赵树嫄微积分-第二章

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微积分第三版赵树源主编

微积分第三版赵树源主编

____经济应用基础(一)微积分 课程教案授课类型_理论课___ 授课时间 2节授课题目(教学章节或主题):第一章 函数§1.1集合; §1.2实数集;§1.3函数关系;§1.4函数表示法;§1.5建立函数关系的例题本授课单元教学目标或要求:理解集合概念,掌握集合的运算性质,了解实数集的特征。

理解函数的概念,掌握函数的表示法和函数定义域、值域的求法。

学会根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学内容(包括基本内容、重点、难点,以及引导学生解决重点难点的方法、例题等):基本内容: 集合的概念及其运算性质;实数集的特征;函数的概念及性质;根据实际问题建立函数关系的方法。

重点:集合的运算性质和函数的特征。

难点:邻域的理解和掌握如何根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元教学手段与方法:通过描绘文氏图和讲解第7页例9让学生理解和掌握集合的运算性质。

通过作图和用集合的方式表达领域来帮助学生理解邻域的概念。

通过讲解第25页例1,让学生掌握根据实际问题建立函数关系的方法。

本授课单元思考题、讨论题、作业:思考题:库存问题中如何选择最优批量是经济数学中的一个难点与重点。

第26页例2可做为一道思考题供学生课后思考。

然后,由教师指导解决。

讨论题:将函数732y x =--用分段形式表示,并绘制函数图形。

利用此题让学生了解初等函数与分段函数的区别。

作业:课本第40页 8,9,14,15,23(2)、(7)、(8),28,30。

本授课单元参考资料(含参考书、文献等,必要时可列出)《高等数学》―――同济大学第五版经济应用基础(一)微积分课程教案授课类型_理论课___ 授课时间 2节授课题目(教学章节或主题):第一章函数§1.6函数的几种简单性质;§1.7反函数,复合函数;§1.8初等函数;§1.9函数图形的简单组合与变换。

本授课单元教学目标或要求:(1)了解函数的几种简单性质;(2)熟悉反函数和复合函数的概念;(3)熟悉六类基本初等函数的性质及其图形;(4)了解初等函数的构成。

《微积分赵树嫄》课件

《微积分赵树嫄》课件

ABCD
工程问题
在工程学中,微分方程被广泛应用于控制理论、 信号处理等领域。
生物问题
在生物学中,微分方程被用于描述生物种群的增 长、疾病的传播等问题。
THANKS
感谢观看
连续函数的性质
连续函数具有一些重要的性质,如一致连续性、可积性等。这些性质在解决微积分问题时非常重要。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数描述了函数在某一点的斜率,是函 数值随自变量变化的速率。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率 ,它表示函数值随自变量变化的速率。导 数具有一些基本性质,如可加性、可减性 、可乘性和可除性等。
导数与微分的应用
要点一
总结词
导数与微分的应用广泛,包括切线斜率、极值问题、曲线 的凹凸性、不等式证明等。
要点二
详细描述
导数与微分的应用非常广泛。在几何学中,导数可以用来 求切线斜率,解决曲线的凹凸性问题。在经济学中,导数 可以用来分析边际成本和边际收益,预测市场需求和价格 变动。在物理科学中,微分可以用来计算速度和加速度, 分析物体的运动规律。此外,导数和微分还可以用于解决 极值问题、不等式证明等问题。
极限的运算
01
极限的四则运算
对于两个函数的极限,我们可以 进行加、减、乘、除等运算,得 到新的函数的极限。
02
极限的复合运算
03
极限的运算法则
对于复合函数,我们可运算法则包括等价无穷小 替换、洛必达法则等,这些法则 可以帮助我们简化极限的计算。
连续性的概念与性质
导数的计算方法
总结词
导数的计算方法包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和商的导数公式等 。

2-5微分--经济数学--赵树嫄-29页PPT文档资料

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d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)

1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)

1 1 x2
dx
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arcotx) 11x2 dx
18.09.2019
x 0 x x 0 x

在点 的可导,且
18.09.2019
蚌埠学院 高等数学
5
定理:函数
在点 x 0 可微的充要条件是
在点 处可导,且

d yf(x0) x
“充分性” 已知
在点 的可导,则
limy x0x
f
(x0)

xyf(x0)
( lim0) x0
5. 设
由方程

dx
确定,
解: 方程两边求微分, 得
3x2d x3y2 d y 3co 3xsdx6dy0

x0时
y0,由上式得
d
y
x0
1d 2
x
18.09.2019
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24
6. 设 a0,且
b an, 则
n anb
a

n
b a n1
作业 P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0
dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx

(完整版)赵树嫄微积分第四版第二章极限与连续

(完整版)赵树嫄微积分第四版第二章极限与连续

x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
左极限:
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A .
x0
x0
x
左极限:
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
定义无限接近于无限增大时sinlimsinlim为中心线直线图形完全落在以函数lim不存在arctanlim不存在lim的一条水平渐近线就是那么的距离趋于零这时我们称直线lim的一条水平渐近线就是那么为常数二自变量趋于有限点处时函数的极限问题
第二章 极限与连续
本章介绍极限的概念、性质和运算法则,以及与极 限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作 用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极 其有用的重要极限。随后,运用极限引入了函数的 连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化 这一现象的数学描述,微积分学中讨论的函数主要 是连续函数。
x
x
故 lim ex 不存在. x
o
x
一条伸展到无穷远的曲线 y f ( x) ,当点P( x, f ( x)) 沿 曲线无限远离原点时,点 P 到直线 y A 的距离趋于零, 这时我们称直线 y A 是曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
如果 lim f ( x) A 或 lim f ( x) A ( A 为常数),
性质2 有界性
对于数列{an } ,如果存在常数 M 0 ,使对一切 n,有
| an | M , 则称数列{an } 是有界的。
定理2 收敛的数列必定有界。 注1 有界性是数列收敛的必要条件,不是充分条件。

2-2求导法则--经济数学--赵树嫄

2-2求导法则--经济数学--赵树嫄
dyf(u)g(x) dx
证: yf(u)在点 u 可导,故 limy f(u)
u0u
y f( u ) u u(当 u0时0)
故有 x yf(u) u x u x( x0 )uy f(u)
dy dx
故结论成立.
推论h:v(xCvh)v(x)vC2v ( C为常数 )
2019/11/11
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7
例2.求证 (tax)n se2c x,(c x )s c cx s cc x o . t 证: (tanx)csoinsxx(six)ncocxos s2sxixn(cx o)s
2 x2 1
x2 1
例8. 设 yxaaaxaaax(a0)求, y .
y aaxaa1axa lna a x a1
aax lnaax ln a
2019/11/11
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20
例10. yesixn2arctxa2 n1,求 y .
解: y(esin x2 cosx2 2x)arcx t2a 1n
x
2
(arcxt)an 1
1
x
2
(ax)axlna
(arccx)os 1
1 x2
(arccox)t
1
1 x
2
(ex) ex
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11
三、复合函数求导法则
定理3. ug(x) 在点 x 可导, y f (u)在点 ug(x)
可导 复合函数 y f [g (x)]在点 x 可导, 且
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3
(1 )(uv)uv
证: 设 f(x)u(x)v(x), 则

赵树嫄微积分无穷级数

赵树嫄微积分无穷级数

千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说:“阿
基里斯,谁说你跑得最快?你连我都追不上!”阿基里斯说:
“胡说!我的速度比你快何止上百倍!就算刚好是你的十倍,
我也马上就可以超过你!”乌龟说:“就照你说的,咱们来试
一试吧!当你跑到我现在这个地方,我已经向前跑了一百米。
当你向前跑过这一百米时,我又爬到前面去了。每次你追到我
第七章
无穷级数
1
齐诺悖论—阿基里斯与乌龟
公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐
诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,
引发出以下著名的悖论:
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是:当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时 乌龟仍然前于他100米;当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟 仍然前于他10米,…,
爬动了一段距离.因此,阿基里斯是永远追不上乌龟的!
A
B
B

B1 B2
11
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这 个悖论就会不攻自破。
设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍,则他跑完 1000米时,乌龟又爬了100米;等阿基里斯跑完这段路, 乌龟又向前爬了10米……,依次类推,阿基里斯需要 追赶的全部路程为
23
100 1 1
23 . 99
100
0.423
423 990
4
419 990
.
小课题:请编写一套把循环小数转化为分数的方法。
14
循环小数转化为分数的方法:
第一型:

《微积分赵树嫄》课件

《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质,如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等,这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程,从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等,从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值,则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质,如零点定理、介 值定理等,这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念,它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时,函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ,函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。

02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念,它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为,对于函数在某点的极限,当自变量趋近于这个点时,函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质,如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性,描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律,如股票价格、利率等变量的导 数和积分,帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性,分析不同经济体的增长 路径和趋势。

微分经济数学赵树嫄

微分经济数学赵树嫄

211024年3月8日星期五 例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cos
t
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.例如
22 (4 ) sin ( 2 )
42
( 2 )2 4
sin( 2k )
估计一下,每只球需
用铜多少克.
解:已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
R 1
4 R2R R 1
R 0.01
R 0.01
0.13 (cm3)
因此每只球需用铜约为
8.9 0.13 1.16 ( g )
2024年3月8日星期五
16
第17页/共28页
四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A ,
又如, y arctan x ,
dy
1
1 x2
dx
基本初等函数的微分公式 (见 P115表)
2024年3月8日星期五
8
第9页/共28页
二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 ,则
du dv
(C 为常数)
vdu udv
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
y dy 0
y
dy 0 y 0
o
x0 x0 x
x
2024年3月8日星期五
21
第22页/共28页
2.

