一高斯光束的光腰半径 -回复
北交大激光原理第4章高斯光束部分-final
第四章高斯光束理论一、学习要求与重点难点学习要求1．掌握高斯光束的描述参数以及传输特性；2．理解q 参数的引入，掌握q 参数的ABCD 定律；3．掌握薄透镜对高斯光束的变换；4．了解高斯光束的自再现变换，及其对球面腔稳定条件的推导；5．理解高斯光束的聚焦和准直条件；6．了解谐振腔的模式匹配方法。
重点1.高斯光束的传输特性；2. q 参数的引入；3. q 参数的ABCD 定律；4.薄透镜对高斯光束的变换；5.高斯光束的聚焦和准直条件；6.谐振腔的模式匹配方法。
难点1. q 参数，及其ABCD 定律；2.薄透镜对高斯光束的变换；3.谐振腔的模式匹配。
1等相位面：以R 为半径的球面，R(z) =z [ 莘 -2点的远场发散角， m = lim 2w(z) _2 --- =e zY ： z 二 W oW o(或f )及束腰位置―；将两个参数W(z)和R(Z)统一在一个表达式中，便于研究 z、知识点总结振幅分布：按高斯函数从中心向外平滑降落。
光斑半径 w(z)二w 0.:高斯光束特征参数 光斑半径w(z)和等相位面曲率半径:/% =w(z) 1 +⑷(z)丿 R(z)、 -'I :( z = R(z) 1十卜 j 匚 辽w(z)丿.二 W 2(z) 2咼斯光束基本性质远场发散角： 1 1. 九iq 参数，q (z) R(z)兀 w(z)2 q (z )=if+z =q +z =i 孚1高斯光束通过光学系统的传输规律2傍轴光线L 的变换规律器 士C ； D』傍轴球面波的曲率半径R 的变换规律R AR^B .遵从相同的变换规律 CR +D高斯光束q 参数的变换规律q^Aq^B Cq i +DABCD 公式高斯光束q 参数的变换规律 高斯光束的聚焦：只讨论单透镜 高斯光束的准直：一般为双透镜ABCD 公式云誓T 高斯光束的模式匹配：实质是透镜变换，分两种情况已知w 0，w 0，确定透镜焦距F 及透镜距离I ，I' 已知两腔相对位置固定l^ I I '及W o ，W o 确定，F 如何选择高斯光束的自再现变换 )W’o =W o or I'=I高斯光束的自再现变换和稳定球面腔q(I')=q(O )T 2透镜F J U 1+徳J]-丿」I 球面镜R(I)=I 1+@曲[] . 4丿」二w 0即F E R(I)=稳定球面腔、典型问题的分析思路2高斯光束的q 参数在自由空间中的传输规律 q(z) = i —些亠z = q 0亠z1)高斯光束通过单个透镜的变换。
激光原理及应用(第三版)习题答案
思考练习题11．试计算连续功率均为1W的两光源，分别发射＝0.5000m m，=3000MHz的光，每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？答：粒子数分别为：2．热平衡时，原子能级E2的数密度为n2，下能级E1的数密度为n1，设，求：(1)当原子跃迁时相应频率为＝3000MHz，T＝300K时n 2/n1为若干。
(2)若原子跃迁时发光波长＝1m，n2/n1＝0.1时，则温度T为多高？答：（1）则有：（2）3．已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为1.64×l0－18J，设火焰(T＝2700K)中含有1020个氢原子。
设原子按玻尔兹曼分布，且4g1＝g2。
求：(1)能级E2上的原子数n2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08n2，求光的功率为多少瓦？答：（1）且可求出（2）功率＝4．(1)普通光源发射＝0.6000m m波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比，求此时单色能量密度为若干？(2)在He—Ne激光器中若，为0.6328m m，设＝1，求为若干？答：（1）（2）5．在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部Cr3＋(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
设红宝石直径0.8cm，长8cm，铬离子浓度为2×1018cm－3，巨脉冲宽度为10ns。
求：(1)输出0.6943m m激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命＝10－2s，问自发辐射功率为多少瓦？答：（1）最大能量脉冲平均功率＝（2）6．试证单色能量密度公式，用波长来表示应为证明：7.试证明，黑体辐射能量密度为极大值的频率由关系给出，并求出辐射能量密度为极大值的波长与的关系。
答：（1）由可得：令，则上式可简化为：解上面的方程可得：即：（2）辐射能量密度为极大值的波长与的关系仍为8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数证明：，由归一化条件且是极大的正数可得：9．试证明：自发辐射的平均寿命，为自发辐射系数。
高斯光束-聚焦与准直
ω0 ' =
3.14 × 10−6 × 0.0099 λf ′ = = 0.0995mm 3.14 π
例２ 波长为3.14μm的高斯光束,腰半径1mm, 分别将一个透镜置于腰处、距离腰２ m处，问使用多长焦距的透镜便可对 它有聚焦作用？
解
λ 1 1 1 3 .14 × 10 −6 = 2−i = −i = −i πω 2 0 .5 q R 3 .14 × (10 − 3 ) 2 1 2+ i 2+ i q= = = = 0 .4 + i 0 .2(m) 2−i 4+1 5
z2 = f2
由q = z + if
z =1m f =1m
(2) ω ( z ) = ω 0 1 +
=
2
F (l − F )2 + f
2 2
2
=1
F
才有聚焦作用
l
(l − F ) + f = F
2 2
2 2 及 l >F+ F − f
l − 2 Fl + f = 0
l = 2F ± 4F − 4 f 2
2 2
好的聚焦需要： 1）短焦距透镜；2）光腰远离透镜；3）双透镜聚焦；
= F ± F2− f
2
2 2 f F
F
1
2
l = F时, 当光腰放在透镜焦点上 l>F l↗
ω 0′ ↘
w′ F ω 0' 0 有极大值 w = f ω0 0
ω' l → ∞时， 0 → 0 ω0
但透镜要无限大 ω ( z ) = ω 0 1 +
z2 f2
(1) F > f 当： l = F − F 2 − f 2
激光原理课后习题-陈鹤鸣-赵新彦精选全文完整版
