高二数学平面向量试题答案及解析

高二数学平面向量试题答案及解析
1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；
①；②；③；④.
【答案】①④
【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得
，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算
2.下列各组向量中不平行的是（）
A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)
C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)
【答案】D
【解析】略
3.已知则 ,．
【答案】；
【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，
，为另一对角线长度为1
【考点】向量运算与三角形法则
4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为
A．B．1C．2D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以
得．
【考点】1．数量积；2．向量垂直．
5.已知向量，，若，则__________________．
【答案】或
【解析】两向量平行，所以，解得：或．
【考点】向量平行的坐标表示
6.设，向量，且，则（）
A．﹣2B．4C．﹣1D．0
【答案】D
【解析】向量，且，可得，
解得或（舍去，因为）．则．故选：D．
【考点】平面向量数量积的运算
7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．
【答案】120
【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，
所以．
【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．
8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．
9.设，，且，则锐角为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，即，由二倍角公式得
，故选C．
【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．
【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题
通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的
三角函数值，从而求得锐角的值．
10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则
的最大值是．
【答案】
【解析】
设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而
，所以，
，，故得
最大值为
【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算
11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。

【答案】
【解析】⊥，所以
【考点】向量夹角
12.已知点是圆上的一个动点，过点作轴于点，设，则点
的轨迹方程______________．
【答案】
【解析】设，由得，代入得
【考点】动点的轨迹方程
13.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的
取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为
，，当过点时取得最小值0，过点时取得最大值2，所以其范围是
【考点】线性规划问题
14.如图，四棱柱的底面为平行四边形，已知，则用向量可表示向量为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用空间向量的平行六面体法则即可得
出．故选B．
【考点】平面向量基本定理及其意义
15.已知向量则
A．2或3B．－1或6C．6D．2
【答案】D
【解析】由得
【考点】向量的坐标运算
16.的夹角为，，则．
【答案】7
【解析】
【考点】向量的模
17.在平面直角坐标系xoy中，点P到两点的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点，k为何值时？
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据已知可得动点满足椭圆的定义，并且焦点在轴上，即可求得；（2）设联立直线与椭圆方程可得，要满足，即，由韦达定理以及直线方程带入求得值．
试题解析：轨迹C的方程为，
（Ⅱ）设，将代入中，化简得，由韦达定
理可知，
因为直线上，满足直线方程，有，
所以，
要想，则，
∴，
解得．
【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆定义求标准方程以及直线与椭圆的位置关系．根据已知
可得满足椭圆定义，所以可得，应该注意焦点在轴上；（2）问中，转化为向量的坐标运算，是解决圆锥曲线题中常用的一种解题思路，另
外的值，由直线方程得到，结合直线与圆锥曲线联立后的韦达定理列得等式，进行求解．
18.（2015春•咸宁期末）已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的
坐标表示求得k值．
解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
【考点】平面向量数量积的运算．
19.已知点在平面内，且对空间任意一点，，则
的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在平面内，则必存在实数使，
，
，。

又，
，
当且仅当即时取得等号．
【考点】1向量的加减法，平面向量基本定理；2基本不等式．
20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【解析】（Ⅰ）已知圆心，求圆的方程，只需求出圆的半径，由圆切线的性质：圆心到切线的距
离等于半径即可求得圆的方程；（Ⅱ）先由直线与圆相交可得直线斜率的取值范围，由及，可知四边为菱形，所以，从而得到直线的方程，解
方程组求得点的坐标，代入圆的方程即得的值，验证是否满足相交的条件.
试题解析：（Ⅰ）设圆的半径为，因为直线与圆相切，所以
所以圆的方程为.
（Ⅱ）方法一：因为直线：与圆相交于，两点，所以，
所以或，假设存在点，使得，因为，在圆上，且，而，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，所以与互相垂直且
平分所以原点到直线：的距离为即，解得，，经验证满足条件所以存在点，使得.
