第一章直角三角形的边角关系(学案)
九年级数学下册：第一章直角三角形的边角关系复习教案(北师大版) 教案
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第一章直角三角形的边角关系
回顾与思考
（一）教学核心
1．经历回顾与思考，建立本章的知识框架图；
2．利用计算器，发现同角的正弦、余弦、正切之间的关系；
3．进一步体会直角三角形边角关系在现实生活中的广泛应用；
4．体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析问题和解决问题；
（二）课时安排
1课时
（三）教学内容
回顾与思考中共设计有四个问题，帮助大家回顾、思考直角三角形中反映边角关系的三角函数的概念，直角三角形中边角关系在现实生活中的广泛应用，体现数形之间的联系。
以及把实际问题数学化的过程，更进一步了解知识间的联系和综合应用。
使三角函数的意义从现实生活中来，而又服务于现实生活中，从现实生活中抽象出数学问题，然后数形结合，用三角函数解决问题。
（四）教学建议
1.教师可以通过一系列的练习题的解答，逐步呈现本章知识点，然后要求学生自己对本章的内容进行小结，随后进行交流，形成知识框架图。
2．可以让学生说一说他们利用三角函数的知识解决了什么实际问题，或利用三角函数解决问题的体会。
3．可以让学生说一说他们在使用计算器解决问题的过程中有什么发现等。
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九年级下册第一章直角三角形的边角关系教案
1.1.1锐角三角函数一、教材依据本节为九年级（下）第一章《直角三角形的边角关系》的第一节《从梯子的倾斜程度谈起》第一课时。
直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。
通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。
也将为学生学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。
二、设计思路从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”基于课标，我运用导学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。
三、教学准备（一）学生知识状况分析本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。
（二）教学任务分析教学目标知识与技能1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。
理解正切的意义和与现实生活的联系。
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
过程与方法1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
情感态度与价值观1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
教学重点1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)..4直角三角形公开课
最后，我反思自己的教学方式和方法，是否足够生动有趣，能否吸引所有学生的学习兴趣。我意识到，作为一名教师，我需要不断更新自己的教学策略，寻找更多激发学生学习热情和兴趣的方法。
五、教学反思
在上完这节关于直角三角形边角关系的公开课后，我有一些深刻的体会和思考。首先，我发现学生们对于正弦、余弦、正切的概念掌握程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言和具体实例来解释这些概念，但仍有部分学生显得有些困惑。我意识到，可能需要通过更多的实际操作和直观演示来帮助他们更好地理解这些抽象的数学概念。
3.成果分享：每个小组将选择பைடு நூலகம்名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解正弦、余弦、正切的基本概念。正弦是对边与斜边的比值，余弦是邻边与斜边的比值，正切是对边与邻边的比值。它们在解决直角三角形相关问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形中某一角度的正弦、余弦、正切值，展示这些概念在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
4.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队协作能力。
九年级数学第1章直角三角形的边角关系复习导学案新版北师大版
第1章直角三角形的边角关系一、知识梳理二、题型、技巧归纳 类型一 求三角函数值例1 在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝( )A .43B .34C .35D .45[解析] B 根据sin A ＝45，可设三角形的两边长分别为4k,5k ，则第三边长为3k ，所以tan B ＝3k 4k ＝34.归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．类型二 特殊角的三角函数值 例2 计算：33＋tan 60°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－230.[解析] 本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.类型三 利用直角三角形解决和高度有关的问题例3 如图X 1－1，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB 的高度．小刚在D 处用高1.5 m 的测角仪CD ，测得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m 到达EF ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°.求这幢教学楼AB 的高度．[解析] 设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，用AG 表示出FG ，在Rt △ACG 中，用AG 表示出CG ，然后根据CG －FG ＝40，可求AG.解：设CF 与AB 交于点G ，在Rt △AFG 中，tan ∠AFG ＝AG FG ，∴FG ＝AG tan ∠AFG ＝AG3.在Rt △ACG 中，ta n ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝AGtan ∠ACG ＝3AG.又CG －FG ＝40，即3AG －AG 3＝40， ∴AG ＝203，∴AB ＝(203＋1.5)m . 答：这幢教学楼AB 的高度为(203＋1.5)m .归纳; 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．类型四 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题例4 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A ，再在河这边沿河边取两点B ，C ，在B 处测得点A 在北偏东30°方向上，在点C 处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据∠CAD ＝45°，可得BD ＝BC －CD ＝200－AD.在Rt △ABD 中，根据tan ∠ABD ＝ADBD ，可得AD ＝BD ·tan ∠ABD ＝(200－AD)·tan 60°＝3(200－AD)，列方程AD ＋3AD ＝2003，解出AD 即可．典例精析：如图X1-J-5，一条输电线路从A 地到B 地需要经过C 地，图中AC =20 km ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，因线路整改需要，将从A 地到B 地之间铺设一条笔直的输电线路. （1）求新铺设的输电线路AB 的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A 地到B 地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）解：（1）如答图X1-J-2，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .在Rt △ACD 中，答：新铺设的输电线路AB 的长度为km.三、随堂检测1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=2,BC= 3,则 tan = 。
直角三角形的边角关系复习课(学案修改稿)
直角三角形的边角关系复习课（学案）学习目标：1.了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°角的三角函数值;2.掌握直角三角形的边角关系，会解直角三角形;3.会利用锐角三角函数解决简单的实际问题.学习过程：一、知识回顾1.直角三角形的边角关系：（1）三边关系：（2）两锐角的关系： （3）边与角的关系：2.特殊角的三角函数值：二、学以致用例1在Rt △ABC 中,∠C =90°,根据图中提供的数据，写出未知的边和角.例2如图，在△ABC 中,AB =16,AC =10, AD ⊥BC 于点D ，AD =8,求tanB,BC 的值.B C a bc A变式练习:在△ABC中, AB=16, AC=10 , ∠B=30°, 那么BC＝——————.三、生活中的数学学习了《测量物体的高度》，数学兴趣小组的同学们对本城区的古塔进行了调查，并收集到相关的数据，你能根据提供的数据，计算出古塔的大致高度吗？方案一：平地上一幢建筑物CD与古塔AB的位置如图所示，测得BD=50m，在C点测得B点的俯角为45°,测得A点的仰角为30°,求塔AB的高度.方案二：同学们在点C处测得塔顶A的仰角为27°,向前走80米,在点D处测得A的仰角为45°（C、D、B三点在一条直线上）．求塔AB的高度．（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50）方案三：如图，直升飞机在古塔AB 上方P 点处测得塔顶A 点的俯角为45°，底端B 点的俯角为60°，此时直升飞机与塔AB 的水平距离QB 为100米，求塔AB 的高.乘胜追击：如图，MN 是一条现代化的商业街，其中M 在古塔所在地P 的南偏西60°方向上， N 在古塔的南偏西30°方向上， N 在M 的正东方向且MN =150米.为了不破坏古塔周围的风貌，按有关规定，古塔周围100米内不得修建现代化商业街，若商业街继续向正东方向扩建是否会违反有关规定？四.课堂总结，分享收获五.课外延伸,拓展提高1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC ＝50m ，则迎、水BQ坡面AB的长度是（）A.100mB.1003mC.150mD.200m2.如图,2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60o方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（参考数据2≈1．41，3≈1．73，6≈2．45）3.数学课外活动小组的同学们借助一个高度为30m的建筑物CD进行了测量，在点D 处测得塔顶A的仰角为45°，在点E处测得A的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求塔的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）。
第一章直角形的边角关系全章教案
-理解并掌握直角三角形的定义及其内角和特性。
-熟练运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
-掌握正弦、余弦、正切三角函数的定义及其应用。
-理解并运用相似直角三角形的性质和比例关系。
-将所学知识应用于解决实际生活中的直角三角形问题。
教学过程中，教师应着重讲解和强调上述核心内容，通过丰富的例题和练习，使学生深入理解并掌握直角三角形的性质和运用。
第一章直角形的边角关系全章教案
一、教学内容
第一章直角形的边角关系
1.1直角三角形的定义与性质
-直角三角形的定义
-直角三角形的内角和
-直角三角形的边角关系（勾股定理）
1.2直角三角形中的特殊角
-三角函数的定义（正弦、余弦、正切）
-三角函数值的计算
-特殊角的三角函数值
1.3直角三角形的相似性质
-相似直角三角形的判定
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、勾股定理和三角函数的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形边角关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-难点三：相似直角三角形的判定和应用
-学生在判定相似直角三角形时，可能忽视对应角和对应边的关系。
-举例：在两个直角三角形中，如何判定它们是否相似，并运用相似性质解决问题。
-难点四：实际应用问题
-学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象为直角三角形的模型。
-举例：如何将现实生活中的问题转化为直角三角形问题，并运用所学知识求解。
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系教案新版北师大版
ACBa cb第一章 直角三角形的边角关系一、教学目标：1、以问题的形式梳理本章的内容，使学生进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2、通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