1.3 什么是时间相干性和空间相干性？怎样定义相干时间和相干长度?时间相干性：光场中同一空间点在不同时刻光波场之间的相干性，描述的是光束传播方向上的各点的相位关系，与光束单色性密切相关。
空间相干性：光场中不同的空间点在同一时刻的光场的相干性，描述的是垂直于光束传播方向的平面上各点之间的相位关系，与光束方向性密切相关。
相干时间t c，即光传播方向上某点处可以使不时刻光波场之间有相干性的最大时间间隔。
相干长度L c指的是可以使光传播方向上两个不同点处的光波场具有相干性的最大空间间隔。
二者实质上是相同的。
L c=t c∙c=C∆ν1.4 为使He-Ne激光器的相干长度达到1Km，它的单色性∆λ/λ0应是多少？L c=C∆ν⁄=1Km ∆ν=3×105Hz∆λλ0=∆νν0=∆νc∙λ0=6.328×10−112.3 如果激光器和微波激射器分别在λ=10μm、λ=500nm和ν=3000MHz输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？W=Pt=nhν当λ=10μm时， ν=cλ=3×1013Hz n=5.03×1019当λ=500nm时，ν=cλ=6×1014Hz n=2.51×1018当ν=3000MHz时，n=5.03×10232.4 设一对激光能级为E2和E1(f2=f1),相应频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求：（1）当ν=3000MHz，T=300K时n2n1⁄=？（2）当λ=1μm，T=300K时n2n1⁄=？（3）当λ=1μm，n2n1⁄=0.1时，温度T=？（1）E2−E1=hν=1.99×10−24 J k b=1.38×10−23J K⁄n2 n1=f2f1e−(E2−E1)k b T=0.9995（2）同理得n2n1⁄=1.4×10−21（3）同理得T =6.26×103K2.10 激光在0.2m 长的增益介质中往复运动的过程中，其强度增加了30%。
激光原理答案
（2）氩离子激光器单模运行时的相干长0 cm，激射波长632.8nm，荧光光谱线宽为：
求：纵模频率间隔，谐振腔内的纵模序数及形成激光振荡的纵模数；
2.已知：He-Ne激光器谐振腔长50 cm，若模式m的波长为632.8 [nm]；计算：纵模m+1的波长；
解：激光器的阈值集居数密度反转为
式中受激发射截面经查表可知（P288）：
介质中的阈值泵浦功率密度：
1.估算CO2激光器波长为10.6um的激光跃迁在400k下的多普勒线宽，讨论在什么气压范围内该跃迁谱线从非均匀加宽过渡到均匀加宽为主（取压力加宽系数平均值为6.5MHz/Torr）（P274习题4.6）
作业七
1试计算：
光腰的大小及位置；
两个反射镜上光斑半径；
画出等效共焦腔的位置。
解，已知：
谐振腔的几何参数
(3)画出等效共焦腔的位置。
2.考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长腔长，腔镜曲率半径为。
试计算：
该球面镜的束腰半径和位置；
两面镜上的光斑尺寸；
画出等效共焦腔的位置。
解
作业八
1.已知：He-Ne激光器的出射激光器束腰直径为1.2mm,
1981年诺贝尔物理学奖----激光光谱学与电子能谱学布隆姆贝根肖洛凯.西格班
1981年诺贝尔物理学奖的一半授予马萨诸塞州坎伯利基哈福大学的布隆姆贝根（Nicolaas Bloembergen,1920--）和美国加利福尼亚州斯坦福大学的肖洛（Arthur L.Schawlow,1921--）,以表彰他们在发展激光光谱学所作的贡献；另一半授予瑞典乌普沙拉（Uppsala）大学的凯.西格班（Kai M.Siegbahn,1918--）,以表彰他在高分辨率电子能谱学所作的贡献。
北京工业大学激光工程研究院2006-2010年硕士研究生入学考试题-激光原理
北京⼯业⼤学激光⼯程研究院2006-2010年硕⼠研究⽣⼊学考试题-激光原理★所有答案必须做在答题纸上，做在试卷上⽆效!⼀填空题（50分）1. 激光具有，，的特点。
2. 实现受激辐射放⼤的条件是。
3. 实现激光振荡的条件是。
4. 共轴球⾯腔（腔长为L，两球⾯镜的半径分别为R1，R2），其稳定性条件是。
5. 根据稳定腔模式理论的解析解，对圆形镜共焦腔，镜⾯上的场分布可以近似为函数表⽰。
6. 基膜⾼斯光束强度在1/e2点的远场发散⾓为。
7. 光束衍射倍率因⼦M2的定义为。
8. 圆波导本征模场具有波导内的场为，波导外的场为。
激光器波长是。
9. Nd:Y AG激光器波长是，CO210. 导体⼆极管激光器是以半导体材料为⼯作物质，其能带结构由，，和构成⼆简述题（70分）（每⼩题10分）1. 说明⾃发辐射，受激辐射，受激吸收2. 烧孔效应3. 弛豫振荡效应4. 兰姆凹陷稳频原理5. 激光器频率牵引6. 量⼦效率7. Q调制激光器⼯作原理三计算题（30分）（每⼩题10分）应是多少？1.氦氖激光器的相⼲长度是1Km，它的单⾊性Δλ/λ2.腔长为10cm的Nd：Y AG激光器，增益介质充满腔，其折射率为1.83，其纵模间隔为多少？3.某氦氖激光器采⽤共焦腔，腔长L=30cm，放电管半径a=0.1cm，震荡波长为0.6238 µm，腔的菲涅尔数为多少？★所有答案必须做在答题纸上，做在试卷上⽆效!⼀试解释下列名词（100分）（每⼩题10分）1.模式，纵模，横模2.共焦参数，模体积，发散⾓3.共焦谐振腔，稳定谐振腔，⾮稳定谐振腔4.⾼斯光束，俄⽶⾼斯光束，拉盖尔⾼斯光束5.荧光线宽，增益线宽，激光线宽6.⾃然加宽，均匀加宽，⾮均匀加宽7.增益系数，激光振荡阈值，激光损伤阈值8.空间烧孔效应，频率牵引效应，频率排斥效应9.驰豫振荡，调Q，锁模10.⾃发辐射跃迁，受激辐射跃迁，受激吸收跃迁⼆填空题（30分）（每⼩题3分）1. 激光具有，，的特点。
高斯光束 通俗
高斯光束1. 引言高斯光束是一种常见的光束模式，具有重要的理论和实际应用价值。
它的特点是光强在空间上呈高斯分布，成为光学研究领域中的重要工具。
本文将从通俗的角度出发，介绍高斯光束的基本原理、特性以及其在科学研究和实际应用中的重要性。
2. 高斯光束的基本原理高斯光束是一种光波的传播模式，它的波前呈现出高斯分布的形状。
在光学中，光波的传播可以通过波动方程来描述，而高斯光束正是波动方程的解之一。
波动方程描述了光波的传播行为，其中包括波的幅度、相位和传播速度等信息。
在高斯光束中，光强的分布服从高斯分布的形式，即呈钟形曲线。
光强最大的地方称为光束的中心，而光强逐渐减小的地方则是光束的边缘。
高斯光束的光强分布可以用以下公式表示：I(r)=I0exp(−2r2 w2)其中，I(r)表示光束在距离中心r处的光强，I0为光束中心的光强，w为光束的束腰半径。