方法二：假设存在点，使得．记与交于点
因为，在圆上，且，由向量加法的平行四边形法则可知四边形为菱形，
因为直线斜率为，显然，所以直线方程为
由，解得，所以点坐标为
因为点在圆上，所以，解得即，经验证满足条件
所以存在点，使得.
【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系的应用.
【方法点晴】求圆的方程常用待定系数法，设法求出圆心和半径即得圆的方程；直线与圆位置关系在应用中要特别注意垂直关系，一方面可以找到斜率之间的关系，另一方面又可以构造直角三角形，本题中及，且结合向量加法的几何意义，可知为菱形的对角线，既可利用点到直线的距离公式求解，又可以求出点的坐标代入圆方程即得解.
21.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线
C．双曲线的左支D．双曲线的右支
【答案】D
【解析】根据抛物线的定义得点的轨迹是以点，为焦点，实轴长为的双曲线的右支，故选C．
【考点】双曲线的定义．
【易错点晴】本题考查双曲线定义，属中档题．由双曲线的定义，到两个定点的距离之差的绝对值等于一个常数（小于）的点的轨迹是双曲线，本题中动点满足，但是缺少“绝对值”，故点的轨迹不是完整的双曲线，而是其中一支，由，故点的轨迹为双曲线的右支．在双曲线定义的考查中注意两点：①到两个定点的距离之差的绝对值，绝对值不能少；②常数小于，否则容易出错．
22.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点
为中点，则等于（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．故B正确．
【考点】向量的加减法．
23.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
（）
A．2B．4C．5D．10
【答案】D
【解析】将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么
，故选D．
【考点】1．坐标系；2．两点间距离．
【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．
24.（2015秋•陕西校级月考）若平面α的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（）
A．cos θ=B．cos θ=
C．sin θ=D．sin θ=
【答案】D
【解析】直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，由此能求出结果．
解：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，
则θ=β﹣90°或θ=90°﹣β，cosβ=，
∴sin θ="|cos" β|=，
故选：D．
【考点】空间向量的数量积运算．
25.（2015秋•肇庆期末）已知圆，定点F
2（1，0），A是圆F
1
上的一动点，
线段F
2A的垂直平分线交半径F
1
A于点P．
（Ⅰ）当A在圆F
1
上运动时，求P点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与轨迹C交于M、N两点，若（O是坐标原点），求直线l方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据题意P在线段F
2A的中垂线上，所以|PF
2
|=|PA|，则
|PF
2|+|PF
1
|=|PA|+|PF
1
|=|AF
1
|=4＞|F
1
F
2
|，故轨迹C是以F
1
，F
2
为焦点的椭圆，从而可求P点的
轨迹C的方程；
（Ⅱ）由，得x
1x
2
+y
1
y
2
=﹣2，由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，利用韦达定理，
求直线l方程．
解：（Ⅰ）因为P在线段F
2A的中垂线上，所以|PF
2
|=|PA|，
所以|PF
2|+|PF
1
|=|PA|+|PF
1
|=|AF
1
|=4＞|F
1
F
2
|，
所以轨迹C是以F
1，F
2
为焦点的椭圆，且，
所以轨迹C的方程．
（Ⅱ）设M（x
1，y
1
），N（x
2
，y
2
），由，得x
1
x
2
+y
1
y
2
=﹣2，
即x
1x
2
+（kx
1
+1）（kx
2
+1）=﹣2，即（1+k2）x
1
x
2
+k（x
1
+x
2
）+3=0•
由，得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，
因为△=64k2+32（3+4k2）＞0，
所以，有
代入化简得1﹣4k2=0，解得，
所以直线l方程为．
【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．
26.已知下列命题（是非零向量）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）
则假命题的个数为___________．
【答案】3
【解析】（1）不正确；（2）不正确，表示两向量共线；
（3）不正确；向量不满足结合律
【考点】向量运算法则
27.（2015秋•河南期末）已知F
1、F
2
是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P
使，则|PF
1|•|PF
2
|=（）
A．b2B．2b2C．2b D．b 【答案】B
