【精品】2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二上期末数学(理)试题(解析版)
【解析】如图所示，先通过已知求出 ,再根据二面角求出 ，再解直角三角形求出外接球半径，即得解.
【详解】
如图所示，点E为AD的中点，连接PE,则PE⊥AD,设矩形ABCD的中心为 ,四棱锥的外接球的球心为O,由题得球心O在过点 且与平面ABCD垂直的直线上，
由题得O-PAD为正三棱锥，所以点O在底面△PAD的射影为底面△PAD的重心 ，
（1）当 时， ；当 时， ；
,
所以曲线C的直角坐标方程为 .
（2）将 代入 得 ，
∴ ，∴ ，
所以 ，∴ ， ，∴ .
【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 的中点， ．
①方程必有实数解；
②当 时，方程有且只有一个实根；
③若方程存在两个不同的实根 和 ，则有 ．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】
①,当k=0时，原方程为 ，所以原方程无实数解，所以该命题错误；
②，当 时，原命题等价于函数 与函数 的图象有且只有一个交点，两函数的图象如图所示，它们的图象有且只有一个交点，所以该命题正确；
【详解】
由题意可得 ， 的中点为 ， ，
直线 的斜率为 ，可得 的垂直平分线的斜率为 ，
即直线 的垂直平分线方程为 ，即为 ．
由双曲线 上存在点 满足 ，
可得 的垂直平分线与双曲线有交点，
由双曲线的渐近线方程为 ，
即有 ，即 ，可得 ，
可得 ，
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的范围的求法，以及线段的垂直平分线方程的求法，注意运用渐近线的斜率与直线的斜率的关系．
重庆市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试卷
秘密★启用前重庆市2018-2019上半期考试高二数 学 试 题 卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1.直线0183=++y x 的倾斜角为（ ） A .65π B.32π C.3π D.6π 2.直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则=a （ ）A .1 B.3 D.23.若双曲线17222=-y ax 的焦距为8，则该双曲线的实轴长为（ ）A. 3B.C.6D.4.若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线1l ：07=-+y x 和2l ：05=-+y x 上移动，则AB 中点M 到原点距离的最小值为（ ）A ．23 B ．32 C ．33 D ．245.与双曲线14:22=-y x C 有相同的渐近线且过点)4,2(-M 的双曲线的标准方程为（ ）A.1422=-y xB.1422=-x yC.11622=-y xD.12822=-x y6．已知点()()2,3,3,2A B --，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A.34k ≥B.324k ≤≤ C.2k ≥或34k ≤ D.2k ≤ 7.已知21,F F 是椭圆2221(3)9x y a a +=>的左、右焦点，P 为椭圆上一点且 12021=∠PF F ，则21PF PF ⋅的值为（ ）A.18B.36C.D. 与a 的取值有关 8. 已知两圆9)4(:,9)4(:222221=+-=++y x C y x C ，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（ ）A.)3(19722≥=-x x yB. 17922=-x yC. 19722=-y xD.)3(17922≥=-x y x 9.已知点)62,2(A ，过抛物线x y 42=上的动点M 作21-=x 的垂线，垂足为N ，则MA MN +的最小值为（ ） A ．216 B.215 C.214 D.2162-10. 已知圆O ：1622=+y x 和点)22,1(M ,过点M 的圆的两条弦AC,BD 互相垂直，则四边形ABCD 面积的最大值（ ） A.304 B.23 C.23 D.2511.已知抛物线x y 20182=，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC ∆三条边AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,，且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y .若直线AC BC AB ,,都存在斜率且它们的斜率之和为1-，则313221321y y y y y y y y y ++的值为（ ）A ．1009- B.20181-C.10091- D.2018- 12.已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，点P 在双曲线C 右支上，2PF -+，又直线0343:=-+c y x l 与双曲线C 的左、右两支各交于一点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）．A.5)4B.5)4C.5(4D.5(4 二、填空题.（共4小题，每小题5分，共20分） 13、抛物线28x y -=的焦点坐标14. 已知直线12:3250,:(31)20l x ay l a x ay +-=---=，若12//l l ，则a 的值为15.过双曲线1251622=-y x 的左焦点1F 引圆1622=+y x 的切线，切点为T ，延长T F 1交双曲线右支于P 点. 设M 为线段P F 1的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=_________. 16.若关于x 的方程12222+=--kx k x 仅有唯一解，则实数k 的取值范围是_______ ．三 、解答题：（本大题共6小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(10分)求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程18.（12分）已知圆C 的圆心为)1,1(，直线04=-+y x 与圆C 相切。
2017-2018学年重庆市高二上学期期中数学试题(理科) (解析版)17
高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或42．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=03．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．24．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条 C．3条 D．4条5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为A．B． C． D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y9．下列说法正确的是（ ）A ．若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥αB ．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C ．平行于同一平面的两条直线平行D ．直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面10．已知点P （a ，b ）（ab ≠0）是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在直线，直线l 的方程为ax +by=r 2，那么（ ）A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离11．若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2=4上恰有1个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A ．3B ．±3C ．±2D ．±12．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x （1﹣y ），若存在x 1，x 2（x 1≠x 2）使得1⊗（2k ﹣3﹣kx ）=1+成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l 1：ax +y +2=0，l 2：3x ﹣y ﹣1=0，若l 1∥l 2则a= ．14．过点（3，1）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为 ． 15．某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ．16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y ≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（﹣3，4），C（2，﹣6），求：（1）边BC的垂直平分线的方程；（2）AC边上的中线BD所在的直线方程．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，那么m的值等于（）A．1或3 B．4 C．1 D．1或4【考点】直线的斜率．【分析】利用直线的斜率公式求解．【解答】解：∵过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率等于1，∴k==1，解得m=1．故选：C．2．过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c=0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4=0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c=0 ∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c=0∴c=1∴所求直线方程为3x+2y﹣1=0．故选：A．3．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．9 B．4 C．3 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：C（1，1），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过点C（1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于2×1+1=3．故选：C．4．两个圆C1：x2+y2+2x+y﹣2=0与C2=x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有且仅有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】两圆的公切线条数及方程的确定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣），（2，1），半径分别是，1；两圆圆心距离：=＞，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．已知圆C：x2+y2+mx﹣4=0上存在两点关于直线x﹣y+3=0对称，则实数m的值（）A．8 B．﹣4 C．6 D．无法确定【考点】直线和圆的方程的应用；恒过定点的直线．【分析】因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），由此可求出m的值．【解答】解：因为圆上两点A、B关于直线x﹣y+3=0对称，所以直线x﹣y+3=0过圆心（﹣，0），从而﹣+3=0，即m=6．故选C．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1和CC1的中点，则异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1E与BF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，又E、F分别是AA1和CC1的中点，∴B1（2，2，2），E（2，0，1），B（2，2，0），F（0，2，1），=（0，﹣2，﹣1），=（﹣2，0，1），设异面直线B1E与BF所成的角为θ，则cosθ===，∴异面直线B1E与BF所成的角的余弦值为．故选：A．8．经过点M（2，2）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=4 B．x+y=2 C．x=2或y=2 D．x+y=4或x=y【考点】直线的截距式方程．【分析】直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，用两点式求得直线方程；，当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入，求得k=4，可得直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为零时，直线过原点，方程为=，即x=y．当直线在坐标轴上的截距不为零时，设方程为x+y=k，把点M（2，2）代入可得2+2=k，求得k=4，可得直线方程为x+y=4．故选：D．9．下列说法正确的是（）A．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αB．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C．平行于同一平面的两条直线平行D．直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α；B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行；C，行于同一平面的两条直线位置关系不能确定；D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线；【解答】解：对于A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a⊂α，故错；对于B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行，故正确；对于C，平行于于同一平面的两条直线位置关系不能确定，故错；对于D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线，故错；故选：B10．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（）A．m∥l，且l与圆相交B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，∴a2+b2＜r2，∵k OP=，直线OP⊥直线m，∴k m=﹣，∵直线l的斜率k l=﹣=k m，∴m∥l，∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，∴l与圆相离．故选C．11．若直线l过点A（0，a），斜率为1，圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，则a的值为（）A．3 B．±3C．±2 D．±【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得，圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得，直线l的方程为y=x+a，即x﹣y+a=0．圆x2+y2=4上恰有1个点到l的距离为1，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径加1，即圆心（0，0）到直线l的距离等于3，故有=3，求得a=，故选：B．12．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），把存在x1，x2（x1≠x2）使得1﹣2k+3+kx=1+成立，转化为y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，即可求得结果．【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），若存在x1，x2（x1≠x2）使得1⊗（2k﹣3﹣kx）=1+成立，则1﹣2k+3+kx=1+，即存在x1，x2（x1≠x2）使得k（x﹣2）+3=成立∴y=k（x﹣2）+3与y=有两个不同的交点，y=k（x﹣2）+3与y=相切时，可得k=，过（﹣2，0）时，可得k=∴实数k的取值范围为＜k≤．故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上）13．已知直线l1：ax+y+2=0，l2：3x﹣y﹣1=0，若l1∥l2则a=﹣3．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由﹣a﹣3=0，解得a，再验证即可得出．【解答】解：由﹣a﹣3=0，解得a=﹣3．经过验证满足l1∥l2．故答案为：﹣3．14．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：215．某几何体的三视图如图所示，它的体积为30π．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先根据三视图判断几何体为半球与圆锥的组合体，再根据球与圆锥的体积公式计算即可．【解答】解：根据几何体的三视图，几何体为一圆锥与一半球的组合体．半球的半径R=3，∴，V 球=πR 3=×27π=18π；圆锥的高h==4，∴V 圆锥=πR 2h=×9×4π=12π； ∴V=V 半球+V 圆锥=30π． 故答案是30π16．设集合，B={（x ，y ）|2m ≤x +y≤2m +1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [，2+] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m 的范围． 【解答】解：依题意可知，若A ∩B ≠∅，则A ≠∅，必有，解可得m ≤0或m ≥，此时集合A 表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B 表示与x +y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x ，y ）|0≤x +y ≤1}，此时A ∩B=∅，不合题意；②当m ＜0时，有||＜﹣m 或||＜﹣m ；则有﹣m ＞﹣m ，或﹣m ＞﹣m ，又由m ＜0，则（﹣1）m ＜，可得A ∩B=∅，不合题意；③当m ≥时，有||≤m 或||≤m ，解可得：2﹣≤m ≤2+，1﹣≤m ≤1+，又由m ≥，则m 的范围是[，2+]；综合可得m 的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），求： （1）边BC 的垂直平分线的方程； （2）AC 边上的中线BD 所在的直线方程． 【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、和斜率公式，利用斜截式即可得出． （2）利用中点坐标公式和两点式的关系即可得出． 【解答】解：（1）∵A （1，2），B （﹣3，4），C （2，﹣6），∴k BC ==﹣2，∴边BC 的垂直平分线的方程的斜率为，BC 边的中点的坐标为（，），即为（﹣，﹣1），∴边BC 的垂直平分线的方程为y +1=（x +），即为2x ﹣4y ﹣3=0，（2）AC 边上的中点D 的坐标为（，），即为（，﹣2），∴AC边上的中线BD所在的直线方程为=，即为4x+3y=0．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．【考点】平面与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．【解答】证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．19．已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【考点】直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．【分析】（1）化简方程为圆的标准形式，然后求解m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．