= 考点：方差4．试题分析：第一次循环：5,7x y ==，第二次循环：9,y 5x == 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．试题分析：对立事件概率为24116C =，因此所求概率为151.66-= 考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 （1）列举法．（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化． 6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．7．试题分析：双曲线渐近线方程为x y a =±，所以1tan302a c e a =︒⇒==⇒ 考点：双曲线渐近线及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． 8．试题分析：由45621a a a ++=得57a =，所以19959()9632a S a a +=== 考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 9．考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言．函数y ＝Asin （ωx ＋φ），x ∈R 是奇函数⇔φ＝kπ（k ∈Z ）；函数y ＝Asin （ωx ＋φ），x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ＋（k ∈Z ）；函数y ＝Acos （ωx ＋φ），x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋（k ∈Z ）；函数y ＝Acos （ωx ＋φ），x ∈R 是偶函数⇔φ＝kπ（k ∈Z ）． 10．试题分析：1124432O EFG EFG EFG V AB S S -∆∆=⨯⨯=≤⨯⨯= 考点：三棱锥体积【方法点睛】（1）求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法．（2）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 11．考点：余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇．不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．12．试题分析：设)1y x =+与轴交点为P ，则1112223331;112;224;A B A P AB AP A B A P ====+===+=依次类推得101011A B A ∆的边长为92512= 考点：归纳推理 13．考点：导数几何意义，二次函数最值【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．14．试题分析：11sin 22ABCS ab C ∆=== 而222228242ab a b c ab c ≤+=-⇒≤-，所以22ABC S ∆≤=28,5a b c ==时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误． 15．往往需要利用线面垂直判定与性质定理进行多次转化：由直棱柱性质得侧棱垂直于底面：1CC ⊥底面ABC ，再转化为线线垂直1CC DE ⊥；又根据线线平行//DE BC ，将线线垂直BC AC ⊥进行转化DE AC ⊥，再根据线面垂直判定定理得DE ⊥平面11ACC A试题解析：证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ， ．．．．．．．．．．．．．．．2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE ．．．．．．．．．．．．．．．．4分又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11B C ∥平面1A DE ． ．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ， 又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．8分又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥， ．．．．．．．．．．．．．．．10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．12分 又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分） 考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型． （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直． （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．同角三角函数关系求得24cos()1sin ()335B B ππ-=--=，最后代入可得结果试题解析：解：（1）由sin2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =，……2分 因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， ．．．．．．．．．．．．．．．4分 又(0,)C π∈，所以3C π=．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以4cos()35B π-==． ．．．．．．．．．．．．．．．8分 又23A B π+=，即23A B π=-， 所以2sin sin()3A B π=-()()2253113346932n n n b b b n n n -⎡-⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦………12分413525-⨯=．．．．．．．．．．．．．．．14分考点：正弦定理，给值求值 【方法点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．17．试题分析：（Ⅰ）先确定交点位置：在轴上，再根据圆与轴交点得等量关系：c b =；又2a =，所以22b =（Ⅱ）设00(,)T x y ，表示212201y k k x ⋅=-，然后根据直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示中点T 坐标，并利用条件22221m k -=化简：0kx m=-，012k y m k m m =-⋅=，最后代入并利用条件22221m k -=化简得1212k k ⋅=-（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=， 所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-， 所以0kx m=-，012k y m k m m =-⋅=，．．．．．．．．．．．．．．．10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m ⋅=⋅===-----+--． ．．．．．．．．．．．．．．．14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-， 又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，①又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，② 由①②可得02212km x k =-+，0212my k=+． ．．．．．．．．．．．．．．．10分以下同方法一．考点：直线与椭圆位置关系【思路点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．涉及中点弦问题往往利用点差法． 18．222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022rr r =-+=--+≤试题解析：解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H ， 半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+， 即3440x y b +-=，．．．．．．．．．．．．．．．2分9=，解得24b =或32b =（舍）． 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米．所以此时能保证上述采光要求．．．．．．．．．．．．．．．．7分（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为． 方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=r =，解得2b h r =+或2b h r =-（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大． ．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)， 设过点G 的上述太阳光线为，则所在直线方程为y －＝－（x －30）， 即341000x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．10分由直线与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H （r ，h ）在直线的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ．．．．．．．．．．．．．．．13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大． ．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：直线与圆位置关系【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法 （1）几何法：利用d 与r 的关系． （2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．19．试题分析：（Ⅰ）代入化简方程得22()310x xe e -+=，由二次方程解得1x e =或12x e =，再根据指对数关min 2()h x λ≥，利用导数先求函数()()()h x f x g x =⋅最小值：本题难点是最小值点0x 不能解出，只能得到其所在区间，为使λ值能确定最小值，需精确考虑最小值点所在区间，如0(1,)x e ∈细化到3(,2)2试题解析：解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230x xe e +-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ．．．．．．．．．．．．．．．2分 故所求方程的根为0x =或ln2x =-．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x xϕ-=+=++->， 所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ．．．．．．．．．．．．．．．6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >； ④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a-<<． 综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-； 当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞． ．．．．．．．．．．．．．．．