3. 高斯光束的特性3.1 光束的束腰和发散角高斯光束的束腰是指光束光强达到峰值的地方，也是光束最细的地方。
束腰的半径w是高斯光束的一个重要参数，它决定了光束的横向尺寸。
束腰半径越小，表示光束越集中，光强越大。
发散角是描述光束传播方向的一个参数，它决定了光束的扩散程度。
高斯光束的发散角与束腰半径有关，当束腰半径越小时，发散角越大，光束扩散越快。
3.2 光束的相位高斯光束的相位是指光波在传播过程中的相对位移。
光束的相位分布可以通过波前的形状来描述，而高斯光束的波前呈现出球面的形状。
这种球面波前在光学研究和应用中具有重要的意义，可以用来实现光束的聚焦和成像等功能。
3.3 光束的自聚焦效应高斯光束具有自聚焦效应，即在传播过程中可以自动聚焦到一个更小的尺寸。
这种自聚焦效应是由于高斯光束的非线性光学特性所导致的。
在某些介质中，高斯光束可以通过与介质相互作用来实现自聚焦，从而形成更强的光束和更小的束腰。
4. 高斯光束的应用4.1 光通信高斯光束在光通信领域有着广泛的应用。
由于高斯光束具有较小的束腰和较大的光强，可以实现高速、高容量的信息传输。
高斯光束测定实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 加深对高斯光束物理图像的理解；2. 学会对描述高斯光束传播特性的主要参数，即光斑尺寸、远场发散角的测量方法进行掌握；3. 学习体会运用微机控制物理实验的方法。
二、实验原理1. 高斯光束的传播特性高斯光束的振幅在传播平面上呈高斯分布，近场时近似为平面波，远场时近似为球面波。
高斯光束的振幅分布公式为：\[ I(r, z) = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \]其中，\( I(r, z) \) 为距离光轴距离为 \( r \) 处，距离光束传播方向为 \( z \) 处的光强；\( I_0 \) 为光束中心处的光强；\( w_0 \) 为光束中心处的光斑尺寸。
光斑尺寸 \( w(z) \) 与光束中心处的光斑尺寸 \( w_0 \) 的关系为：\[ w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_r}\right)^2} \]其中，\( z_r \) 为光束的瑞利长度。
2. 发散角的定义及测量光束的全发散角定义为光束中光强下降到中心光强的 \( 1/e \) 位置时，光束边缘与光轴所成的角度。
在远场情况下，光束的全发散角近似为：\[ \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \]其中，\( \lambda \) 为光束的波长。
三、实验仪器与设备1. 激光器：输出波长为 \( \lambda = 632.8 \) nm 的红光激光；2. 凹面镜：曲率半径为 \( R = 50 \) cm；3. 平面镜：用于反射激光；4. 光电探测器：用于测量光强；5. 数据采集卡：用于采集光电探测器数据；6. 计算机：用于处理实验数据。
四、实验步骤1. 将激光器输出光束照射到凹面镜上，使光束经凹面镜反射后形成高斯光束；2. 将光电探测器放置在凹面镜后的某个位置，调整探测器位置，使探测器接收到的光强最大；3. 记录探测器接收到的光强 \( I \)；4. 根据公式 \( I = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \) 求解光斑尺寸 \( w_0 \)；5. 根据公式 \( \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \) 求解发散角\( \theta \)；6. 重复步骤 3-5，改变探测器位置，记录不同位置的光强 \( I \) 和发散角\( \theta \)。
第5讲-高斯光束
出结论，高斯光束的束腰半径越大，其准直距离越长，准直性越好。
5.1 均匀介质中的高斯光束
• 高斯光束的孔径
– 从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为：
–
则其光强分布为：
I(r)
I0exp2r22
A(r)
A0expr22
20
lim(z) z z 0 z0
• 高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面 波，在传播过程中曲率中心不断改变，其振幅在横 截面内为一高斯分布，强度集中在轴线及其附近， 且等相位面保持球面。
5.3 均匀介质中的高阶高斯光束
• 前面推导均匀介质中的基模高斯光束解时曾假设振幅横向分布与方位 角无关，如果考虑方位角的变化 0 ，则算符可以表示为：
2 0
z2 z20
1
1
即光束半径随传输距离的变化规律为双曲线，在z=0时有
最小值 0 ，这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
1/ e
Z
Z
E (x,y,z)
E 0 (z 0)exp 2 r(2 z) exp相 位 移 i kz(z)2R kr(2 z)
总 相 位 移 ( x ,y ,z ) k z ( z ) 2 R k r ( 2 z ) k z 2 R r ( 2 z ) t a n 1 z 2 0
该表达式就是类透镜介质 的折射率表达式，证明我 们考虑的k(r)表达式代表
级数 展开
2 k0 12 kk20r2 n0 12 kk20r2
的正是在类透镜介质中的 情况。
波动方程
• 类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种 近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。
十七章--高斯光束的物理特性
术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d》λ）天线孔后开始剧烈的分散时的距离z≈ /λ。因此我们采用相同的术语命名 ≡π /λ。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在‘近场’（fresnel）和‘远场’（fraunhofer）区域的分解线。
参考文献
对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures”中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.
