数学分析定理总结
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
《数学分析》第七章 实数基本定理
第七章 实数基本定理 （ 1 8 时）§1 关于实数集完备性的基本定理（ 4 时 ）一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界;非空有下界数集必有下确界.二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛.三. Cantor 闭区间套定理:1. 区间套: 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ> 对n ∀, 有 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a , 即 n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ⅱ> ,0→-n n a b )(∞→n . 即当∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤ ,0→-n n a b )(∞→n . 注:这里涉及两个数列} {n a 和 } {n b , 其中} {n a 递增,} {n b 递减.例如 } ] 1 , 1 [ {n n -和} ] 1 , 0 [ {n 都是区间套.但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nn n +-+、} ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +-都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件:1. 基本列:回顾基本列概念.基本列的直观意义.基本列亦称为Cauchy 列. Cauchy 列的否定:2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点0, 但E ∉0; 开区间 ) 1 , 0 (的全体聚点之集是闭区间 ] 1 , 0 [; 设Q 是] 1 , 0 [中全体有理数所成之集, 易见Q 的聚点集是闭区间] 1 , 0 [.1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine –Borel 有限复盖定理:复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义 (复盖 )设E 是一个数集,G 是区间族.若对∍Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E 若每个λI 都是开区间,则称区间族G 是开区间族.开区间族常记为}, , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM . 定义 (开复盖 )数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖,简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例1 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间) 1 , 0 (, 但不能复盖] 1 , 0 [; } ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈-+--=复盖) , [b a , 但不能复盖] , [b a . 1. Heine –Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.七 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 ⇒ 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 ⇒ 致密性定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理 ⇒ Heine –Borel 有限复盖定理 ⇒ 区间套定理 .一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 ⇒ 单调有界原理”已证明过 ).1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设} ] , [ {n n b a 是一闭区间套. 则存在唯一的点ξ,使对n ∀有∈ξ] , [n n b a . 证推论1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点, 则对0>∀ε,,N ∃当N n >时, 总有] , [n n b a ) , (εξ ⊂.推论 2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套} ] , [ {n n b a 确定的公共点,则有n a ↗ξ, n b ↘ξ, ) (∞→n .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P 217—218上的证明留作阅读.现采用[3]P 70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取1a 不是E 的上界, 1b 为E 的上界. 对 分区间] , [11b a , 取] , [22b a , 使2a 不是E 的上界, 2b 为E 的上界. 依此得闭区间列} ] , [ {n n b a . 验证} {n b 为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,} {n b 收敛; 同理} {n a 收敛. 