【解答】解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆，∴m2﹣5m+4＞0．m＜1或m＞4．（2）设m=﹣2时，圆心C（﹣2，2），半径，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：．20．直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点（1）求证：DP∥平面ACB1．（2）求证：平面DPD1∥平面CBB1．【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质．【分析】（1）推导出四边形DCB1P是平行四边形，从而DP∥B1C，由此能证明DP∥平面ACB1．（2）推导出DP∥B1C，DD1∥BB1，由此能证明平面DPD1∥平面CBB1．【解答】证明：（1）∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．P为A1B1的中点∴CD PB1，∴四边形DCB1P是平行四边形，∴DP∥B1C，∵DP⊄平面ACB1，B1C⊂平面ACB1．∴DP∥平面ACB1．（2）由（1）知DP∥B1C，∵直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴由直棱柱性质得DD1∥BB1，∵DD1∩DP=D，B1C∩BB1=B，DD1，DP⊂平面DD1P，B1C，BB1⊂平面CBB1，∴平面DPD1∥平面CBB1．21．已知圆C的方程为：x2+y2﹣4x+3=0．直线l的方程为2x﹣y=0，点P在直线l上（1）若Q（x，y）在圆C上，求的范围；（2）若过点P作圆C的切线PA，PB切点为A，B．求证：经过P，A，C，B四点的圆必过定点．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求得圆的标准方程，写出参数方程，代入k=根据辅助角公式，由正弦函数的性质，即可求得k的范围；（2）由题意求得经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），求得圆的方程，将点代入圆方程恒成立则经过P，A，C，B四点的圆必过定点．．【解答】解：（1）由圆的标准方程：（x﹣2）2+y2=1，由Q（x，y）在圆C上，则x=2+cosθ，y=sinθ，则k==，sinθ﹣kcosθ=2k﹣3，则sin（θ+φ）=2k﹣3，则≥丨2k﹣3丨，解得：≤k≤，∴的范围[，]；（2）证明：由点P在直线2x﹣y=0，则P（t，2t），经过点P，A，C，B四点的圆就是以PC为直径的圆，则圆C的圆心C（2，0），经过点P，A，C，B四点的圆的圆心坐标为（，t），半径为=，则圆的方程为（x﹣）2+（y﹣t）2=，把点的坐标代入圆方程，可知该方程恒成立，则经过点P，A，C，B四点的圆必定过圆，∴经过P，A，C，B四点的圆必过定点．22．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l．应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解得斜率K来得出直线l的方程为．（Ⅲ）同样，当l与x轴垂直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得到一个二次方程．充分利用“两根之和”和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确定t=的代数表达式，再讨论t是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，故k l=3，所以直线l的方程为y=3（x+1）．将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），由于，所以|CM|=1．由，解得．故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），，又A（﹣1，0）则，，故．即t=﹣5．当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程得（1+k2）x2+（2k2﹣6k）x+k2﹣6k+5=0．则，，即，=．又由得，则．故t=．综上，t的值为定值，且t=﹣5．另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．由，得|AM|•|AN|=5．故．另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理得．21。
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二数学上学期期中复习试题
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 错误！未找到引用源。
的取值范围是（ ）此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +11．[2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．12⎛ ⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 15．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．19．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =，4a c +=，求a ，c 的值．20．（12分）[2018·阳朔中学]若x，y满足1030350x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y=+的最小值；（2）22z x y=+的范围；（3）y xzx+=的最大值．21．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABCBD=，△中，BC边上的中线AD长为3，且2sin B=．（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a -=>=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意；当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos 13a c ==，故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．11．【答案】B【解析】作出02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy =的最小值为0，当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，231312222x z xy x x x ⎛⎫==-=-+≤ ⎪⎝⎭；当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，()2932238z xy x x x x ==-=-+≤； 即0a =，98b =；当0x =时，不等式2110x kx -+=≥恒成立，若210x kx -+≥对90,8x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k x x ≤+在90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减，在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=， 由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-， 因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<，所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以π02A <<，π022A <<，π0π32A <-<， 所以ππ64A <<，则()2sin 1sin sin 2A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 15．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 19．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 20．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d==33,22D⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB上，故22OD z OC≤≤，即9,252z⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）目标函数1yzx=+，记ykx=．则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即max2k=，即maxmax3y xzx+⎛⎫==⎪⎝⎭．21．【答案】（1（2）1cos4ADC∠=-，128π27S=．【解析】（1）在ABD△中，2BD=，sin B，3AD=，∴由正弦定理sin sinBD ADBAD B=∠，得2sin8sin3BD BBADAD∠==．（2）sin B=，cos B∴=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠=()1cos cos4ADC B BAD∴∠=∠+∠==-，D为BC中点，2DC BD∴==，∴在ACD△中，由余弦定理得：2222cos94316AC AD DC AD DC ADC=+-⋅∠=++=，4AC∴=．设ABC△外接圆的半径为R，2sinACRB∴==，R∴=ABC∴△外接圆的面积2128ππ27S=⋅=⎝⎭．22．【答案】（1）()12n na n=∈*N；（2）1nn+．【解析】（1）当2n=时，由121n nS S-=+及112a=，得2121S S=+，即121221a a a+=+，解得214a=．又由121n nS S-=+，①，可知121n nS S+=+，②②-①得12n na a+=，即()1122n na a n+=≥．且1n=时，2112aa=适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
2017-2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）=3+bx2+1在x=2处取得极值，则b=（）A．﹣1 B．1 C．D．2．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．603．（5分）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是（）A．∀x∈（﹣∞，0），均有e x≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1C．∀x∈[﹣∞，0），均有e x＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得e x＞x+14．（5分）“x2＜x”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣236．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n8．（5分）已知函数f（x）=ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤19．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞910．（5分）已知点P为椭圆+=1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（）A．4 B．4 C．D．11．（5分）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线=1（m＞0）的离心率为2，则m=．14．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．18．（12分）已知焦点为F的抛物线C：x2=2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|=2．（1）求p，m；（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．19．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．（1）求a，b；（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．20．（12分）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE=EF=1，DC=BF=2，∠EAD=30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=e x+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知函数f（x）=3+bx2+1在x=2处取得极值，则b=（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=3+bx2+1，可得f′（x）=x2+2bx，∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4+4b=0，解得：b=﹣1；故选：A．2．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选：C．3．（5分）命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是（）A．∀x∈（﹣∞，0），均有e x≤x+1 B．∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1C．∀x∈[﹣∞，0），均有e x＞x+1 D．∃x∈[﹣∞，0），使得e x＞x+1【解答】解：命题“∀x∈（﹣∞，0），均有e x＞x+1”的否定形式是：∃x∈（﹣∞，0），使得e x≤x+1．故选：B．4．（5分）“x2＜x”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“x2＜x”解得0＜x＜1，由“”解得0＜x≤1，故“x2＜x”是“”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的S的值为（）A．4 B．﹣5 C．14 D．﹣23【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，i=1满足条件i≤4，执行循环体，S=﹣1，i=2满足条件i≤4，执行循环体，S=4，i=3满足条件i≤4，执行循环体，S=﹣5，i=4满足条件i≤4，执行循环体，S=14，i=5不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为14．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=ax2+bx+c的图象如图，则f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据导数与原函数单调性间的关系：从左到右分成三部分，第一部分导数小于零，第二部分导数大于零，第三部分导数小于零，则相应的，第一部分原函数为减函数，第二部分原函数为增函数，第三部分原函数为减函数；满足题意只有D．故选：D．7．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βB．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥αC．若m⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确；若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确；若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=ax﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【解答】解：∵函数y=ax﹣lnx在（1，+∞）内单调递增，∴当x＞1时，y′=a﹣≥0恒成立，即a≥，∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞），故选：B．9．（5分）如图所示的程序框图输出的结果是S=720，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤9 D．i＞9【解答】解：第一次运行，i=10，满足条件，S=10×1=10，i=9第二次运行，i=9，满足条件，S=10×9=90，i=8，第三次运行，i=8，满足条件，S=90×8=720，i=7，此时不满足条件，输出S=720，故条件应为，8，9，10满足，i=7不满足，故条件为：i＞7，故选：B．10．（5分）已知点P为椭圆+=1上的一点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线PA与y交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|•|BM|的值为（）A．4 B．4 C．D．【解答】解：如图所示：设P的坐标为（2cosθ，sinθ），由A（2，0），B（0，），则直线AP的方程为y=（x﹣2），令x=0时，则y=，即M（0，），∴|BM|=|+|=||，则直线BP的方程为y﹣=x，令y=0，则x=，即N（，0），∴|AN|=|2﹣|=2||，∴|AN|•|BM|=2=2•2×=4，故选：B．11．（5分）已知点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的线段BD1上，则cos∠APC最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：连结AP，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则D1（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），设P（a，b，c），=，0≤λ≤1，∴（a，b，c﹣1）=（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1﹣λ），=（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1），=（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）．∴cos∠APC=cos＜＞===．∵0≤λ≤1，∴3λ2﹣4λ+2∈[]，则cos∠APC∈[]．∴cos∠APC最小值为．故选：B．12．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=8，即有m=8，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=4+c，a2=4﹣c，（c＜4），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，则c＞2，即有2＜c＜4．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞，则e1•e2＞，∴e1•e2的取值范围为（，+∞）．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若双曲线=1（m＞0）的离心率为2，则m=．【解答】解：双曲线=1（m＞0）的a=m，b=1，c=，则e===2，解得，m=．故答案为：．14．（5分）已知抛物线y2=16x，焦点为F，A（8，2）为平面上的一定点，P为抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|的最小值为12．【解答】解：抛物线的准线方程为：x=﹣4，焦点为F（4，0），过A向准线作垂线，垂足为B，∴|PA|+|PF|≥|AB|=12．故答案为：12．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为5π．【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB=，PA=，∴PB=，可得外接球半径R=PB=，∴外接球的表面积S=4πR2=5π．故答案为5π．16．