【解析】由F
1、F
2
是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，
PF
1⊥PF
2
，知=|PF
1
|•|PF
2
|=b2，由此能求出结果．
解：∵F
1、F
2
是椭圆的两个焦点，
椭圆上存在点P，使，
∴PF
1⊥PF
2
，
∴=|PF
1|•|PF
2
|=b2tan=b2，
∴|PF
1|•|PF
2
|=2b2．
故选B．
【考点】椭圆的简单性质．
28.在中，的对边分别为，且，，则的面积为．
【答案】
【解析】由得
，由，得
【考点】1．正弦定理；2．向量数量积运算
29.（2015秋•潍坊期末）已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=2，N为BC中点，则=（）
A．﹣﹣﹣
B．﹣++
C．++
D．﹣﹣
【答案】B
【解析】根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用、与表示出．
解：连接DN，如图所示，
四面体ABCD中，=，=，=，
点M在棱DA上，=2，∴=，
又N为BC中点，∴=（+）；
∴=+=﹣++=﹣++．
故选：B．
【考点】空间向量的加减法．
30.设向量与的夹角为，且，则__________ ．
【答案】
【解析】，
【考点】向量夹角
31.已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）
A．﹣1B．﹣1C．+1D．+1
【答案】A
【解析】设点P（x，y），则动点P满足||=1可得 x2+（y+2）2=1．根据|++|=
，表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间的距离．
显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得AC=，问题得以解决．
解：设点P（x，y），则动点P满足||=1可得 x2+（y+2）2=1．
根据++的坐标为（+x，y+1），可得|++|=，表示点P（x y）与点A（﹣，﹣1）之间的距离．
显然点A在圆C x2+（y+2）2=1的外部，求得AC=，|++|的最小值为AC﹣1=﹣1，
故选：A．
【考点】平面向量的坐标运算．
32.已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径
于点.
（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）直线与轨迹交于两点，若（是坐标原点），求直线方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）线段的垂直平分线交半径于点，得；所以
，根据椭圆的定义，得到轨迹是以为焦点的椭圆；根
据题中条件求出椭圆中的，所以轨迹的方程. （Ⅱ）求直线
方程，就是求斜率的值。

由，利用向量的数量积，得；利用直线的
方程消元，得•；点即在直线上，又在椭圆上，联立
方程组，得，判定一元二次方程根并利用韦达定理写出根与系数
的关系；代入•式求出斜率，得直线方程为.
试题解析：解：（Ⅰ）因为在线段的中垂线上，所以，
所以，
所以轨迹是以为焦点的椭圆，且，
所以轨迹的方程.
（Ⅱ）设，由，得，
即，即 •
由，得，
因为，
所以，有
代入 化简得，解得，
所以直线方程为.
【考点】求轨迹方程；直线、圆、向量和一元二次方程的综合应用.
33.已知向量．若为实数，，则 ( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，即，，解得.故选A.
【考点】向量的线性运算；向量的数量积；向量垂直的充要条件.
34.设函数,其中向量="(m,cos2x)," =(1+sin2x,1),且的图象经过点，则
实数m的值为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】代入得
【考点】向量运算及三角函数求值
35.已知向量与向量平行，则＝（）
A B C D
【答案】C
【解析】向量与向量平行，解方程得
【考点】向量共线
36.已知点在平面内，并且对空间任一点，，则的值为（）A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】由于点在平面内，且对空间任一点，根据空间向量基本定理可知，解得；
【考点】空间向量基本定理；
37.已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．[
【答案】B
【解析】：∵直线x+y+m=0与圆交于不同的两点A，B，故AB为圆的一条弦，且圆心O（0，0），半径r=2，设线段AB的中点为C，根据向量加法的平行四边形法则，可得，
∴，即为，即，根据圆中弦的性质，则△OAC为直角三
角形，∴在Rt△OAC中，OA=r=2，OC≥AC，∴≤OC＜2，∵OC为点O到直线x+y+m=0的
距离，
故，∴，解得m∈，
【考点】直线与圆相交的弦长问题
38.三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于（）
A．－2B．2C．－2D．2
【答案】A
【解析】
【考点】平面向量数量积的运算
39.如图，在中，为边上的中线，，设，若，则的值为 ( )
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】因为，所以可设，则
，所以，解之得，故选C.