易见n b ↘. 设n b ↘β.有 n a ↗β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauch y 收敛准则” ：Th 4 数列} {n a 收敛 ⇔ } {n a 是Cauchy 列.证 (只证充分性）证明思路 ：Cauchy 列有界→ 有收敛子列→验证收敛子列的极限即为} {n a 的极限.Ex [1]P 223—224 1—7，11.三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”:证2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:证 采用[3]P 72例4的证明.Ex [1]P 224 8—12 选做，其中 1 0 必做.§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 )一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在] , [b a 上)(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈⇒)(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. (只证取得最大值) 证( 用确界原理) 参阅[1]P 170.三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 (零点定理)证法一(用区间套定理).证法二(用确界原理).不妨设,0)(>a f 0)(<b f .令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ).取n x >ξ且n x ) ( ,∞→→n ξ.由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f ,⇒,0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ,⇒ξE ∉.于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f ,⇒0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ.因此只能有0)(=ξf . 证法三 (用有限复盖定理).Ex [1]P 232 1，2，5.四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法一 (用区间套定理).参阅[1]P 171[ 证法一 ]证法二 (用列紧性).参阅[1]P 171[ 证法二 ]Ex [1]P 232 3，4， 6*；P 236 1，2，4.。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
数学分析八大定理互证
数学分析八大定理互证数学分析中的单调有界性定理，闭区间套定理、确界存在性定理、Heine 一Borel有限微盖定理、Weierstrass聚点定理，致密性定理以及Cauchy收敛准推则，虽然它们的数学形式不同，但它们都是描述了实数集的连续性，在数学分析中有者举足轻重的作用。
为方便读者，我们叙述如下：定理I(单调有界性定理)单调有界数列必存在极限。
定理2（闭区间套定理）设有闭区间列{[4.，b.]},满足1)[ab[azb2]つ。
…つ[an:b]つ2)lim (b-)=0则存在唯-一数，使得∈[a.b](n=1,2,…)或{}=∩[a:b] 定理3（确界存在性定理）若非空数集E有上界（下界），则数集E一定存在上确界（下确界)。
若确界存在，则不难证明确界一定唯一。
定理4，(Hcine-一Borel有限覆盖定理)若开区间集S盖闭区间[a,b],则在S 中存在有限个开区间也微盖了闭区间[a,b]。
定理5(Weierstrass聚点定理)数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。
定理6（致密性定理）有界数列{an}必有子数列{ak}收敛。
定理7(Cauchy收敛准则)数列{an}收敛台对于任意s>0,存在正整数N>0,当nm>,有an一am<e。
许多学者指出数学分析上述七大定理是相互等价的，即任意一个定理都是其它定理成立的必要充分条件：任何两个命题都可相互直接推导。
然而这七大定理的相互证明散见于浩瀚的文献之中，是否存在一个完整的证明还是一个未知数，笔者系统整理了已有结果，指出这样的证明是存在的。
作为补充，还给出了由闭区间套定理到Weierstrass聚点定理，山致密性定理到单调有界性定理，由确界存在性定理到Cauchy收敛准则，由闭区间套定理到单调有界性定理，以及由Weierstrass聚点定理到Cauchy收敛准则的证明，为给出另一个数学分析-七大定理的相互证明作了准备。
已有结果的系统整理许多学者~已对这七大定里的相互证明作了一定的探讨（具体见图1）。
数学分析的基本定理与推导
数学分析的基本定理与推导数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微积分等基本概念和定理。
本文将介绍数学分析中的一些基本定理以及它们的推导过程。
定理一：极限的定义与性质极限是数学分析中最基础的概念之一，可以用来描述函数在某一点的趋势。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，则称函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。