对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinholephotography,”Phil.mag.31,87-89(1891.)
有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是：
如图17.2所示。
孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为ω的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为ω的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，，如图17.3所示：
图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸ω光的传输比值。半径a=ω的孔可以传输高斯光束86％的总功率。我们定义光衰减到86％或者 时为孔尺寸。
猜想我们相同的1e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径忽略在束腰位置一丧半径定义下有效圆孔面积a12对于有普遍天线理论的高斯光束来说这是一丧十分精确的公式表述如下在物理学斱面这丧定理说明假如我们测量平面波辐射从一丧矢量角斱向到达有效孔面积为a的一丧天线然后对所有可能角度测量面积迚行积分结果任何形式的无损天线大多数时候用于衡量波长
激光原理与激光技术习题答案
激光原理与激光技术习题答案之袁州冬雪创作习题一(1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性/应为多大？解： 10101032861000106328--⨯=⨯=λ=λλ∆=.L R c (2)=5000Å的光子单色性/=10-7，求此光子的位置不确定量x解： λ=h p λ∆λ=∆2h p h p x =∆∆m R p h x 5101050007102=⨯=λ=λ∆λ=∆=∆-- (3)CO2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8.求由衍射损耗及输出损耗分别引起的、c 、Q 、c(设n=1)解： 衍射损耗: 1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ--s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ 输出损耗:1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δs ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ686810964107821061010314322⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 75107510782143212168=⨯=⨯⨯⨯=πτ=ν∆- (4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=0.99，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每一个纵模的线宽(不思索其它损耗)解： MHz Hz .L c q 150105112103288=⨯=⨯⨯==ν∆11]11501500[]1[=+=+ν∆ν∆=∆q q(5)某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=1.5，设此腔总的单程损耗率0.01，求此激光器的无源腔本征纵模的形式线宽.解：cm L 60155.130=+⨯='s 106.3661030.01π0.6c L 88c-⨯=⨯⨯='=δτ (6)氦氖激光器相干长度1km ，出射光斑的半径为r=，求光源线宽及1km 处的相干面积与相干体积.解：0.3MHz 10103L c 38c =⨯==ν∆习题二(1)自然加宽的线型函数为20220)(4)21(1),(ννπττνν-+ccH g求①线宽②若用矩形线型函数代替（两函数高度相等）再求线宽.解：①线型函数的最大值为cN g τνν4),(00=令cccτννπττ2)(4)21(12022=-+cc c τννπττ1)(821202=-+ ②矩形线型函数的最大值若为 c mgτ4= 则其线宽为cm N g τν411==∆(2)发光原子以的速度沿某光波传播方向运动，并与该光波发生共振，若此光波波长=0.5m ，求此发光原子的运动中心频率.解： c vs z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10λλc c ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-15.02.00λ(3)某发光原子运动时发出0.488m 的光，当它以速度变节观察者运动，则观察者认为它发出的光波长变成多大？解：m cc c v zμλλ5856.0488.02.1488.0)2.01(100=⨯=⨯--=⎪⎭⎫⎝⎛-=' (4)激光器输出光波长=10m ，功率为1w ，求每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数.解：νϕh dt d P =s hc P h P dt d P /11051031063.610101198346⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====--λνϕ (6)红宝石调Q 激光器中有能够将几乎全部的Cr+3激发到激光上能级，并发生激光巨脉冲.设红宝石棒直径为1cm ，长为，Cr+3的浓度为2109cm-3，脉冲宽度10ns ，求输出激光的最大能量和脉冲功率.解：J h L rV h W 9108341522103.4106943103106.631020.0750.0053.14---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===νϕπνϕ (7)运动氖原子3S22P4谱线中心波长0.6328m ，求当它以速度向观察者运动时，中心波长变成多大？解：m cc c v zμλλ5695.06328.09.06328.0)1.01(100=⨯=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛-=' (9)红宝石激光器为三能级系统，已知S32=0.51071/s,A31=31051/s, A21=0.31031/s.其余跃迁几率不计.试问当抽运几率W13等于多少时，红宝石晶体将对=0.6943m 的光是透明的？