微积分赵树嫄PPT文档共42页

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yn以 A为极 ,亦 限 y称 n收敛 A. 于
注意:
1.不等 yn式 A刻划 yn与 了 A的无限 ; 接
2.N与任意给定的有 正关 数 .
几何解释:
当 nN 时 ,所有 yn都 的落 (点 A在 , A)内 ,
只有(有 至限 多 N 个 个 只 )落有 在 . 其外
A
2
y2 y1
yN 1
A
A
ห้องสมุดไป่ตู้
yN2 y 3
微积分赵树嫄
自信是向成功迈出的第一步
第二章
极限与连续
二、数列(sequence)的有关概念
1. 1. 定 义 2.1: 一 个 定 义 在 正 整 数 集 合 上 的 函 数 yn f (n) (称为整标函数),当自变量 n 按正整数 1,2,3,…依次增大的顺序取值时,函数值按相 应的顺序排成一串数:

28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子

29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇

30、意志是一个强壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
42
0, 1, 0, 1,
三、数列极限的定义(Limit of a sequence)
观察{1数 (1 列 )n1}当 n 时的变 . 化 n
播放
问题: 当 n无限增大时, y n 是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当 n无限增 ,yn大 1(时 1n )n1无限接 1. 近于
1 1 , 10000
给定任意 0, 只要 nN([1]时 ) , 有yn1成立 .
定义 2.2 如果对于任意给定的正数,总存在一

线性代数(赵树嫄)第二章课件

线性代数(赵树嫄)第二章课件

1 3 2 0 B 2 1 5 7
0 6 4 8
则从各产地运往各销地两次的物资调运量(单位: 吨)共为:
3 1 5 3 7 2 2 0 4 8 9 2 A B 2 2 0 1 4 5 3 7 4 1 9 10
0 0 1 6 2 4 3 8 0 7 6 11
如 果aij a ji , i, j 1,2,, n,则 称A为 反 对 称 矩 阵.如
0 1 2 A 1 8 6
2 6 7
为对称矩阵
0 1 2 B 1 0 3
2 3 0
为反对称阵
(8) 负矩阵 设A (aij )mn,则称 (aij )mn为矩阵A的负矩阵, 记作-A。即 -A (aij )。
22
31
10 =10
1
3 2
1
2
3
3 2
6 4
9 6
1
1 2 3
例3
求 矩 阵A
2 1
42 与B
2 3
4 6
的 乘 积AB及BA。
解:
AB
2 1
4 2
2 3
46
16 8
1362;
BA
2 3
4 6
2 1
42
0 0
0 0

例4
设矩阵
A
1 1
11,
B
1 1
11,
C
2 0
02.
求AB与AC .
y1 y2
a 11 x1 a 21 x1
a 12 x 2 a 22 x 2
a 13 x3 , (2.1) a 23 x3 ,
x1
x2
b11 t1 b 21 t1
b12 t 2 , b 22 t 2 ,
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x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
定义2 如果对于任意给定的正数 , 总存在正数 ,
使得当0< x-x0 < 时,满足 f (x )-A < ,
则A就叫函数f (x )当x x0时的极限, 记作 lim f (x )=A.
x x0
" "定义
0, 0, 使当0 x x0 时, 恒有 f ( x ) A .
N定义 :
lim yn a
n
0, N 0, 使n N 时, 恒有 yn a .
几何解释:
y2
y1
y N 1
yN 2
y3
y
当n N时, 所有的点 xn都落在 (a , a )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
例6
注意 : { x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
1.函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关 ; 注意: 2.与任意给定的正数有关.
几何解释:
当x在x0的去心邻 域时, 函数y f ( x ) 图形完全落在以直 线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
0
例4
证明 lim x x0 .
x x0
证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x ) A x x0 成立,
lim x x 0 .
x x0
x2 1 2. 例5 证明 lim x 1 x 1
2、收敛数列不等于有限数列,比如 (1)

n
.
定义2 如果对于任意给定的正数, 总存在正整数N,
使得对于n >N时, yn -A < 恒成立, 则称A是数列y n
的极限, 或者称数列yn收敛于A,记为
lim yn =A,或 y n A (当n )
n
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
例6 (1). lim
x 0 x 0
x x x