10分（3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->， 所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， ．．．．．．．．．．．．．．．12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+， 记函数9()6()r x x x=-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增，．．．．．．．．．．．．．．．14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-， 由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解，．．．．．．．．．．．．．．．12分下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立． 显然当(0,1][3,)x ∈+∞时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立． 即证明2ln 03x x +<-．令2()ln 3m x x x =+-，所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得4x =， ．．．．．．．．．．．．．．．14分当(1,4x ∈，()0m x '>；当(4x ∈，()0m x '<；所以max 21()(4ln(4ln(42)ln 2103m x m +==<--=-<． 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立．综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数最值【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 20．试题解析：（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=．．．．．．．．．．．．．．．．3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，… ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列． ∴201666b b ==．．．．．．．．．．．．．．．．3分②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=⎡++⎤-==⎣⎦， ∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列， 又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++()()2253113346932n n n b b b n n n -⎡-⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．6分133n n S λ-≤⋅，313n n S λ-∴≤，设2ADB π∠=，则()max n c λ≥， 又()()()2221112322913193333n n nn n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<， ∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==，．．．．．．．．．．．．．．．9分∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞．．．．．．．．．．．．．．．．10分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+，易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-，()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+，．．．．．．．．．．．．．．．6分以下同方法一．（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为、n 、d ， 则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=， 当m N *∈时，21k m k m b b d ++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．12分①若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-． ．．．．．．．．．．．．．．．16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为、、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意． …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-． ．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：新定义，分组求和，利用数列单调性求最值 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,,,n n nb n ac n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数的数列，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 21．A ．则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， ．．．．．．．．．．．．．．．4分又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB π∠=， ．．．．．．．．．．．．．．．6分 则在三角形PDB中有BD ===．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：切割线定理21．B ．试题分析：由特征值与对应特征向量关系得 211222 3m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，列出方程组4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，解方程组得0m =，4λ=-．试题解析：解：由题意得 211222 3m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，．．．．．．．．．．．．．．．4分则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，．．．．．．．．．．．．．．．8分 解得0m =，4λ=-．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：特征值与特征向量21．C ．试题解析：解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）化为普通方程为430x y -=， ．．．．．．．．．．．．．．．2分圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，．．．．．．．．．．．．．．．4分则圆C 的圆心到直线l的距离为45d ==， ．．．．．．．．．．．．．．．6分所以65AB ==． ．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理21．D ．试题分析：利用柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，从而有222x y z ++的最小值试题解析：解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤ ．．．．．．．．．．．．．．．5分又因为21x y z ++=，所以22216x y z ++≥， 当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号． 综上，222min 1()6x y z ++=．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：柯西不等式22．布：1~(5,)3X B ，根据二项分布公式5512(),0,1,2,3,4,533k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及()E X np =求概率分布及数学期望试题解析：解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯． ……4分（2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ．．．．．．．．．．．．．．．6分所以X 的概率分布表为：…………8分所以，X 的数学期望为15()533E X =⨯=． ．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：概率分布及数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度． 23．()()()()()()2212212!!11!!2!!k k k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯---()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!(1)!!01!!1!!1!!k n k n n k n k k n k k n k ⋅-⋅=--=------（Ⅱ）利用（Ⅰ）所得结论进行化简：()()2221212k k k k k n n n n nk C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦ 又01232n n n n n n n C C C C C +++++=，代入化简得结果试题解析：解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯---()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----．．．．．．．．．．．．．．．．2分②()()()()()()2212212!!11!!2!!k k k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯---()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯-------- ()()!1102!!11n kk n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212k k k k k n n n n n k C k k C k C kC C +=++=++ ()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．6分故()()2220212212311k n n n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++ ()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++()23nn n n C C C ++++()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++．．．．．．．．．．．．．．．．10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nk kn nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以，得()1223111nk k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++， 两边对求导，得()()()()11221112311n n k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，．．．．．．．．．．．．．．．6分两边再同乘以，得()()()()12122311112311nn k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++，两边再对求导，得()()()()()1212111121nn n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k kn nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++．．．．．．．．．．．．．．．．8分令1x =，得()121221222n n n n n n n n ---++-+()()22212212311k nn n n nC C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，即()()2220212212311k nn n n n nC C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++． …………10分考点：组合数定义及其性质【思路点睛】二项式通项与展开式的应用（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等． （2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法．②可证明整除问题（或求余数）．关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断． ③有关组合式的求值证明，常采用构造法．。
