浅谈反证法的逻辑依据及其运用

浅谈反证法的逻辑依据及其运用

王纪兵

摘要：反证法是数学中常见的一种证明方法，它与一般证明方法不同，反证法又可分为归谬反证法和穷举反证法两种。若命题的结论的反面只有一种情况，只要推翻这一种情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反面不只一种情况，则需要将反面情况一一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法，那么反证法的理论根据是什么？反证法是否就是证明原命题的逆否命题？怎样应用反证法？怎样的命题适合用反证法证明？本文拟就这些问题作点初步探讨。

关键词：反证法；逆否命题；逻辑依据

1引言

关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此如何导出矛盾，就成了反证法的关键所在。出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等等；

法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，从而知该相反判断的错误性，进而知道判断本身的正确性。

由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。

由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。

2 反证法与证逆否命题是不同的

从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。

如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。

3 运用反证法证题时常见的矛盾形式

用反证法证明命题“若p则q”时，可能出现以下三种情况：

⑴导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；

⑵导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；

⑶导出一个恒假命题。

例⒈如果a是大于1的整数，而所有不大于1

a-的素数都不能整除a，则a是素数。证明：假设a是合数，记(,,,1)

=∈>，由于a不能被大于1且不大于1

a bc

b

c z b c

a-的素数整除，所以b＞a,c＞a,从而bc a

=矛盾，故a是素数。

>,这与假设a bc

4 运用反证法应注意的问题

4.1 运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面

成立。在这一步骤中，必须注意正确的“否定结论”，这是正确运用反证法的前提，否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。

在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。

例如：1）结论：至少有一个S是P。

错误假设：至少有两个或两个以上S是P,

正确假设：没有一个S是P。

例如： 2）结论：最多有一个S是P。

错误假设：最少有一个S是P。

正确假设：至少有两个S是P。

例如： 3）结论：全部S都是P。

错误假设：全部的S都不是P。

正确假设：存在一个S不是P。

现将一些常用词的否定形式列表如下：

4.2 运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在

这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题，能够推出什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也没有一个机械的标准，有时甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑。例如，立体几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等。

4.3 对于“若p则q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会有所不同。因此，尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。

5 适于应用反证法证明的命题

5.1基本命题

即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。

例2：直线PO与平面α相交于O，过点O在平面α内引直线OA、OB、OC，∠

=

∠。

POA∠

=

POC

POB

求证：α

PO。

⊥

证明：假设PO不垂直平面α。

作α

PH并与平面α相交于H，此时H、O不重合，连结OH。

⊥

由P作OA

PF⊥于F，

PE⊥于E，OB

根据三垂线定理可知，OA

HF⊥。

HE⊥，OB

因为POB

POA∠

∠，PO是公共边，

=

所以POF

≅

∆

POE

Rt∆

Rt

所以OF

OE=