.
(2). lim
x
.
定理 : lim f ( x ) A f ( x0 0) f ( x0 0) A.
x x0
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
x x lim lim 证 x 0 x x 0 x
dx rx dt
第二章 极限与连续
§2.1
数列的极限
定义1: 一个定义在正整数集合上的函数yn f (n),
当自变量n按正整数1,2,3,依次增大的顺序取值时,
函数值按对应的顺序排成一列数 : f (1), f ( 2), f ( 3),, f ( n),
称为一个无穷数列,简称数列,简记 : { yn }。
x x0 x x0
则 0, x U 0 ( x0 , ), 有f ( x ) g( x ).
定理(保号性)
若 lim f ( x ) A, 且A 0(或A 0),
x x0
则 0,当x U 0 ( x0 , )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
ln q f ( x) A q x 0 q x
x 所以,当0 q 1时, lim q 0 x
y f ( x )的极限 (二) 当x x0时函数
2 y f ( x ) x 在 x 0 的过程中,对应 问题:函数
函数值 f ( x) 将如何表现? y
思考数列的有界性与有极限之间的关系
lim
n
n2 1 ? 2 n 2n 3
n2 1 n 2 2n 3 2n 3 1 2 n 2n 3 n 2 2n 3 2n 4 1 2 n 2n 3
2n 4 1 2 2 n 2n 3 n 2n 3
lim (1) 1
x 0
x x lim lim lim 1 1 x 0 x 0 x x0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
x0 x 1 例7 : 讨论函数f ( x ) x 2 0 x 1, 1 x1 当x 0及x 1时的极限是否存在
1 ( 1)n 例4 : 一般项为yn , 数列为 0,1,0,1; 2
例5 : 一般项为yn (1)
n 1
1,1,1,1, , 数列为
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴 上依次取 y , y , , y , .
1 2 n
2.数列是整标函数: yn f (n).
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
注意 : { x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
4 1 2 3 n 2n 3 n2 n
2
2 3 n2 n
0
4 0 2 n 2n 3
4 1 2 1 3 n 2n 3 n2 n
2
1.数列的极限存在情况与数列的前有限项无关,
所以如果只改变一个数列的有限项则不会改 变数列的极限的存在情况以及极限值的大小!
y
y f ( x)
A
A
A
o
x0

x0

x0
x
例3 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x ) A C C 0 成立, lim C C . x x
1 用定义证明lim y ( 1 ) 1 lim n n n n

1 yn 1 n
1 1 只要 , 或n , n
0, 要 yn 1 ,
所以,
1 取N [ ], 则当n N时, 就有 yn 1
1 即 lim (1 ) 1. n n
由图容易看出:
x
lim arctan x

2
,
lim arctan x , x 2

由定理可知: lim arctan x 不存在 .
x
1 0. 例1 证明 lim x x
1 1 证 0 x x
1 1 , x X
1 0, 取 X , 则当 x X时恒有 1 1 0 , 故 lim 0 . x x x
f (n)称为数列一般项或通项。
数列的例子 : 1 1 1 1 1 例1 : 一般项为yn n , 数列为 , , , , ; 2 2 4 8 16
1 3 4 5 例2 : 一般项为yn 1 ,数列为2, , , , ; n 2 3 4
例3 : 一般项为yn 2n, 数列为 2,4,6,8,;
解 : x 0时, lim f ( x ) lim ( x 1 ) 1 ;
x 0 x 0 2 lim f ( x ) lim x 0 x 0 x 0
左极限和右极限存在 但不相等,即极限 : lim f ( x ) 不存在 x 0
定理(保序性)
推论 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 且A B
O
x
lim x 2 0
x 0
问题 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 函数 y 值
f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应函数
f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0
证 函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,
只要取 ,
x2 1 lim 2. x 1 x 1
x2 1 当0 x x0 时, 就有 2 , x 1
2 . x 情形 : lim f ( x ) A
0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
2.1.2 数列的极限
( 1)n1 观察数列{ }当 n 时的变化趋势. n
( 1) n1 将数列{ } 写成如下形式: n 0 1 2 3 4 5 6 (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) (- 1 ) , , , , , , 1 2 3 4 5 6 7
(三) 单侧极限(左极限,右极限) 左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
x x0 0 ( x x0 )
右极限
0, 0, 使当x 0 x x 0 时,
左极限 记作 lim f ( x ) A
x x0 0 ( x x0 )

f ( x 0 0) A.
x 从左侧无限趋近于 x0
右极限 记作 lim f ( x ) A
x x0 0 ( x x0 )
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