南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案
南京市2017届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡． 参考公式：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U(A ∪B )＝ ▲ ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ． 3．假设复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ▲ ． 4．执行如下图的伪代码，假设输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．如图是甲、乙两名篮球运发动在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定〔方差较小〕的那名运发动的得分的方差为 ▲ ．6．在同一直角坐标系中，函数y =sin(x ＋π3)〔x ∈[0，2π]〕的图-象和直线y =12的交点的个数是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 22m 2－y 23m =1的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是▲ ．7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5甲 乙〔第5题图〕 〔第4题图〕 Read x If x ≥0 Then y ←2x ＋1Else y ←2－x 2End If Print y8．已知f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )=log 4(x －32)，则f (12)的值为 ▲ ．9．假设等比数列{a n }的各项均为正数，且a 3－a 1=2，则a 5的最小值为 ▲ ． 10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3， ∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时， 三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．假设函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2=1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2=1(a 为实数)．假设圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP =30 ，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． 〔1〕求证：EF ∥平面ABD ；〔2〕假设BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．ABCFED〔第15题图〕 ACBA 1B 1C 1D〔第10题图〕已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．〔1〕假设a －b ＝(25，0)，求t 的值；〔2〕假设t ＝1，且a •b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．〔本小题总分值14分〕在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC 及矩形表演台BCDE 四个部分构成〔如图〕．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB ，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE 中，CD ＝10米；三角形水域ABC 的面积为4003平方米．设∠BAC ＝θ．〔1〕求BC 的长〔用含θ的式子表示〕；〔2〕假设表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．〔第17题图〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．〔本小题总分值16分〕已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ，n ∈N *． 〔1〕假设a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值；②求数列{a n }的前n 项和S n ．〔2〕假设数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p 的取值范围．20．〔本小题总分值16分〕已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． 〔1〕求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； 〔2〕假设函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； 〔3〕假设x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．〔第18题图〕南京市2017届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交答复题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，点B 和点C 在直线AE 的两侧． 求证：AB ·AC ＝AD ·AE ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ，X ＝⎣⎡⎦⎤－1 1，且AX ＝⎣⎡⎦⎤12，其中x ，y ∈R ．〔1〕求x ，y 的值；〔2〕假设 B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－8ρcos θ＋15＝0，直线l 的极坐标方程是θ＝π4〔ρ∈R 〕．假设P ，Q 分别为曲线C 与直线l 上的动点，求PQ 的最小值．D ．选修4—5：不等式选讲已知x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ．ABC DE〔第21(A)图〕【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x =－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →=0．设动点P 的轨迹为曲线C ． 〔1〕求曲线C 的方程；〔2〕设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．23．〔本小题总分值10分〕已知数列{a n }共有3n 〔n ∈N *〕项，记f (n )＝a 1＋a 2＋…＋a 3n ．对任意的k ∈N *，1≤k ≤3n ，都有a k∈{0，1}，且对于给定的正整数p (p ≥2)，f (n )是p 的整数倍．把满足上述条件的数列{a n }的个数记为T n ．〔1〕当p ＝2时，求T 2的值；〔2〕当p ＝3时，求证：T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]．南京市2017届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，计70分〕1．{2} 2．38 3． 5 4．1- 5 6．2 7．{32} 8．12 9．8：12201a q =>- 10．13 11．－1＋52：求导 12．3 13．[－65，0] 14．[27，30]12．解：设ACBD O =，OA a =，OB b =，OC c =，OD d =．依题意得()()5b a c d c b d a -+--+-=，22()()5c a b d ---=，2()459c a -=+=． 13．解：当P 为切点时，30OQP ∠≥︒，则2OQ ≤，圆M 上点到点O 的最小距离12OM -≤， 所以22(3)(2)9a a ++≤，化简得2560a a +≤，解得605a -≤≤． 14．解1：令a x c =，b y c =，则28,23 2.x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩直线28x y +=与曲线232x y +=相交于(2,3)A ，(4,2)B 两点．由平面区域可得，当直线38z x y =+过点(2,3)A 时，30z =；当直线38z x y =+与曲线232x y+=相切〔切点为9(3,)4〕时，27z =．解2：令a x c =，b y c =，则28,232,x y x y +≤⎧⎪⎨+≤⎪⎩且3838a b x y c +=+．12338(38)()272x y x y x y +≥++≥，当3x =，94y =时等号成立． 将不等式组中两式相乘得223x y ≤≤，又由232x y +≤得322xx y+≤，有2x ≥． 所以384(2)4830x y x y x x +=+-≤⨯-≤，当2x =，3y =时等号成立．〔自解〕二、解答题〔本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤〕 15．〔本小题总分值14分〕证明：〔1〕因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ． ………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………… 6分 〔2〕因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ． ………………… 8分 因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ． ………………… 10分 又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ． ………………… 12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ． ………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α． …………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75． …………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925． …………………… 7分〔2〕因为t ＝1，且a •b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14． …………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815． …………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分17．〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB ＝3AC ．在△ABC 中，S △ABC ＝12AB •AC •sin θ＝4003，所以AC 2＝800sin θ．…………… 3分由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB •AC •cos θ＝4AC 2－23AC 2 cos θ ＝(4－23cos θ)800sin θ， 即BC ＝(4－23cos θ)•800sin θ＝402－3cos θsin θ．所以BC ＝402－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 7分〔2〕设表演台的总造价为W 万元．因为CD ＝10m ，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W ＝3BC ＝1202－3cos θsin θ，θ∈(0，π)． …………………… 9分记f (θ)＝2－3cos θsin θ，θ∈(0，π)．则f ′(θ)＝3－2cos θsin 2θ． …………………… 11分由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．故f (θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，从而当θ＝π6时，f (θ)取得最小值，最小值为f (π6)＝1．所以W min ＝120(万元)．答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分18．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b2)．所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )．因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2，整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ． …………………… 3分 因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32． …………………… 5分〔2〕方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2． …………………… 9分 直线AD 斜率k 1=y 1x 1－2=－12x 1＋m x 1－2，直线BC 斜率k 2=y 2－1x 2=－12x 2＋m －1x 2，……… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14． ……………………16分方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1．从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12． …………………… 7分设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1．因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0．联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0〔舍去〕或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．………………… 13分所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14． ……………………… 16分19．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1．① 因为 a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2 a 1＋1＝1，a 3＝|1－a 2|＋2 a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2 a 3＋1＝9． ………………………… 3分② 因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ≥1，从而a n ＋1＝|1－a n |＋2 a n ＋1＝a n －1＋2 a n ＋1＝3a n ，于是有 a n ＝3n －2(n ≥2)． ………………………… 5分当n ＝1时，S 1＝－1；当n ≥2时，S n ＝－1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1＋1－3n －11－3＝3n －1－32． 所以11,1,33,2,2n n n S n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 即S n ＝3n －1－32，n ∈N *． ………………………… 8分 〔2〕因为a n ＋1－a n ＝|p －a n |＋a n ＋p ≥p －a n ＋a n ＋p ＝2 p ＞0，所以a n ＋1＞a n ，即{a n }单调递增． ………………………… 10分〔i 〕当a 1 p≥1时，有a 1≥p ，于是a n ≥a 1≥p ， 所以a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ，所以a n ＝3n －1a 1．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，则有2 a s ＝a r ＋a t ， 即2×3s －1＝3r －1＋3t －1． 〔*〕因为s ≤t －1，所以2×3s －1＝23×3s ＜3t －1＜3r －1＋3t －1，即〔*〕不成立． 故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分〔ii 〕当－1＜a 1 p＜1时，有－p ＜a 1＜p ． 此时a 2＝|p －a 1|＋2 a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2 p ＞p ，于是当n ≥2时，a n ≥a 2＞p ，从而a n ＋1＝|p －a n |＋2 a n ＋p ＝a n －p ＋2 a n ＋p ＝3a n ．所以a n ＝3n －2a 2＝3n －2(a 1＋2p ) (n ≥2)．假设{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N *，r ＜s ＜t )依次成等差数列，因2a p ，由〔i 〕可知，r ＝1，于是有2×3s －2(a 1＋2 p )＝a 1＋3t －2(a 1＋2p )．因为2≤s ≤t －1，所以a 1 a 1＋2 p＝2×3s －2－3t －2＝29×3s －13×3t －1＜0． 因为2×3s －2－3t －2是整数，所以a 1 a 1＋2 p≤－1， 于是a 1≤－a 1－2p ，即a 1≤－p ，与－p ＜a 1＜p 相矛盾．故此时数列{a n }中不存在三项依次成等差数列． …………………… 14分〔iii 〕当a 1p≤－1时，则有a 1≤－p ＜p ，a 1＋p ≤0， 于是a 2＝| p －a 1|＋2a 1＋p ＝p －a 1＋2 a 1＋p ＝a 1＋2p ，a 3＝|p －a 2|＋2a 2＋p ＝|p ＋a 1|＋2a 1＋5p ＝－p －a 1＋2a 1＋5p ＝a 1＋4p ，此时有a 1，a 2，a 3成等差数列．综上可知：a 1p≤－1． …………………… 16分20．〔本小题总分值16分〕解：〔1〕因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0．又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0． …………………… 2分〔2〕g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值． …………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增． …………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0．②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0． …………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0．所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分〔3〕g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 假设g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．于是当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立． …………………… 13分当λ＞e 时，由〔2〕知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ． …………………… 16分南京市2017届高三第三次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结BE ．因为AD 是边BC 上的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，所以∠ABE ＝∠ADC ＝90°． …………… 4分又∠AEB ＝∠ACD ， …………… 6分所以△ABE ∽△ADC ， …………… 8分所以AB AD ＝AE AC，即AB ·AC ＝AD ·AE ． …………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：〔1〕AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 x y 2 ⎣⎡⎦⎤－1 1 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －22－y ． …………… 2分 因为AX ＝⎣⎡⎦⎤12，所以⎩⎨⎧x －2＝1，2－y ＝2，解得x ＝3，y ＝0． …………… 4分 〔2〕由〔1〕知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ，又B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2 ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4． …………… 6分 设(AB )－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 40 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋4c 2b ＋4d 4c 4d ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ． …………… 8分 所以 ⎩⎨⎧2a ＋4c ＝1，4c ＝0，2b ＋4d ＝0，4d ＝1，解得a ＝12，b ＝－12，c ＝0，d ＝14， 即(AB )－1＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －120 14． …………… 10分 〔说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构〕C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0， AB CD E 〔第21(A)图〕即(x －4)2+y 2＝1，所以曲线C 是以(4，0)为圆心，1为半径的圆． …………… 3分直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，即x －y ＝0． …………… 6分因为圆心(4，0)到直线l 的距离d ＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分 所以直线l 与圆相离，从而PQ 的最小值为d －1＝22－1． …………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞0，所以x 3＋2＝x 3＋1＋1≥33x 3×1×1＝3x ，当且仅当x 3＝1，即x ＝1时取“＝”． …………… 4分因为y 2＋1－2y ＝(y －1)2≥0，所以y 2＋1≥2y ，当且仅当y ＝1时取“＝”． …………… 8分所以(x 3＋2)＋(y 2＋1)≥3x ＋2y ，即x 3＋y 2＋3≥3x ＋2y ，当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． …………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以ST →＝(4，－y )．