3、已知锐角求出它的三角函数值；由已知三角函数值求出它对应的锐角。
4、使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
二、基本技能1、定义：在Rt △ABC 中，如果锐角∠A 确定，那么锐角∠A 的对边与邻边的比、对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定。
这个比叫做∠A 的正切、∠A 的正弦、∠A 的余弦。
记作：的邻边的对边A A A ∠∠=tan ；sinA 斜边的对边A ∠= ； co sA 斜边的邻边A ∠=。
其中：锐角∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数。
注意：（1）比值大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（2）梯子的倾斜程度：梯子AB 越陡，tanA 、sinA 的值越大 , cosA 的值越小 2、解直角三角形的基本理论依据：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c 。
（1）三边的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)； （2）两锐角的关系：∠A+∠B=90°（互余） （3）边与角之间的关系sinA=c a ， cosA=c b ， ta nA=b a ； sinB ＝c b ， cosB ＝c a ， tanB=ab。
例1、在Rt △ABC 中，∠C= 90° ，a 、b 、c 分别为△ ABC 的对边， 根据下列条件求出直角三角形的其他元素。
（1）62,66a b == （2）c=20，∠A= 45°例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， tan ∠B ＝31，且BC ＝9 cm ， ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边求：AC 、CD 和sin A 、tan ∠BCD 的值 3、习题精选1、在 Rt △ABC 中，∠C=90°。
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.4 解直角三角形学案 (新版)北师大版
三亚湾新城南区控制性详细规划第一章总则第一条规划范围规划用地位于三亚市主城区的西部三亚湾新城内（即海坡片区），是三亚湾新城的南区。
用地北临三亚湾新城A线道路，东至三亚老机场，西接三亚湾规划区西侧西线高速入口路，南至大海。
整个用地为滨海带状形式，东西长8.68公里，南北平均宽0.5公里，规划用地总面积为354.23公顷。
第二条规划依据1、99年修编完成的《三亚市城市总体规划》、（中国城市规划设计研究院）2、《三亚市社会经济发展大纲》（三亚市人民政府编）3、《三亚市旅游发展大纲》（三亚市人民政府编）4、《三亚湾新城控制性详细规划》（上海同济城市规划研究院2003年）5、国家相关规范及省市各部门相关规定和设计要求。
第三条、规划指导思想和规划原则一、规划指导思想1、以“三亚市城市总体规划”为依据，适应三亚城市建设的发展，完善和深化三亚湾新城的功能与布局，促进海南三亚旅游房地产的提升，带动地区城市建设的发展。
2、继承与发扬三亚市风景旅游城市的优势，面向新世纪，高标准高起点，运用城市建设管理和城市设计的手段，在原有规划的基础上，完善功能，设施配套，塑造具有热带滨海城市特色的旅游度假基地的形象。
3、以可持续发展思想为准则，以生态型的旅游城市为设计和建设的目标，有机组织城市空间布局与环境，促成生态、景观与效益的有机统一。
二、规划原则1、可持续发展原则。
适应社会主义市场经济体制下城市建设新机制的要求，保护生态，优化环境，合理地安排各项建设用地。
2、协调原则综合分析，科学合理确定三亚湾新城南区和北区的功能布局，提出规划的控制性指标，为规划管理提供切实可行的依据。
3、严格控制原则对三亚湾新城南区从用地、景观、交通三方面进行严格控制，加强基础设施尤其是交通、公共绿地、广场等要素的控制。
第四条规划目标1、多元化的功能组合三亚湾新城定位于面向国内游客的“旅游度假基地”、第二居住的目的地。
三亚湾新城南区是三亚湾新城区的一部分，规划有度假酒店、度假别墅、度假公寓以及旅游度假配套设施，体现旅游开发的多元化，强化滨海公园开放空间。
第一章直角三角形的边角关系(学案)
第一章直角三角形的边角关系1、从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）一、课前导读1、直角三角形两直角边a,b 和斜边c 之间的关系是 。
直角三角形的两锐角 。
2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A= 30°BC=2cm,AC= cm 。
3、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD 是斜边AB 的中线，CD=3cm ，BC=4cm ，则AC= cm 。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠A 的对边是 ，∠A 的邻边是 ，斜边是 ，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 .5、如图，在Rt △ABC 中，∠A 的对边是 ，∠A 的邻边是 ，斜边是 ，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 .在Rt △BCD 中，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 . 斜边是 ，∠BCD 的对边是 ，∠B 的邻边是 . 6、在Rt ΔABC 中,∠C=900，∠B=600,AC=3cm,则AB= ，二、学习目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的 意义和与现实生活的联系.2、能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中 物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 三、自学指导自学课本P2-4页，回答下列问题：1、P2页中的两个梯子，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、课本P2页问题⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？3、以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？4、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?5、自学课本第4页，完成下面的填空：（1）在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 与 之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切记作tanA ，即tanA=)()( （2）tanA 的值越 ，梯子越陡；反之，梯子越陡，tanA 的值越（3）如图在Rt △ABC 中，tanB=。
新教案word版：第一章 直角三角形的边角关系
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数 第1课时 正切1.理解正切的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.阅读教材P2～4，完成预习内容. (一)知识探究 1.在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.2.tanA 的值越大，梯子越陡.3.坡面的竖直高度与水平距离的比称为坡度(或坡比). (二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，那么tanA 等于(C) A.513 B.1213 C.512 D.1252.如图，有一个山坡在水平方向上前进100 m ，在竖直方向上就升高60 m ，那么山坡的坡度i ＝tan α＝35.活动1 小组讨论例 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？解：甲梯中，tan α＝5132－52＝512.乙梯中，tan β＝68＝34. 因为tan β>tan α，所以乙梯更陡.求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边.活动2 跟踪训练1.如图，下面四个梯子最陡的是(B)2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB＝(A)A.12B.23C.105D.533.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＝24，c ＝25，则tanA ＝247、tanB＝724. 4.如图，某人从山脚下的点A 走了300 m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为70 m ，求山的坡度0.24.(结果精确到0.01)活动3 课堂小结 1.正切的定义.2.梯子的倾斜程度与tanA 的关系(∠A 和tanA 之间的关系).3.数形结合的方法，构造直角三角形的意识.第2课时 锐角三角函数1.理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法.(重点)2.经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，则其对边、邻边、斜边三边比值也一定.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.阅读教材P5～6，完成预习内容. (一)知识探究1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝a c .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc.2.锐角A 的正弦、余弦、正切叫做∠A 的三角函数.3.sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越小，梯子越陡.锐角三角函数是在直角三角形的前提下.(二)自学反馈1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sinA 的值是(A) A.513 B.1213 C.512 D.1352.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为(A)A.4B.2 5C.181313D.1213133.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3、b ＝4，则sinB ＝45，cosB ＝35，tanB ＝43.活动1 小组讨论例1 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝200，sinA ＝0.6，求BC 的长.解：在Rt △ABC 中，∵sinA ＝BC AC ，即BC200＝0.6，∴BC ＝200×0.6＝120.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，cosA ＝1213，求AB 的长及sinB.解：在Rt △ABC 中， ∵cosA ＝ACAB ，即10AB ＝1213，∴AB ＝656. ∴sinB ＝AC AB ＝cosA ＝1213.这里需要注意cosA ＝sinB.活动2 跟踪训练1.如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC ＝8，DB ＝43，CD ⊥AB 于点D ，求sinB 的值.解：∵△ABC 是等腰三角形，∴BC ＝AC ＝8. ∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴CD ＝BC 2－BD 2＝82－（43）2＝4， ∴sinB ＝CD BC ＝48＝12.2.如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB ＋cosB 的值.解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝6，tanA ＝32，∴AD ＝4，∴BD ＝AB －AD ＝8.在Rt △BCD 中，BC ＝82＋62＝10，∴sinB ＝CD BC ＝35，cosB ＝BD BC ＝45，∴sinB ＋cosB ＝75.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算，能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(重点)阅读教材P8～9，完成预习内容.自学反馈完成下面的表格：活动1 小组讨论 例1 计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)sin 260°＋cos 260°－tan45°. 解：(1)原式＝12＋22＝1＋22.(2)原式＝34＋14－1＝0.sin 230°表示(sin30°)2，即sin30°·sin30°，这类计算只需将三角函数值代入即可.例2 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)解：根据题意可知，∠AOD ＝12∠AOB ＝30°，AO ＝2.5 m.∴OD ＝OAcos30°＝2.5×32＝2.165(m). ∴CD ＝2.5－2.165≈0.34(m).∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m. 活动2 跟踪训练 1.计算：(1)2sin30°＋3tan30°＋tan45°；(2)cos 245°＋tan60°cos30°.