2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题(含解析)

2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题

一．解答题（共17小题）

1．（2020秋•房山区期末）已知函数112

2

()log (2)log (2)f x x x =++-．

（Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）求解关于x 的不等式12

()log (3)f x x ．

2．（2020秋•海淀区期末）已知函数1

()f x x x

=-

． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅰ）解不等式1(2)(4)x x f f +>．

3．（2020秋•西城区校级期末）已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何1x ，2f x D ∈（其中f

D 为函数()f x 的定义域），均有1212|()()|

||f x f x x x --成立．

（Ⅰ）已知函数211

()1,[,]22

f x x x =+∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；

（Ⅰ）是否存在实数a ，使得()2

a

p x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；

（Ⅰ）对于实数a ，()b a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[a ，]b 的函数的集合，定义：已知()h x 是定义在[p ，]q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[p ，]q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋯<<=，和式

1

1

|()()|n

i

i i h x h x

T -=-∑恒成立，则称()h x 为[p ，]q 上的“绝对差有界函数”，

其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”， T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121

n

i n i t t t t ==++⋯+∑．求证：集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对

差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”． 4．（2020秋•大兴区期末）已知函数2

()()21

x

f x a a R =-

∈+． （Ⅰ）判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并证明你的结论；

（Ⅰ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()4

x m

f x x +=

-是定义在(2,2)-上的奇函数． （1）确定()f x 的解析式；

（2）用定义证明：()f x 在区间(2,2)-上是减函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．

6．（2020秋•石景山区期末）已知函数2()log ||f x x =．

（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及(f 的值； （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；

（Ⅰ）判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明． 7．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数||()1(22)2

x x

f x x -=+

-<． （1）求函数()f x 的值域：

（2）若函数()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象有交点，请直接写出实数a 的取值范围． 8．（2020秋•丰台区期末）已知函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；

（Ⅰ）若x R ∀∈，()f x m >，请写出m 的最大值； （Ⅰ）判断并证明函数1

()

y f x =

在区间(0,)+∞上的单调性． 9．（2020秋•西城区校级期末）已知函数2()21

x x a

f x -=+为奇函数．

（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0.5f x <，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．

10．（2020秋•昌平区期末）已知函数1

()log (0||2

a

f x a x =>+且1)a ≠． （Ⅰ）试判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的值域；

（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 11．（2020秋•西城区期末）设函数4

()3f x x x

=+

+． （Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标； （Ⅰ）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值；

（Ⅰ）用单调性定义证明：函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．

12．（2020秋•西城区期末）设函数21

()21

x x f x +=-．

（Ⅰ）若f （a ）2=，求实数a 的值；

（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅰ）若()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，求实数m 的最小值．

13．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数113

3

()5

x x

f x -

-=，113

3

()5

x x g x -

+=

．

（1）①直接写出函数()f x 的奇偶性；

②写出函数()f x 的单调递增区间，并用定义证明；

（2）计算：111

()5()()422

f f

g -= ；f （4）5f -（2）g （2）= ；f （9）5f -（3）g （3）= ；

（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 14．（2020秋•东城区期末）已知函数1

()21

x

f x a =-

+是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；

（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）

（Ⅰ）若不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围．

15．（2020秋•房山区期末）设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且

()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．

（Ⅰ）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；

（Ⅰ）写出一个a 的值，使得2,0

()

0x x f x x +<⎧⎪=是区间(,)-∞+∞上的“a 距增函数”；

（Ⅰ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．

16．（2020秋•丰台区期末）设函数()f x 的定义域为I ，如果存在区间[m ，]n I ⊆，使得()f x 在区间[m ，]n 上是单调函数且值域为[m ，]n ，那么称()f x 在区间[m ，]n 上具有性质P ．

（Ⅰ）分别判断函数()cos f x x =和3()g x x =在区间[1-，1]上是否具有性质P ；（不需要解答过程）

（Ⅰ）若函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求n m -的最大值．

17．（2020秋•朝阳区期末）“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()(2)2x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++． （Ⅰ）求(0)f f +（2）的值； （Ⅰ）设函数4()2x

g x x

=

-． （Ⅰ）证明函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称；