因为OP →＝(x ，y )，OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分〔2〕因为直线PQ 过点(1，0)，故可设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． ……………… 10分23．〔本小题总分值10分〕解：〔1〕由题意，当n ＝2时，数列{a n }共有6项．要使得f (2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T 2＝C 06＋C 26＋C 46＋C 66＝25＝32． ………………… 3分〔2〕T n ＝C 03n ＋C 33n ＋C 63n ＋…＋C 3n 3n ． ………………… 4分当1≤k ≤n ，k ∈N *时，C 3k 3n ＋3＝C 3k 3n ＋2＋C 3k －13n ＋2＝C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －13n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2C 3k －13n ＋1＋C 3k 3n ＋1＋C 3k －23n ＋1＝2 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k －13n ＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ＋C 3k －23n＝3 (C 3k －13n ＋C 3k －23n )＋C 3k 3n ＋C 3k －33n ， ………………… 6分于是T n ＋1＝C 03n ＋3＋C 33n ＋3＋C 63n ＋3＋…＋C 3n ＋33n ＋3＝C 03n ＋3＋C 3n ＋33n ＋3＋3(C 13n ＋C 23n ＋C 43n ＋C 53n ＋…＋C 3n －23n ＋C 3n －13n )＋T n －C 03n ＋T n －C 3n 3n＝2T n ＋3(23n －T n )＝3×8n －T n ． ………………… 8分下面用数学归纳法证明T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． 当n ＝1时，T 1＝C 03＋C 33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n ＝1时，命题成立． 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即T k ＝13[8k ＋2(－1)k ]． 则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝3×8k －T k ＝3×8k －13[8k ＋2(－1)k ]＝13[9×8k －8k －2(－1)k ]＝13[8k ＋1＋2(－1)k ＋1]， 即n ＝k ＋1时，命题也成立．于是当n ∈N *，有T n ＝13[8n ＋2(－1)n ]． ………………… 10分。
2020届江苏省南京市2017级高三上学期期初联考数学试卷及解析
2020届江苏省南京市2017级高三上学期期初联考数学试卷★祝考试顺利★一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤ 【解析】 【分析】根据交集定义直接求得结果.【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 2.已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2．3.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200. 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：2004.现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______．【答案】13.【解析】 【分析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：135.函数21log y x +的定义域为______．【答案】1[,)2+∞【解析】 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由21log 0x +≥，得12x ≥， ∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.6.运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17 【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=177.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一45C 的方程为_______． 【答案】2212016x y -=. 【解析】 【分析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程.【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-=∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a±=+，解得：220a = ∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=8.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32.【解析】 【分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ== 本题正确结果：329.函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3. 【解析】 【分析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：310.在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14.【解析】 【分析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q -=++=和2311a a q ==可构造方程求得q ，代入求得结果.【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=Q ，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q = 114a ∴=本题正确结果：1411.已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】(0，1). 【解析】 【分析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x Q 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m -+-<得：()()()22111f m f m f m -<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,112.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______．【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=o Q ，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==o，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y +=Q 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v ，则ABAD=_______．3【解析】 【分析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD uuu v ，AB u u u v表示出CD uuu v ，FA u u u v ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD =u u u v u u u v ，从而得到结果.【详解】作//FG AD ，交BD 于点GAED FEG ∆∆Q : GF EG AD DE ∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+== 又23BC AD =，可得：2DE EG = 3344DF DG EG DC DB EG ∴=== 2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB =++=++=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v Q()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22133********2FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v又2AB AD FA CD ⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 223122AB AD ∴=u u u v u u u v ，即223122AB AD =u u uv u u u v 3AB AB AD AD ∴==u u u v u u u v 314.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是________. 【答案】[32ln 2,)-+∞ 【解析】 【分析】首先可根据题意得出12x x 、不可能同时大于1，然后令121x x <<，根据()()122f x f x +=即可得出122212ln x x x x +=-+，最后通过构造函数()()12ln 1g x x x x =-+>以及对函数()()12ln 1g x x x x =-+>的性质进行分析即可得出结果。
江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习第二层次专题