解：(1)原式＝2＋ 3. (2)原式＝2.2.如图，某同学用一个有60°的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5 m 高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D ，B 的距离为5 m ，则旗杆AB 的高度大约是多少米？(精确到1 m ，3取1.73)解：由已知可得四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝DB ＝5 m ，BE ＝CD ＝1.5 m. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠ACE ＝AECE，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝5·tan60°＝53，∴AB ＝53＋1.5＝8.65＋1.5＝10.15≈10 (m)，即旗杆AB的高度大约是10 m.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.3 三角函数的计算1.能利用计算器求锐角三角函数值.2.已知锐角三角函数值，能用计算器求相应的锐角.阅读教材P12～14，完成预习内容.自学反馈1.已知tanα＝0.324 9，则α约为(B)A.17°B.18°C.19°D.20°2.已知tanβ＝22.3，则β＝87°25′56″.(精确到1″)活动1 小组讨论例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01 m)解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC＝ABsinα＝200×sin16°≈55.13(m).例2 为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜到.这条斜道的倾斜角是多少？解：在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AC ＝1040＝14.∴∠A ≈14°28′.答：这条斜道的坡角α是14°28′.在直角三角形ABC 中，直接用正弦函数描述∠CBA 的关系式，再用计算器求出它的度数.活动2 跟踪训练1.用计算器计算：(结果精确到0.000 1) (1)sin36°； (2)cos30.7°；(3)tan20°30′； (4)sin25°＋2cos61°－tan71°. 解：(1)0.587 8；(2)0.859 9；(3)0.373 9；(4)－1.512 0.2.在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，求两个锐角的度数(精确到1°). 解：∵∠C ＝90°，BC ＝20，AC ＝12.5，∴tanB ＝AC BC ＝12.520＝0.625，用计算器计算，得∠B ≈32°， ∴∠A ＝90°－32°＝58°. 活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数.2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物属性的一个方面.3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，故数字键；或先输入数字后，再按三角函数键，因此使用计算器时一定先要弄清输入顺序.1.4 解直角三角形1.了解什么叫解直角三角形.2.掌握解直角三角形的根据，能由已知条件解直角三角形.(重点)阅读教材P16～17，完成预习内容.(一)知识探究1.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系：三边之间的关系a2＋b2＝c2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°；边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，sinB ＝b c ，cosB ＝a c ，tanB ＝ba.3.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知∠A 与斜边c ，用关系式∠B ＝90°－∠A ，求出∠B ，用关系式sinA ＝ac 求出a.(二)自学反馈1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，则BC ∶AC ＝(A)A.3∶4B.4∶3C.3∶5D.4∶52.如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为(B)A.5cos αB.5cos αC.5sin αD.5sin α活动1 小组讨论例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝15，b ＝5，求这个三角形的其他元素.解：在Rt △ABC 中，a 2＋b 2＝c 2，a ＝15，b ＝5， ∴c ＝a 2＋b 2＝（15）2＋（5）2＝2 5.在Rt △ABC 中，sinB ＝b c ＝525＝12.∴∠B ＝30°.∴∠A ＝60°.例2 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝30，∠B ＝25°，求这个三角形的其他元素(边长精确到1).解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝25°，∴∠A ＝65°.∵sinB ＝b c ，b ＝30，∴c ＝bsinB≈71.∵tanB ＝b a ，b ＝30，∴a ＝b tanB ＝30tan25°≈64.活动2 跟踪训练1.根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝43，∠A ＝60°. 解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.∵sinA ＝a c ，∴a ＝c ·sinA ＝43·sin60°＝43×32＝6，∴b ＝c 2－a 2＝（43）2－62＝2 3. (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝2 3.解：∵∠C ＝90°，a ＝6，b ＝23， ∴c ＝a 2＋b 2＝62＋（23）2＝4 3. ∵tanA ＝a b ＝623＝3，∴∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°.2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠ABD ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长.解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在Rt △ABD 中，∵AB ＝8，∠ABD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝4，BD ＝3AD ＝4 3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.5 三角函数的应用第1课时方位角问题能运用解直角三角形解决航行问题.阅读教材P19有关方位角问题，完成预习内容.自学反馈1.如图，我们说点A在O的北偏东30°方向上，点B在点O的南偏西45°方向上，或者点B在点O的西南方向.2.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是250米.活动1 小组讨论例如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D. 在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BDAD ，∴BD ＝AD ·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CDAD ，∴CD ＝AD ·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD ·tan25°. ∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会遇到触礁危险.应先求出点A 距BC 的最近距离，若大于10则无危险，若小于或等于10则有危险.活动2 跟踪训练1.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为(A)A.402海里B.403海里C.80海里D.406海里2.如图所示，A、B两城市相距100 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.理由如下：过点P作PC⊥AB，C是垂足.则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100，即33PC＋PC＝100，(33＋1)PC＝100，∴PC＝33＋3×100＝50×(3－1.732)≈63.40>50.∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.解这类题目时，首先弄清楚方位角的含义；其次是通过作垂线构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？第2课时仰角、俯角问题1.理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.2.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P19想一想，完成预习内容.(一)知识探究1.仰角、俯角：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.2.解决实际应用问题时，常作的辅助线：构造直角三角形，解直角三角形.(二)自学反馈1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞机飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 mB.1 200 2 mC.1 200 3 mD.2 400 m2.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是(D)A.200米B.2003米C.2203米D.100(3＋1)米活动1 小组讨论例如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)解：∵∠DAB ＝30°，∠DBC ＝60°， ∴BD ＝AB ＝50 m.∴DC ＝BD ·sin60°＝50×32＝253≈43(m). 答：该塔高约为43 m. 活动2 跟踪训练1.我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破.已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险，理由如下： 在△AEC 中，∵∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60， ∴AE ＝203≈34.64(米).又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64(米).∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险. 2.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)解：作CF ⊥AB 于点F ，设AF ＝x 米， 在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AFCF，则CF ＝AF tan ∠ACF ＝x tan α＝xtan30°＝3x ，在直角△ABE 中，AB ＝x ＋BF ＝4＋x(米)，在直角△ABE 中，tan ∠AEB ＝AB BE ，则BE ＝AB tan ∠AEB ＝x ＋4tan60°＝33(x ＋4)米.∵CF －BE ＝DE ，即3x －33(x ＋4)＝3. 解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米).答：树高AB 是33＋122米.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.第3课时 坡度问题1.能运用解直角三角形解决斜坡问题.2.理解坡度i ＝坡面的铅直高度坡面的水平宽度＝tan 坡角.阅读教材P19做一做，完成预习内容. 自学反馈1.如图所示，斜坡AB 和水平面的夹角为α.下列命题中，不正确的是(B) A.斜坡AB 的坡角为α B.斜坡AB 的坡度为BCABC.斜坡AB 的坡度为tan αD.斜坡AB 的坡度为BCAC2.如图，一人乘雪橇沿30°的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为(C)A.72 mB.36 3 mC.36 mD.18 3 m活动1 小组讨论例某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)解：根据题意可得图形，如图所示： 在Rt △ABD 中，sin40°＝AD AB ＝AD4，∴AD ＝4sin40°＝4×0.64＝2.56， 在Rt △ACD 中，tan35°＝AD CD ＝2.56CD ，CD ＝ 2.56tan35°＝3.66，tan40°＝AD BD ＝2.56BD ，BD ＝ 2.56tan40°≈3.055 m.∴CB ＝CD －BD ＝3.66－3.055≈0.61(m). ∴楼梯多占了0.61 m 长一段地面. AC ＝ADsin35°≈4.46 m.∴AC －AB ＝4.46－4＝0.46(m). ∴调整后的楼梯会加长0.46 m. 活动2 跟踪训练1.