【考点】1.向量加法、减法的几何运算；2.平面向量基本定理.
40.设平面向量、满足||=2、||=1，，点P满足
，则点P所表示的轨迹长度为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，，所以，分别以为轴，建立如图所示的平面直
角坐标系，则：，则，，设，则，所以，所以，所以点的轨迹表示以原
点为圆心，半径为的圆在第一象限的部分，点所表示的轨迹长度为，故选D．
【考点】向量的线性运算与向量的几何意义．
【方法点晴】本题主要考查了向量的线性运算与向量的几何意义，通过建立平面直角坐标系，利
用向量的坐标解决向量问题的的方法，求出平面上的点到的坐标，根据点的坐标求出向量的坐标，以及向量的坐标数乘运算，圆的标准方程，圆的周长公式等知识点的综合应用，着重考查了学生
分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
41.已知点是直线上不同的三个点，点不在直线上，则关于的方程
的解集为__________．
【答案】
【解析】因为点是直线上不同的三个点，所以存在非零实数，使得，因为，所以,化简得，由平面向量的
基本定理可得：，解得或，因为点是直线上不同的三个点，所以
且，所以不存在实数使得上式成立.
【考点】平面向量的基本定理及向量的运算.
42.已知向量，，若，（）
A．B．7C．－7D．
【答案】B
【解析】由题意知，又，所以，解得.
故选B.
【考点】向量的坐标运算；向量垂直的充要条件.
43.是两个向量，且，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，则；又；
可得：
【考点】向量乘法运算．
44.已知=（4，2），=（6，y），且⊥，则y的值为（）
A．﹣12B．﹣3C．3D．12
【答案】A
【解析】解：因为=（4，2），=（6，y），且⊥，
所以•=0，
即4×6+2y=0，
解得y=﹣12，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量垂直的充要条件：数量积等于0以及向量的数量积公式，属于基础题．
45.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ
，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意可得若•==+++
=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，
∴4λ+4μ﹣2λμ="3" ①．
•=﹣•（﹣）===
=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．
由①②求得λ+μ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，
属于中档题．
46.已知向量，且，若实数满足不等式，则实数的取值
范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，且，所以，所以，因为满足不等式的平面区域如下图所示，由图可知当时，取最大值，当
时，取最大值，所以的取值范围是，故选A．
【考点】向量的数量积运算；简单的线性规划问题．
【方法点晴】本题主要考查了绝对值不等式的应用、向量的数量积的运算、两个向量垂直关系的
应用以及简单的线性规划问题，解答中利用平面向量的数量积的运算，求解目标函数和利用绝对值不等式画出约束条件所表示可行域是解答关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力和数形结合思想的应用．
47.已知，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，
，解得，所以，所以，故选A．
【考点】向量的坐标运算．
48.若平面向量与满足:,,则与的夹角为．
【答案】
【解析】由已知得到，展开得到，其中，所以，所以
与的夹角的余弦值，所以与的夹角为．
【考点】平面向量的数量积的运算．
49.设向量满足，，，，则（）
A．2B．4
C．5D．1
【答案】C
【解析】由，，，，则，所以
，故选C.
【考点】向量的运算.
50.已知向量=(m,4)，=(3,-2)，且∥，则m=（）
A．6B．-6C．D．
【答案】B
【解析】由∥有：，所以。

【考点】向量平行的坐标表示。

51.若，，且，则与的夹角是
A．30°B．45°C．60°D．75
【答案】B
【解析】由题：，所以，，因为，所以。

【考点】向量的夹角。

52.若，，当取最小值时，的值等于（）
A．19B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，所以
，所以当时，取最小值，故选C.
【考点】向量的坐标运算.
53.已知，，，，，若，则_____________.【答案】
【解析】由，，，，，则
，即，解得.
【考点】向量的坐标运算.
