10转动定律 转动惯量

第一章 连续体力学第一节 刚体力学基础§1 刚体定轴转动的描述一、刚体质点是一个抽象的物理模型，如果问题不涉及物体的转动及其形状与大小，它就可以被视为质点，否则，就要采用另外的模型。

如研究飞轮转动、地球自转等问题时，就不能把飞轮和地球看作质点。

物体受力时要发生形变，有些物体形变量大（如橡皮等），有些物体形变量小（如铁块等）。

当物体形变量与物体本身的线度相比很小时，可以忽略掉形变量，这样的物体就叫做刚体。

刚体的特点是在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。

显然，严格的刚体是不存在的，它是一种理想模型。

注意：忽略了形变量不等于没有形变。

因为没有形变就没有弹力，因此刚体只是忽略了与问题关系不大的微小形变量。

如图，将一个长型物体水平放置，在A 端以水平力F 推之，则该物体要获得水平加速度。

这件事看起来平淡无奇，但我们要问：力F 只作用在物体的A部分，B 、C 各部分，乃至最远的Z 端，并没受F 的作用，如何也获得了同样的加速度？这当然是推力从A 到B 、B 到C ······一步步传下去，一直到Z 。

传递推力的机制是物体的弹性：开始时力F 使A 加速，而B 未动，于是A 、B 之间产生压缩而互推；这推力使B 加速，而C 未动，于是B 、C 之间产生压力而互推；······依次类推，推力一直传递到Z 端。

由此可见，这是一个弹性力的传递过程，在过程中没有物体的形变是不行的。

在许多情况下，物体的弹性形变小得可以忽略，这样，就可以把实际物体抽象成刚体。

所以，刚体就是大小和形状完全不变的物体。

完全不发生形变的物体如何传递力？问题不该这样提。

实际上，弹性波传播速度正比于弹性模量的平方根。

物体的刚性越大，弹性模量越大，扰动在其中的传递速度也越大。

刚体模型与弹性波传播速度无穷大的假设是等价的。

一般说来，固体中弹性波的速度约为3310m/s ⨯，在1ms 内传播3m 左右，只要我们所讨论的运动过程比这缓慢的多，就可以认为弹性扰动的传递是瞬时的，亦即，可把物体当作刚体处理。

二、刚体的基本运动刚体的运动形式多种多样，但总可以被看成是平动与转动的合成。

平动和转动是刚体最基本的运动形式。

刚体的转动又分为定轴转动和瞬时轴转动。

定轴转动是指刚体的转轴是固定不动的；瞬时轴转动是指刚体的转轴不断变化。

本章主要研究刚体的定轴转动。

三、刚体定轴转动的描述刚体作定轴转动时，其上各点均作圆周运动，且圆心都在转轴上。

所以，刚体上各点的角位移、角速度、角加速度都是一样的，因此用角量描述刚体的定轴转动比较适宜。

如图所示，刚体作定轴转动，其角速度为dtd θω= 角速度是一矢量，它的方向与转动的方向成右手螺旋关系。

刚体的角加速度为22d d dt dtωθβ== 角加速度也是一矢量。

当ω 增加时，β与ω 同向；当ω 减小时，β与ω 反向。

§2 刚体定轴转动定律一、力对轴的矩刚体作定轴转动时，其轴是被固定的。

假定刚体受到外力F 作用。

把F 分解成平行于轴的分力//F 和垂直于轴的分力⊥F 。

//F 的力矩被轴所受的力R 、R '平衡了，所以它对刚体的定轴转动没有贡献。

⊥F 又可分解成切向分力t F 和法向分力n F 。

由于n F 通过O 点，所以不产生力矩。

因此与刚体定轴转动有关的只是t F ，即只有t F 对刚体的转动有贡献。

定义：力对轴的矩 ⊥⨯=F r M力矩是一个矢量，其方向平行于转轴，大小为t M rF =。

下面考察力对点的矩与力对轴的矩之间的关系。

在轴上任找一点/O ，则力对/O 点的矩为 F r M ⨯'=其大小为F r F r M '='=090sin它沿轴向的分量为rF F r M M z ='==ααcos cos显然，力对轴上一点的矩沿轴向的分量等于力对轴的矩，即轴M M z =。

二、刚体对轴的角动量刚体定轴转动时，其上各点都有速度，都有角动量。

定义：刚体上任一质点对转轴的角动量为v m r L ⨯=轴式中的r是m 相对于轴的矢径。

角动量的大小和方向为 rmv L =轴 ↑质点对/O 的角动量为v m r L ⨯'=其大小为 mv r mv r L '='=090sin它沿轴向的分量为rmv mv r L L z ='==ααcos cos显然，质点对轴上某点的角动量沿轴向的分量等于质点对轴的角动量，即=z L 轴L 。

整个刚体对轴的总角动量为2()i i i i i i i i i i i i iL L rm v rm r m r J ωωω=====∑∑∑∑式中的2i i i rm I ∑=叫刚体对转轴的转动惯量，下一节再对它进行详细的讨论。

刚体定轴转动时的角动量等于它对轴的转动惯量与角速度之积。

三、刚体定轴转动定律在第二章中讲过，质点系的角动量定理为dt L d M =∑外 式中的∑外M 和L 都是相对于某一参考点的。

本章中，我们关心的是对轴的力矩和对轴的角动量。

因此，把上式两边同时对轴投影，得 dt L d dt L d M 轴轴轴外 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑)( 因为上式是分量式，所以常写成标量形式。