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是210cm.2.如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长.(精确到0.1 m)解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F ， 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m). ∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m). ∵斜坡的坡度i ＝13≈0.333 3，∴BEAE＝0.333 3，即tan α＝0.333 3.∴α≈18°26′. ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α≈230.316 2≈72.7(m). 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5 m ，斜坡AB 的长约为72.7 m.这类问题，首先要弄清楚坡度、坡角等名词的含义；其次，要将梯形予以分割，分割成特殊的四边形和直角三角形. 活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？1.6 利用三角函数测高会利用直角三角形的边角关系测物体的高度.(重点)阅读教材P22～23，完成预习内容.自学反馈1.测量倾斜角可用测倾器.简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成.活动1 小组讨论例1 测量底部可以到达的物体的高度下面是活动报告的一部分，请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.计算，旗杆高AB(精确到0.1 m)AB ＝AE ＋BE ＝CEtan31°＋CD＝24.08×tan31°＋1.21＝15.7(m) 例2 测量底部不可以到达的物体的高度.如图，小山上有一座铁塔AB ，在D 处测得点A 的仰角为∠ADC ＝60°，点B 的仰角为∠BDC ＝45°；在E 处测得A 的仰角为∠E ＝30°，并测得DE ＝90米，求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).解：在△ADE 中，∠E ＝30°，∠ADC ＝60°， ∴∠E ＝∠DAE ＝30°. ∴AD ＝DE ＝90米.在Rt △ACD 中，∠DAC ＝30°，则CD ＝12AD ＝45米，AC ＝AD ·sin ∠ADC ＝AD ·sin60°＝453米.在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，则△BCD 是等腰直角三角形. BC ＝CD ＝45米，∴AB ＝AC －BC ＝453－45≈32.9米.答：小山高BC 为45米，铁塔高AB 约为32.9米. 活动2 跟踪训练为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图(1)的测量方案：把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算树AB 的高度(精确到0.1米)实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪一架，请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是①④. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测得示意图中哪些数据，并分别用a ，b ，c ，α，β等表示测得的数据a ·tan α＋1.5. (4)写出求树高的算式：AB ＝AB ＝a ·tan α＋1.5.解：实践一：∵∠CED ＝∠AEB ，CD ⊥DB ，AB ⊥BD ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴CD AB ＝DE BE. ∵CD ＝1.6米，DE ＝2.7米，BE ＝8.7米， ∴AB ＝1.6×8.72.7≈5.2(m).实践二：(1)在距离树AB 的a 米的C 处，用测角仪测得仰角α，测角仪为CD.再根据仰角的定义，构造直角三角形ADE ，求得树高出测角仪的高度AE ，则树高为AE ＋BE. (2)如图.活动3 课堂小结学生试述：这节课你学到了些什么？。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 导学案
第一章 直角三角形的边角关系［知识目标］1、理解锐角三角形函数的定义.2、熟记特殊锐角的三角函数值，并用于计算.3、能运用三角函数知识求解直角三角形与直角三角形有关的实际问题. ［情感目标］1、通过复习再次认识锐角三角形函数及其在现实生活中的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力.2、体会数形之间的联系，培养利用数形结合的思想进行分析问题和解决问题的能力.3、使学生进一步认识数学知识源于生活，又服务于生活，从而加强学生学习数学的意识，提高学习兴趣.［重 点］ 1、理解锐角三角形函数的定义.2、熟记特殊锐角的三角函数值，并用于计算.3、能运用三角函数知识求解直角三角形与直角三角形有关的实际问题. ［难 点］运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.［教学过程］一、知识回顾1、锐角三角函数.1）锐角三角函数的定义.2）刻画梯子的倾斜程度的量――锐角三角函数.3）坡度与坡角.2、特殊锐角的三角函数.3、三角函数的计算.1）由角度求出三角函数值.2）由三角函数值求角度.4、解直角三角形.5、三角函数的应用.二、巩固练习与中考链接1、如图①，则αsin ＝＿＿＿，αcos ＝＿＿＿，αtan ＝＿＿＿＿＿.2、计算：1） 45cos 45sin 45tan 30cos 60sin ⨯⨯++2）22245sin 60cos +3、填空：1） 30sin ＝＿＿＿＿＿＿， 16cos ＝＿＿＿， 50tan ＝＿＿＿.2）若21sin =α，则∠α＝＿＿＿＿，若θtan ＝56.78，则∠θ＝＿＿＿. 4、如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=52，AC ＝15，求△ABC 的其它元素.5、(2010·广东)如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，54cos =B ，则AC=______.(4分)6、(2011·广东)计算：20245sin 18)12011(-+- .(6分)7、（2012·广东）如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是43tan =α， 在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数；参考数据45.06.26sin = ，89.06.26cos = ，50.06.26tan = ）.(7分)8、（2013·广东）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则A sin ＝＿＿.（4分）9、（2014·广东）如图，某兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达点B ，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1m ) (参考数据：414.12≈，732.13=).(7分)三、课堂小结本节课复习了直角三角形中的锐角三角函数，并利用它来解决实际问题，我们要熟记特殊角有三角函数数值为计算带来方便. 在中考中本章内容考试形式多种，有填空，选择、解答题的形式.四、课后作业1、完成白色试卷(第一单元).2、复习第二单元知识点.。
直角三角形的边角关系学案(定)
1.1 从梯子的倾斜程度谈起（1）学号______姓名_________1、问题探索：函数的定义（1）AB 、EF 表示梯子，AC 、ED 表示支撑梯子的物体，BC 、FD 在地面上.①如图1，你能比较两个梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？②你能再判断下图中哪个梯子更陡吗？（2）合作交流：如图，小明想通过测量B 1C 1及AC 1，算出它们的比，来说明梯子AB 1的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子AB 1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗? ①111AC C B 和222AC C B 有什么关系? ②如果改变B 2在梯子上的位置呢? ①中关系是否还成立？ ③若∠A 的大小改变，111AC C B 怎样变化？①中关系是否还成立？ 由此你能得到什么结论？2、知识技能在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么锐角A ___________________的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A =___________.即tanA ＝∠A 的对边∠A 的邻边.明辨是非：（1）如图6，tan ACB BC =（ ） （2）如图7，tan BCB AC= （ ）例1 （1）填空：如图8，①( )( )( )tan ( )( )( )A === 图1图2 图3 图4 C 2B 2C 1B 1A图5A BC图6A BC图7A CBD图8②tan______= tan_______=BD CD（2）如图9，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，求tan B, tan A, tan B与tan A有什么关系？函数公式：∠A+∠B =90°tan B. tan A=13、数学理解思考：你能根据所学知识判断梯子的倾斜程度与倾斜角的正切值有什么关系吗？4，理解函数增减性，几何画板画出函数图像，理解角的定义域，初中定义在锐角，0°<A<90°思维延伸已知：如图10，△ABC是等腰三角形，AC=24，tan C=5 12，求BC.4、联系拓广请阅读下列材料，并回答相关问题：在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图11，我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度（或坡比），用字母i表示，即h i=l.（1）如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度与坡角有什么关系？（2）若i=1:3，则tanα=_____.例2（1）如图12，AB、ED甲、乙两个斜坡，_______个斜坡比较陡.（2）若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.AB C图9ABC图10图11i=3:4图125、理解斜率tan∠ABC=K例题：四种习题：类型一，已知边，求角函数值1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，tan B＝（）A．B．C．D．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan C的值是（）A．2B．C．1D．3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．类型二已知边，角函数值，求角函数值及边1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tan∠B＝2，则AC的长为（）A．1B．2C．D．2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tan A＝，则AB的长是（）A．3B．6C．12D．6类型三已知边比，求角函数值1．如图，过∠MAN的边AM上的一点B（不与点A重合）作BC⊥AN于点C，过点C作CD⊥AM于点D，则下列线段的比等于tan A的是（）A．B．C．D．2．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．类型四已知角函数值，求角函数值从梯子的倾斜程度谈起（1）随堂测试1、在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，则tanA=______.2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足为D，求tan∠BCD．3、已知等腰三角形的一条腰长为20 cm，底边长为30 cm，求底角的正切值．4、如图，山坡AB的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A处出发，把货物运送到距山脚500 m高的B处，求汽车从A到B所行驶的路程．正切练习题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．若3AB＝5AC，则tan A＝．2．如图，锐角△ABC中，AB＝10cm，BC＝9cm，△ABC的面积为27cm2．求tan B 的值．3．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．4．如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则tan∠BAC＝（）A．2 B．C．3 D．6．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝．12．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，连接DF，那么∠EDF的正切值是．13．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．9．