专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级 姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为 ．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是 ． 答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12． 二、方法联想1．椭圆上一个点问题（1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解．（2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 AB ＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k 2｜y 1－y 2｜．方法3 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法4 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)． 注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上． 答案：（1）椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（2）略．〖教学建议〗 一、主要问题归类与方法：12．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径． 3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程． 二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M ，N 的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T 的坐标（x ，y ），利用两条直线方程，把M 或N 点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x ，y 的方程．本题解法二的计算量相对小一点． 例2 如图，A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若椭圆C 的离心率为12，且右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标．答案：（1）椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1． （2）R 点的坐标为（－12，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．k MA k MB ＝－b 2a 2．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系． 二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)． ②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22x ＋1 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：（1）椭圆的基本量计算．（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：（1）问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．（2）问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标． 或将3MA →·MC →＝4MB →·MD →转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k 2＋1)x B x D ．四、反馈练习1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________. 答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是________. 答案：x 24－y 25＝1（考查：双曲线中的基本量的计算）6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________.答案：32（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)10．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________． 答案：x 2－y 23＝1（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x .（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程． 答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点）13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程． 答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2.（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。
江苏省南京市2017届高三三模数学试卷(含解析)
2017年江苏省南京市高考数学三模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={3，4}，则∁U（A∪B）= ．2．甲盒子中有编号分别为1，2的两个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的四个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为．3．若复数z满足，其中i为虚数单位，为复数z的共轭复数，则复数z的模为．4．执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．6．在同一直角坐标系中，函数的图象和直线y=的交点的个数是．7．在平面直角坐标系xoy中，双曲线的焦距为6，则所有满足条件的实数m 构成的集合是．8．已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．9．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a3﹣a1=2，则a5的最小值为．10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D﹣ABC1的体积为．11．函数f（x）=e x（﹣x2+2x+a）在区间[a，a+1]上单调递增，则实数a的最大值为．12．在凸四边形ABCD中，BD=2，且，，则四边形ABCD 的面积为．13．在平面直角坐标系xoy中，圆O：x2+y2=1，圆M：（x+a+1）2+（y﹣2a）2=1（a为实数）．若圆O和圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP=30°，则a的取值范围为．14．已知a，b，c为正实数，且，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平ABD面；（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．16．（14分）已知向量为实数．。
高中数学微专题666第1题(解三角形)
第1题：（江苏省南京市2017届高三综合复习数学试题）在中，角所对的边分别为，且不是最大边，若，则的最小值是________.解析：本题可分为两个步骤：一是对于的处理，可通过正、余弦定理进行转化；二是对于的处理，可通过函数或者不等式解决.首先对进行处理.由可得，而不是最大边，故.思路一：利用余弦定理处理平方项根据余弦定理有，即.由正弦定理得.而三角形中有，展开代入，所以.两边同时除以，则有.思路二：利用正弦定理化为角根据正弦定理将边化为角，可得，利用正弦的“平方差公式”，可得，而三角形中，，所以，展开得.两边同时除以，则有.思路三：利用正弦定理化为角根据正弦定理将边化为角，可得，利用二倍角公式降幂处理，则有，化简得，利用和差化积公式，可得，同上可得.思路四：利用正弦定理化为角根据正弦定理将边化为角，可得移项变形得，两边同时除以，得，而，则有，从而得.感悟反思：先处理，一是由平方项及其结构特点容易联想到余弦定理，代入化简之后相对简单明了.二是直接利用正弦定理化为角处理，之后用到正弦的“平方差公式”.该公式很多人可能不是很熟悉，但它其实是书本上的一个习题，来自苏教版必修四《两角和与差的正弦》章节（其他版本教材不太清楚）.若不用该结论的话，可能往下推导会稍微复杂，最终都能得出与的关系.接下来对进行处理.思路一：消元，构造函数求导由得，令，则，所以.思路二：消元，利用基本不等式当且仅当时等号成立，所以的最小值为.思路三：常值代换，进行齐次化消元当且仅当时等号成立，所以的最小值为.感悟反思：求的最小值，消元是一个最直接的想法.而化简后的结果为“二次除以一次”的形式，之后再构造函数进行求导，或者配凑基本不等式的结构，都是常见的处理方式. 这里值得注意的是，可以利用常值代换进行处理，实际上其结构与“已知，求的最小值”等类型是一致的.再者本质上，所求的问题可以看成是“一次”的，而原先得到的条件是“负一次”，两个齐次式相乘之后必能构造出关于这一整体的式子，进而也达到了消元的目的.总评：这道题目不算难题，却是一个较为综合的题目，无论是三角部分的化简，还是最值的求法，都是比较典型的形式，能够从多维度考虑问题，很能考验学生的基本功.中数学微专题666.相似题1.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是________. 答案：.2.在锐角中，角的对边分别为，若，则的取值范围是________. 答案：.。
南京市2017届高三年级三模数学卷
（第 5 题图）
6 ．在同一直角坐标系中，函数 y ＝ sin(x ＋ ▲ ．
π 1 ) （ x ∈ [0 ， 2 π ] ）的图象和直线 y ＝ 的交点的个数是 3 2
x2 y2 7．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2－ ＝1 的焦距为 6，则所有满足条件的实数 m 构成的集合是 2m 3m ▲ ．
为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30，则 a 的取值范围为
▲
．
3a＋8b 2 3 2 14 ．（ 2017 南京三模）已知 a ， b ， c 为正实数，且 a ＋ 2b≤8c ， ＋ ≤ ，则 的取值范围为 a b c c ▲ ．
15． （2017 南京三模） （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 A－BCD 中，E，F 分别为棱 BC，CDA 上的点， 且 BD∥平面 AEF． （1）求证：EF∥平面 ABD； （2）若 BD⊥CD，AE⊥平面 BCD，求证：平面 AEF⊥平面 ACD．
3 8 ．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数．当 x ∈ [ 2 ， 4 ] 时， f ( x ) ＝ | log 4 ( x － ) | ， 2 A
1
C1
1 则 f( )的值为 2
▲
． ▲ ．
B1
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且 a3－a1＝2，则 a5 的最小值为
－ －
▲
．
4．执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1， 则输入 x 的值为 ▲ ．
Read x If x≥0 Then y←2x＋1 Else y← 2－x2 End If Print y
江苏省南京市第三中学高三高考热身试卷一(2017-05-26)数学试题(精品解析)