解： 02123232=-=A n S n dtdn322123S A n n =∴透明即n1=n2175733231322132312313318)105.0103(105.0103.0)()(-=⨯+⨯⨯⨯=+==∴s S A S A S A n n W 习题三(1)若光束通过1m 长的激光介质以后，光强增大了一倍，求此介质的增益系数. 解：2ln ln10==I IzG (2)计算YAG 激光器中的峰值发射截面S32，已知F=21011Hz,3=2.310-4s,n=1.8.解：222114221223222032109.1102103.28.114.341006.14m n SF ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ (3)计算红宝石激光器当=0时的峰值发射截面，已知S 32A 21 W 13 A 310=0.6943m, F=3.3 1011Hz, 2=4.2ms, n=1.76.解：2241132212222220211084.2103.3102.476.114.34106943.04m n S F ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ 习题四(1) 红宝石激光器腔长L=，红宝石棒长l=10cm ，折射率n=1.75，荧光线宽F=2105MHz ，当激发参数=1.16时，求：知足阈值条件的纵模个数 解：MHz H T45108116.11021⨯=-⨯⨯=-∆=∆αννcm l n L L 75.1810)175.1(25.11)1(=⨯-+=-+='(2) 氦氖激光器腔长1m ，放电管直径2mm ，两镜反射率分别为100%、98%，单程衍射损耗率=0.04，若Is=0.1W/mm2，Gm=310-4/d, 求①q=0时的单模输出功率②q=0+21D 时的单模输出功率解：①05.004.0202.004.02=+=+=T δmm lG t/1105100005.05-⨯===δ②mw e eSTI P i q s 8.7)13(1.002.0114.3]1[2ln 222)(2ln 822200=-⨯⨯⨯⨯=-=-∆--ννννα(3) 氦氖激光器放电管长l=，直径d=，两镜反射率分别为100%、98%，其它单程损耗率为0.015，荧光线宽F=1500MHz.求知足阈值条件的本征形式数.（Gm=310-4/d ）解：025.0015.0202.0015.02=+=+=T δmm lGt/1105500025.05-⨯===δ(5) CO2激光器腔长L=1m ，，放电管直径d=10mm ，两反射镜的反射率分别为0.92、0.8，放电管气压3000Pa.可视为平均加宽，并假设工作在最佳放电条件下.求 ①激发参数②振荡带宽T ③知足阈值条件的纵模个数 ④稳定工作时腔内光强.（频率为介质中心频率0）经历公式：L=0.049p(MHz)、Gm=1.410-2/d （1/mm ）、Is=72/d2(w/mm2).解：①153.0)8.092.0ln(5.0ln 2121=⨯⨯-=-=r r δmm lG t/11053.11000153.04-⨯===δ②MHz p L1473000049.0049.0=⨯==∆νMHz L T 420115.91471=-⨯=-∆=∆ανν③MHz Hz .L c q 150105112103288=⨯=⨯⨯==ν∆3]1150420[]1[=+=+∆∆=∆q T q νν④222/72.0107272mm w d I s===2/87.515.872.0)1(0mm w I I s =⨯=-=αν （6）氦氖激光器放电管直径d=，长l=10cm ，两反射镜反射率分别为100%、98%，不计其它损耗，稳态功率输出0.5mw ，求腔内光子数.（设腔内只有0一个形式，且腔内光束粗细平均）解： c h TS TSI P νϕ2121==cTSh Pνϕ2=（7）CO2激光器腔长l=1m ，放电管直径d=10mm ，单程衍射损耗率d=0.5%，两镜面散射损耗率分别为1.5%，两镜透过率分别为2%、10%，其它损耗不计.当它工作在室温(300K)条件下时，求 ①激发参数 ②碰撞线宽及多普勒线宽，并断定它属于哪类加宽类型（设放电管中气压为最佳气压）③计算在最佳放电条件下稳定工作时，腔内的光强④若输出有效面积按放电管截面积的0.8计，此激光器的最大输出功率是多大？有关公式： Gm=1.410-2/d （1/mm ）、Is=72/d2(w/mm2)、pd=2.67104Pa mm L=0.049p(MHz)、D=7.1610-7021)(MT.解：①083.0)9.098.0ln(5.0015.0005.0ln 015.0005.02121=⨯⨯-+=-+=r r δ ②Pa d p 3441067.2101067.21067.2⨯=⨯=⨯=MHz p L 1311067.2049.0049.03=⨯⨯==∆ν MHz M T D 5344300106.1021521560=⨯==∆-λνD L νν∆>∆ 属于平均加宽 ③222/72.0107272mm w d I s===2/45.119.1572.0)1(0mm w I I s =⨯=-=αν ④04.02)015.0005.0(=⨯+=α2228.62514.3mm r S =⨯==π（8）He-Ne 激光器放电管气压p=270Pa ，上、下能级寿命分别为3=210-8s 、2=210-8s.求 ①T=300K 时的多普勒线宽D ②计算平均线宽H ③计算烧孔宽度=2H 时的腔内光强（Is=0.1W/mm2） 解：①MHz M T D 130020300106328.021521560=⨯==∆-λν ②MHz N810214.3212183=⨯⨯⨯==∆-πτν③H s I I νδνν∆+=1H sH I Iννν∆+=∆12s I I ν+=122/3.01.033mm w I I s =⨯==ν（9）长10cm 红宝石棒置于20cm 的谐振腔内，已知其自发辐射寿命21=410-3s ，H=2105MHz ，腔的单程损耗率=0.01.求 ①阈值反转粒子数密度n t ②当光泵激励发生n=1.2n t 时，有多少纵模可以起振？