如图所示，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB、CD的端点均为格点．若AB与CD所夹锐角为α，则tanα＝．10．如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则tan∠AEC的值是．1．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（）A．6 B．6C．12D．82．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝8，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A ．B ．C ．2D ．415．如图，矩形OABC 的两边OA 和OC 所在直线分别为l 1、l 2，l 1和l 2的交点为O ，OA ＝3，AB ＝4．将矩形OABC 绕O 点逆时针旋转，使B 点落在射线OC 上，旋转后的矩形为AO 1B 1C 1，BC 、A 1B 1相交于点M ． （1）求tan ∠OB 1A 1的值；（2）将图1中的矩形OA 1B 1C 1沿射线OC 向上平移，如图2，矩形P A 2B 2C 2是平移过程中的某一位置，BC 、A 2B 2相交于点M 1，点P 运动到C 点停止．设点P 运动的距离为x ，CM 1＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（2）学号______姓名_________【预习导航】一、正弦、余弦的定义1、1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ；∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，即sinA ＝ac .∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，即cosA ＝bc .锐角三角函数的定义：BAC2、讨论梯子的倾斜程度与sin A 和cos A 的关系：二、正弦、余弦的应用 1、典型例题：例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC ＝200，sin A ＝0.6，求（1）BC 的长；（2）△ABC 的周长和面积.变式：在Rt △ABC 中，∠B =90°，sin A ＝0.6，求cosA.反思：你用到了什么数学方法？ 例2、做一做：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，cos A ＝1312，AC ＝10，求 sin A 、cos B 、sin B .反思：你发现了什么结论？在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, cosA ＝sinB. cosA 2+sinA 2=1. s=12absinA例题：四种习题：类型一，已知边，求角函数值1、在△ABC 中，已知AC =3，BC =4，AB =5，那么下列结论正确的是( )A.sin A =34 B.cos A =35 C.tan A =34 D.cos B =352、如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =35，则BC AC等于( )A.34B.43C.35D.453．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ∠ACB 的值为（ ）DBA CA ．B ．C ．D ．4．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．类型二 已知边，角函数值，求角函数值及边1、在△ABC 中，AB =AC =10，sin C =45，则BC =_____. 2、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =41，sin A =941，则AC =______，BC =_______.类型三 已知边比，求角函数值1、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列线段的比中不等于sin A 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CDCB类型四 已知角函数值，求角函数值1、Rt △ABC 中，∠C =90°，已知cos A =35，那么tan A 等于( )A.43B.34C.45D.542、在Rt △ABC 中，∠ C =90°，tan A =34，则sin A = ，sin B =_____，tan B =_____，cosB=______.3．如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为（）A．B．C．D．探索例题的多种做法例题．1.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为．方法1：勾股定理-求线段长，求三角函数值方法2：相似得线段比，求三角函数值方法3：角的等量转化，求三角函数值2．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是．正弦余弦练习题1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝3，则∠C的余弦值为（）A．B．C．D．2．在直角三角形ABC中，若3AB＝AC，则sin C＝．3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC= sin B=。
《直角三角形的边角关系》导学案(定稿).doc
1.1.1从梯子的倾斜程度谈起（1） 学习目标：1. 探索直角三角形中边角关系.理解止切的意义和与现实生活的联系.2. 能够WJtanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正 切进行简单的计算. 学习重点：1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学•牛活的联系. 学习难点：理朋正切的意义，并用它來表示两边的比. 学习过程：情景导入：1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 一、自主学习，整体感知⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的?二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） （DRtAABjCi 和 RtAAB 2C 2^什么关系？⑵邑5和邑£1有什么系？AC 〕 AC 2⑷山此你得出什么结论?正切的定义：在 RtAABC 中，ZC=90° 的正切，记做tanA,即tanA=⑶如果改变B 2在梯子上的位置（如B3C3）呢? 锐角A 的对边与邻边的比叫做ZA⑵以下三组中, B ZA 的对•边定义中应该注意的几个问题:（1）.tanA是在直角三角形中定义的,ZA是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.（2）.tanA是一个完整的符号，表示ZA的止切，习惯省去“Z”号；tanA不表示“tan”乘以“A".（3）.tanA是一个比值（直角边之比）.注意比的顺序，且tanA > 0,无单位.（4）.tanA的大小只与ZA的大小有关，而与直角三角形的边长无关.（5）角相等，则止切值相等；两锐角的止切值相等贝J这两个锐角相等.例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个白动扶梯比较陡?例2如图，拦水坝的坡度i= 1 :, 翻高BC=20米，求坝血AB的长。
三.课内检测，巩固提高1、如图，AABC是等腰直和三介形，伤〈能根据图中所给数据求出tanC吗?2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m, 求山的坡度•（结杲精确到0.001）3> 在RtAABC 屮，ZC=90°,AB=3,BC=lJliJ tanA= __________tanA= _____ .在AABC 中,AB二AC=3,BC=4,则tanC= ___ .乙☆巩固练习a、如图，在AACB 中，ZC = 90° ,1)tanA = ； tanB = ；2)若AC = 4, BC = 3, Ml] tanA =；tanB =3)若AC = 8, AB = 10,贝ij tanA =；tanB =tanA的值越大，梯子越陡二、合作交流，文本探究B D•在△ABC4、若某人沿坡度i = 3： 4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高米四.拓展延伸，迁吻升华3如图，在AACB 屮，ZC = 90° , AC = 6, tan B =-,求BC、AB 的长。
【北师大版】数学九(下)第1章直角三角形的边角关系期末复习学案(课件版)
（1）求 AB 的长（结果保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为 45 千米/时，若测得某辆
校车从 A 到 B 用时 1.5 秒，这辆校车是否超速？说 明理由. （参考数据： 3 ≈ 1.7， 2 ≈ 1.4）
解：（1）在 Rt△ADC 中，∠CAD = 30°，∴tan∠CAD = CD = 3.
核心考题
13. 计算：（-2 022）0 + （sin 60°）-1 - tan30° − 3 + 3 8.
解：原式 = 1 + 3 −1 - 3 − 3 + 2
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=1 + 2 - 2 3+ 2 = 1 + 2 3- 2 3+ 2 = 3.
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3
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14. 在△ABC 中，AB = AC = 10，△ABC 的面积为 25 3， 求顶角 A 的大小.
当高 AD 在△ABC 外部时，如图 2.CD = BC + BD = 16，
∴tan C = 1. 综上所述，tan C 的值为2或1.
4
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16. 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患 主要是超速和超载. 某中学数学活动小组设计了如 下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁 边选取一点 C， 再在笔直的车道 l 上确定点 D， 使 CD ⊥ l，测得 CD 的长为 24 米， 在 l 上点 D 的同 侧取点 A，B，使∠CAD = 30°，∠CBD = 60°.
解：分两种情况：
过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D，如图 1. ∵AB = AC = 10，△ABC 的面积为 25 3， ∴1AC·BD = 25 3. ∴BD = 5 3.
2
在 Rt△ABD 中，sin A = BD = 5 3 = 3，∴∠A = 60°.
第一章 直角三角形的边角关系复习导学案
第一章直角三角形的边角关系复习导学案
主备教师：于振波上课时间：第课时
复习目标（时间2分钟）
1．以问题的形式梳理本章的内容，进一步会运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。
2．通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值。
复习步骤
第一环节知识小结（时间5分钟）
总结和直角三角形相关的边、角的计算，以及本章的知识点。
第二环节基础练习（时间15分钟）
1、根据给出的三角函数值，由学生给出相应的角（30°，45°，60°）的
度数。
2、学生独立练习：教科书第一章复习题的1、
3、
4、7题
第三环节巩固提高（时间13分钟）
1、教科书复习题第10题，18题
第四环节知识回顾（时间4分钟）
师生互相交流总结本章的知识要点，以及知识点之间的联系。
课后作业（时间1分钟）
1、A组教科书第24页复习题6、9题
2、B组21题
思考题如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器，（1）请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体需求如下：
（1）测量数据尽可能少
（2）在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间的距离用m表示；如果测D、C间距离用n表示；如果测角用α、β、γ等表示，测倾器高度不变。
）
（3）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）
B C G。
第1章 直角三角形的边角关系 复习学案
8、如图2是固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CD m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是__________m。
9、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米。(用含根号的式子表示)
11、如图4，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________.(不取近似值.以下数据供解题使用：sin15°= ，cos15°= )
12、某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30°的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.