（5分）已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x，g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则实数a的取值范围为[﹣，0] ．【解答】解：由g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1，令g′（x）＞0，解得x＞0；令g′（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）=g（0）=0．最小值对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，（1）当a=0时，f（x）=﹣x，对于任意的x∈（0，+∞），f（x）≤0恒成立，∴a=0符合题意；（2）当a＜0时，f（x）=ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向下的抛物线，且f（0）=0，要使不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立，则对称轴x=，即2a+1≥0，a，得﹣≤a＜0；（3）当a＞0时，f（x）=ax2﹣（2a+1）x的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=＞0，而f（x）=0，∴当a＞时，f（x）＞0，不合题意．综上，a的取值范围为[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．18．（12分）已知焦点为F的抛物线C：x2=2py（p＞0）过点M（2，m），且|MF|=2．（1）求p，m；（2）过点M作抛物线C的切线l，交y轴于点N，求△MFN的面积．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，由题意可得4=2pm，2=m+得m=1，p=2；（2）由y=得y′=，所以切线的斜率为1，切线方程为y=x﹣1，得N（0，﹣1），由M（2，1），F（0，1），所以△MFN的面积是×2×1=1．19．（12分）已知函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．（1）求a，b；（2）求f（x）在x∈[1，7]上的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=﹣2ax﹣3lnx+b在x=1处切线为4x+y﹣2=0．∴f′（x）=ax﹣2a﹣，x＞0，直线4x+y﹣2=0斜率为﹣4，由f′（1）=a﹣2a﹣3=﹣4，解得a=1，由f（1）==﹣2，解得b=﹣．（2）=，由f′（x）＞0，得0＜x＜3，由f′（x）＜0，得x＞3，∵x∈[1，7]，∴f（x）的减区间是（1，3），减区间是（3，7]，又f（1）=﹣2，f（7）=10﹣3ln7＞﹣2，f（3）=﹣2﹣3ln3，∴f（x）在x∈[1，7]上的值域是[﹣2﹣3ln3，10﹣3ln7]．20．（12分）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，DE=EF=1，DC=BF=2，∠EAD=30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDEF；（Ⅱ）在线段BD上确定一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=2．在△ADE中，=，即，得sin∠AED=1，∴∠AED=90°，即AE⊥DE，在梯形ABEF中，过E点作EF∥BF，交AB于点P．∵EF∥AB，∴EP=BF=2，PB=EF=1，∴AP=AB=PB=1，在Rt△ADE中，AE=，AE2+AP2=4，EP2=4，∴AE2+AP2=EP2，∴AE⊥AB，∴AE⊥EF．又∵EF∩DE=E，∴AE⊥平面CDEF．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得AE⊥DC，AD⊥DC，∴DC⊥平面AED，又DC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面AED，如图，过D点作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D（），0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），F（），A（2，0，0），=（﹣，1，），=（2，2，0），设==（2λ，2λ，0），λ∈[0，1]，则=（2λ﹣2，2λ，0）．设平面FAG的一个法向量=（x，y，z），则，令x=﹣，得=（﹣）．平面EAD的一个法向量=（0，1，0）．由已知得cos30°===，化简得9λ2﹣6λ+1=0，解得．∴当点G满足=时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°．21．（12分）已知椭圆C：的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M、N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P（P不与原点O重合），与椭圆C交于A，B两个不同的点，使得，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知椭圆C的焦距为2c，当y=c时，，由题意△MNF2的面积为，由已知得，∴b2=1，∴a2=4，∴椭圆C的标准方程为=1．﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，∴，，﹣﹣﹣（6分）由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，由，得﹣x1=3x2，即x1=﹣3x2，∴，﹣﹣﹣（8分）∴，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，∴，﹣﹣﹣（10分）∵k2﹣m2+4＞0，∴＞0，即，∴1＜m2＜4，解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为{m|﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2}．﹣﹣﹣（12分）22．（12分）已知函数f（x）=e x+1﹣kx﹣2k（其中e是自然对数的底数，k∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当函数f（x）有两个零点x1，x2时．证明：x1+x2＞﹣2．【解答】解：（1）由f（x）=e x+1﹣kx﹣2k，x∈R，得f'（x）=e x+1﹣k，①当k≤0时，则f'（x）=e x+1﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）；②当k＞0时，由f'（x）=e x+1﹣k＞0，得到x+1＞lnk，即x＞lnk﹣1，由f'（x）=e x﹣1﹣k＜0，得到x+1＜lnk，即x＜lnk﹣1所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk﹣1）；综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk﹣1，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk ﹣1）；（2）设x2＞x1，由题意得：，∴x1=lnk+ln（x1+2）﹣1①，x2=lnk+ln（x2+2）﹣1②，②﹣①得：x2﹣x1=ln③，令t=，则t＞1，x2=t（x1+2）﹣2，∴③可化为：t（x1+2）﹣2﹣x1=lnt，∴x1+2=，x2+2=，∴x1+x2=+﹣4，要证：x 1+x2＞﹣2，只需证：+＞2，即证：lnt＞，构造函数F（t）=lnt﹣，则F′（t）=﹣=≥0，∴F（t）在（1，+∞）递增，∴F （t ）＞F （1）=0， ∴x 1+x 2＞﹣2．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数yxoM 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
巴蜀中学高二数学上学期期中试题
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．综合题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡交回，试题卷自行保存．一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ )A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限2．已知椭圆22:14y C x +=,则椭圆C 的（ ）A ．焦距为B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为43．下列说法正确的是( ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是( ） A ．22143x y -=B ．22143y x -=C ．221169x y -=D ．221169y x -=5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ）A ．(1,3)--B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)-- 6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是(）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米;当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ )A ．10米B ．C ．D ． 8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ,n 是空间中两条不同的直线,则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ,且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，//n β,且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,m ααβ⊥⊥，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥ 9．已知(4,0)A -,B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点,点P在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为( ） A ．9 B ．6+ C ．10 D ．1210．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ,且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）AB C D11．已知点P是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ）A B C D ．1二、填空题（本大题共4小题，每题5分,共20分．） 13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1),则m 的值是_______________． 14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________．15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体,它们的棱长都相等,其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．16．如图,已知P 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上的点，点A 、B 分别在直线12y x =与12y x =-上，点O 为坐标原点，四边形OAPB 为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值,则椭圆C 的离心率为________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分） 已知12,F F 分别是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==．（1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =,直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1)已知点F 为PB 中点，求证://CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1）求椭圆C 的标准方程；(2)直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 20．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称,与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为27． (1)求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点,求四边形PACB 面积的最小值．21．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD A B C D '-'''的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证:BD A H ⊥'；（2)若3BAD π∠=,在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60°,若存在，求||MA AA'的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F 面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F 面积为22．(1）求椭圆C 的标准方程；（2)如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=P 的坐标．高2022届高二（上）期中考试参考答案数学一、单选题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A DCD BAC DCB A A二、填空题答案131415162-240x y --=52332解析：9题:设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-，由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|?|||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''，故选C ． 10题：由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设点(2cos ,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：|2cos 3sin ||33sin()|33222d θθθφ+--++==≤，故选B ．11题：222223()()()()44a a PA PB PO OA PO OB PO OA PO OA PO OA a ⋅=++=+-=-≥-=，所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=，故选A ．12题：取PA 中点O ,因为AN PM ⊥，所以点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，又点N 在平面PBC 上,故N 的轨迹为一段圆弧,设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，且点1O PS ∈（S 为BC 中点)，则点N在以1O 为圆心的圆弧上，经计算得163OO=,则133NO =，1213CO=,当点N 在1CO 上时,CN 取最小值2133-,故选A．14解：两圆方程相减就得公共弦的方程:240x y --=．152，则正方体的体积为22又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长，故截去体积为211832223⎛⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭,所以24等边体的体积为V ==．16解：（法一）设()0,P x y ，则直线PA 的方程为0122xy x y =-++，直线PB 方程为00122x y x y =-+，联立方程组0012212x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0000,242x x y A y ⎛⎫++⎪⎝⎭， 联立方程组0012212x y x y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得0000,242x x y B y ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， 则2222222200000000005524224282x x y x x y PA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又点P 在椭圆上，则有22222200b xa y ab +=，因为22005582x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则1201202x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值,又点P 在椭圆上,则有2222220b xa y ab +=，因为220014x y +为定值,则22222213,,44b a b e e a a -====．三、解答题答案： 17．解：(1)1222a PF PF =-=，所以1a =，在三角形12PF F 中，2221212100F F PF PF =+=，所以24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=(5分） (2）设()()1122,,,A x y B x y ，有222212122112222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩,所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+==⋅--+ 又121212126,32ABy y y y kx x x x -+===-+，所以3248AB AB k k ⋅=⇒=,所以直线AB 方程为：68(2)810y x y x -=-⇒=-,满足0∆>，符合题意 （10分）18．（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ,∵在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//,//CG AE FG PA ， ∵,CG FG G AE PA A ⋂=⋂=，∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ,∴//CF 平面PAE ． （6分）(2)由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ,z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =,则0PB n PDn ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩，0z y z -=-=⎪⎩取z =则1,x y ==,则(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =， 设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===． （12分）也可以不建系，直接找出二面角的平面角来求．19．解：（1）122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==，所以椭圆方程为：22243x y c +=,过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y +=，（4分）（2)设()()1122,,,M x y N x y ,联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277yy x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t xx t y y ⎛⎫=+=++=- ⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：2226436749491434t t t t +=⇒=⇒= （12分）20．