定理二：函数的四则运算定理设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$，则有以下四则运算定理：1. $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$2. $\lim_{x \to x_0}(f(x)-g(x))=A-B$3. $\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B$4. $\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）定理三：函数的复合运算定理设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，$g(x)$在$f(x_0)$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{y \tof(x_0)}g(y)=B$，则有$\lim_{x \to x_0}g(f(x))=B$。
定理四：函数的单调性定理设函数$f(x)$在$(a,b)$上可导，则有以下结论：1. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递增；2. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递减；3. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不减；4. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不增。
数学分析中的重要定理
数学分析中的重要定理数学分析是数学的一个重要分支，研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念及其性质。
在数学分析的学习过程中，有一些重要的定理对于理解和应用分析学的基本原理至关重要。
本文将介绍数学分析中的几个重要定理，包括泰勒定理、柯西—施瓦茨定理和拉格朗日中值定理。
首先，我们来介绍泰勒定理。
泰勒定理是分析学中的一个基本定理，它描述了函数在某个点附近的局部行为。
根据泰勒定理，如果一个函数在某个点处具有无穷阶可导性，那么它可以在该点的邻域内用一个无穷级数表示。
这个无穷级数称为泰勒级数，它的系数与函数在该点处的各阶导数有关。
泰勒定理在数学分析中有广泛的应用，可以用来近似计算函数的值，研究函数的性质等。
其次，我们来介绍柯西—施瓦茨定理。
柯西—施瓦茨定理是分析学中的一个重要定理，它描述了复变函数的积分性质。
根据柯西—施瓦茨定理，如果一个函数在某个闭合曲线内解析，那么它在该曲线内的积分等于零。
这个定理可以用来计算复变函数的积分，研究复变函数的性质等。
柯西—施瓦茨定理在复变函数论中有广泛的应用，是复分析的基础之一。
最后，我们来介绍拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某点的瞬时变化率之间的关系。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个区间内连续且可导，那么在该区间内存在一个点，使得该点的瞬时变化率等于该区间内的平均变化率。
这个定理可以用来证明函数的性质，研究函数的增减性等。
拉格朗日中值定理在微分学中有广泛的应用，是微分学的基础之一。
综上所述，泰勒定理、柯西—施瓦茨定理和拉格朗日中值定理是数学分析中的几个重要定理。
它们分别描述了函数的局部行为、复变函数的积分性质和函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
这些定理在数学分析的学习和应用中起着重要的作用，对于理解和应用分析学的基本原理具有重要意义。
通过深入学习和理解这些定理，我们可以更好地掌握数学分析的基本概念和方法，为进一步研究和应用分析学打下坚实的基础。
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …） 由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*） 由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ） 取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ） 与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
数学分析第六章中值定理
在求函数零点中的应用
总结词
中值定理在求函数零点的问题中也有应用，通过分析函数的单调性和中值定理的关系， 可以找到函数的零点。
详细描述
在寻找函数的零点时，中值定理可以提供一些有用的线索。通过分析函数的单调性和中 值定理的关系，我们可以确定函数在某一点的导数是否为零，进而判断该点是否为函数
的零点。这种方法在一些数学问题中非常有用，例如求解微分方程和积分方程的根。
总结词
柯西中值定理是数学分析中的一个定理，它指出如果两个函数在同一个点处的导数相等，那么在这两个函数之间 至少存在一点，该点的中值等于该点的导数值。
详细描述
柯西中值定理的表述如下：如果两个连续函数$f(x)$和$g(x)$在闭区间$[a, b]$上可导，且$g'(x) neq 0$，那么 在开区间$(a, b)$内至少存在一点$xi$，使得$frac{f'(xi)}{g'(xi)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。这个定理的证 明可以通过构造辅助函数并利用零点定理来完成。
柯西中值定理的证明
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明柯西中值定理。
要点二
详细描述