主备人
宋亚会
审核人
张鲜艳
授课人
学习目标(任务）
1.熟练解直角三角形
2.掌握解直角三角形的实际应用
学习重点难点
解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形来解决问题。
学生自主学习方案
导学方案
学习流程
①读书自学
一自主训练
一、填空题：
1、如下图，表示甲、乙两山坡的）年级（数学）科导学案
班级：
姓名：时间：
课题
第1章直角三角形的边角关系复习学案
节次
8
学习流程
④过关检测
10、如图3，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为 ， ，台阶的高 为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到 ，取 ， ）
第一章直角三角形的边角关系回顾与思考(教案)
-重点三：锐角三角函数的定义与性质。以具体角度为例，引导学生理解正弦、余弦、正切的定义，并探讨其性质，如单调性、周期性等，为解决复杂问题奠定基础。
举例解释：
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用三角板和量角器来实际测量并计算直角三角形的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形边角关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形的边角关系的基本概念。直角三角形的边角关系是指在直角三角形中，三条边的长度和两个锐角的大小之间存在特定的数学关系。这些关系是勾股定理、锐角三角函数等，它们在几何学、物理学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要测量一个旗杆的高度，我们可以利用直角三角形的边角关系，通过测量旗杆底部的距离和观察角度来计算旗杆的高度。
举例解释：
-在勾股定理的证明教学中，教师可以设计一些动手操作的实验，如使用纸张、剪刀等工具，让学生通过割补法亲身体验定理的证明过程。
-在讲解互余两角的三角函数关系时，教师可以绘制具体角度的直角三角形，让学生观察并计算互余两角的函数值，从而发现它们之间的关系。
-在解决实际问题时，教师可以引导学生从问题中抽象出直角三角形的模型，如利用三角函数计算物体的高度、距离等，帮助学生将理论知识应用于实际情境。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系复习导学案
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系复习导学案第1章直角三角形的边角关系一、知识梳理二、题型、技巧归纳类型一求三角函数值4例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝( )5A. B. C. D. 4[解析] B 根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k,5k，则第三边长为3k，所以543343545tanB＝＝. 归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．类型二特殊角的三角函数值例2 计算：33k34k4?2?0＋tan60°＋?－?.?3?3[解析] 本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.类型三利用直角三角形解决和高度有关的问题1例3 如图X1－1，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D 处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．[解析] 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG 表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.AGAGAG解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝＝. FGtan∠AFG3在Rt△ACG中，tan∠ACG＝又CG－FG＝40，即3AG－AGAG，∴CG＝＝3AG. CGtan∠ACG＝40， 3AG∴AG＝203，∴AB＝(203＋1.5)m. 答：这幢教学楼AB的高度为(203＋1.5)m.归纳; 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．类型四利用直角三角形解决平面图形中的距离问题例4 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．[解析] 过点A作AD⊥BC于点D，2根据∠CAD＝45°，可得BD＝BC－CD＝200－AD.AD在Rt△ABD中，根据tan∠ABD＝，可得AD＝BD・tan∠ABD＝(200－AD)・tan60°＝3BD(200－AD)，列方程AD＋3AD＝2021，解出AD即可．典例精析：如图X1-J-5，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20 km，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路. （1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）解：（1）如答图X1-J-2，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.在Rt△ACD中，答：新铺设的输电线路AB的长度为三、随堂检测1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3,则 tan = 。
第一章 直角三角形的边角关系 教学设计
第一章直角三角形的边角关系 课题：锐角三角函数(一) 锐角的正切【学习目标】1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义． 2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算． 【学习重点】理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度以及坡度． 【学习难点】在现实情境中理解正切的意义．情景导入 生成问题旧知回顾：1．如图，两个斜坡AB 和EF ，哪个更陡一些？你是如何判断的？ 解：EF 更陡．∵BC AC ＝12<FGEG＝1，∴EF 更陡．(第1题图)(第2题图)2．如图，梯子AB 沿墙OA 下滑到CD 处，OA ＝OD ＝4，OB ＝OC ＝3，梯子在AB 或CD 处哪个更陡一些？如何用图上数据判定？解：AB 更陡.OA OB ＝43，OC OD ＝34.∵OA OB >OCOD，∴AB 更陡．自学互研 生成能力知识模块一 正切的定义阅读教材P 2～P 3，完成下面的内容： 什么是锐角的正切？如何表示？答：在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边.范例1：(广州中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan A ＝( D )A .35B .45C .34D .43(范例1题图)(仿例1题图)(仿例2题图)仿例1：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BC ＝4，AC ＝3，设∠BCD ＝α，则tan α的值为( B )A.34B.43C.35D.45仿例2：(烟台中考)如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是AB 的中点，则tan ∠BFE 的值是( D )A .12B ．2C .33D . 3 仿例3：在直角坐标系xOy 中，点P(4，y)在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是( B )A .433B ．4 3C ．8D ．2 知识模块二 坡度阅读教材P 3～P 4，完成下面的内容： 什么是坡度？坡度与坡角的正切值有何关系？答：坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比．很显然坡度即坡角的正切值．坡角的正切值越大，坡度越陡．范例2：如图为一水库大坝的横断面，坝高h ＝6m ，迎水坡AB ＝10m ，斜坡的坡度角为α，则迎水坡的坡度是34．(范例2题图)(仿例1题图)仿例1：如图，河堤横断面是梯形，上底为4m ，堤高为6m ，斜坡AD 的坡比为1∶3，斜坡BC 的坡角为45°，则河堤的横断面的面积为( A )A ．96m 2B ．48m 2C ．192m 2D ．84m 2仿例2：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，若BC ＝6，AC ＝8，则tan ∠ACD 的值为34．(仿例2题图)(仿例3题图)仿例3：如图，某人从山脚A 走了300m 的山路，爬到了120m 高的小山顶B21交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正切的定义 知识模块二 坡度检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________课题：锐角的正弦、余弦【学习目标】1．理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．2．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．【学习重点】正确运用三角函数值表示直角三角形中两边之比． 【学习难点】用函数观点理解正弦、余弦和正切．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么叫锐角A 的正切？答：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝a b. 2．什么是坡度？答：正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度．坡度即坡角正切值．自学互研 生成能力知识模块一 正弦和余弦的概念 阅读教材P5～P 6，完成下面的内容： 什么是锐角A 的正弦和余弦？如何表示？答：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定时，那么∠A 的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． (1)在Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边；(2)在Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边；(3)锐角A 的正弦、余弦和正切都叫做∠A 的三角函数．范例1：(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是( D)A.34B.43C.35D.45仿例1：在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，那么sin B ＝1213．仿例2：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.(仿例2题图)(变例1题图)变例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，sin ∠CAM ＝35，则tan B 的值为23．变例2：等腰三角形腰长为6cm ，底边长为10cm 5知识模块二 锐角三角函数的应用 阅读教材P 5～P 6，完成下面的内容：范例2：(乐山中考)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为( D ) A.33 B.55 C.233 D.255,(范例2题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是( D )A.13B.617C.55D.1010仿例2：(常州中考)在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且过点P(1，1)，tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是(－2，0)或(4，0)．仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝35，则斜边上的高等于4825．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 正弦和余弦的概念 知识模块二 锐角三角函数的应用检测反馈 达成目标课后反思 查漏补缺1．收获：___________________________________________ _____________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：30°，45°，60°角的三角函数值【学习目标】1．能推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数． 2．能熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数的运算式．【学习重点】熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并熟练进行计算． 【学习难点】理解30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而牢记三角函数值．情景导入 生成问题旧知回顾：1．锐角A 的三角函数有哪几种？如何表示？答：将锐角A 的正弦、余弦、正切统称为∠A 的三角函数． sin A ＝∠A 的对边斜边 cos A ＝∠A 的邻边斜边 tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin A 5cos A 5自学互研 生成能力知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值阅读教材P8～P9，完成下面的内容：1．如何得30°，45°，60°角的三角函数值？ 答：观察一副直角三角板，如图(1)，设BC ＝1，则AB ＝2，AC ＝3，由此可得30°，60°角的三角函数值．如图(2)，设AC ＝BC ＝1，则AB ＝2，由此可得45°角的三角函数值．2．填写下表，并归纳锐角三角函数值随角度变化规律.锐角的正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．范例1：cos60°的相反数是( C )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 仿例1：在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C 度数是( D ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°仿例2：若α为锐角，且3tan(90°－α)＝3，则α为( C ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°仿例3：在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，1tan B ＝33，cos A ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( D )A ．∠C >∠A >∠B B ．∠B >∠C >∠A C ．∠A >∠B >∠CD ．∠C >∠B >∠A 仿例4：计算：(1)sin 260°＋cos 260°－tan45°； (2)cos 230°·tan30°－tan45°·cos45°.解：(1)原式＝0；(2)原式＝3－224. 知识模块二 30°，45°，60°角的三角函数值的应用 阅读教材P8～P9，完成下面的内容：范例2：(邵阳中考)如图，某登山运动员从营地A 沿坡角为30°的斜坡AB 到达山顶B ，如果AB ＝2000m ，则他实际上升了1000m .仿例1：身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30m ，25m 和20m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，三人所放风筝( B )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低仿例2：如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于D ，则∠BCD ＝15°，根据此图计算tan15仿例3：(龙东中考)△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值 知识模块二 30°，45°，60°角的三角函数值的应用检测反馈 达成目标课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的计算【学习目标】1．学习任意锐角三角函数值的求法，并能够结合实例进行相关计算．