解：（1)设圆C 的标准方程为：222()(),(0,0)x a y b r a b -+-=>>，所以圆心C 为(,)a b由圆C 关于直线3y x =对称有：3b a = ① 与x 轴相切：3r b a == ② 点C 到y x =的距离为:d ===， 被直线y x =截得的弦长为有:222r d =+,结合②有：22927a a =+，所以21a=,又0a >,所以1a =,33r b a ===, 所以圆的标准方程为：22(1)(3)9x y -+-=， （6分）(2）由,PA PB 与圆相切，所以,,3CA PA CB PB CA CB ⊥⊥==,由PAC PAB≌，所以12232PABPACBSSCA PA PA ==⨯⨯=四边形，又PA ==C l PC d →≥==（当PC l ⊥时取等）所以3PACBSPA =≥=四边形（当PC l ⊥时取等）所以四边形PACB 面积的最小值为2 （12分） 21．解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又//AC A C ''，所以BD A C ⊥''， 又C H '⊥面ABCD，所以C H BD '⊥，所以BD ⊥面A C H'',所以BD A H '⊥（4分) （2）在HAD 中,1//,2CE AD CE AD =，所以 CE 为中位线,则C 为DH 中点，CD CH=,∴AB CH =又//AB CH ，所以ABHC 为平行四边形,∴,//BH AC BH AC =，又ACC A ''为平行四边形,∴BH A C =''，//BH A C '',∴BHC A ''为平行四边形 ∴//,C H A B C H A B ''''=又C H '⊥面ABCD ,所以A B '⊥面ABCD ． 在RtC CH'中，4,2CC CH ='=，则23C H '=,三角形ABD 中,,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点,,BA BA '为y ，z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设(0,2,23),(01),(0,223)AM AA BM BA AM λλλλλλ'==-≤≤=+=-，所以点(0,22,23)M λλ-，面MBD 中：(3,1,0)BD =,(0,22,23)BM λλ=-,设法向量(,,)n x y z =00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则30(22)30x y y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取3y λ=, 则,1x z λλ=-=-，所以(,3,1)n λλλ=--平面BB C '中，(3,1,0),(0,2,23)BC BB =-=-'，设法向量(,,)m x y z =，00m BC m BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 则302230x y y z -=-+=⎪⎩,取3y =，则1,1x z ==，所以(1,3,1)m =若存在，则22||1cos60254(1)n m n m λλ⋅︒===+-∣∣，化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+- 有2111410λλ--=，所以7215λ-=7215+由721572151-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． （12分) 22．解（1）2222422222bc a b c a b c a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪⇒=⎨⎨==⎪⎩⎪⎪=+⎩，所以椭圆方程为22184x y +=(4分）（2）设直线1PF 为：2x my =-，2PF ：2x ny =+联立方程22228x my x y =-⎧⎨+=⎩,消x 有：()222440m y my +--=，则()21221223214242m m y y m y y m ⎧∆=+⎪⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩则()2212224211||142122m PA m y y m m +⎫=+-==-⎪++⎭同理可得：)2212224211||142122n PB n y n n +⎫=+-==-⎪++⎭，由||||2PA PB +=，所以2211211222m n ⎫-+-=⎪++⎭2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=， 又00001212y m x y n x ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则20201142y mn x ==±-，若22200020112442y y x mn x ==-⇒=--,又220028x y +=，有220048x x +-=，矛盾,不成立,若22200020112442y y x mn x ==⇒=--，又220028x y +=，所以2002006611x x y y ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P 的坐标为6,1),(6,1),(6,1),(6,1)--． （12分）。
重庆市巴蜀中学_学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y 轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，求得A的坐标，即可得到AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，运用定义法解题是关键，考查运算能力，属于基础题．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．【解答】解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线斜率．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选B【点评】本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．12．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，是一道基础题．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【考点】圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的最值问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈即a的取值范围【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y 轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），从而令导数为0求极值点；（Ⅱ）求导f′（x）=ax﹣+1=，讨论a的取值以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，从而求导h′（x）=ae x﹣=，再令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），再求导p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），从而化恒成立问题为最值问题，再转化为+﹣2（a+1）≥0，从而可得0＜≤e，从而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f （x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。
高二2018年上期中期考试数学 理答案2
2018年上期中期考试高二数学试卷（理）考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每小题5分，共60分）1．求函数()sin cos f x a x =+的导数（ ）A. cos sin a x +B. cos sin a x -C. 0D. sin x - 2．若则且,//),6,,2(),3,1,(y x =-=（ ）． A. 1x =， 2y =- B. 1x =， 2y =C. 12x =， 2y =- D. 1x =-， 2y =- 3．抛物线24x y =的焦点坐标是( )A. ()0,4B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,161C. 1,08⎛⎫⎪⎝⎭D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛161,04．已知f(x)=ln(2x+1)-x,x ∈(21-,1]，则f(x)的最大值为（ ）A. 3135ln +B. ln2-21C. ln3-1D. 05．下列结论正确的是（ ）A. 若y=cosx,则y ’=sinxB. 若x e y =，则1-='x xe yC. 若x y 1=，则21x y -=' D. 若x y =，则x y 21=' 6．若函数()f x 在R 上可导，x f x x f ln )1(2)(+'=，则)1(f '＝（ ）A. 1B. －1C. 1e- D. e - 7．若x x x f ln 221)(2-=，则 ()0f x '>的解集为( ) A. ()2,+∞ B.),2(+∞C. ),2()2,(+∞⋃--∞D. )2,(--∞8．如图所示，正方体'ABCD B C D '''-中， M 是AB 的中点，则sin ',DB CM 为（ ）A. 31B.1521C. 15D. 159．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,21===BC AB AA ，点P 在侧面A 1ABB 1上，满足到直线AA 1和CD 的距离相等的点P （ ）A. 不存在B. 恰有1个C. 恰有2个D. 有无数个10.已知12,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.⎤⎦B. (C.(]1,3D.[)3,+∞11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线)(33c x y +=与椭圆交于点，且满足122121F MF F MF ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）A. 33B.C.D. 1 12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1-二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，且|AB|=10， 6A B x x +=，则p =_________14．已知复数i,则432i i i i +++=15．空间向量()2,3,2a =-,)1,,2(m -= ,且a b ⊥，则b =________．16．设x ， y R ∈，定义()x y x a y ⊗=-（a R ∈，且a 为常数），若()xf x e =，()22x g x e x -=+， ()()()F x f x g x =⊗．①()g x 存在极值；②若()f x 的反函数为()h x ，且函数y kx =与函数()y h x =有两个交点，则1k e=；③若()F x 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是(],2-∞-；④若3a =-，在()F x 的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．其中真命题的序号有_______（把所有真命题序号写上）．三、解答题（每小题12分，共60分，每小题必须写出必要的解题过程，否则不得分。
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二上期末理科数学试题
重庆市巴蜀中学高2020届(二上)期末数学试题卷(理科)一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.在复平面中，若点A 表示复数13i z i +=+,那么点A 所在象限为( ) A.一 B.二 C.三 D.四 2.命题“,42x x R ∃∈>”的否定为( )A.,42x x R ∃∈≤B.,42x x R ∃∈<C.,42x x R ∀∈≤D.,42xx R ∀∈< 3.已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线的一条渐近线方程为( )A.y x =B.y =C.3y x = D.3y x = 4.函数()()2ln f x x a x a R =-∈在1x =处的切线与直线6100x y --=垂直，则实数a 的值为( )A.4-B.5-C.7D.85.空间中有三条直线,,a b c ，已知a c ⊥，那么“b c ⊥”是“a b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某几何体的三视图(侧视图和俯视图均为直角三角形)如右图所示，该几何体的体积是403，则x 的值为( ) A.3 B.4 C.92D.5 7.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A.若,αγαβ⊥⊥,则γβB.若,,m n m n αβ⊂⊂则αβC.若,m ααβ⊥,则m β⊥D.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥8.已知离心率为12的椭圆22221(0)y x a b a b +=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123,,k k k ，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=( ) A.43- B.43 C.34- D.349.如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PF FC =( ) A.23 B.14 C.13 D.1210.已知F 为双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的左焦点，双曲线的半焦距为c ，定点()0,B c ，若双曲线上存在点P ，满足PF PB =，则双曲线的离心率的取值范围是( )A.)+∞B.C.)+∞D.11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，1D P 与平面ABCD 所成角为1θ，NP 与平面ABCD 所成角为2θ，若12θθ=，则AP 的最小值为( )A.2B.83C.4D.1 12.已知方程()2ln 02x k x k R -=∈，则下列说法中，正确的个数是( ) ①方程必有实数解；②当0k <时，方程有且只有一个实根；③若方程存在两个不同的实根1x 和2x，则有12x x ⋅>A.0 B.1 C.2 D.3二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题卡相应的位置)13.若()()13ai i +⋅+为纯虚数(其中a R ∈，i 为虚数单位)，则a = .14.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA ==，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，则异面直线1ED 与DF 所成角的人小为 .15.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F，斜率为F 且与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若A 在第一象限，那么AFO BFOS S ∆∆= . 16.在四棱锥P ABCD -中，已知侧面PAD 为等边三角形，底面ABCD为矩形，2AD AB ==，若二面角P AD B --所成平面角为120︒，那么四棱锥P ABCD -的外接球的体积为 .三.解答题：本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其他题都是12分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos :sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩，(t 为参数，α为直线倾斜角).以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于,A B两点且AB =l 倾斜角α的值.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，E F 、分别为111AC B C 、的中点，1 1AC BC CC ===.(1)证明：EF //平面11AA B B ；(2)求三棱锥1E ABC 一的体积.19.已知抛物线2(:0)2C x py p =>，直线:2p l y x =+与C 相交于A B 、两点，弦长8AB =. (1)求抛物线C 的方程；(2)直线1l 与抛物线C 相交于异于坐标原点的两点M N 、，若以MN 为直径的圆过坐标原点，求证：直线1l 恒过定点并求出定点.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB的中点，E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合.2,1,AB AD PA PH ====. (1)求证：平面APE ⊥平面ABCD ；(2)是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为3若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.21.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,且点在椭圆C 上.P 为椭圆C 上任意一点，线段OP 的中点为E ，过点E 的直线:AB y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)①求E 点的轨迹方程；②求四边形APBO 面积的最大值.22.已知函数1()(1))(x a e a f R x xx +∈=-. (1)当0a =时，判断函数()f x 的单调性；(2)当0x <时，()f x 有两个极值点，①求a 的取值范围；②若()f x 的极大值大于整数k ，求k 的最大值.。
整理重庆市巴蜀中学2018届高三上期中数学试卷理科