首先，根据拉格朗日中值定理，如果函数$f(x)$和$g(x)$在 闭区间$[a, b]$上连续，且在开区间$(a, b)$上可导，且$g'(x) neq 0$，则存在至少一点$xi in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。然后，由于函数$f(x)$和 $g(x)$在开区间$(a, b)$上可导，根据可导函数的性质，我们 知道存在至少一点$eta in (a, b)$使得$frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。因此，根据柯西中值定理， 存在至少一点$xi in (a, eta)$和至少一点$eta in (xi, b)$满足 $frac{f'(x)}{g'(x)} = frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
数学分析定理证明最全汇总
数学分析定理证明最全汇总1. 引言本文旨在汇总数学分析中的常见定理及其证明，供研究和研究之用。
2. 逻辑与集合的定理2.1 反证法定理 2.1.1若一个命题的否定是不成立的，那么该命题本身是成立的。
证明：：假设命题P不成立。
假设命题$\neg P$不成立。
由此得到矛盾。
因此，命题P成立。
2.2 空集与全集定理 2.2.1空集是任何集合的子集。
证明：：假设存在一个集合A。
假设存在一个集合B，使得B是A的子集。
假设B不是空集。
由此得到矛盾。
因此，空集是A的子集。
3. 函数与极限的定理3.1 函数极限定理 3.1.1若函数f在某点c处的极限存在且为L，则f在c点连续。
证明：：假设函数f在c点极限存在且为L。
假设函数f在c点不连续。
由此得到矛盾。
因此，函数f在c点连续。
3.2 无穷极限定理 3.2.1对于一个无穷序列$\{a_n\}$，若$\lim_{n\to\infty} a_n$存在，则该极限必为有界集。
证明：：假设$\lim_{n\to\infty} a_n$存在。
假设$\{a_n\}$无界。
由此得到矛盾。
因此，该极限必为有界集。
总结本文汇总了数学分析中的部分定理及其简要证明，包括逻辑与集合的定理以及函数与极限的定理。
这些定理对于深入理解数学分析及其应用具有重要意义。
参考文献- 张田编著. (2009). 数学分析教程. 高等教育出版社.- Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Education.。
数学分析基本定理
数学分析基本定理数学分析是现代数学的一个重要分支，涵盖了许多基本理论和定理。
其中，数学分析的基本定理是数学分析的核心，是一系列重要的定理，对于理解和应用数学分析具有重要意义。
本文将介绍数学分析的基本定理，包括实数完备性定理、最大值最小值定理、洛必达法则以及泰勒展开定理。
一、实数完备性定理实数完备性定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了实数的性质。
实数完备性定理表明，每个非空有上界的实数集合必定存在上确界。
这个定理为数学分析的一些重要结论提供了基础。
证明：假设有一个非空实数集合S，且S有上界。
根据实数的性质，S必定存在上确界。
证毕。
二、最大值最小值定理最大值最小值定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数的性质。
最大值最小值定理表明，在一定条件下，函数在闭区间内必定取得最大值和最小值。
证明：假设有一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)。
如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
证毕。
三、洛必达法则洛必达法则是数学分析中的一个重要定理，它用于求解函数的极限。
洛必达法则表明，在一定条件下，通过对函数分子和分母同时求导，可以简化复杂的极限计算问题。
定理：假设有两个函数f(x)和g(x)，且f(x)和g(x)在某一点a附近连续，且g(x)在该点导数不为0。
如果f(x)和g(x)的极限都存在或者为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
证明：设f(x)和g(x)满足上述条件，根据洛必达法则，可以通过对f(x)和g(x)同时求导，将极限问题简化为计算f'(x)和g'(x)的极限问题。
根据导数的定义和极限的定义，可以得出结论f'(x)/g'(x)是f(x)/g(x)的极限。
证毕。
四、泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一个重要定理，它用于近似计算复杂函数的值。
泰勒展开定理表明，如果某个函数在某一点附近具有足够多的连续导数，那么该函数可以用一个多项式来近似表示。
数学分析中求极限的方法总结(最新整理)
,(
型).
定理 6.2：设（1）当 x 时,函数 f x 和 F x 都趋于零;
f (x)
（2）在
a
点的某去心邻域内,
f
'x和
F
'x
都存在且
F
'x
0
;（3）
lim
xa
( x )
F
( x)
存在
(或无穷大),
则
定义 6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
lim
1 1 x2
lim
1
1
解原式 x
1
x
1 x x2
x
1 x2
1
.
型：
lim sec x tan x
例 13 求 x
.
2
sec x tan x 1 sin x 1 sin x
解
cos x cos x cos x ，
lim 1 sin x lim cos x 0
故原式 x cos x x sin x .
x
x
故 x 在 x 时是无穷小量。 1 x3
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。
所以
1
x sin
lim
x 0
x 1 x 3
.