2017届江苏南京三中高考热身数学试卷一（2017-05-26）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1.设全集，若集合，则＝______．【答案】【解析】全集，，=,故填2.已知（，i为虚数单位），则_____．【答案】1【解析】由，得，得，，所以,故填1.3.式子的化简结果为______．【答案】【解析】,故填.4.袋子中有大小、质地相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得10分，摸出黑球，得5分，则3次摸球所得总分至少是25分的概率是___．【答案】【解析】一共有8种不同的结果,列举如下:(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑), (黑,黑,红),(黑,黑,黑),其中总分至少是25分的有(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红)共4种,所以所求概率为,故填.点睛:具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为______．【答案】6.8【解析】根据茎叶图的数据,计算甲的平均数为乙的平均数为根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小,较为稳定,即方差较小,计算乙成绩的方差为,故填6.8.6.若满足约束条件，则目标函数的最大值是______．【答案】6【解析】画出可行域可知，当目标函数过点时，有最大值为,故填6.点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.7.已知双曲线的离心率为2，则实数的值是_________．【答案】【解析】，，所以，由，得，,故填.8.已知函数，的值域为，则实数的取值范围为____．【答案】【解析】因为,所以,由正弦函数图像可知,,所以的取值范围为.9.设等差数列{a n}的公差不为0，若，且与的等比中项为，则=______．【答案】4【解析】由，得，因为，所以，由，得，因为，所以,故填4.10.在三棱柱P－ABC中， PA＝，PB＝，PC＝2，且PA，PB，PC两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是______．【答案】【解析】三棱锥外接球的半径为，所以其外接球的体积为,故填.11.若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以；由，得，所以，又当时，单调递增，从而在上单调递增，所以有,故填12.已知，，且，若点P满足，则的取值范围为______．【答案】【解析】因为，由，得,故填13.若不等式对任意的恒成立，则实数x的取值集合为________．【答案】【解析】画图可知，函数和函数连续在轴右边有相同的零点，令，得，代入中，得，或，注意到，所以实数的取值集合为,故填.14.设，，则的最小值为______．【答案】【解析】；当且仅当，，，时等号成立,故填24.点睛:本题考查基本不等式的应用,属于中档题目. 解此类题目的两个技巧: (1)创设运用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式，其目的在于使等号能够成立．(2)既要记住基本不等式的原始形式，而且还要掌握它的变形形式及公式的逆用等，例如：，(a>0，b>0)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，其中.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】(1)或;(2).【解析】试题分析:（1）由，得，代入坐标计算,根据，解出值;（2）由，得，代入坐标计算即可.试题解析:（1）由，得，即，即，因为，所以，所以或，解得或．（2），由，得，即，整理得，因为，所以，等式两边同时除以得，，即，解得或，因为，所以．16.如下图在，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，；（1）求证：平面平面；（2）若过点的直线垂直平面，求证：//平面.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:（1）根据，侧面底面，可得平面，又平面, 所以平面平面;（2）由，可得平面．试题解析:（1）证明：因为为矩形，所以，侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知，平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．点睛:本题给出了特殊的四棱锥,求证线面平行和面面垂直,着重考查了空间平行,垂直的位置关系的判断与证明,属于中档题.线面平行一般利用线线平行推得,即线面平行的判定定理,也可根据面面平行得到;面面垂直的证明主要是利用面面垂直的判定定理证明,或者两个平面所成的二面角的平面角为直角.17.某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t分钟内投放净化剂的路径长度(单位：m)，净化剂净化水体的宽度(单位：m)是时间t(单位：分钟)的函数:(由单位时间投放的净化剂数量确定，设为常数，且).（1）试写出投放净化剂的第t分钟内净化水体面积的表达式；（2）求的最小值.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析:（1）根据题意去掉绝对值写出分段函数的表达式;（2）当40≤t≤60且t∈N*时，S(t)=在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．当1≤t＜40且t∈N*时，S(t)=≥100+a2+20a；①若a=1或2或3时S(t)在1≤t＜40范围中有最小值a2+2a+100．在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120．当a=1时，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；当a=2或a=3时，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．②若a≥4且1≤t＜40时，S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+，S(t)在1≤t≤60时单调递减．当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．试题解析:（1）由题意，.（2）当40≤t≤60且t∈N*时，S(t)= ，当t增加时减少，所以S(t)在40≤t≤60时单调递减；当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．当1≤t＜40且t∈N*时，S(t)= ≥100+a2+20a；①若a=1或2或3时；当t=10a时，上述不等式中的等号成立，S(t)在1≤t＜40范围中有最小值a2+2a +100．又在40≤t≤60时S(t)有最小值2a2+120．当a=1时，100+a2+20a=121＜122=2a2+120，故S(t)有最小值121；当a=2或a=3时，100+a2+20a＞2a2+120，故S(t)有最小值2a2+120．②若a≥4且1≤t＜40时，因为≤0，所以S(t+1)=100+a2+t+1+≤S(t)=100+a2+t+，故S(t)在1≤t≤40中单调递减；又S(t)在40≤t≤60时单调递减，所以S(t)在1≤t≤60时单调递减．所以，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．综上，若a=1，当t=10时，S(t)有最小值121；即第10天的销售额最少，为121千元．若a≥4且a∈N*，当t=60时，S(t)有最小值2a2+120．18.如图，已知椭圆C：，点A,B分别是左、右顶点，过右焦点F的直线MN（异于x轴）交于椭圆C于M、N两点.（1）若椭圆C过点，且右准线方程为，求椭圆C的方程；（2）若直线BN的斜率是直线AM斜率的2倍，求椭圆C的离心率.【答案】(1)或;(2).【解析】试题分析:（1）根据曲线上的点和右准线方程写出椭圆方程;（2）设，，则，，；因为点在椭圆上，所以，所以，联立方程消元,根据韦达定理可得，又,进而求得离心率.试题解析:（1）因为椭圆过点，所以，又已知右准线方程为，所以，，可解得，；或，；所以椭圆的方程为或．（2）设，，则，，；因为点在椭圆上，所以，所以，设直线：，与椭圆：联立方程组消去得，，将，代入上式化简得，又；所以，得，即，解得或，又，所以，即椭圆的离心率为．点睛:本题考查直线与抛物线的位置关系的问题,其中过焦点的最短弦长为通径. 直线与圆锥曲线的位置关系从几何角度看：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合.若，设.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离.19.已知数列和满足：.（1）若，求数列的通项公式；（2）若.求证：数列为等差数列；记数列的前项和为，求满足的所有正整数和的值.【答案】(1) ;(2) ，．【解析】试题分析:（1）当时，有，得，构造数列是首项为，公比为的等比数列；所以，即，所以（）;（2）①当时，有（），按照n被4整除的余数分四类分别证明数列为等差数列;②由①知，，则（）；由，得；按照,和时分别讨论,求出正整数和.试题解析:（1）当时，有，得，令，，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列；所以，即，所以（）．（2）①当时，有（），（）时，，所以为等差数列；（）；（）时，，所以为等差数列；（）；（）时，，所以为等差数列；（）；（）时，，所以为等差数列；（）；所以（），，所以数列为等差数列．②由①知，，则（）；由，得；当时，；当时，则，因为，所以；从而，因为和为正整数，所以不存在正整数；当时，则，因为为正整数，所以，从而，即，因为为正整数，所以或；当时，，不是正整数；当时，，不是正整数；综上，满足题意的所有正整数和分别为，．20.已知函数在点处的切线方程为，（其中为常数）.（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：（其中e为自然对数的底数）.【答案】(1) ;(2) ;(3)详见解析.【解析】试题分析:（1）对函数求导根据点斜式求出切线方程;（2）构造新函数，则有在上恒成立；对函数求导分类讨论函数的单调性,求出参数范围;（3）令，求导可得取得最小值；构造，取得最小值；当时，，得证.试题解析:（ ），，得；又由，得，所以．（2）对任意，不等式恒成立；等价于对任意，不等式恒成立；令，则有在上恒成立；；若，当时，，所以在上单调递增，所以，当时，；若，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，与题意矛盾；综上，实数的取值范围为．（3）令，；令，解得；令，解得；∴在上单调递减；在上单调递增；故当时，取得最小值；，，令，解得；令，解得；所以在上单调递减；在上单调递增；故当时，取得最小值；所以，当时，，即，当且仅当时，等号成立．。
江苏省南京市2017届高三上学期学情调研数学试题解析02(解析版)含解斩
一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1。
已知集合{0,1,2}A=,2=-≤，则A B=.B x x x{|0}【答案】｛0,1}【解析】试题分析:2=-≤=,A B=｛0，1｝111］{|0}[0,1]B x x x考点：集合运算【方法点睛】1。
用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．12.设复数满足()34+=-+(为虚数单位），则的模z i i i为.【答案】25考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如a bi c di ac bd ad bc i a b c d R。
其次要熟悉复数相()()()(),(,,.)++=-++∈关基本概念，如复数(,)a bi ab R的实部为、虚部为、模+∈为22+a b、对应点为(,)a b、共轭为.-a bi3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速,所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间[40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.⨯+⨯= 1考点：频率分布直方图4。
若函数()sin()6f x x πω=+(0)ω>的最小正周期为π，则()3f π的值是 。