(n=1.76) 解：①11.01.001.0-===m l Gtδ224113221222222021109.410210476.114.34106943.04m n S F ---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=ντπλ ②2.1=∆∆==ttmn n G G αMHz H T 451094.812.11021⨯=-⨯⨯=-∆=∆ανν 习题五(1) 证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的平面界面临入射旁轴光线的变换矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001n n T 证：由折射定律 2211sin sin θθn n= 近轴条件 2211θθn n =1212θθn n =即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21001n n T (2)证明：两种介质（折射率分别为n1与n2）的球面界面临入射旁轴光线的变换矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121201n n R n n n T 证： 2211i n in =θ2θ1r 1 ,r 2n 1 n 2i 2i 1 θ2r 1,r 2θ1 α12112122θθn n r R n n n +-= 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121201n n R n n n T （3）分别按图(a)、(b)中的往返顺序，推导旁轴光线往返一周的光学变换矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛D CB A ，并证明这两种情况下的)(21D A +相等. (a) (b)解： 1234T T T T =(a) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=D C B A LR L R T 10112011011221 (b) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=D C B A LR L R T 1011201101120112(4)操纵往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意旁轴光线在其中可往返无限多次，而且两次往返即自行闭合. 证： 共焦腔 R1=R2=L g1=g2=0往返一周的传递矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001T ， 往返两周的传递矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10012T习题七(1) 平凹腔中凹面镜曲率半径为R ，腔长L=0.2R ，光波长为，求由此平凹腔激发的基模高斯光束的腰斑半径. 解：2216.0)2.0(2.0)(fR R R R L R L =-=-=R 4.0f =πλπλR f 4.0w 0==(2) 对称双凹腔长为L ，反射镜曲率半径R=，光波长为，求镜面上的基模光斑半径. 解： 22)5.22(4)2(4fL L L LL R L =-⨯=-=L =f πλπλL f ==0w 2201w fz w +=镜面处坐标为2L±，镜面光斑：()πλπλπλLL L L L f w L s 52145411w 22222==+=+= (3) 稳定双凹球面腔腔长L=1m ，两个反射镜曲率半径分别为R1=、R2=3m.L④③ ② ①L④③ ②①求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置. 解：1121z R z f -=+5.1z 121-=+z f 12215.1z z f -=+ 2222z R z f =+3z 222=+z f 22223z z f =+(4) 有一个凹凸腔，腔长L=30cm ，两个反射镜的曲率半径大小分别为R1=50cm 、R2=30cm ，如图所示，使用He-Ne 做激光工作物质.①操纵稳定性条件证明此腔为稳定腔 ②此腔发生的高斯光束焦参数 ③此腔发生的高斯光束的腰斑半径及腰位置 ④此腔发生的高斯光束的远场发散角 解：①4.0503011g11=-=-=R L 2303011g 22=--=-=R L 8.024.0g g 21=⨯= 知足稳定条件0<q1q2<1②50z 121-=+z f 30z 222-=+z f 30z 12=-z cm 45z 1-=cm 15z 2-=cm 15f = ③cm f 0174.014.310632815w8=⨯⨯==-πλ,腰在R2镜右方15cm 处④rad w 38010315.20174.014.310632822--⨯=⨯⨯⨯==πλθ (5) 有一个平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m ，腔长L=1m ，光波长=0.5m ，求①两镜面上的基模光斑半径②基模高斯光束的远场发散角 解：①4)15(1)(f2=-⨯=-=L R L m 2f =mm f 56.014.3105.02w 60=⨯⨯==-πλ平面镜坐标: z1=0, 凹面镜坐标: z2=L=1m平面镜光斑: ws1=w0=, 凹面镜光斑:m m fz w s 626.041156.01w 22202=+⨯=+=zR 2R 1 L②rad w 43601068.51056.014.3105.022---⨯=⨯⨯⨯⨯==πλθ (6) 求方形镜共焦腔镜面上的TEM30模的节线位置（以w0s 为参数）解：2022)212216(),(033030sw y x s sex w x w cy x u +--=令021********=-x w x w ss0)212216(220=-x x w sx1=0习题八(1) 某激光器（=0.9m ）采取平凹腔，腔长L=1m ，凹面镜曲率半径R=2m.求①它发生的基模高斯光束的腰斑半径及腰位置②它发生的基模高斯光束的焦参数③它发生的基模高斯光束的远场发散角 解： ①1)12(1)(f2=-⨯=-=L R L m 1f =mm f 535.014.3109.01w 60=⨯⨯==-πλ，腰在平面镜处②f=1m③rad w 33601007.110535.014.3109.022---⨯=⨯⨯⨯⨯==πλθ (2) 某高斯光束的腰斑半径w0=，光波长=10.6m ，求与腰斑相距z=30cm 处的光斑半径及等相位曲率半径. 解：mm 385106.1014.114.3wf 3220=⨯⨯==-λπ (3) 某高斯光束的腰斑半径w0=，光波长=0.6328m ，求腰处、与腰相距30cm 处的q 参数 解：mm447106328.03.014.3w f 3220=⨯⨯==-λπq0=if=447i (mm), q(z)=z+if=300+447i(mm)(4) 某高斯光束的腰斑半径为w0=，光波长=10.6m ，今用焦距F=2cm的透镜对它停止聚焦.设光腰到透镜的间隔分别为10m 及0m 时，求聚焦后的腰斑半径及其位置. 解：mm 427106.102.114.3wf 3220=⨯⨯==-λπ腰到透镜间隔为l=0m 时:mm Ff 056.02042712.11w w 222200=+=+='mm f F l 9.19427201201F 2222=+=+='腰到透镜间隔为l=10m 时:mm F l f 3222200104.2)2010000(4272.120)(Fw w -⨯=-+⨯=-+='(5) 两个He-Ne 激光器都采取平凹腔，它们的尺寸与相对位置如图所示，问在何处拔出一个焦距 为多大的透镜，可使这两个激光器所激发的高斯 光束之间实现匹配？ 