54.已知是的边上的中点，若，，则等于（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【考点】平面向量基本定理
55.设点,,为坐标原点，点满足=+，（为实数）；
（1）当点在轴上时，求实数的值；
（2）四边形能否是平行四边形？若是,求实数的值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）四边形OABP不是平行四边形
【解析】（1）设点P（x，0），由=+得（x，0）=（2，2）+t（3，2 ），解出t 值．（2），设点P（x，y），假设四边形OABP是平行四边形，根据向量平行得出坐标间的关系，由=+，推出矛盾，故假设是错误的
试题解析：（1）设点P（x，0），=（3,2）,
∵=+，∴（x,0）=（2,2）+t（3,2）,
∴
（2）设点P（x,y），假设四边形OABP是平行四边形，
则有∥, Þ y=x―1, ∥ Þ2y=3x ……①,
又由=+，Þ（x,y）=（2,2）+ t（3,2）,得∴…… ②,
由①代入②得：，矛盾，∴假设是错误的，
∴四边形OABP不是平行四边形。

【考点】平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量
56.过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )
A．10B．8
C．2D．4
【答案】D
【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，
∴D=-2，E=4，F=-20，
∴x2+y2-2x+4y-20=0，
令x=0，可得y2+4y-20=0，
∴y=-2±2，
∴|MN|=4.
【考点】圆的一般方程
57.已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】∵向量与的夹角为，∴，∴在方向上的投影为．故选：A.
【考点】平面向量数量积的运算．
58.直线与圆相交于两点，若，则（0为坐标原点）等于（）
A．-7B．-14
C．7D．14
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离为，所以，所以根据余弦定理，因此，故选A.
【考点】1、直线与圆的位置关系；2、向量的数量积.
59.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）
A．一条线段B．一段圆弧
C．两个孤立点D．一个圆
【答案】D
【解析】由于一切单位向量的长度都是，如果再把它们归结到共同的始点，那么这些向量的终点将在同一个圆上，故选D.
【考点】单位向量.
【方法点晴】本题是一个有关单位向量以及平面向量的几何表示方法的综合性问题，属于简单题.
解决本题的基本思路及切入点是，首先要理解单位向量就是长度为的向量，其次要理解平面向量是自由向量，也就是说平面向量是可以进行平行移动的，由于一切单位向量的长度都是，如果再把它们归结到共同的始点，那么这些向量的终点将在同一个圆上.
60.已知是非零向量，则，，，，中，与向量
相等的个数为（）
A．5B．4
C．3D．2
【答案】A
【解析】由于平面向量的加法满足交换律和结合律，因此向量，，，，与向量都是相等的向量，故选A.
【考点】向量加法的交换律、结合律.
【方法点晴】本题是一个关于平面向量加法的交换律与结合律方面的综合性问题，属于容易题.解
决本题的基本思路及切入点是，要正确理解、掌握平面向量的加法运算律，也就是交换律与结合律，由于平面向量的加法满足交换律和结合律，因此向量，，，，与向量都是相等的向量.
61.下列各种情况下，向量终点构成什么图形？
（1）把所有单位向量的起点平移到同一点；
（2）把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一点；
（3）把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点.
【答案】（1）以为圆心，以单位长度为半径的圆；（2）两个点；（3）.一条直线
【解析】对问题（1），可根据所有单位向量的模都为，起点相同，进而可知向量终点构成什么
图形；对问题（2），由平行向量的方向相同或相反，进而可得到平行于某一直线的所有单位向
量的终点构成什么图形；对于问题（3）由于平行于某一直线的一切向量方向相同或相反，但是
模的大小可不同，进而可得到向量终点构成什么图形.
试题解析：（1）构成以为圆心，以单位长度为半径的圆；
（2）构成两个点；
（3）构成一条直线.
【考点】1、单位向量；2、平行向量.
【方法点晴】本题是一个关于单位向量与平行向量的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思
路及切入点是，对问题（1），可根据所有单位向量的模都为，起点相同，进而可知向量终点构
成什么图形；对问题（2），由平行向量的方向相同或相反，进而可得到平行于某一直线的所有
单位向量的终点构成什么图形；对于问题（3）由于平行于某一直线的一切向量方向相同或相反，但是模的大小可不同，进而可得到向量终点构成什么图形.