【答案】12考点:三角函数周期【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式（1）max min maxmin ,22y y y y A B -+==。
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10 个不同零点，则实数 m 的取值范围为 1 【答案】( ，8－2 15) 6 【提示】作出函数 f(x)与 y＝m|x|的图象．
2 2
．
【说明】考查等差数列前 n 项和． 7．已知椭圆 C：mx2＋y2＝1 (0＜m＜1)，直线 l：y＝x＋1，若椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称， 则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 【答案】( 6 ，1)． 3 ．
1 【提示】设 AB 中点 P，由中点弦问题可知 kAB•kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，联立直线 l 与直线 OP 可得 P( ， m－1 m 1 2 m 2 )，由点 P 在椭圆内 m( ) ＋( ) ＜1， m－1 m－1 m－1 1 6 得 m∈(0， )．离心率 e＝ 1－m∈( ，1)． 3 3 【说明】考查点关于直线对称问题的处理方法及椭圆中点弦问题、点与椭圆位置关系．
11 i=1 11 i=1
f(a1)＋f(a11)＞0，则∑f(ai)＞0；同理，若 a6＜2，则∑f(ai)＜0，所以 a6＝2．所以 S11＝11a6＝22． 【说明】考查函数的性质及等差数列的运算． *9．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90° ，AB＝2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点（不包括端 1 3 → → → 点） ，若 AC ＝λAM＋μ AN ，则 ＋ 的最小值为 λ μ 27 【答案】 ： 4 【提示】 ：以 AB 为 x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系， 1 设 B(2，0)，C(1，t)，M( ，t)，N(x0，y0)， 2 t 因为 N 在线段 BC 上，所以 y0＝ (x －2)， 1－2 0 即 y0＝t(2－x0)，
．
【说明】考查函数的零点，利用分段函数的性质与图象数形结合，分析两个函数图象的位置关系．
*11．已知 a＞0，函数 f (x)＝(a＋1)x2－x＋sinx＋a－2，x∈R．记函数 f(x)的值域为 M，函数 f (f (x))的值域为 N，若 M⊆N，则 a 的最大值是_________． 【答案】2 【提示】f′(x)＝2(a＋1)x－1＋cosx，[f′(x)]′＝2(a＋1)－sinx＞0 恒成立， 于是 f′(x)单调递增，又 f′(0)＝0， 所以当 x＜0 时，f′(x)＜0；当 x＞0 时，f′(x)＞0； 即 f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 所以 f (x)的最小值为 f (0)＝a－2，于是 f (x)值域为[a－2，＋∞)． 若 a－2≤0，则 f (f (x))的值域为[f (0)，＋∞)，即[a－2，＋∞)，此时 M⊆N 成立； 若 a－2＞0，则 f (f (x))的值域为[f (a－2)，＋∞)， 因为 f (a－2)＞f (0)＝a－2，故此时有[f (a－2)，＋∞) [a－2，＋∞)，即 N M，不合题意． 因此 0＜a≤2，所以 a 的最大值是 2． 【说明】这里需要注意的是遇到 f (f (x))的问题，要能分级处理，即先研究内层函数 f (x)，再把内层函数 f (x)看作一 个整体，然后研究 f (f (x))，另外本题还要注意简单的分类讨论． a2 *12．已知函数 f(x)＝－xlnx＋ax 在(0，e)上是增函数，函数 g(x)＝|ex－a|＋ ，当 x∈[0，ln3]时，函数 g(x)的最大 2 3 值 M 与最小值 m 的差为 ，则 a 的值为 2 5 【答案】 2 【提示】由 f (x)＝－(lnx＋1)＋a≥0 在(0，e)上恒成立，即 a≥lnx＋1，得 a≥2．当 2≤a＜3，g(x)＝ ．
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3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a 不是最大边，已知 a2－b2＝2bcsinA， 则 tanA－9tanB 的最小值为________ ▲ ． 【答案】－2． 【提示】由余弦定理，a2＝b22bccosA＝2bcsinA， 即 c－2bcosA＝2bsinA，再由正弦定理，得 sinC－2sinBcosA＝2sinBsinA， 即 sin(A＋B)－2sinBcosA＝2sinBsinA，即 sinAcosB－cosAsinB＝2sinAsinB， 所以 tanA－tanB＝2tanAtanB． tanA 9tanA 所以 tanB＝ ，所以 tanA－9tanB＝tanA－ 2tanA＋1 2tanA＋1 1 9 ＝ (2tanA＋1)＋ －5≥2 2 2(2tanA＋1) 1 9 (2tanA＋1)× －5＝－2． 2 2(2tanA＋1)
2017 届高三数学综合题
一、填空题 1．如图正△ABC 的边长为 2，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别为边 AC 与 BC 的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折，使 平面 ADC⊥平面 DCB，则棱锥 E－DFC 的体积为 ．
A E D F C B D F A E C
【答案】
3 ． 24
B
1 1 3 3 1 1 【提示】S△DFC＝ S△ABC＝ ×( ×22)＝ ，E 到面 DFC 的距离 h 等于 AD＝ ． 4 4 4 4 2 2 1 3 VE－DFC＝ ×S△DFC×h＝ ． 3 24 【说明】平面图象的翻折，多面体的体积计算． π π π 2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋ )－cosωx (ω＞0)．若函数 f(x)的图象关于直线 x＝2π 对称，且在区间[－ ， ]上是单调 6 4 4 函数，则 ω 的取值集合为 1 5 4 【答案】{ ， ， }． 3 6 3 π 【提示】f(x)＝sin(ωx－ )，因为 f(x)的图象关于直线 x＝2π 对称， 6 π π k 1 所以 f(2π)＝±1，则 2πω－ ＝kπ＋ ，所以 ω＝ ＋ ，k∈Z． 6 2 2 3 π π π π 因为函数 f(x)在区间[－ ， ]上是单调函数，所以周期 T≥2[ ―(― )]， 4 4 4 4 2π 1 5 4 11 即 ≥π，解得 0＜ω≤2，所以 ω＝ 或 ω＝ 或 ω＝ 或 ω＝ ． ω 3 6 3 6 1 1 π π π 1 π π π π π 当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x－ )，x∈[－ ， ]时， x－ ∈[－ ，－ ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上为增函数； 3 3 6 4 4 3 6 4 12 4 4 5 5 π π π 5 π 3π π 当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x－ )，x∈[－ ， ]时， x－ ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间 6 6 6 4 4 6 6 8 24 π π [－ ， ]上为增函数； 4 4 4 4 π π π 4 π π π 当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x－ )，x∈[－ ， ]时， x－ ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间 3 3 6 4 4 3 6 2 6 π π [－ ， ]上为增函数； 4 4 11 11 π π π 11 π 5π 7π π π 当 ω＝ 时，f(x)＝sin( x－ )，x∈[－ ， ]时， x－ ∈[－ ， ]，此时 f(x)在区间[－ ， ]上不是单调 6 6 6 4 4 6 6 8 24 4 4 函数； 1 5 4 综上：ω∈{ ， ， }． 3 6 3 【说明】考查两角和差公式及三角函数的图象与性质． ．
11
*8．已知函数 f(x)＝(x－2) ，数列{an}是公差不为 0 的等差数列，若∑f(ai)＝0，则数列{an}的前 11 项和 S11 为
3 i=1
．
【答案】22 【提示】f(x)＝(x－2)3 为增函数，且关于点(2，0)中心对称，则 f(2＋x)＋f(2－x)＝0．设数列{an}公差为 d，若 a6＞2， 则 f(a6)＞0， f(a5)＋f(a7)＝f(a6－d)＋f(a6＋d)＞f(2－d)＋f(2＋d)＝0， 即 f(a5)＋f(a7)＞0， 同理， f(a4)＋f(a8)＞0， „，
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【说明】本题应该是通过①，②联立方程组，把 P 的坐标用 t 表示出来，从而可以建立 P 到直线 2x＋y－10＝0 距 离关于 t 的函数，再求函数的最大值即可．但是实际操作时，要注意观察，把①，②联立方程组后很容易 消去 t，得到 x0，y0 之间的关系，也即得到点 P 所在的曲线，进而求出距离的最大值，注意从形到数，再 从数到形之间的转换． 6．数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第 k 组有 2k 项的要求进行分组： （1，3） ， （5，7，9，11） ， （13，15，17，19，21，23） ，„，则第 n 组中各数的和为 【答案】4n3 【提示】设数列{an}前 n 项和为 Sn，则 Sn＝n2，因为 2＋4＋„＋2n＝n( n＋1)＝n2＋n，2＋4＋„＋2( n－1)＝n( n－ 1)＝n2－n．所以第 n 组中各数的和＝Sn ＋n－Sn －n＝( n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3．
1 9 （当且仅当 (2tanA＋1)＝ ，即 tanA＝1 时取“＝”）． 2 2(2tanA＋1) 【说明】本题考查正弦定理、余弦定理、三角变换及基本不等式． 16 4．在平面直角坐标系 xOy 中，M 为圆 C：(x－a)2＋(y－1)2＝ 上任意一点，N 为直线 l：ax＋y＋3＝0 上任意一点， 9 若以 M 为圆心，MN 为半径的圆与圆 C 至多有一个公共点，则正数 a 的最小值为_________． 【答案】2 2 【提示】因为圆 M 与圆 C 至多有一个公共点， 4 4 4 8 所以 MC≤|MN－ |，即|MN－ |≥ ，解得 MN≥ ， 3 3 3 3 a2＋4 4 4 8 又 MN 的最小值为 2 － ，所以有 2 － ≥ ， 3 a ＋1 a ＋1 3 3 解得 a≥2 2，所以正数 a 的最小值为 2 2． 8 【说明】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，求解时先要能根据两圆的位置关系，确定 MN≥ ，由 3 8 于 M，N 两点均是任意的，于是只要保证 MN 的最小值不小于 即可． 3 5．在平面直角坐标系 xOy 中，M 为直线 x＝3 上一动点，以 M 为圆心的圆记为圆 M，若圆 M 截 x 轴所得的弦长恒 为 4．过点 O 作圆 M 的一条切线，切点为 P，则点 P 到直线 2x＋y－10＝0 距离的最大值为_____． 【答案】3 5 【提示】设 M(3，t)，P(x0，y0)， → → 因为 OP⊥PM，所以 OP · PM ＝0，可得 x02＋y02－3x0－ty0＝0 ① 又圆 M 截 x 轴所得的弦长为 4， 所以 4＋t2＝(x0－3)2＋(y0－t)2，整理得 x02＋y02－6x0－2ty0＋5＝0 ② 由①②得 x02＋y02＝5，即点 P 在圆 x2＋y2＝5 上， 于是 P 到直线 2x＋y－10＝0 距离的最大值为 10 ＋ 5＝3 5． 5 a2＋4