高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、要求：

1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；

2、洛必达法则；

3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；

4、简单不等式证明；

5、最值在实际问题中的应用。

二、练习

1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 (

).

A.

1 B.

f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2

D. f ( x ) x

2

2 x 1

.

f ( x)

x 2

2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的

值是 (

).

A.

4

B.

4

1

C. 1

D. 4

.

1

1 3.

4

设函数 f ( x ) ( x 1)( x

2)( x 3)

，则方程 f ( x )

0 有

个零点，这些零点

所在的范围是

；.

3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)

，则方程 f ( x )

0 有

个零点，这些零点所在

的范围是

.

4. 函数 f ( x ) ln x

x

2在(0,

) 内的零点的个数为

.

e

5. 曲线

6. 函数

y

xe x 的拐点 ，凹区间

，凸区间

.

y

ln x

1

x 2

的单调

区间

.

7. 曲线 f ( x) e x

的渐近线为

.

x 1

8. 计算：

5 x 4

x

1

1

(1

2

（2） lim (

cos x )

（1） lim

x 1

x

x

) （3） lim

tan 2 x

x

1

x

e 1

x 0

arctan x x

(1 x 2 )1 / 3

1 ；

1

（ 4） lim ；

（5） lim

（6） lim (csc

x ) ；

x 0

x ln(1 2 x 2 )

x

cos

x

1

x 0

x

（ 7） lim x 3 (sin 1

1 sin

2 ) ；（ ） lim (tan

x )

2 x

；（ 9） lim

x

；

e

x

x

2

x

8

x ln x

x

2

9. 证明 2 arctan

x

arcsin

2 x

x

1 .

2

1 x

10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.

11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .

x

12. 证明：当0x时， x sin x 2

2

x

13.证明：当x0时，1x

2arctan x x

x

14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求

x ax

y f x 的所有极值点与拐点.

15. 求内接于椭圆x2

y

2

22

1 而面积最大的矩形的各边之长.

a b

16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.

17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .

2( x1) ( x 1) 2

( x 1)

18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所

用材料最省？

19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。设底面与四壁所使用材料的单位造价相同，问底边和高为多少米时，才能使所用材料费最省？

20. 选做题：若函数 f ( x )有lim f ( x )0, lim f ( x )1,

x x x

lim[ f ( x)x] 2, lim

f ( x )

x x x

f ( x )0 ( x 2 ), 当 x (1 / 2, 2)

(1)函数 f ( x ) 的单调区间

0, lim f ( x),并且当 x(0 ,1)时 , f ( x ) 0 ,否则x 2

时, f ( x )0 ,否则 f ( x)0 ( x0), 则

(注明增减)是 _______.

(2)函数曲线的凹向和拐点是 _______ .

(3)当 x _______ 时,函数取得极大值_______ .

(4)函数的渐近线有 _______ .

(5) 设f (0 ) 5 / 4, f (1 / 2) 3 / 4 , f (1) 1 / 2, f ( 7 / 4) 0 , 试作出 y f ( x) 的描述性图形.