整理重庆市巴蜀中学2018届⾼三上期中数学试卷理科重庆市巴蜀中整理⼈尼克学2018届⾼三重庆市巴蜀中学2018届⾼三（上）期中数学试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分）1．（5分）复平⾯内表⽰复数的点位于（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设全集U=R，集合A={x|log2x≤2}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩?U B=（）A．（2，4]B．（﹣∞，﹣1]∪（2，4] C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，4]3．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=x2﹣xC．y=2x﹣1D．y=log（x2+1）4．（5分）已知等⽐数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3B．5C．9D．255．（5分）已知关于x的两个不等式x2+bx+c＜0和|x﹣1|＜2的解集相同，则bc=（）A．6B．﹣6C．12D．﹣126．（5分）已知，满⾜（+）⊥，（+2）⊥（﹣）且||=1||=（）A．3B．C．D．7．（5分）若（1﹣x）2017=a0+a1（x+1）+…+a2017（x+1）2017，x∈R，则a1?3+a2?32+…+a2017?32017的值为（）A．﹣1﹣22017B．﹣1+22017C．1﹣22017D．1+220178．（5分）将函数y=cos（2x+α）的图象向左平移个单位后，得到⼀个奇函数的图象，则α的⼀个可能取值为（）A．9．（5分）我章“均输”中的A．1 10．（5分）过若=，A．11．（5分）各A．20 12．（5分）A．⼆、填空题（13．（5分）14．（5分）15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线+（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，若双曲线上存在点P满⾜PF1⊥PF2且|PF2|=2|PF1|，则此双曲线的离⼼率为．16．（5分）函数y=的最⼤值是．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共70分）17．（12分）已知△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且=．（Ⅰ）求⾓C的⼤⼩；（Ⅱ）若c=，求△ABC的⾯积S的最⼤值．18．（12分）某校统计了⾼三年级某次体能测试所⽤时间（单位：分钟），如图是统计结果的频率分布直⽅图．（Ⅰ）求所有学⽣完成该测试的平均时间，若总⼈数为1000⼈，求出所⽤时间少于平均时间的学⽣⼈数；（Ⅱ）将频率视为概率，现从该⾼三年级学⽣中任选3⼈，若测试所⽤时间不⼤于60分钟则该同学合格，求3⼈中⾄少两⼈合格的概率．19．（12分）∠DAB=60°，（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若直线20．（12分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣2，0），F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点且?=1．（Ⅰ）求椭圆C的⽅程；（Ⅱ）A，B为椭圆C上异于P的两点，直线P A与直线PB斜率之积为﹣，求P到直线AB的距离d的最⼤值．21．（12分）已知f（x）=x ln x+ax2+bx在x=1处的切线⽅程为y=．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）证明：f（x）恰有两个极值点x1，x2，且＜f（x1）+f（x2）＜．[选修4-4：坐22．（10分）参数）．以直为ρ=6cosθ，（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）求|P A[选修4-5：不23．已知M=（Ⅰ）若x+（Ⅱ）当x，【参考答案】⼀、选择题1．A【解析】====，∴复平⾯内表⽰复数的点（）位于第⼀象限．故选：A．2．A【解析】全集U=R，集合A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}，B={x|﹣1＜x≤2}，?U B={x|x＞2或x≤﹣1}，则A∩?U B={x|2＜x≤4}=（2，4]．故选：A．3．C【解析】对于A，函数y=，定义域为[1，+∞），在（0，1）上⽆意义，不满⾜题意；对于B，函数y=x2﹣x的对称轴是x=，在（0，+∞）上不是单调函数，不满⾜题意；对于C，函数y=2x﹣1在R上为增函数，满⾜题意；对于D，函数y=（x2+1）在（0，+∞）上为减函数，不满⾜题意．故选：C．4．D 【解析】由题可得：a3则=5．A【解答】解法∵关于x的两∴关于x的不∴﹣1和3是由韦达定理得解法⼆：∵|∵关于x的两∴关于x的不∴﹣1和3是∴∴bc=﹣2×（故选：A．6．C【解析】∵∴整理，得：解得||=．故选：C．7．A【解析】∵（1﹣x）2017=[2﹣（x+1）]2=a0+a1（x+1）+…+a2017（x+1）2017，x∈R，令x=﹣1，可得a0=22017，再令x=2可得，a0+a1?3+a2?32+…+a2017?32017=﹣1，即a1?3+a2?32+…+a2017?32017=﹣1﹣a0 =﹣1﹣22017，∴a1?3+a2? 32+…+a2017?32017 =﹣1﹣22017，故选：A．8．B【解析】将函数y=cos（2x+α）的图象向左平移个单位后，可得y=cos（2x++α）的图象．根据得到⼀个奇函数的图象，∴+α=kπ+，k∈Z，∴α的⼀个可能取值为，故选：B．9．B【解析】由程序框图可得：最后⼀次执⾏循环体，当i的值为1时，不满⾜条件退出循环，输出S的值为33，当i的值为2时，S的值为17，当i的值为3时，S的值为9，当i的值为4时，S的值为5，即：2（2k﹣1）﹣1=5，解得：k=2．故选：B．10．B【解析】设A、B在准线上的射影分别为为M、N，准线与横轴交于点H，则FH=p，∵=，∴点F是AC ∴AM=4=2p，∴p=2，设BF=BF=x ∴BC=CF﹣故选：B11．D【解析】∵S 解得a1=7．n≥2时，a n=化为：∴=7则a10=27．故选：D．12．C【解析】由，当且仅当时取等号．∵a2+b2+c2===8ac+4bc=4（bc+2ac）当且仅当，时取等号．∴则≥．故选：C⼆、填空题13．【解析】=（x2+ln x）|=+lne﹣﹣ln1=；故答案为：．14．【解析】作出约束条件的可⾏域如图，由z=3x+y知，y=﹣3x+z，所以动直线y=﹣3x+z的纵截距z取得最⼤值时，⽬标函数取得最⼤值．由得A（，），结合可⾏域可知当动直线经过点B（，）时，⽬标函数取得最⼤值z=3×=．故答案为：．15．【解析】由已∵PF1⊥PF2 16．【解析】根据设t=即si 变形可得：s 分析可得：|解可得0≤t≤则函数y=故答案为：三、解答题 17．解：（Ⅰ）由=．得2sin A cos C ﹣sin B cos C =sin C cos B可化为2sin A cos C =sin B cos C +sin C cos B =sin （B +C ）=sin A ∵sin A ≠0，∴cos C =．∵C ∈（0，π），∴．（Ⅱ）由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C ，⼜c =，C =，∴3=a2+b 2﹣ab ，∵a ＞0，b ＞0，∴3=a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab =ab ∴ab ≤3，当且仅当a =b =时等号成⽴，∴．∴△ABC 的⾯积S 的最⼤值为．18．解：（Ⅰ）所有学⽣完成该测试的平均时间约为：0.01×10×35+0.01×10×45+0.05×10×55+0.02×10×65+0.005×10×75+0.005×10×85=56.5分，（0.01×10+0.01×10+×0.05×10）×1000=525，即若总⼈数为1000⼈，所⽤时间少于平均时间的学⽣⼈数约为525⼈；（Ⅱ）从该⾼三年级学⽣中任选1⼈合格的概率 P =1﹣（0.02×10+0.005×10+0.005×10）=0.7，现从该⾼三年级学⽣中任选3⼈，⾄少两⼈合格的概率P ==0.78419．证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连结OP 、OE 、BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∵O ，E 分别∵P A =PD ，O⼜∵平⾯P A平⾯P AD ∩平∵OE ∩OP =解：（Ⅱ）如∵四边形AB∵∠DAB =60∵PO ⊥平⾯以OA 为x 轴设AE =m ，依∴PE 2=PO 2+∵直线PE 与∴直线PE 与∴点E 到AD∴A （3，0，=（0，3设平⾯P AB=（﹣3，cos ＜结合图形得⼆⾯⾓D﹣P A﹣B的余弦值为．20．解：（Ⅰ）由题意可得：椭圆的焦点在x轴上，则a=2，=（﹣c+2，0），=（c+2，0），∴?=（﹣c+2）（c+2）=1，c2=3，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准⽅程：；（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的⽅程为y=kx+t，联⽴，整理得：（4k2+1）x2+8ktx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=﹣，x1x2=，k P A=，k PB由k P A?k PB=×===﹣，﹣=，解得：t=k，∴直线AB过定点Q（﹣，0），则d＜|PQ|=，当直线AB⽆斜率时，设直线AB的⽅程为x=m，则点A，B坐标为（m，±），由﹣=﹣综上所述，d 21．（I）解：联⽴解得a=（II）证明：令f′（x）=g 可得f′（x）⼜∴f′（x）恰有x∈（0，x1）同理f（x）在∴：f（x）恰⼜f（x1）＜∴f（x1）+f（⼜ln x1=3x1﹣∴f（x1）＞综上可得22．解：（Ⅰ得l的⽅程是y=2x﹣1，即2x﹣y﹣1=0，故曲线C的⽅程是（x﹣3）2+y2=9，圆⼼C（3，0）到直线l的距离是d==，故曲线C上的动点到直线l的距离的最⼤值是3+；（Ⅱ）l的参数⽅程是，代⼊（x﹣3）2+y2=9得t2﹣+16=0，此时|P A|?|PB|恰好是⽅程的两个根，故|P A|?|PB|=16．23．解：（I）由x+y=1且xy＞0，y=1﹣x，x∈（0，1），则M=x2+xy+y2﹣3（x+y）=x2﹣x﹣2，由函数图象开⼝朝上，且以直线x=，故当x=时，M取最⼩值﹣，⼜由x=1，或x=0时，M=﹣2，故M∈[﹣，﹣2）；证明：（Ⅱ）M=x2+xy+y2﹣3（x+y）==≥﹣3，当且仅当y=1，x=1时，M取最⼩值为﹣3.pause_circle_outlineAccount Temporary On HoldThis account is temporary On Hold. Please check your billing for outstanding invoices and the Report Center for any unaddressed Resource usage Incident Reports.Do Androids Dream of Electric Sheep?- Philip K. Dick⼩升初数学试题（三）（时间：60分钟总分：100分）⼀、填空（每题3分，共30分）1、⼀本书的各页上标着页码，共⽤了495个数字（如第36页⽤3、6两个数字）．这本书共有页。
【精选高中试题】重庆市巴蜀中学高二上学期期中复习数学试卷Word版含答案
巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +11．[2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A．2⎛ ⎝⎭B．12⎛ ⎝⎭C．122⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 15．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．19．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =，4a c +=，求a ，c 的值．20．（12分）[2018·阳朔中学]若x，y满足1030350x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y=+的最小值；（2）22z x y=+的范围；（3）y xzx+=的最大值．21．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABCBD=，△中，BC边上的中线AD长为3，且2sin B=（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a ->=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意；当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =， 因此πcos 13a c ==，故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=，解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC ABBC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC =B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．11．【答案】B【解析】作出02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy =的最小值为0，当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，231312222x z xy x x x ⎛⎫==-=-+≤ ⎪⎝⎭；当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，()2932238z xy x x x x ==-=-+≤； 即0a =，98b =；当0x =时，不等式2110x kx -+=≥恒成立，若210x kx -+≥对90,8x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k x x ≤+在90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减，在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<，所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以π02A <<，π022A <<，π0π32A <-<， 所以ππ64A <<，则()2sin 1sin sin 2A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n．15．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥，又因为0πC <<， 所以max π6C =．当且仅当a =，b = 16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=，所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212n n n +-=+-． 19．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1． 【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 20．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d ==且垂足是33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （3）目标函数1y z x =+，记yk x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =， 即max max3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1（2）1cos 4ADC ∠=-，128π27S =． 【解析】（1）在ABD △中，2BD =，sin B =，3AD =， ∴由正弦定理sin sin BD ADBAD B =∠，得2sin 8sin 3BD B BAD AD ∠==． （2）sin B=cos B ∴=，sin BAD ∠=，cos BAD ∴∠=()1cos cos 4ADC B BAD ∴∠=∠+∠==-， D 为BC 中点，2DC BD ∴==，∴在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 94316AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=，4AC ∴=．设ABC △外接圆的半径为R，2sin AC R B ∴==，R ∴=ABC ∴△外接圆的面积2128ππ27S =⋅=⎝⎭．22．【答案】（1）()12n na n =∈*N ；（2）1n n +． 【解析】（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，①， 可知121n n S S +=+，② ②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
重庆市巴蜀中学19年-20年学年高二上学期期中复习数学试卷 Word版含答案
高二期中复习试卷理科数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题6分，1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 错误!未找到引用源。
的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n - B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．12．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 13．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．14．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x的不等式23x ax a--≤-的解集非空，求实数a的取值范围；（2）已知54x<，求函数14245y xx=-+-的最大值．16．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．17．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若7b=，4a c +=，求a ，c 的值．18．（12分）[2018·阳朔中学]若x ，y 满足1030350x y x y x y -+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y =+的最小值； （2）22z x y =+的范围； （3）y xz x+=的最大值．19．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABC △中，BC 边上的中线AD 长为3，且2BD =，36sin B =．（1）求sin BAD ∠的值；（2）求cos ADC ∠及ABC △外接圆的面积．20．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题： 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a -=>=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos13a c ==，故选B ． 7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()1111222332322b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭（当2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11333sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴7AC B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．第Ⅱ卷二、填空题： 11．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 12．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 13．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a bC ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 14．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b-=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 16．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 17．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 18．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离3322d ==33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （3）目标函数1y z x =+，记yk x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即max max 3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭． 19．【答案】（16（2）1cos 4ADC ∠=-，128π27S =． 【解析】（1）在ABD △中，2BD =，36sin B ，3AD =， ∴由正弦定理sin sin BD ADBAD B =∠，得362sin 68sin 3BD B BAD AD∠==． （2）36sin B =，10cos B ∴， 6sin BAD ∠=，10cos BAD ∴∠= ()10103661cos cos 4ADC B BAD ∴∠=∠+∠==-， D 为BC 中点，2DC BD ∴==，∴在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 94316AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=，4AC ∴=．设ABC △外接圆的半径为R，2sin AC R B ∴==，R ∴=ABC ∴△外接圆的面积2128ππ27S =⋅=⎝⎭． 20．【答案】（1）()12n n a n =∈*N ；（2）1n n +． 【解析】（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，①， 可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时，2112a a =适合上式， 因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