62.已知为两个不共线的向量，若四边形满足，，. （1）将用表示；
（2）证明四边形为梯形.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】对问题（1），根据向量加法的运算法则并结合已知条件，即可将用表示出来；
对问题（2），可先证明，进而证明与平行但不相等，从而可以证明四边形为梯形.
试题解析：（1）根据向量求和的多边形法则，有
.
（2）证明：因为，即，
所以根据向量的定义，与同方向.
且的长度为的长度的2倍，
所以在四边形中，，且，
所以四边形是梯形.
【考点】1、向量的求和；2、向量的平行与相等.
63.已知向量，且与平行，则实数的值等于（）
A．-4B．4C．-6D．6
【答案】A
【解析】，由两向量共线可得
【考点】向量坐标运算及向量共线
＝，则等于（）
64.在锐角△ABC中，已知||＝4，||＝1，S
△ABC
A．B．13C．D．17
【答案】A
【解析】由得，由得
【考点】解三角形
65.已知向量，的夹角为，且，，则．
【答案】
【解析】的夹角，，，，.
【考点】向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利
用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为
简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题
及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
66.在△中，，的垂直平分线交边所在直线于点，则的值为（）A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为,则,故选D.
【考点】平面向量的运算.
67.已知，，，则向量和的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，得，，则，
，；故选C．
【考点】1.空间向量的线性运算；2.空间向量的夹角．
68.已知空间中四个不共面的点，若，且，则
的值为（）
A．1B．
C．D．
【答案】A
【解析】由下图可得,故选A.
【考点】空间向量及其运算.
69.已知向量，，且，则实数的值等于__________．
【答案】-2
【解析】由题意得
70.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】,故本题正确答案为71.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则可表示为
（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】,故本题正确答案为
72.已知, (为两两互相垂直的单位向量)，那么= .【答案】–65
【解析】由,可以解得，
，所以
【考点】本小题主要考查向量的运算.
点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细.
73.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
①；②；③；④由可得.以上通过类比得到的结论正确的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由①,根据向量的数量积的定义可知结论成立,故正确; ②表示与共线的向量,表示与共线的向量,与不一定共线,故不正确; ③,向量具有分配律,故正确; ④当与垂直,与垂直时满足条件,但,故不正确;综上可知选B.
74.设向量，向量，且a∥b，则锐角的值为____．
【答案】
【解析】因为，所以，即，故 .
故答案为 .
75.在中，设，，且，，，则（）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】,所以，选C.
76.已知向量满足，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由即，得，
而，故，故选B.
77.已知，与的夹角为，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，与的夹角为，.
.
.
故选B.
78.已知向量满足，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】,则,故选D.
79.设，向量，且，则
A．-4B．C．D．20
【答案】D
【解析】∵a＝(1，x)，b＝(2，－6)且a∥b，
∴－6－2x＝0，x＝－3，∴a＝(1，－3)，a·b＝20，故选D．
80.设为所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】．故D正确．
【考点】平面向量的加减法．
81.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点P在△COD的内部（不含边界）．若
,则实数对（x，y）可以是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在三角形ABD中，设点Q在直线BD上，，则
而且点P不在三角形OCD边界上，则当时点P必定不在三角形OCD内，选项A,B,C舍去，故选D
82.空间四边形中，，，则<>的值是（）
A B C－ D
【答案】D
【解析】略
83.已知向量，，且，则__________．
【答案】
【解析】向量，且，可得，解得，故答案为.
84.已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围是___________．（用集合
表示）
【答案】
【解析】∵向量与的夹角为钝角，∴，即；解得，即的
取值范围是，故答案为.
85.已知向量，且，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵；∴⋅=x−2=0；
∴x=2；∴=(2,2)；∴=(5,3)；
∴=.
故选D.
86.已知平面向量，且，则__________．
【答案】5
【解析】∵向量，且，
得则。