2．运用计算器求出任意锐角的三角函数值，并能用给定的三角函数值求出相应的度数． 【学习重点】运用计算器求出任意锐角的三角函数值或由已知三角函数值求出相应的度数． 【学习难点】领会锐角度数及其相应三角函数值大小变化规律．情景导入 生成问题旧知回顾： 1．填表.2．如图，BC ＝3m ，从B 点望旗杆顶端A 的视角为65°，怎样求旗杆AC 的长呢？学习本节课，将帮助你解答这个问题．自学互研 生成能力知识模块一 用科学计算器求锐角三角函数值 阅读教材P 12～P 13，完成下面的内容： 锐角A 为特殊角，可求得三角函数值．如果锐角不是特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 答：利用计算器可求一般角的三角函数值．范例1：用计算器计算sin 24°的值，以下按键顺序正确的( A ) A .sin 2 4 ＝ B .2 4 sin ＝C .2ndF sin 2 4D .sin 2 4 2ndF 仿例1：sin 65°，cos 65°，tan 65°的大小关系是( D ) A ．tan 65°<cos 65°<sin 65° B ．sin 65°<cos 65°<tan 65° C ．cos 65°<tan 65°<sin 65° D ．cos 65°<sin 65°<tan 65° 仿例2：下列四个计算结果中最大的是( D ) A ．sin 48°＋cos 48° B ．sin 48°＋tan 48° C ．cos 48°＋tan 48° D ．tan 48°＋1cos 48°仿例3：用计算器求锐角三角函数值(精确到0.001)： (1)tan 55°≈1.428； (2)cos 35°≈0.819． (3)sin 50°26′18″≈0.771； (4)tan 15°15′≈0.273．仿例4：如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC 为3m ，引桥的坡角∠ABC 为15°，则引桥的水平距离BC 的长是11.2m .(精确到0.1m )知识模块二 用科学计算器求锐角的度数 阅读教材P 13～P 14，完成下面的内容： 范例2：根据下列条件，求锐角度数． (1)若sin α＝0.6785，则∠α＝42°43′36″； (2)若cos α＝33，则∠α＝54°44′8″； (3)若tan α＝35.6，则∠α＝88°23′28″．仿例1：比较锐角α，β大小：已知sin α＝0.47，tan β＝52.3，则α__<__β. 仿例2：用“<”连接下列各题中的锐角α，β，γ.(1)若sin α＝0.123，sin β＝0.8456，sin γ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为α<γ<β； (2)若cos α＝0.0123，cos β＝0.3879，cos γ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为β<γ<α. 仿例3：已知tan α＝23，则锐角α的取值范围是( B )A ．0°<α<30°B ．30°<α<45°C ．45°<α<60°D ．60°<α<90°交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 用科学计算器求锐角三角函数值 知识模块二 用科学计算器求锐角的度数检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：解直角三角形【学习目标】1．理解解直角三角形的定义，能通过已知条件正确选用关系式解直角三角形．2．熟练应用勾股定理，直角三角形两锐角关系，边角关系解直角三角形，培养分析能力和计算能力． 【学习重点】学会运用已知条件解直角三角形． 【学习难点】根据条件选择适当的方法解直角三角形．情景导入 生成问题旧知回顾：1．直角三角形三边之间有什么关系？ 答：勾股定理：a 2＋b 2＝c 2.2．直角三角形两锐角之间有何关系？ 答：互余：∠A ＋∠B ＝90°. 3．直角三角形边与角之间有何关系？答：锐角三角函数sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝ab.自学互研 生成能力知识模块一 已知两边解直角三角形 阅读教材P 16～P 17，完成下面的内容： 1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形一般有哪些类型？答：①已知两边解直角三角形；②已知一边和一锐角解直角三角形． 范例1：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.(1)若c ＝62，a ＝6，则b ＝6，∠B ＝45°，∠A ＝45°； (2)若a ＝3，b ＝3，则∠A ＝60°，∠B ＝30°，c仿例1：(连云港中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，则∠A 的 度数为( D ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°仿例2：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( B )A .34B .43C .35D .45仿例3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝43，解这个直角三角形． 解：∵tan A ＝BC AC ＝1243＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝30°，AB ＝2AC ＝8 3.知识模块二 已知一边和一锐角解直角三角形 阅读教材P 16～P 17，完成下面的内容：范例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( A )A ．4B ．25C .81313D .121313仿例1：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为( B )A ．2B .433C ．2 3 D ．4 3(仿例1题图)(仿例2题图) 仿例2：如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A .212B ．12C ．14D ．21 仿例3：等边三角形的高为2，则它的边长是( C ) A ．4 B .23 3 C .433 D ．2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一已知两边解直角三角形知识模块二已知一边和一锐角解直角三角形检测反馈达成目标课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的应用(一)【学习目标】1．理解方位角和仰角、俯角等概念，弄清他们的意义．2．将实际问题转化为数学问题，根据解直角三角形的方法来解决问题．【学习重点】将实际问题转化成数学问题且了解方位角、仰角、俯角在解直角三角形中如何应用．【学习难点】实际情况和平面图形之间的转化．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么叫解直角三角形？答：由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程，叫解直角三角形．2．如图，指出OA，OB，OC，OD表示的方位角．答：OA：北偏东20°；OB：西北方向；OC：南偏西65°；OD：南偏东50°.自学互研生成能力知识模块一方位角问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：如图，一舰艇在A处观测到灯塔C在南偏东60°方向，该舰艇以32海里/时的速度向正东航行，2h后到达B处，在B处观测到灯塔C在南偏东15°方向，此时从B处到达灯塔C需要( D) A．2h B．23h C．22h D.2h(范例1题图)仿例1：某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan ∠ABP ＝( A )A .12B ．2C .55D .255仿例2：如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿北偏东60°的方向以40海里/小时的速度出发，同时乙货船从B 港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P 处，乙货船每小时航行里．(仿例2题图)仿例3：如图所示，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东45°方向，前进6海里到达B 处，测得该岛在北偏东30°方向，已知在该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁的危险？请说明理由．解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，由题意得∠CAB ＝45°，∠BCD ＝30°，AB ＝6，设CD ＝x ，在Rt △CAD 中，AD ＝CD ＝x ，在Rt △CBD 中，BD ＝x·tan 30°＝33x ，由于AD －BD ＝6，∴x －33x ＝6，解得x ＝9＋33>6，∴若该船继续向东航行无触礁危险．知识模块二 仰角和俯角问题阅读教材P 19～P20，完成下面的内容： 什么是仰角？什么是俯角？答：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．范例2：(衡阳中考)如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1m 的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100m 到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m )为( C )A ．503B ．51C ．503＋1 D ．101(范例2题图)(仿例题图)仿例：如图，从热气球C 上测得建筑物A ，B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD 为150m ，且点A ，D ，B 在同一直线上，那么建筑物A ，B 间的距离为( C )A ．1503mB ．1803mC ．2003mD ．2203m交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 方位角问题知识模块二 仰角和俯角问题检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________________________课题：三角函数的应用(二)【学习目标】1．加强对坡度、坡角、坡面概念的理解，了解坡度与坡面陡峭程度的关系．2．能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力． 【学习重点】对堤坝等关于斜坡的实际问题的解决． 【学习难点】对坡度、坡角、坡面概念的理解．情景导入 生成问题旧知回顾：什么是坡度？它与坡角正切有何关系？答：坡面的垂直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比．如图，坡度i ＝h ∶l ，tan α＝hl ，∴坡度即坡角正切值，坡度越大，坡面越陡．自学互研 生成能力知识模块 坡度问题阅读教材P19～P20，完成下面的内容：范例1：某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了50m ，则此时人离地面( B ) A ．50m B ．25m C ．253m D ．252m仿例1：如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角角α是30°.(仿例1题图)(仿例2题图)仿例2：如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是240cm .仿例3：(丽水中考)学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC ＝30°，斜坡AB 长为12m .为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1∶3，A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小坡下降的高度AD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，AC ＝12AB ＝6(m )，BC ＝AB·cos ∠ABC ＝12×32＝63(m )， ∵斜坡BD 的坡比是1∶3，∴CD ＝13BC ＝23(m )，∴AD ＝AC －CD ＝6－23(m )，即开挖后小山坡下降的高度AD 为(6－23)m .仿例4：(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6m ，坝高20m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度．(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则四边形BCFE 是矩形， 由题意，得BC ＝EF ＝6m ，BE ＝CF ＝20m . 在Rt △ABE 中，BE ＝20m ，BE AE ＝12.5， ∴AE ＝50m ，在Rt △CFD 中，∠D ＝30°， ∴DF ＝CFtan D＝203m .∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝50＋6＋203≈90.6(m )． 答：坝底AD 的长度约为90.6m .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡度问题检测反馈达成目标课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________________________________课题：利用三角函数测高【学习目标】1．利用直角三角形的边角关系测量并计算物体的高度．2．在活动中培养学生实际操作能力，培养运用数学的意识．【学习重点】利用直角三角形的边角关系测物体的高度．【学习难点】正确操作与计算．情景导入生成问题旧知回顾：1．测量倾斜角一般用什么仪器？它由哪些部分组成？答：测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成．2．使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？答：(1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线在水平位置；(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时的铅垂线所指的度数．自学互研生成能力知识模块一测量底部可以到达物体的高度阅读教材P22～P23，回答下列问题：如何测量底部可以到达的物体的高度？答：测量底部可到达的物体的高度时，选择适当测点，测量出仰角，量出测点到物体底部的水平距离及测倾器的高度三个数据．范例1：测量底部可以到达的物体时，所得到的数学模型如图所示，这时物高h满足关系式h＝l·tanα＋a．(范例1题图)仿例1：如图，小明测自己前面大树高时，测得树顶的仰角为30°，眼睛距地面1.5m，此时距树5m，则这课树高⎝⎭32m.(仿例1题图)仿例2：如图，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC，某人在楼顶D测得塔顶B点的仰角为30°，塔底C点的俯角为45°，则塔BC的高度为( D)A．15m B．20m C．(10＋103)mD.⎝⎛⎭⎫10＋1033m,(仿例2题图),(仿例3题图) 仿例3：如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P处与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( C)A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm知识模块二测量底部不可到达物体的高度阅读教材P 22～P 23，完成下面的内容： 如何测量底部不可到达物体的高度？答：测量底部不可到达的物体的高度时，要选择与物体在同一直线上的两个测点，测量出两个仰角，两个测点间的距离及测倾器的高度四个数据．范例2：如图所示，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60m 到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为( A )A ．82mB ．163mC ．52mD ．70m(范例2题图)仿例1：如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A 处测得塔顶B 处的仰角α＝60°，在塔底C 处测得A 点的俯角β＝45°，已知塔高60m ，则山高CD 等于( A )A ．30(1＋3)mB ．30(3－1)mC ．30mD ．(303＋1)m(仿例1题图)(仿例2题图)仿例2：如图，在高为60m 的小山上，测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°，60°，这个建筑物的高度为( C )A ．