2018高二上期中数学试卷解析版
高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．32．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．312．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是．三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．在等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=7，则a5=（）A．11 B．10 C．7 D．3【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=8，a4=7，∴2a1+4d=8，a1+3d=7，解得a1=﹣2，d=3．则a5=﹣2+4×3=10．故选：B．2．满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是（）A．零个B．一个C．两个D．无数个【考点】HP：正弦定理．【分析】由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化简解出即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：52=62+c2﹣12ccos120°，化为：c2+6c+11=0，△=62﹣44=﹣8＜0，因此方程无解．∴满足条件a=6，b=5，B=120°的△ABC的个数是0．故选；A．3．已知a，b，c∈R，且a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．ac2＞bc2 D．【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立；B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定；C、当c=0时，则ac2=bc2，；D、由c2+1≥1可判断．【解答】解：对于A、当a=﹣1，b=﹣2，显然不成立，故A项不一定成立；对于B、∵由于ab符号不确定，故与的大小不能确定，故B项不一定成立；对于C、当c=0时，则ac2=bc2，故C不一定成立；对于D、由c2+1≥1，故D项一定成立；故选：D4．下列函数中，最小值为2的函数是（）A．y=x+B．y=sinθ+（0＜θ＜）C．y=sinθ+（0＜θ＜π）D．【考点】7F：基本不等式．【分析】A．x＜0时，y＜0．B.0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．【解答】解：A．x＜0时，y＜0．B．∵0＜θ＜，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+=2，最小值不可能为2．C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+≥=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．D. +＞=2，最小值不可能为2．故选：C．5．△ABC中，若=，则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】HP：正弦定理．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．6．不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1）C．（﹣∞﹣3）∪（，+∞）D．（﹣3，）【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根，由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0，化为：（2x﹣1）（x+3）＜0解得﹣3＜x＜，所以不等式解集为：（﹣3，）故选：D．7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．8．数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n+n，（n≥2），则S n等于（）﹣1A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= [2+3+…+（n+1）]==，故选：B．9．已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．10．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0 ②S4029＞0 ③S4030＜0 ④数列{S n}中的最大项为S4029，其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】推导出等差数列的前2015项和最大，a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，由此求出S4029＞0，S4030＞0．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，∴a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①和④错误；再由S2016＞S2014，得S2016﹣S2014=a2016+a2015＞0，S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030==2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A．11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，若S△ABC=2，a+b=6，=2cosC，则c=（）A．2 B．4 C．2 D．3【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c的值．【解答】解：===1，即有2cosC=1，可得C=60°，=2，则absinC=2，若S△ABC即为ab=8，又a+b=6，由c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣ab=（a+b）2﹣3ab=62﹣3×8=12，解得c=2．故选C．12．把数列{2n+1}依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（）A．1992 B．1990 C．1873 D．1891【考点】F1：归纳推理．【分析】由a n=2n+可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故第100个括号内各数之和是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求【解答】解：由已知可知：原数列按1、2、3、4项循环分组，每组中有4个括号，每组中共有10项，因此第100个括号应在第25组第4个括号，该括号内四项分别为a247、a248、a249、a250，因此在第100个括号内各数之和=a247+a248+a249+a250=495+497+499+501=1992，故选A．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（文科做）命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．14．两等差数列{a n}和{b n}，前n项和分别为S n，T n，且，则等于．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用==，即可得出结论．【解答】解：====．故答案为：．15．方程x2﹣2kx﹣3k=0一根大于1，一根小于﹣1，则实数k的取值范围（1，+∞）．【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】设（x）=x2﹣2kx﹣3k，令f（1）＜0且f（﹣1）＜0即可解出k的范围．【解答】解：设f（x）=x2﹣2kx﹣3k，由题意可知，即，解得k＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设M是，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，的最小值是18．【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量数量积的运算．【分析】由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的，得出x+y=，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，则，当且仅当时，的最小值为18．故答案为：18三、解答题17．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，求{a n}的公比q．【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），再根据a1≠0，q≠0，从而求出公比q的值．【解答】解依题意有2S3=S1+S2，即2（a1+a1•q+）=a1+（a1+a1•q），由于a1≠0，∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=﹣．18．变量x，y满足（1）设z=，求z的最小值；（2）设z=x2+y2+6x﹣4y+13，求z的取值范围．【考点】7C：简单线性规划．【分析】（1）先画出满足条件的平面区域，求出A，B，C的坐标，根据z=的几何意义，从而求出z的最小值；（2）z=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形求出即可．【解答】解由约束条件作出（x，y）的可行域，如图阴影部分所示：由，解得A（1，），由，解得C（1，1），由，可得B（5，2），（1）∵z==，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知z min=k OB=；（2）z=x2+y2+6x﹣4y+13=（x+3）2+（y﹣2）2的几何意义是可行域上的点到点（﹣3，2）的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到（﹣3，2）的距离中，d min=4，d max=8．故z的取值范围是[16，64]．19．已知△ABC的外接圆的半径为，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，，且．（I）求角C；（II）求△ABC的面积S的最大值，并判断此时△ABC的形状．【考点】HT：三角形中的几何计算；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据建立等式关系，利用正余弦定理即可求角C；（II）根据△ABC的面积S=absinC，利用余弦定理和基本不等式求最大，即可判断此时△ABC的形状．【解答】解：向量，，且．（I）∵，∴sin2A﹣sin2C=（a﹣b）sinB．由正弦定理可得：sinA=，sinB=，sinC=，∴a2﹣c2=（a﹣b）b．由余弦定理：cosC=．∵0＜C＜π，∴C=．（II）△ABC的面积S=absinC，∵C=，R=，∴c=2RsinC=．由余弦定理：得a2+b2=6+ab．∵a2+b2≥2ab，（当且仅当a=b是取等）∴ab≤6．故得△ABC的面积S=absinC=．∵C=，a=b．此时△ABC为等边三角形．20．已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【考点】74：一元二次不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由函数y=的定义域是R，得出ax2+2ax+1≥0恒成立，求出a的取值范围；（2）由题意得ax2+2ax+1的最小值是，求出a的值，代入不等式x2﹣x﹣a2﹣a ＜0，求解集即可．【解答】解：（1）函数y=的定义域为R，∴ax2+2ax+1≥0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，须，即，解得0＜a≤1；综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥，a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．21．已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，d max=6．…22．已知等比数列{a n}的前n项和为S n=2•3n+k（k∈R，n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足a n=4，T n为数列{b n}的前n项和，试比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，并证明你的结论．+1【考点】89：等比数列的前n项和；8K：数列与不等式的综合．【分析】（I）利用递推关系可得，n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=4×3n﹣1由{a n}是等比数列可得a1=S1=6+k=4从而苛求得k=﹣2，代入可求通项公式（II）结合（I）可求得，根据通项公式的特点求和时可利用错位相减可求T n，要比较3﹣16T n与4（n+1）b n的大小，可通过作差法可得，4（n+1）b n+1﹣（3﹣16T n）+1=通过讨论n的范围判断两式的大小【解答】解：（Ⅰ）由S n=2﹣3n+k可得=4×3n﹣1n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1∵{a n}是等比数列∴a1=S1=6+k=4∴k=﹣2，a n=4×3n﹣1（Ⅱ）由和a n=4×3n﹣1得T n=b1+b2+…+b n=两式相减可得，=4（n+1）b n﹣（3﹣16T n）=+1而n（n+1）﹣3（2n+1）=n2﹣5n﹣3当或＜0时，有n（n+1）＞3（2n+1）所以当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1那么同理可得：当时有n（n+1）＜3（2n+1），所以当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1综上：当n＞5时有3﹣16T n＜4（n+1）b n+1；当1≤n≤5时有3﹣16T n＞4（n+1）b n+1。
2017-2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=12．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x03．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1 6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．197．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+128．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=1【解答】解：双曲线的标准方程为﹣y2=1，可得a=2，b=1，由于渐近线方程为y=±x，即为y=±x．即x±2y=0．故选：A．2．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为：￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0．故选：D．3．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，a=3，b=4，c=5，则|PF2|≥a+c=8，则|PF2|的长度不可能为：7．故选：A．4．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1），a∥b，c∥b⇒a∥b，根据空间平行线的传递性，可判定（1）正确；对于（2），a⊥c，b⊥c⇒a与b可能相交、平行、异面，故（2）错；对于（3），a∥α，α∩β=b⇒a∥b或a、b异面，故（3）错；对于（4），a⊥α，b⊥α⇒a∥b，根据线面垂直的性质，可判定（4）正确；故选：B．5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1【解答】解：由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，结合题意△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得：﹣＜m＜，故﹣＜m＜的一个充分不必要条件是：0≤m＜1，故选：D．6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．19【解答】解：当m=187，n=85时，r=17，m=85，n=17，不满足退出循环的条件；当m=85，n=17时，r=0，m=17，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为17，故选：C．7．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+12【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个下底边长为4，上底边长为2，高为2的正四棱台，故下底面面积为：16，上底面面积为：4，棱台的侧高为=，故侧面积为：4×（2+4）×=12，故该几何体的表面积为20+12，故选：C．8．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点O，连结OC，∵在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，∴OC⊥AB，设AD=1，则OC=OA=OB=1，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，，），=（1，﹣1，0），设折叠后直线AD，BC所成角为θ，则cosθ===．∴折叠后直线AD，BC所成的余弦值为．故选：B．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）【解答】解：∵椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，利用椭圆的定义，∴椭圆C上存在点M使得|MF2|=，又∵|MF2|∈[a﹣c，a+c]，∴a﹣c≤≤a+c，解得，则C的离心率e的范围是[），故选：B．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆【解答】解：由题意可得过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，所有动直线构成以直线A1A为轴线的圆锥面，且半锥角为，如图轴线与平面BDC1所成的角为∠CC1H，设正方体的边长为1，可得CH=，C1H=，可得sin∠CC1H=＞，可得∠CC1H大于半锥角，则这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为椭圆．