解： 2100)30100(30)(f2=-⨯=-=L R L 45.8cm f =透镜焦距F=34cm, 置于距R2镜、R 2镜间隔分别为 l= , l=若取l=34.4-4.5= , l=34-2.45=, 则l+ll0,舍去.(6) 激光器使用腔长为L 的半共焦腔，凹面镜为输出镜，光波长为，现在间隔输出镜为L 的地方放置一个焦距F=L 的透镜，用q 参数求出经透镜变换后的高斯光束腰斑半径与腰位置. 解：由半共焦腔特点知R=2L ，L L L L L R L f =-=-=)2()(平面镜处q 参数：q1=if=iL, 透镜处未变更前的q 参数：q2=iL+2L=L(2+i)透镜处变更后的q 参数：L i L i i L i i i L L i L q F Fq q 232)1)(2(12)2()2(2223+-=+-+=--+=+-+=-=l=, f=, 腰半径为 πλπλπλ25.0w 0LL f =⨯='=', 腰在透镜右方处(7) 用两个凹面镜构成双凹谐振腔，两镜半径分别为R1=1m 、R2=2m ，腔长L=，求如何选择高斯光束的腰斑半径及腰位置，才可使之成为腔中的自再现光束？（设光波长=10.6m ）L '=25cmD=50cm L=30cm R 1=1m R 2=∞ R '1=50cm R '2=∞FL L解： 1121z R z f -=+1z 121-=+z f L z =-12z 5.0z 12=-z 解出 z1=, z2=, f= mm f 28.114.3484.0106.10w 60=⨯⨯==-πλ 腰在R1镜右方处。
第八章 高斯光束精选全文
1 R
z2
z
f
2
1 q
1 R
i
W
2
z2
z
f
2
i
z2
f
f
2
z if z2 f
2
q z2 f 2 (z2 f 2 )(z if ) z if z if (z if )(z if )
讨论 腰处的q参数 q0=q(0)=if
w(z) ( f z2 )
f
f2 R(z) z
证 传播L距离的光学变换矩阵
T
1 0
L 1
R 1 R L R L 0 R 1
或 R=R(z)=z R=R(z)=z
R-R=z-z=L ∴R=R+L
R=R(z) R=R(z)
z
0 z z
L
2、通过透镜 R FR
FR
F:透镜焦距(凸透镜为正)
1 11 R' R F
证
透镜的光学变换矩阵
1 0
和振幅修正两部分。
• 该修正因子满足慢变近似：' k, " k 2 将这些相关假设带入波动
方程可以得到：
2 2ik ' kk 2r2 0
• 令修正因子取以下形式：
E0
exp
i
p(z)
k 2q(z)
r2
为什么取这种形式？这是对波动方程 进行长期研究得到的解，既满足方程， 又有明确的、能够被实验证实的物理 意义。
0
波动方程 也称亥姆 霍兹方程
光束在均匀介质和类透镜介质中的传播
• 下面我们研究类透镜介质中波动方程的解，考虑在介质中传播的是一种
近似平面波，即能量集中在光轴附近，沿光轴方向传播。可以假设光场
高斯光束-聚焦与准直
透镜对高斯光束的变换公式
l2 + f 2 )ω0 F 2l ∴ω0'= ω0 = 2 2 2 2 (l − F) + f l +f 2 2 [l − ( )] + f 2l l2 + f 2 l2 + f 2 2 2 ( )ω 0 ( )ω0 ( l + f )ω 2l 0 2l = 2l = = = ω0 (l 2 − f 2 )2 2 l2 + f 2 ( l 2 + f 2 )2 + f 4l 2 2l 4l 2 (
l
l′
0.1( 2 + i ) 0.1(2 + i )(-1.9 + i ) = −0.104 + 0.00217 i = 0.1 − 2 − i (-1.9 − i )(-1.9 + i )
l ′ = 0 .099 m
l ′ = 0.104m
ω0 ' =
3.14 × 10 −6 × 0.00217 λf ' = = 0.0466mm 3.14 π
ω0' 有极大值 ω0
ω0' = ω0
1 1 + ( )2 f
F =l+
f2 l
高斯光束的聚焦 将 F =l+
代入
ω0' = ω0
ω0' = ω0
f 2 l2 + f 2 = l l F (l − F ) 2 + f 2
2 2
(3) F = R(l ) = (l + (4)F →∞时，
l + f l f4 + f l2
透镜对高斯光束的变换规律I—q参数变换 q =l+if q′=-l′+if ′
高斯光束参数简介及束腰的快速测量计算
强分布、光斑的有效面积及能量密度等。利用高斯光束的数学特征，将其转换成误差函数的表征形式，介绍了一种
测量高斯光束腰斑尺寸的方法——90/10 刀口法，这种方法只需测量 90%,及 10%,的透过光强，与孔径法、CCD 扫描
法、曲线拟合法等其他测量方法相比更快速、更简便、更精确。
关键词：高斯光束 腰斑半径 误差函数
（b）0，1
（c）0，2
（d）1，1
（e）1，2
（f）2，2
注：阶数(l，m)在每种情况下已标明
图 2 几种低阶的埃尔米特-高斯光束的截面光强分布图。
Fig.2 Intensity distributions of several low-order Hermite-Gaussian beams in the transverse plane
1.1 高斯光束光强分布 在传能的应用中，其效能都直接与光的强度有
关，从光强的角度而不是从电磁波振幅的角度来讨
论，可使概念清晰化，对应用而言并无影响。
高斯光束的光强分布可用下式表示：
I (x, y) = I0 × exp[−2(x2 + y2 ) / w02 ]
(1)
式中 I0 表示最大峰值强度，w0 为最高峰值强度下降
第 45 卷 第 1 期 2018 年 1 月
基础研究
天津科技 TIANJIN SCIENCE & TECHNOLOGY
Vol.45 No.1 Jan. 2018
高斯光束参数简介及束腰的快速测量计算
崔立夫，罗瑞芳
(中国电子科技集团公司第四十六研究所 天津 300220)
摘 要：从实用观点介绍了高斯光束的概念及相关参数，如高斯光束的束宽、瑞利距离、共焦参数、“M2”值、光
高斯光束的基本性质及特征参数课件
通过使用各种光学元件，如反射镜、 棱镜等，可以对高斯光束进行各种形 式的变换，如旋转、平移、缩放等。
高斯光束的操控与调制
操控技术
利用光学元件对高斯光束进行操控，如改变光束方向、实现光束分裂等。
调制方法
通过在光束中加入外部信号，可以对高斯光束进行调制，实现信息传输和信号 处理等功能。
05
CHAPTER
高斯光束的聚焦
通过透镜可以将高斯光束聚焦到一点 ，聚焦点处的光强最大过程中，其传播方向呈发散状。
光强分布
高斯光束的光强呈高斯型分布，中心光强最大，向外逐渐减小。
衍射极限
高斯光束的衍射极限由波长和束腰宽度决定，短波长、小束腰宽度 的高斯光束具有更好的聚焦性能。
高斯光束的模拟与仿真
高斯光束的数值模拟方法
有限差分法