10.利用等价无穷小的代换求极限
利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不
要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量(
数学分析中求极限的方法总结
精心整理
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下：
数学分析定义、定理、推理一览表
定义1给定两个非负实数^a o.a1.a2n∣aj∣∣, y = b∙ b∙ bll n b∣其中a0,b0为非负整数，a k,b k k=1,2,∣)∣为整数，若有O Ea k 乞 9,0 Eb k乞 9.则称X与y相等，记为X = y.若a0■ b0或存在非负实数丨,使得a k =bk k =0,1,2,∣l（l 而a∣ 1 ■ b∣ 1,则称X大于y或y小于X,分别记为X ∙y或y ：：：x.定义2设X =a0.a1a2∣∣（a n川为非负实数.称有理数X =a°.a1a2∣l（a n为实数X的 n位不足近似，而有理数1称为X的 n位过剩近似，n =0,1,2,11（.实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a = b,a ：： b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得 na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3a a > 0实数a的绝对值定义为a =《a, a一0,[-a, a £ 0.从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1. a ∣ =|—a ∣ ≥0;当且仅当 a=0时有 a =0.2. — a ≤a ≤ a3. a ∣ch= -h ca c h; a ∣ 兰 h u —h ≤a ≤ h(h >0).4. 对于任何a 、b ∙ R ∙有如下三角形不等式：a —b ≤∣a ±b ≤∣a +∣b .定义5有界的定义 设S 为R 中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x ∙ S,都有X 乞M(X _L),则称S 为有上界(下界)的数集，数 M(L)称 为S 的一个上界(下界)•简记：S Q R, E M >ORx E Sn ∣x ≤M ,称S 有界•5. ab =a b6.(b=0).定义4区间和邻域[ 开区间：(a,b )= {χ a C X cb },有限区间J 闭区间：Ia,b] = {χa 兰x≤b}, 半开半闭区间 :la, b )={χ a ≤ X < b},!U无限区间*(- ：：，a] = ：XXmaf, (a, ：：) =IXX ■ a/ , ,a,b R. (^oCl , +□c ) — { X 亠 VX £^} = R,邻域：a E R,6>0.满足X-a < 6的全体实数X 的集合称为点a 的：邻域，记作U a;、：，或U （a ）,即有U (a√ ) ={x Il X - a 卜：、} = (a -、, a 、).点 a 的空心邻域：U ° （a;「•）={x| 0 ：:：| x - a卜：：}.点 a 的：右邻域：U .（a;-；） [a, a r ）;点a 的「•左邻域：U_（a;-：）（a -",a];点a 的空心「•右邻域：U °.（a;「•）= （a, a ，）;点a 的空心「•左邻域：U j⅛-Q =（a -、：，a ）;：：邻域U （：：） ={X ∣∣x ∣ M},其中M 为充分大正数； b b若数集S既有上界又有下界，则称 S为有界集•若S不是有界集, 则称为无界集•定义6确界的定义1设S R.若数满足：i X三S,有X-,即是S的上界；ii -「：：：，-X0∙S,使得x0八J即又是S的最小上界，则称为数集S的上确界，记作=SUP S.2.设S R.若数■满足：i -x S,有X _■,即■是S的下界;ii - 一：∙, X o ∙S,使得X o ::：二即•又是S的最大下界，则称•为数集S的下确界，记作= inf S定理1设数集S有上确界•i) =SUP S S= =max S.ii) =inf S S = = min S.定理一确界原理设S为非空数集•若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界•定理2设A B为非空数集，满足：对一切X A和y∙ B有x _ y・数集A有上确界，数集B有下确界，且SUPAminf B・推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)函数的概念定义1给定两个实数集D和M ,若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f :D > M,X y.数集D称为函数f的定义域，X所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (X).全体函数值的集合f (D) J y∣y = f(x),x∙ D“ M) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f,x∙ D1和g,x∙ D2,记D=D I nD2,并设D定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x) = f(x) g(x),x D,G(X) = f(χ) -g(χ),χ D,H(X) = f(x)g(x),x D.若在D中剔除g(x)=O的X值，即令D =D I rh Xlg (X)= 0,x D2 5 I ,则除法如下L(X)^f(X)/g(x), x D*.