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：如图：四棱锥C﹣EFD1B1的体积为：=8﹣﹣=3．故选：C．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）【解答】解：圆O：x2+y2=1，圆心（0，0），半径为1．设AB的中点为M，切点为N，连OM，则|NM|=|MA|=|MB|，|OM|﹣|MN|=|ON|=1，可得M的轨迹是双曲线的右支，a=，c=1，则b=，双曲线的中心（1，0），实轴在x轴上，双曲线方程为：，x＞0动点B（x，y），则M（，），可得，即x2﹣=1（x＞0）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为31．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，k=2，s=3；当k=2时，满足进行循环的条件，k=4，s=7；当k=4时，满足进行循环的条件，k=6，s=13；当k=6时，满足进行循环的条件，k=8，s=21；当k=8时，满足进行循环的条件，k=10，s=31；当k=10时，不满足进行循环的条件，故输出的k值为31，故答案为：31．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为（9，25] ．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，可得，解得：9＜k≤25．则k的范围为：（9，25]．故答案为：（9，25]．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，∠BAC=，由余弦定理可得BC==，设底面ABC的小圆半径为r，则，可得r=连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，则R=∴外接球的表面积S=4πR2=故答案为：．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．【解答】解：如图，l为该双曲线的左准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵=，|QF1|=2|PF1|，∴=，|QQ1|=2d；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：==；∴解得d=（c﹣）∵根据双曲线的定义，|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF1|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，=，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0∴双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题P是真命题时，可得：（a﹣2）2﹣4≤0，解得a∈[0，4]；x∈[2，3]，x﹣1≥1，x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．可得a＞3．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可得两个命题一真一假，依题意p为真，q为假时：可得a∈[0，3]；q真p假时，a∈（4，+∞）实数a的取值范围：[0，3]∪（4，+∞）．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），∵椭圆C过点A（，），B（﹣1，﹣）．∴，解得m=，n=，∴该椭圆的标准方程为．（2）椭圆的左焦点F（﹣1，0），过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣），|AB|=3，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，∴=，解得k=±1，∴直线l的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x﹣y+1=0．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AC，∵六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，∴AC⊥BD，AF⊥BD，∵AC∩AF=A，∴BD⊥平面ACF，∵CF⊂平面ACF，∴DB⊥CF．（法二：向量法）：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），F（0，0，3），=（2，﹣2，0），=（﹣2，﹣2，3），=﹣4+4+0=0，∴BD⊥CF．解：（2）E（0，2，2），=（﹣2，2，2），=（﹣2，0，3），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（3，1，2），设直线CF与平面DEF所成角为θ，则sinθ===．∴直线CF与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AB 1，交A1B于点O，连结OD，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1的中点，∵D是棱CC1的中点，∴OD∥PB1，∵OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（法二：向量法）：以A1为原点，A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，∴P（0，4，0），B1（1，0，0），A1（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），=（1，﹣4，0），=（1，0，2），=（0，2，1），设平面BDA1的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣2，得=（4，1，﹣2），∵•=0，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．解：（2）=（1，0，0），=（0，2，1），设平面A1B1D的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，﹣2），平面BDA1的法向量=（4，1，﹣2），设二面角B1﹣A1D﹣B的平面角为θ．则cosθ===．∴二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值为．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y=﹣（x﹣c），代入椭圆方程，化简得（a2+4b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣4a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=﹣+c∵+=（x1+x2，y1+y2）与=（2，1）平行，∴2（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，∴2（﹣+c）﹣=0，∴3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴4c2=a2，∴2c=a，∴e==；（2）由（I）知a2=b2，所以椭圆可化为3x2+4y2=4b2，F（c，0），设M（x，y），由已知=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），∴∵M（x，y）在椭圆上，即（λ﹣μ）2（3x12+4y12）+2（λ2﹣μ2）（3x1x2+4y1y2）+（λ+μ）2（3x22+4y22）=4b2．①由（1）知a2=4c2，b2=3c2．∴x1+x2=，x1x2=﹣c2，∴y1y2=（﹣x1+c）（﹣x2+c）=（x1x2﹣c（x1+x2）+c2）=﹣c2，∴3x1x2+4y1y2=﹣c2﹣c2=﹣c2，又3x12+4y12=4b2=12c2，3x22+4y22=4b2=12c2，代入①得λ2+47μ2=12．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0，得（x﹣2）2+y2=36，∵|CM|=|CN|，MC∥DP，∴∠CMN=∠CNM=∠PDN，|PD|=|PN|，故|PD|+|PC|=|PN|+|PC|=|CN|=6，由题设得D（﹣2，0），C（2，0），|PD|+|PC|=6＞|CD|=4，由椭圆定义可得点P的轨迹方程为：（y≠0）；（2）由题意可设l1的方程为y=k（x+2）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），联立，得（9k2+5）x2+36k2x+36k2﹣45=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|EF|===．直线l2的方程为y=，联立，解得，．不妨取k＞0，则∴P（﹣，+），Q（，﹣），则P到直线kx﹣y+2k=0的距离=．Q到直线kx﹣y+2k=0的距离=．∴四边形PEQF面积：S=====∈（10，）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
重庆市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理2018011202123
重庆市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线033=-+y x 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 2.抛物线2y x =的准线方程为 A 、14x =B 、14x =-C 、14y =D 、14y =-3、若直线10ax y ++=与直线()210a x y --=平行，则实数a 的值为 A 、12-B 、13C 、1D 、12-或1 4. 对任意的实数m ，直线1+=my x 与圆422=+y x 的位置关系一定是（ ） A ． 相切 B ．相交且直线过圆心 C ．相交且直线不过圆心 D ． 相离5.直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：(2)10m x my -+-=，则“1m =”是“12l l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知椭圆方程为14922=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过左焦点1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长为（ ）A ．12B ．9 C.6 D ．47. 若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m <0 B ．0m <<1 C. m >1 D ．1m -<<08、过点()0,1的直线l 被圆()2214x y -+=所截得的弦长最短时，直线l 的斜率为（ ）A 、1B 、1-CD 、9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝010、已知点()0,1A -，抛物线()2:20C y pxp =>的焦点为F ，直线AF 与抛物线C 在第一象限交于M 点，AF FM =，O 为坐标原点，则OAM ∆的面积为A 、1B 、2C 、12D 、411、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为其右支上一点，连接1PF 交y 轴于点Q ，若2PQF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC 、2D 12、已知点P 在以F 为左焦点的双曲线22:1C x y -=上运动，点A 满足0AP AF ⋅=，则点A 到原点的最近距离为（ ）A 、1BCD 、2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
重庆市巴蜀中学高二数学上学期期中复习试题
重庆市巴蜀中学高二数学上学期期中复习试题号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班重庆市巴蜀中学高二数学上学期期中复习试题巴中2021-2021学年上学期高二期中复习试卷理科数学考前须知：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·周南中学]假设a1b0，1c0，那么以下不等式成立的是〔〕A．2b2a B．log a b log b c C．a2b2D．c2log b a2．[2021·南昌十中]函数f x log2x22x3的定义域是〔〕A．3,1B．3,1C．,3U1,D．,3U1,3．[2021·安徽师大附中]等差数列an中S918，S n240，an430n9，那么项数为〔〕A．10B．14C．15D．17x y14．[2021·厦门外国语学校]实数x，y满足x2y20，假设zx ay只在点4,3处2xy2取得最大值，那么a的取值范围是〔〕-1-A．,1B．2,C．,1D．1 ,25．[2021·南海中学]等比数列a n的前n项和为S n，且满足2S n2n1，那么的值为〔〕A．4B．2C．2D．46．[2021·铜梁县第一中学]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设sin2Asin2B sin2C0，a2c2b2ac0，c2，那么a〔〕A．3B．1C．1D．3 227．[2021·揭阳三中]a0，b0，a2b1，那么11的取值范围是〔〕a bA．,6B．4,C．6,D．322,8．[2021·白城一中]a n的前n项和S n n24n1，那么a1a2L a10〔〕A．68B．67C．61D．609．[2021·黑龙江模拟]在△ABC中，B π，AB2，D为AB的中点，△BCD的面积为33，34那么AC等于〔〕A．2B．7C．10D．1910．[2021·黑龙江模拟]在数列a n 中，假设a2，且对任意正整数m、，总有a ama，1k mk k那么a n的前n项和为S n〔〕A．n3n1B．nn3C．nn1D．n3n122x011．[2021·江南十校]x，y满足x2y3，z xy的最小值、最大值分别为a，b，2x y3且x2kx10对x a,b上恒成立，那么k的取值范围为〔〕A．2k2B．k2C．k2145 D．k7212．[2021·盘锦市高级中学]锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设b2aac，那么sin 2A的取值范围是〔〕AsinB-2-A．0,2B．1,3C．1,2D．0,3222222第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2021·金山中学]关于x的不等式x22kxk2k10的解集为xxa,xR，那么实数a______．14．[2021·柘皋中学]数列a n中，假设a11，a n1n a n，那么a n______．n115．[2021·余姚中学]在△ABC中，角A ，，C的对边分别为a，b，c，c22，2a216，B b那么角C的最大值为_____．16．[2021·哈尔滨市第六中学]数列a n满足a n a n11nn1nn2，S n是其前n2项和，假设S2*******b，〔其中a1b0〕，那么23的最小值是_________________．a1b三、解答题：本大题共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔10分〕[2021·豫南九校]〔1〕关于x的不等式x2axa3的解集非空，求实数a的取值范围；〔2〕x 5，求函数y4x21的最大值．44x5-3-18．〔12分〕[2021·凌源二中]等差数列a n满足a13，a515，数列b n满足b14，b531，设正项等比数列c n满足c n b n a n．1〕求数列a n和c n的通项公式；（2〕求数列b n的前n项和．-4-19．〔12分〕[2021·邯郸期末 ]在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，假设bcosC2a ccosB，〔1〕求B的大小；〔2〕假设b7，a c 4，求a，c的值．-5-x y10 20．〔12分〕[2021·阳朔中学]假设x，y满足x y30，求：3x y50〔1〕z2x y的最小值；〔2〕z x2y2的范围；x的最大值．〔3〕z yx-6-21〔．12分〕[2021·临漳县第一中学]如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD2，sinB36．8（1〕求sinBAD的值；（2〕求cosADC及△ABC外接圆的面积．-7-22．〔12分〕[2021·肥东市高级中]数列a n的前n项和为S n，a11，2 2S S1n2,n N*n n1〔1〕求数列a n的通项公式；〔2〕记b n log1a n n N*，求1的前n项和T n．bnbn12-8-理科数学答案第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当a2，b 12a b2a1时：，排除A；244a2b21，排除C；c2log b a1，排除D，应选B．42．【答案】D【解析】不等式x22x30的解为x3或x1．故函数的定义域为,3U1,，故选D．3．【答案】C9a1a99a18，a2，所以【解析】因为S=9255na1a n na5a n4n230240，n15，应选C．S n=2224．【答案】Cx y1【解析】由不等式组x2y20作可行域如图，2xy2联立x2y 2，解得C4,3．x y1当a0时，目标函数化为z x，由图可知，可行解4,3使zx ay取得最大值，符合题意；-9-当a0时，由z x ay，得y1x z，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，a a可行解4,3为使目标函数zx ay的最优解，a1符合题意；当a0时，由z x ay，得y1xz，此直线斜率为负值，a a1要使可行解4,3为使目标函数zxay取得最大值的唯一的最优解，那么0，即a0．a 综上，实数a的取值范围是,1，应选C．5．【答案】C【解析】根据题意，当n1时，2S12a14，故当n2时，a n S n Sn12n1，Q数列a是等比数列，那么a1，故41，解得2，应选C．n126．【答案】B【解析】因为sin2A sin2B sin2C0，所以a2b2c20，C为直角，因为a2c2b2ac0，所以cosB a2c2b21，Bπ，2ac23因此a ccos π，应选B．137．【答案】D【解析】∵a2b1，∴1111a2b32b a322b a322〔当a b a b a b a b2b a时等号成立〕．应选D．a b8．【答案】B【解析】当n1时，S1a12，当n2时，a n S n Sn1n24n124n112n5，n1故a n2,n1a a0a a La，据通项公式得，2n5,n2123410∴a1a2La10a1a2a3a4La10S102S22410122167．应选B．109．【答案】B-10-【解析】由题意可知在△BCD中，B π，BD1，3∴△BCD的面积S1BC BD sinB1BC333，2224解得BC3，在△ABC中由余弦定理可得：AC2AB2BC22ABBCcosB223222317，∴AC7，应选B．210．【答案】C【解析】递推关系amk ama中，令k1可得：am1a a am2，即a a2恒k m1m1m成立，据此可知，该数列是一个首项a12，公差d2的等差数列，其前n项和为：S n na1nn1d2nnn12n n1．此题选择C选项．2211．【答案】Bx 0【解析】作出x 2y 3表示的平面区域〔如下图〕，2x y3显然z xy的最小值为0，当点x,y在线段x2y30x1上时，z xy x3x1x23x1；2222当点x,y在线段2x y30x1上时，z xy x32x2x23x9；8即a0，b 9；8-11-当x0时，不等式x2kx110恒成立，假设x2kx10对x0,9上恒成立，那么k x1在0,9上恒成立，8x8又x1在0,1单调递减，在1,9上单调递增，x8即x12，即k2．xmin12．【答案】C【解析】因为b2aa c，所以b2a2ac，由余弦定理得：b2a2c22accosB，所以a2c22accosB a2ac，所以a2acosB c，由正弦定理得sinA2sinAcosB sinC，因为CπA B，所以sinA2sinAcosB sinA B sinAcosB cosAsinB，即sinA sinBA，因为三角形是锐角三角形，所以A0,π，所以0B Aπ，所以A BA或A BAπ，22所以B2A或Bπ〔不合题意〕，因为三角形是锐角三角形，所以0Aπ，02Aπ，0π3Aπ，222所以πAπ，那么sin2A sinA1,2，应选C．