20mB ．30mC ．40mD ．50m交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 测量底部可以到达物体的高度 知识模块二 测量底部不可到达物体的高度检测反馈 达成目标 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________________________________第一章小结与复习【学习目标】1．理解三角函数的定义，识记特殊三角函数值，根据条件熟练解直角三角形． 2．通过对本章知识进行旧知回顾，对本章知识结构有系统认识． 【学习重点】熟练记忆特殊角的三角函数值，根据条件选择适当方法解直角三角形． 【学习难点】情景导入 生成问题知识结构框图：解直角三角形⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直角三角形边角关系⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角函数⎩⎪⎨⎪⎧正切正弦、余弦30°、45°、60°角的三角函数值一般三角函数值的计算⎩⎪⎨⎪⎧利用计算器求三角函数值利用计算器求角度解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧已知两边解直角三角形已知一边和一锐角解直角三角形三角函数的应用⎩⎪⎨⎪⎧方位角问题俯角、仰角问题坡度问题利用三角函数测高自学互研 生成能力知识模块一 锐角三角函数范例1：如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的F 处，若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE 的值为( C )A .43B .45C .34D .45,(范例1题图)),(仿例1题图))仿例1：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB ＝4，AD ＝6，则tan B 等于( B )A ．2 3B ．2 2C .114D .554仿例2：tan 30°·tan 60°＋2（sin 45°－1）2知识模块二 解直角三角形范例2：长为4m 的梯子在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高.,(范例2题图) ,(仿例题图)仿例：将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分62.知识模块三 三角函数的应用范例3：(徐州中考)如图，轮船从点A 处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A 相距100km 的点B 处，再航行至位于点B 的北偏东75°且与点B 相距200km 的点C 处．(1)求点C 与点A 的距离；(精确到1km )(2)确定点C 相对于点A 的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)过A 作AD ⊥BC 于点D ，∠ABC ＝75°－15°＝60°. 在Rt △ABD 中求得AD ＝503，BD ＝50，∴CD ＝150. 在Rt △ADC 中，由勾股定理得AC ＝1003≈173(km )．(2)由AB 2＋AC 2＝BC 2，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝75°， ∴点C 位于点A 的南偏东75°方向．仿例：如图，小明在大楼30m 高(即PH ＝30m )的窗口P 处进行观测，测出坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan ∠ABC)为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于30°；(2)求A ，B 两点间的距离(结果精确到0.1m ，参考数据：3≈1.732)．解：(1)30；(2)由题意得：∠PBH ＝60°，∠APB ＝45°，∵∠ABC ＝30°，∴∠ABP ＝90°，在Rt △PHB 中，PB ＝PHsin ∠PBH＝203，在Rt △PBA 中，AB ＝PB ＝203≈34.6.答：A ，B 间距离约为34.6m .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 锐角三角函数 知识模块二 解直角三角形。
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第一章直角三角形的边角关系1、从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）一、课前导读1、直角三角形两直角边a,b 和斜边c 之间的关系是 。
直角三角形的两锐角 。
2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A= 30°BC=2cm,AC= cm 。
3、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，CD 是斜边AB 的中线，CD=3cm ，BC=4cm ，则AC= cm 。
4、如图，在Rt △ABC 中，∠A 的对边是 ，∠A 的邻边是 ，斜边是 ，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 .5、如图，在Rt △ABC 中，∠A 的对边是 ，∠A 的邻边是 ，斜边是 ，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 .在Rt △BCD 中，∠B 的对边是 ，∠B 的邻边是 . 斜边是 ，∠BCD 的对边是 ，∠B 的邻边是 . 6、在Rt ΔABC 中,∠C=900，∠B=600,AC=3cm,则AB= ，二、学习目标1、经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的 意义和与现实生活的联系.2、能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中 物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 三、自学指导自学课本P2-4页，回答下列问题：1、P2页中的两个梯子，你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、课本P2页问题⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？3、以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？4、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论?5、自学课本第4页，完成下面的填空：（1）在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 与 之比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切记作tanA ，即tanA=)()( （2）tanA 的值越 ，梯子越陡；反之，梯子越陡，tanA 的值越（3）如图在Rt △ABC 中，tanB=。
6、自学课本P4- 页例1。
四、检测一1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?2、在右图中:求tanA 的值3、如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；4、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.5、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.6、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.7、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.8、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.8、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位 置比原来的位置升高________米. 9、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的ABCAB C夹角为θ，则tan θ＝______.10、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=125, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.检测二1、在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、扩大4倍D 、没有变化 2、在Rt △ABC 中，若32c ,b ＝3，则tanB= ,面积S3、在Rt △ABC 中，∠B ＝900，tanA=34，AB ＝6，则BC ＝ ，AC= 。
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则tanB=（ ）A 、3B 、31C 、31D 、325、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，tan A ·tanB= .6、在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B 的正切。
7、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与tan A8、根据下列条件在Rt △ABC 中，∠C ＝900，（1）c=20 ∠A=450求tan B ，tanA （2） a=36 ∠B=300，求tan B ，tanA9、已知等腰三角形的一条腰长为 20 cm ，底边长为 30 cm ，求底角的正切值．五、达标测评1、如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，tanB=13，则AB 的长为________．2、在Rt △ABC 中，∠C = 90°，若tan A = 26，则tan B 的值等于 （ ）A. 36B.23C. 32D. 623、如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD ＝4 cm ，DE ＝6 cm ， AB ＝8 cm ，求 tan A 的值．4、如图，山坡AB 的坡度为5∶12，一辆汽车从山脚下A 处出发，把货物运送到距山脚500 m 高的B 处，求汽车从A 到B 所行驶的路程．5、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB ， 垂足为D ，求(1) tan ∠A 和tan ∠B (2)tan ∠ACD 和tan ∠BCD,6、如图7，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 10cm ，tan A = 34，求AC 、BC 的长.E DAABC1、从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）一、课前导读1、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=2、菱形ABCD 的对角线 AC=10cm, BD=6cm, 那么等于=2tan A( )(A)(B)(C)(D)3、AD 是△ABC 的高，∠C=30°，BC=2+3, tanB=21, 则AD 的长是（ ）（A ）1 （B ）21 （C ）331+ （ D ）231+4、在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=13,BC=5, 求∠A, ∠B 的正切。
5、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,求tanC.6、如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，则tan ∠DAC= ， tanB= ，tan ∠DAB= ，tanC= 。
二、学习目标：1、经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2、能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3、能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4、理解锐角三角函数的意义. 三、自学指导自学课本P7-8页，回答下列问题：1、三角函数的定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么 ∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦， 记作 sinA ，即sinA ＝ ， ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA ，即cosA= 。
tanA= 。
2、正弦的定义：sin A A ∠=的( )( )sinA 的值 ，梯子越陡正弦的定义：cos A A ∠=的( )( )cosA 的值 ，梯子越陡3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=41，AC=9，cosA ＝________，sinA= ， cosB= ，sinB= ，tanA= 。
4、 ， 和 都是∠A 的三角函数。
5、自学P8页例2.6、如图:在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=10，cosA=1312，求AB,sinB 。
四、检测一1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=41，AC=9，cosA ＝________，sinA= ， cosB ＝________，sinB= ，tanB = ；tanA = ；2、在Rt △ABC 中∠C ＝900，AB ,35cm BC cm=则SinA= cosA=3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝3，AB ＝5，则cosB 的值为__________。
4、在Rt △ABC 中,AB 是斜边,AB=6,BC=2,则cos A=__ __.5、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB=6、Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=54,AB=10,则BC ＝7、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。
8、、在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。
10、在ABC Rt ∆中，C ∠＝90︒，c = 8 , sinA = 41，则b = .11、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______.12、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，31tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6B 、5C 、4D 、213、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若1312sin =A 求cosA, sinB, cosB14、在△ABC 中，∠C=90°，,12,5==b a 求∠B 的三个三角函数值。
B D检测二1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=34,则sinB=_______,tanB=______. 2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______,sinB=_______. 3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______,cosB=________. 4、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,则AC=______,BC=_______. 5、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,则BC=_____.6、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则sinA=______, tanA= _______, cosA=_______.7、在△ABC 中，∠C=90°，AB= 3，D 为AC 上一点，且∠DBC=30°，COS ∠ABC=53.求BC 和AD 的长。