初等函数常量函数科=C(C为常数)；幕函数y =x>(>为实数)；指数函数 y =a x(a 0,a -1);对数函数 y=log a x(a ∙0,a=1);三角函数 y = sin X, y = cosx, y = tan x, y = cot x;反三角函数y =arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arc cotx.定义2给定实数a ∙0,a = 1设X为我们规定SUPL a r| r为有理数｝,当a ∙1时,a r|r为有理数｝,当0 ：：a ：：： 1时.设E an 护数列，a 为定数.若对任给的正数 関总存在正整数N, 使得当n^^时有则称数列斗葩攵敛于a,定数a 称为 数列R n ｝的极限，并记作Im^nPa,或a nd a （n 若数列B n D 殳有极限，则称定义1'任给s!>0，若在U lE^l 之外数列F aj -中的项至多只有有限个, 则称数列K a I 收敛于极限a.定义2若 Iima n=0,则称I a r l 为无穷小数列.定理2.1数列Ra n 0收敛于a 的充要条件是：R a n -a ｝为无穷小数列. 几个重要的等式（不等式） 1. Sin X Sin X 2•由 4n n( n - 1) n n n 2 n - 1 3. 1n 2n 2n 4.算术平均数5.几何平均数 a6.调和平均数a∣a ∣ 1 n 1 1 a 1 a 2 7. n n 1n 11数列极限 定义1n a 2 a 1 a 2 I a n 竺当a ^H a 吕a n 时，“=” 成立 收敛，或称 ^n 1为发散数列.a收敛数列的性质定义1设i.a n'为数列，In kf为正整数集N +的无限子集，且n1：：： n2 :：：|1| :：：入：：：|）| , 则数列θn1, a n2 JIL a n k J11称为数列Ia nf的一个子列，简记为：a n* 平凡子列：数列订」本身以及去掉有限项后得到的子列• 非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列^a n［与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列⅛n ?收敛的充要条件是：Ia nI的任何非平凡子列都收敛• 定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.函数极限定义1设f为定义在a上的函数，A为定数•若对人给的；0, 存在正数M(A a ,使得当XAM时有f(x)-A]"则称函数f当X趋于时以A为极限，记作Iim f X = A或f x ：—；A x—；.X-Ji-Xl2设函数f在点X)的某个空心邻域J。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专信息与计算科学业：指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号20101910050目录摘要关键词 .、八、-前U言,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 结论十口V U j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理1单调有界性定理(1 )、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M.如果有一个实数S,使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S,如果B满足以下条件①对一切x • S，有X —，即［是S的上界；②对任意存在x • S，使得x • ：•，即一：又是S的最小上界，则称1为集合S的上确界，记作一：二supS (同理可知下确界的定义)在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界)的非空数集必存在上确界(下确界)”。
上确界的证明(1)每一个x • X满足不等式x空m ;⑵对于任何的；-0,存在有x X ,使x' M -；则数M =sup、x f称为集合X的上确界。
(2)下确界下确界的定义“下确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
数学分析第二讲 实数系的6个定理
数, N 2 N 1 .{an } n N 2 小数点后面第二位恒为x2 .
单调数列收敛定理
重复上述过程得到:
a A. x1 x2 x3 x4
一样,为 A. x1 x2 x3
；N 0 N1 N 2
xi i 1, 2, 3, 4
特点： {an } n N i 整数部分以及一直到小数点后面第i 数值
单调数列收敛定理
注1:单调递增数列 xn , lim xn n N * : xn
n
注2:单调递减数列 xn , lim xn n N * : xn
n
推论
(1)单调数列收敛的充分必要条件为有一个子列的极限存在 (2)单调数列发散的充分必要条件为有一个子列的极限不存在 (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷 (4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界
下证a A. x1 x2 x3 x4 就是数列{an }的极限.
对 0, 取m N * , 满足 10 m , n N m , an的整数部分和前m位上的数码与a是一样.
| an a | 10 m
即 lim an A. x1 x2 x3 . 结论得证 n
n 1
< b2 < b1
2) 区间长度 | I n | bn an 0 (n )
则存在唯一一点 满足： In
列紧性定理
列紧性定理
任意有界数列中必有收敛子列.
证明： 设 xn 满足a xn b.