本章中我们主要讨论对轴的转动，所以可以去掉式中的角码。

这样上式就变成dtdL M =∑外 即质点系定轴转动时各外力对轴的力矩之和等于系统对轴角动量随时间的变化率。

这就是质点系定轴转动的角动量定理的微分形式。

对定轴转动的刚体，把上式作如下变换：()dL d J d M J J dt dt dtωωβ====∑外 即 M J β=∑外该式表明：刚体定轴转动时各外力对轴的力矩和等于刚体对轴的转动惯量与角加速度之积。

这个结论就是刚体作定轴转动时的转动定律。

下面举例来应用转动定律。

在以下各例中，我们都先给出刚体的转动惯量，到下一节再来求它。

例1．一轻绳跨过一定滑轮（不打滑），滑轮的两边分别系有质量为1m 和2m 的物体，且21m m >。

滑轮的半径为R ，质量为m ，且均匀分布，能绕通过轮心垂直轮面的水平轴转动，摩擦力矩为r M 。

求重物下落时的加速度和绳两端的张力。

解：做受力分析，列出方程：11122212212r m g T m a T m g m a T R T R M J a R J mR ββ-=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨=⎪⎪⎪=⎩ 联立各式即可求解。

例2．长为l 、质量为m 的匀质细杆竖直放置，处于非稳定平衡状态。

若它受到一微小扰动，它将在重力作用下绕其下端的固定铰链转动，试计算它转到与铅直方向成θ时的角速度。

解：受力分析如图。

杆转动时只有重力有力矩，大小为θsin 2l mgM = 由转动定律得 θθωωθd d dt d ml dt d ml l mg 223131sin 2==θωωd d ml 231= θθωωθωd l g d sin 2300⎰⎰=)cos 1(3θω-=lg 例3．一半径为R 、质量为m 的均质圆盘，放在粗糙的水平面上。

若使其以角速度0ω开始转动，那么经过多长时间盘才停止转动？圆盘转过的角度为多少？已知盘与桌面间的摩擦系数为μ。

解：分析圆盘的受力知，阻碍它转动的力矩是它与桌面之间的摩擦力矩。

为此，先把盘分成许多小圆环。

任找一圆环，设其质量为dm ，半径为r ，则它所受的摩擦力矩为 dr rRg m rdr R m gr rdr gr dmg r dM 222222μππμπσμμ==== 所以，圆盘所受的总摩擦力矩的大小为mgR dr r R mg dM M R μμ322022===⎰⎰ 注意：M 为负值。

由转动定律得 dtd mR mgR ωμ22132=- ωμωd gR dt t⎰⎰-=00043 g R t μω430=又d d dt d ωωβωθ== ，所以 22132d mgR mR d ωμωθ-= 00034R d d gθωθωωμ=-⎰⎰ gR μωθ8320=§3 刚体的转动惯量转动惯量2i i J m r =∑。

若刚体的分布是连续的，则可用微元法求其转动惯量。

把刚体分成许多小质元，任取一个质量为dm 的小质元，它对轴的转动惯量为2dJ r dm =则整个刚体的转动惯量为dm r J ⎰=2对形状规则的刚体可用积分法求其转动惯量，对形状不规则的刚体的转动惯量可用实验测定。

例1．计算匀质细棒的转动惯量。

设杆长为l ，质量为m 。

求：（1）对过其端点O 且垂直于杆的轴的转动惯量。

（2）对过其中点且垂直于杆的轴的转动惯量。

解：（1）如图把棒分程许多小质元dm ，则dx lm dx dm ==λ，它对轴的转动惯量为 dx xl m dm x dJ 22== 整个棒的转动惯量为20231ml dx x l m dI J l ⎰⎰=== （2）棒的转动惯量为22./2/2121ml dx x l m dJ J l l ⎰⎰-=== 例2．求质量为m 、半径为R 的（1）均质圆环；（2）均质圆盘 对过其中心且垂直于圆平面的轴的转动惯量。

解：（1）圆环的转动惯量为⎰⎰===222mR dm R dm R J（2）把圆盘分成许多同心圆环组成，任取其中的一个，则rdr Rm ds dm ππσ22== 圆环的转动惯量为 dr r R m dm r dJ 3222== 整个圆盘的转动惯量为⎰⎰===R mR dr r Rm dJ J 0232212 例2表明：刚体的转动惯量与刚体的质量分布有关；例1表明：刚体的转动惯量与转轴的位置有关。

关于转动惯量有一个重要的定理——平行轴定理。

设刚体的质量为m ，它对通过其质心的轴的转动惯量为c J 。

假定另有一轴与质心轴平行且相距为d ，则通过该轴的转动惯量为2c J J md =+这一关系叫做平行轴定理。

证明：如图所示，C （质心）和O 分别代表垂直于纸面的两根轴。

θcos 2222d r d r r i i i '-+'=∴ 222(2c o s )i i i i i J m r m r d r d θ''==+-∑∑ θcos 222∑∑∑'-+'=i i i i i r m d d m r m 22c i iJ md d m x =+-∑ 式中的i x 是i m 相对于质心C 的横坐标。

∑=i i c x m mx 1 ∴ ∑=i i c x m mx ∴ J =22c c J md dmx +-式中的c x 是质心C 相对于质心C 的横坐标，所以 0=c x 。

故有J =2c J md +最后对转动惯量作几点说明：（1）刚体的转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量。