64sin B A22第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．【答案】1【解析】因为关于x的不等式x22kxk2k10的解集为xxa,xR，所以24k2k10，所以4k40，所以ak1，故答案是1．2k14．【答案】1n【解析】Qa1，a n a，得a n1n，所以1n1n1n a n n1 a2a3a4L a n123L n11，a n 1．故答案为1．a1a2a3a n1234n n n n 15．【答案】π6-12-【解析】在△ABC 中，由角C 的余弦定理可知a2b2c222b 2 a 23a2b2cosC ab23π，2ab2ab4ab，又因为0C2所以C max π．当且仅当a 2 2，b2 6时等号成立．616．【答案】5 26【解析】根据题意，由得： a 3 a 2 3 ，a 5 a 45，L ，a 2021 a20212021， 把以上各式相加得： S2021a 11008，即：a 1 1008 1007b ， a 1b1，那么2 3 23a 1b52b 3a 1 522b 3a 1 526，a 1b a 1 ba 1 ba 1b即23的最小值是 52 6 ，故答案为 5 2 6 ．a 1 b三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】〔1〕a 6或a 2 ；〔2〕y max 1．【解析】〔1〕设fxx 2ax a ，那么关于x 的不等式x 2ax a3 的解集不是空集fx3在R 上能成立fmin x 3，即f min x4a a 23解得a6或a2．〔或由x 2 ax a 3 0的解集非空得0亦4可得〕〔2〕Qx5，54x0， y4x21 5 54x5 1 3 231，44x4x当且仅当54x1，解得 x 1或x3而x3 5， x 1，54x22 4即x1时，上式等号成立，故当 x 1 时，y max 1．n3 3nn18．【答案】〔1〕 a n3 c nn 11 2 ．n ，2；〔2〕1 22【解析】〔1〕设等差数列a n 的公差为d ，依题意得a 5 a 1 4d3 4d 15d3，所以a3 3n1 3n ．n-13-设等比数列 c n 的公比为q ，依题意得c 1 b 1a 14 31，c 5b 5a 531 1516，从而c 5c 1q 416 1 q 4q2，所以c n 1 2n 1 2n1．〔2〕因为c nb n a nb n a nc nb n 3n 2n1，所以数列b n 的前n 项和为S n 311 2L 3n2n 16292369L3n 1222L2n1n33n1 2n．21 219．【答案】〔1〕π〔2〕1，3或3，1．3【解析】〔1〕由得sinBcosC 2sinA cosB sinC cosB ，∴sinBC 2sinAcosB ．∵BCπA ，∴sinA2sinAcosB ．∵A ，B0,π，所以sinA0，∴cosB1，所以Bπ．23〔2〕∵b 2a 2 c 22accosB ，即7a23ac ，∴3ac 167 9 ，cac3，又∵ac4，∴a1，c3或a3，c1．20．【答案】〔1〕4；〔2〕 9,25；〔3〕3．2【解析】〔1〕作出满足条件的可行域为 △ABC 内〔及边界〕区域，其中 A1,2，B2,1，C3,4．目标函数 z2xy ，表示直线l:y 2x z ，z 表示该直线纵截距，当 l 过点A 时纵截距有最小值，故 z min 4．〔2〕目标函数 z x 2 y 2表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离-14-3 32且垂足是D 3,3在线段AB 上，故OD2z OC 2，即z9,25．d222 2 2〔3〕目标函数zy1，记ky ．xx那么k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点 A 时，斜率最大，即kmax2， 即zmaxy x3．xmax21．【答案】〔1〕6；〔2〕cos ADC1，S128π．4427【解析】〔1〕在△ABD 中，BD2，sinB36，AD3，8BDADBDsinB23 66，得sin BAD8由正弦定理sin BAD sinB AD3．4〔2〕QsinB3 6 ， cosB10，88Qsin BAD6， cos BAD 10，44cos ADC cos B BAD10103 6 6 1，84 844QD 为BC 中点，DC BD 2 ，在△ACD 中，由余弦定理得：AC 2 AD 2DC 22AD DCcos ADC9 4 3 16 ，AC 4．设△ABC 外接圆的半径为R ，2RAC4 ，sinB3688 6，π86 2128π．R △ABC 外接圆的面积S992722．【答案】〔1〕a1 n N *；〔2〕 n ．n2nn 1【解析】〔1〕当n2时，由 2S nSn11 及a 11，得2S 2S 1 1 ，即2a 1 2a 2a 1 1，解2得a 21 ．4又由2S n S n 1 1，①，可知 2S n 1 S n 1 ，②②-①得2a n1a n ，即a1an2 ．且na 212 1时，适合上式，n1na 12-15-因此数列a n是以1为首项，公比为1的等比数列，故an1n N*．222nnN*1n〔2〕由〔1〕及b log an ，可知b n log1n，n12 22所以1111，bnbn1nn1nn1故T n11L11111L1111n．b1b2b2b3bnbn1223nn1n1n1-16-。
重庆市巴蜀中学2018_2019学年高二数学上学期期中复习试题
此
取得最大值，则 a 的取值范围是（
）
班级
-1-
A． , 1
B． 2,
C． ,1
1 D． , 2
5．[2018·南海中学]已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 2Sn 2n 1 ，则 的值为 （ A．4 ） B．2 C． 2 D． 4
封
密
3． 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
考场号
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一
不
订
项是符 合题目要 求的． 1．[2018·周南中学]若 a 1 b 0 ， 1 c 0 ，则下列不等式成立的是（ A． 2b 2 a B． log a b logb c C． a 2 b 2 ）
D． c 2 logb a ）
装
准考证号
2．[2018·南昌十中]函数 f x log 2 x 2 2 x 3 的定义域是（ A． 3,1 C． , 3 1, B． 3,1 D． , 3 1,
am k am ak ，则 an 的前 n 项和为 Sn （
） C． n n 1 D．
n 3n 1 2
A． n 3n 1
B．
n n 3 2
x 0 11．[2018·江南十校]已知 x ， y 满足 x 2 y 3 ， z xy 的最小值、最大值分别为 a ， b ， 2 x y 3
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2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=12．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x03．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1 6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．197．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+128．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=1【解答】解：双曲线的标准方程为﹣y2=1，可得a=2，b=1，由于渐近线方程为y=±x，即为y=±x．即x±2y=0．故选：A．2．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为：￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0．故选：D．3．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，a=3，b=4，c=5，则|PF2|≥a+c=8，则|PF2|的长度不可能为：7．故选：A．4．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1），a∥b，c∥b⇒a∥b，根据空间平行线的传递性，可判定（1）正确；对于（2），a⊥c，b⊥c⇒a与b可能相交、平行、异面，故（2）错；对于（3），a∥α，α∩β=b⇒a∥b或a、b异面，故（3）错；对于（4），a⊥α，b⊥α⇒a∥b，根据线面垂直的性质，可判定（4）正确；故选：B．5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1【解答】解：由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，结合题意△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得：﹣＜m＜，故﹣＜m＜的一个充分不必要条件是：0≤m＜1，故选：D．6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．19【解答】解：当m=187，n=85时，r=17，m=85，n=17，不满足退出循环的条件；当m=85，n=17时，r=0，m=17，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为17，故选：C．7．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+12【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个下底边长为4，上底边长为2，高为2的正四棱台，故下底面面积为：16，上底面面积为：4，棱台的侧高为=，故侧面积为：4×（2+4）×=12，故该几何体的表面积为20+12，故选：C．8．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点O，连结OC，∵在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，∴OC⊥AB，设AD=1，则OC=OA=OB=1，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，，），=（1，﹣1，0），设折叠后直线AD，BC所成角为θ，则cosθ===．∴折叠后直线AD，BC所成的余弦值为．故选：B．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）【解答】解：∵椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，利用椭圆的定义，∴椭圆C上存在点M使得|MF2|=，又∵|MF2|∈[a﹣c，a+c]，∴a﹣c≤≤a+c，解得，则C的离心率e的范围是[），故选：B．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆【解答】解：由题意可得过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，所有动直线构成以直线A1A为轴线的圆锥面，且半锥角为，如图轴线与平面BDC1所成的角为∠CC1H，设正方体的边长为1，可得CH=，C1H=，可得sin∠CC1H=＞，可得∠CC1H大于半锥角，则这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为椭圆．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：如图：四棱锥C﹣EFD1B1的体积为：=8﹣﹣=3．故选：C．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）【解答】解：圆O：x2+y2=1，圆心（0，0），半径为1．设AB的中点为M，切点为N，连OM，则|NM|=|MA|=|MB|，|OM|﹣|MN|=|ON|=1，可得M的轨迹是双曲线的右支，a=，c=1，则b=，双曲线的中心（1，0），实轴在x轴上，双曲线方程为：，x＞0动点B（x，y），则M（，），可得，即x2﹣=1（x＞0）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为31．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，k=2，s=3；当k=2时，满足进行循环的条件，k=4，s=7；当k=4时，满足进行循环的条件，k=6，s=13；当k=6时，满足进行循环的条件，k=8，s=21；当k=8时，满足进行循环的条件，k=10，s=31；当k=10时，不满足进行循环的条件，故输出的k值为31，故答案为：31．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为（9，25] ．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，可得，解得：9＜k≤25．则k的范围为：（9，25]．故答案为：（9，25]．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，∠BAC=，由余弦定理可得BC==，设底面ABC的小圆半径为r，则，可得r=连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，则R=∴外接球的表面积S=4πR2=故答案为：．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．【解答】解：如图，l为该双曲线的左准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵=，|QF1|=2|PF1|，∴=，|QQ1|=2d；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：==；∴解得d=（c﹣）∵根据双曲线的定义，|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF1|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，=，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0∴双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题P是真命题时，可得：（a﹣2）2﹣4≤0，解得a∈[0，4]；x∈[2，3]，x﹣1≥1，x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．可得a＞3．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可得两个命题一真一假，依题意p为真，q为假时：可得a∈[0，3]；q真p假时，a∈（4，+∞）实数a的取值范围：[0，3]∪（4，+∞）．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），∵椭圆C过点A（，），B（﹣1，﹣）．∴，解得m=，n=，∴该椭圆的标准方程为．（2）椭圆的左焦点F（﹣1，0），过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣），|AB|=3，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，∴=，解得k=±1，∴直线l的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x﹣y+1=0．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AC，∵六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，∴AC⊥BD，AF⊥BD，∵AC∩AF=A，∴BD⊥平面ACF，∵CF⊂平面ACF，∴DB⊥CF．（法二：向量法）：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），F（0，0，3），=（2，﹣2，0），=（﹣2，﹣2，3），=﹣4+4+0=0，∴BD⊥CF．解：（2）E（0，2，2），=（﹣2，2，2），=（﹣2，0，3），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（3，1，2），设直线CF与平面DEF所成角为θ，则sinθ===．∴直线CF与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AB 1，交A1B于点O，连结OD，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1的中点，∵D是棱CC1的中点，∴OD∥PB1，∵OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（法二：向量法）：以A1为原点，A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，∴P（0，4，0），B1（1，0，0），A1（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），=（1，﹣4，0），=（1，0，2），=（0，2，1），设平面BDA1的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣2，得=（4，1，﹣2），∵•=0，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．解：（2）=（1，0，0），=（0，2，1），设平面A1B1D的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，﹣2），平面BDA1的法向量=（4，1，﹣2），设二面角B1﹣A1D﹣B的平面角为θ．则cosθ===．∴二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值为．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y=﹣（x﹣c），代入椭圆方程，化简得（a2+4b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣4a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=﹣+c∵+=（x1+x2，y1+y2）与=（2，1）平行，∴2（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，∴2（﹣+c）﹣=0，∴3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴4c2=a2，∴2c=a，∴e==；（2）由（I）知a2=b2，所以椭圆可化为3x2+4y2=4b2，F（c，0），设M（x，y），由已知=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），∴∵M（x，y）在椭圆上，即（λ﹣μ）2（3x12+4y12）+2（λ2﹣μ2）（3x1x2+4y1y2）+（λ+μ）2（3x22+4y22）=4b2．①由（1）知a2=4c2，b2=3c2．∴x1+x2=，x1x2=﹣c2，∴y1y2=（﹣x1+c）（﹣x2+c）=（x1x2﹣c（x1+x2）+c2）=﹣c2，∴3x1x2+4y1y2=﹣c2﹣c2=﹣c2，又3x12+4y12=4b2=12c2，3x22+4y22=4b2=12c2，代入①得λ2+47μ2=12．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0，得（x﹣2）2+y2=36，∵|CM|=|CN|，MC∥DP，∴∠CMN=∠CNM=∠PDN，|PD|=|PN|，故|PD|+|PC|=|PN|+|PC|=|CN|=6，由题设得D（﹣2，0），C（2，0），|PD|+|PC|=6＞|CD|=4，由椭圆定义可得点P的轨迹方程为：（y≠0）；（2）由题意可设l1的方程为y=k（x+2）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），联立，得（9k2+5）x2+36k2x+36k2﹣45=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|EF|===．直线l2的方程为y=，联立，解得，．不妨取k＞0，则∴P（﹣，+），Q（，﹣），则P到直线kx﹣y+2k=0的距离=．Q到直线kx﹣y+2k=0的距离=．∴四边形PEQF面积：S=====∈（10，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。