1 将区间[a, b]二等分, 选包含 xn 的无穷多项子
闭区间套定理
逐步逼近：闭区间套定理
定理 设I n [an , bn ], n N * , 为一列闭区间, 满足
《高等代数》数分高代定理大全
《高等代数》数分高代定理大全高等代数是数学中一个非常重要的分支，它涉及到了许多数学原理和定理。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握许多重要的定理。
下面就为大家总结了一些常见的高等代数定理，希望对大家的学习有所帮助。
一、数学分析定理1. 极值定理对于一个连续的函数，如果它在闭区间上取得了最大值或最小值，那么这个值一定在该区间的端点或者在各个极值点上取得。
2. 一致连续定理如果一个函数在一个闭区间上是连续的，并且在区间内有一个点使得它的导数存在（可以是右导数或左导数），那么在这个点的右侧或左侧，函数的变化率等于斜率。
4. 洛必达定理5. 泰勒公式如果一个函数在一个点处具有若干阶导数，那么在这个点对它进行泰勒展开，可以得到该函数的一个逐项可积的幂级数展开式。
6. 泊松公式如果一个函数在一个区域内具有若干阶连续可导性，那么它的积分可以用线积分来表示，其中线积分的路径是一个围绕这个区域的简单闭合曲线。
7. 空间曲面的高斯-斯托克斯定理在三维空间中，一个曲面的面积可以用它围绕的曲线的线积分来表示，还可以用它内部的某个向量场的散度来表示。
如果一个函数列在一个闭区间内均一致连续，并且它在这个区间的每个点处都有界，那么这个函数列就一定在这个区间内一致收敛。
二、线性代数定理1. 矩阵的转置一个矩阵的转置就是将该矩阵的每一行变为该矩阵的每一列，或者将该矩阵的每一列变为该矩阵的每一行。
2. 逆矩阵一个n阶方阵A的逆矩阵是一个n阶方阵B，它满足AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
3. 矩阵行列式一个n阶方阵A的行列式是一个实数或复数，它等于所有由A中n个元素排成的n!个积的代数和。
一个矩阵的秩是指该矩阵的非零子式的最大阶数。
5. 奇异矩阵和非奇异矩阵如果一个方阵的行列式为0，那么该矩阵称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
6. 矩阵的特征值和特征向量一个矩阵的特征值是指该矩阵减去一个常数倍的单位矩阵后所得到的行列式等于0的那些常数。
数学分析区域套定理
区域套定理在求解极限问题中也有一定的应用
• 可以用于求解极限的存在性、唯一性等问题
• 为求解极限问题提供有效方法
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03
区域套定理的应用实例
区域套定理在求解积分中的应用
区域套定理可以用于求解定积分
区域套定理可以用于求解不定积分
Hale Waihona Puke • 如∫[0,1]x^n dx，n≠-1
• 如∫e^x dx
• 通过区域套定理可以得到积分的近似值
• 结合其他定理和方法，提高求解问题的准确性和效率
• 探索区域套定理在更多领域的应用，扩大其适用范围
区域套定理的未来发展将对数学分析产生重要影响
• 推动数学分析理论的发展和完善
• 为实际问题解决提供更有效的方法和工具
对数学分析学科发展的启示与建议
区域套定理的研究对数学分析学科发展具有启示意义
• 强调数学分析基本定理的重要性
• 通过区域套定理可以得到不定积分的近似解
区域套定理在求解微分方程中的应用
区域套定理可以用于求解线性微分方程
• 如y'+y=0
• 通过区域套定理可以得到微分方程的近似解
区域套定理可以用于求解非线性微分方程
• 如y'=y^2
• 通过区域套定理可以得到微分方程的近似解
区域套定理在求解极限问题中的应用
• 是高等数学的基础课程
• 为其他数学分支提供理论和方法支持
• 在自然科学、工程技术等领域具有广泛应用
数学分析中的基本定理概述
数学分析中有许多基本定理
基本定理的应用广泛
• 如极限存在定理、微分定理、积分定理等
• 在求解微分方程、积分方程、极限问题等方面具有重要
数学分析公式定理1-11章
第一章 变量与函数 §1 函数的概念一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示二 函数 １．定义１ 设,X Y R ⊂，如果存在对应法则f ，使对x X ∀∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。
习惯上称x 自变量，y 为因变量。
函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X .{}()|(),f X y y f x x X ==∈。