通过离散化高斯光束的波动方程，使用差分公式 求解离散点上的场值。
有限元法
将高斯光束的波动方程转化为变分问题，利用分 片多项式逼近解。
谱方法
将高斯光束的波动方程转化为频域或谱域的方程 ，通过傅里叶变换求解。
高斯光束的物理仿真实验
光学实验平台
搭建光学实验装置，通过实际的光路系统模拟高斯光束的传播。
光学成像
1 2 3
高分辨率成像
高斯光束在光学成像领域可用于实现高分辨率、 高清晰度的成像，从而提高图像的细节表现力和 清晰度。
荧光显微镜
高斯光束作为激发光，能够均匀地激发样品中的 荧光物质，提高荧光显微镜的成像质量和稳定性 。
光学共聚焦显微镜
利用高斯光束的聚焦和扫描特性，可以实现光学 共聚焦显微镜的高精度、高灵敏度成像。
激光加工
高效加工
01
高斯光束具有较高的亮度和能量集中度，能够实现高效、高精
激光原理-(9)-高斯光束
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
方法二：
Aq1 + B q2 = Cq1 + D
πω λ
1 = q2
D C+ q1 = B A+ q1
2
D iλ D (C + )− πω1 2 R1 B iλ B (A+ )− πω1 2 R1
2 2
B πω1 2 2 2 A B + + λ R 1 = 2
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程
ω0
A B l′
ω 0′ ω c
C
q0
l
q A qB
lC
qC
若出射面在薄透镜面上，
lC ： =0
1 1 1 ωB = ω A , = − RB RA F
NJUPT
用q参数分析高斯光束经单透镜的传输过程 求： l ′、ω 0 ′
R1 = R2 = ∞
2 ′ = ω0 2 πω ( F − l )2 + ( 0 ) λ 变换前后的束腰大小关系
ω ( z ) ω 0，z ⇒ R( z ) θ 0 2. 任一 坐标 z 处的光斑半径 ω ( z )及等相面曲率半径 R( z )
ω 0（或共焦参量 f ）与腰位置 z
ω ( z )
ω 0 ⇒ R( z ) z
NJUPT
高斯光束的 q 参数（复曲率半径）
x2 + y2 ω0 x2 + y2 exp − 2 ) − ϕ ( z ) u00 ( x , = y, z ) c exp − i k ( z + 2 R( z ) ω(z) ω (z)
2.6 高斯光束基本性质及特征参数
r x y
2 2
2
f2 R R z z z
—等相面 曲率半径
共焦腔
z 0
z 1 —任意位置光 f 斑尺寸
2
L 0 f 2
共焦参数
2
L 0 2
f
—基模光腰 半径
对一般稳定腔，需作下列转换：
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
4、远场发散角
2 z 01 e2 lim 2 z z 0
三、基模高斯光束的特征参数 1、用
0(或
f )及束腰位置表征
f 0
2 w0 f
z 0 1 z f
2
f 2 R Rz z 1 z
3、高斯光束的q 参数
2
R z z R z 1 w2 z
1
c r 1 00 x, y, z exp ik Rz i w2 z e wz 2
R2 R1 L
2、薄透镜(傍轴情况)
1 1 1 l1 l2 F
近轴情况
发散(+) 会聚(-)
1 1 1 R2 R1 F
R1 l1
R2 l2
3、普通球面波传输的矩阵描述
r0 r A B r0 1 L θ C D θ TL θ TS 0 1 0 0 0 1 r r 1 0 r Tf 1 Tf 1 1 1 f f
3相移特征几何相移与横向坐标相关的相移附加相移与阶次有关4光斑半径a光腰半径bz处光斑半径5远场发散角第十节高斯光束q参数的变换规律一普通球面波的传播规律1自由空间2薄透镜傍轴情况发散会聚近轴情况r1r2l1l23普通球面波传输的矩阵描述可用abcd公式验证普通球面波在自由空间和薄透镜中的传输规律
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一高斯光束的光腰半径-回复
高斯光束是一种常见的激光束形态，具有在空间中自由传播的特性。
光腰是高斯光束的一个重要参数，用来描述光束在传播过程中的最小截面直径。
本文将一步一步回答有关高斯光束光腰半径的问题。
第一步：了解高斯光束的特性和数学描述
高斯光束是一种可用数学公式进行描述的标量光波，它的强度分布具有高斯分布的特点。
该分布可以用数学公式来表示：
I(r, z) = I0 * exp(-2r^2/w^2) * exp(-2z^2/zR^2)
其中，I(r, z)是光束的强度分布，r是径向距离，z是光束传播方向的轴向距离，w是光腰半径，I0是光束中心的强度，zR是雷利范围（表示光束扩张的程度）。
这个数学公式能够准确地描述高斯光束的光腰半径。
第二步：计算高斯光束的光腰半径
根据高斯光束的数学公式，我们可以计算得到光腰半径w。
但在计算之前，我们需要知道几个关键参数。
首先是光束的波长λ，其表征了光波的颜色。
其次是光束的焦距f，用于计算光束的光线聚焦能力。
最后是光束的初始光腰半径w0，即光束最初的截面直径。
根据公式，光腰半径w与这些参数的关系如下：
w = w0 * sqrt(1 + (λ*z/(π*w0^2)) ^ 2)
这个公式表达了光腰半径随光束传播距离z的变化。
当z趋近于0时，光束的光腰半径最小，最为集中。
而当z远离0时，光束的光腰半径逐渐增大，光束逐渐扩展。
第三步：应用实例
现在，我们通过一个实际的应用来解释光腰半径的计算步骤。
假设我们有一个波长为532nm的激光器，焦距为50mm，初始光腰半径为0.1mm。
首先，我们需要计算出光束在传播过程中的zR值。
根据公式zR = π* w0^2 / λ，可以得到：
zR = π* (0.1mm)^2 / 532nm ≈0.0187m
接下来，假设我们要计算在传播距离为10m时的光腰半径。
根据步骤二中的公式，可以得到：
w = 0.1mm * sqrt(1 + (532nm * 10m / (π* (0.1mm)^2))^2) ≈
2.16mm
因此，在传播距离为10m时，光束的光腰半径约为2.16mm，相较于初始光腰半径有明显的增大。
第四步：光腰半径的影响因素
光束的光腰半径受到多个因素的影响。
首先是光束的初始光腰半径，较小的初始光腰半径意味着光束更容易聚焦，光腰半径将更小。
其次是焦距，较小的焦距意味着光束更容易聚焦，光腰半径将更小。
最后是光束的波长，较短的波长也会导致光束的光腰半径减小。
此外，光束的传播距离也是影响光腰半径的重要因素。
随着光束传播距离的增加，光束的光腰半径会逐渐变大，从而导致光束的扩展。
总结：
本文通过解释高斯光束的数学描述和特性，提供了计算高斯光束光腰半径的步骤。
高斯光束的光腰半径可以通过公式计算，并受到初始光腰半径、焦距、波长和传播距离等因素的影响。
了解光腰半径对于研究和应用高斯光束具有重要意义，可帮助优化光束聚焦和传播效果。