２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。
例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ϕ=∈().x x R ψ=∈（相同，对应法则的表达形式不同）。
（2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。
即“函数()y f x =”或“函数f ”。
（3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象。
a 称为()f a 的原象。
3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。
2 可用“特殊方法”来表示的函数。
分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。
例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，（符号函数）用语言叙述的函数。
例：１）[]y x =（x 的最大整数部分）２）1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩当为有理数,当为无理数,（Ｄirichlet ）三 函数的一些几何特性 1、单调函数 定义 2 设f 为定义在X 上的函数，1212,,,x x X x x ∀∈< （１）若12()()f x f x ≤，则称f 为X 上的增函数；若12()()f x f x <，则称f 为X 上的严格增函数。
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数学分析定理总结
数学分析是数学的一部分，主要研究函数、极限、连续性、微分和积分等概念与定理。
在数学分析中，有一些重要的定理，它们为我们理解和应用数学提供了基础。
下面将对数学分析中的一些重要定理进行总结。
首先是极限的定理。
极限是数学分析中重要的概念之一，描述了函数在某一点或趋近于某一点时的性质。
数学分析中有多个极限的定理，如夹逼定理、唯一极限定理、柯西收敛定理等。
夹逼定理告诉我们，如果一个函数夹在两个收敛于同一个极限的函数之间，那么这个函数也会收敛于同一个极限。
唯一极限定理则说明一个数列只能有一个极限。
柯西收敛定理则是一个重要的收敛准则，它指出一个数列收敛的充要条件是这个数列是柯西数列。
其次是连续性的定理。
连续性是函数分析中的重要概念，它描述了函数的平滑性和无间断性。
数学分析中有多个连续性的定理，如介值定理、零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
介值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间内取得了两个值，那么它在这个区间内必然取到介于这两个值之间的任何值。
零点定理则指出，如果一个连续函数在一个闭区间的两个端点取得了相反的函数值，那么它在这个区间内必然存在一个零点。
罗尔定理和拉格朗日中值定理则是微分学中的两个重要定理，它们指出了在一定条件下函数的特殊性质。
再次是微分的定理。
微分是数学分析中的重要内容，研究函数的变化率和斜率。
微分学中有多个微分的定理，如高阶导数的
性质、泰勒展开、洛必达法则等。
高阶导数的性质指出，函数的高阶导数与原函数之间存在一定的关系，可以通过高阶导数来推断原函数的性质。
泰勒展开是一个重要的函数逼近工具，它告诉我们任何一个光滑函数都可以用一个无穷级数来表示。
洛必达法则则是求解函数极限的一种方法，通过求解极限的导数来求得函数极限。
最后是积分的定理。
积分是数学分析中的重要概念，用于计算曲线下面的面积和求解定积分。
数学分析中有多个积分的定理，如牛顿-莱布尼兹公式、分部积分、换元积分等。
牛顿-莱布尼
兹公式指出，如果一个函数在某一闭区间上是连续的，并且存在原函数，那么在该闭区间上的定积分就可以通过求解原函数在这个区间上的差值来计算。
分部积分是一个重要的积分方法，通过对乘积函数求导并交换次序，可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分。
换元积分是另一种常用的积分方法，它通过引入一个新的变量来简化积分的计算。
综上所述，数学分析是数学中的重要分支，其中包含了许多重要的定理。
这些定理为我们理解和应用数学提供了有力的工具。
通过熟悉和掌握这些定理，我们可以更好地理解数学分析的基本概念和原理，并在实际问题中灵活运用。