椭圆的几何性质(解析版)
椭圆的简单几何性质(最全)
42 52
41
25 9
尝试遇到困难怎么办? 作出直线 l 及椭圆,
几何画板显示图形
观察图形,数形结合思考.
36
直线与椭圆的位置关系 ：
直线和椭圆方程分别为
y
: Ax By C
y
0
，x a
2 2
y2 b2
1
y
F1 o
F2 x F1 o
F2 x F1 o
F2 x
Ax By C 0
则由 x2 y2
x2 y2 1
4 16
x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程是 1
或
x2 y2 1
41
4 16
15:01:32
26
练习2：
已知椭圆 x2 y2 1 的离心率 e 1
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
k ，求 的值
a2 k 8 b2 9
y 由
e
1 2
，得：
k
4
当椭圆的焦点在 轴上时，
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率
为
1。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3
则其离心率e=______5____
回顾
[1]椭圆标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
所表示的椭圆的存在范围是什么？
[2]上述方程表示的椭圆有几几个顶点？顶点是谁与谁的交点？
3)c=0(即两个焦点重合）e =0，则 b= a，
椭圆方程变为x2+ y2=a2（圆）
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
结论：离心率e越大，椭圆越扁； 离心率e越小，椭圆越圆
2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1
课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。
34C 。
错误!D 。
错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。
］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。
错误!＋错误!＝1B 。
错误!＋y 2＝1C 。
错误!＋错误!＝1D 。
错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析
解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。
2.2.2 第1课时 椭圆的几何性质学案(解析版)(1)
高二数学学案【题目】2.2.2椭圆的几何性质学案2.2.2 椭圆的几何性质 第1课时 椭圆的几何性质学习目标 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a ，b ，c 的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题．知识点一 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率1．椭圆的焦距与长轴长的比e ＝ca称为椭圆的离心率．2．因为a ＞c ，故椭圆离心率e 的取值范围为(0,1)，当e 越近于1时，椭圆越扁，当e 越近于0时，椭圆越圆．【编辑】 李静升 【审核】 孟德厚【使用时间】 2019/8/221．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是a .( × )2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.( × )4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF |的最大值为a ＋c (c 为椭圆的半焦距)．( √)题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 由已知得x 21m 2＋y 214m 2＝1(m ＞0)，∵0＜m 2＜4m 2， ∴1m 2＞14m 2， ∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0，⎝⎛⎭⎫32m ，0，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0，⎝⎛⎭⎫－1m ，0，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ， 离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.反思感悟 从椭圆的标准方程出发，分清其焦点位置，然后再写出相应的性质．跟踪训练1 已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质如下：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)；⑤离心率：e ＝35.题型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.反思感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b .跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆的标准方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求椭圆的标准方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. (1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等． 跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.故选C. 题型三 求椭圆的离心率例4 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率．解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵F 1(－c,0)，∴P (－c ，y p )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2p b 2＝1，∴y 2p ＝b 4a2， ∴|PF 1|＝b 2a ＝|F 1F 2|，即b 2a＝2c ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2a＝2c ，∴e 2＋2e －1＝0，又0＜e ＜1，∴e ＝2－1.反思感悟 求解椭圆的离心率，其实质就是构建a ，b ，c 之间的关系式，再结合b 2＝a 2－c 2，从而得到a ，c 之间的关系式，进而确定其离心率．跟踪训练4 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33答案 D解析 由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33.椭圆几何性质的应用典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d 1，最远距离为d 2，地球的半径为R ，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为( )A ．d 1＋d 2＋RB ．d 2－d 1＋2RC ．d 2＋d 1－2RD ．d 1＋d 2考点 椭圆的简单几何性质题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，两焦点分别为F 1，F 2，飞行中的航天员为点P ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧d 1＋R ＝a －c ，d 2＋R ＝a ＋c ，则2a ＝d 1＋d 2＋2R ，故传送神秘信号的最短距离为|PF 1|＋|PF 2|－2R ＝2a －2R ＝d 1＋d 2.[素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.1．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3， 所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．5．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案(0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.。
椭圆标准方程及几何性质
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。
3.1.2椭圆的简单几何性质
OF
y1 c
1 c2 ，即 b2
2
c
1 c ，a2 2
c2
1 2
c2
，解得
e
c a
6. 3
综上所述，可得 2 e 6 .故选：A
2
3
5．直线 x－y＋1＝0 被椭圆 x2 ＋y2＝1 所截得的弦长|AB|等于（ ）
3
A． 3 2 2
B． 2 C． 2 2
D． 3 2
【答案】A
x y 1 0,
（）
A． 3 2
B． 2 2
C． 5 3
D． 6 3
【答案】B 【解析】由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点， 所以 b=c.
则 a b2 c2 2c ， 所以离心率 e c 2 .
a2 故选：B
2．已知圆 M
: x2
y2
2mx 3 0m 0
的半径为 2 ，椭圆C :
则
x1＋x2＝－
4 3
，
故 AB
的中点横坐标
x0＝
x1
2
x2
＝－ 2 3
.
纵坐标
y0＝x0＋1＝－
2 3
＋1＝
1 3
.
例题分析2
已知椭圆的离心率为
1 2
，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（
）
A． x2 ＋ y2 ＝1 36 27
B． x2 ＋ y2 ＝1 63
C． x2 ＋ y2 ＝1 27 36
x2 a2
y2 3
1 的左焦点为
F c,0 ，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线l 与圆 M 相切，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A． 3 2
第8讲：椭圆的简单几何性质
第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
椭圆的定义及几何性质(含答案)
椭圆的定义及其几何性质[要点梳理]1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质椭圆的常用性质(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋c2．(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a．[基础自测]一、思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．()(5)方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(6)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√二、小题查验1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5 C．8 D．10解析：D[由椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10．]2．已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝()A．2 B．3 C．4 D．9解析：B[由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．]3．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A ．13B ．12C ．22D ．223解析：C [由椭圆x 2a 2＋y 24＝1知b 2＝4，∴b ＝2，c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2＝22．∴椭圆的离心率e ＝c a ＝222＝22．]4．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1解析：A [由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1．]5．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是__________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4． 答案：(3，4)∪(4，5) 三、大题突破1．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)；(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5，3，过P 且 与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t 1或y 24＋x 23＝t 2(t 1，t 2＞0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t 1＝224＋（－3）23＝2，或t 2＝（－3）24＋223＝2512.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b＞0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，（2c ）2＝52－32，解得a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(2，1)，且离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON (O 为坐标原点)的斜率之积为－12.若动点P满足OP →＝OM →＋2ON →，求点P 的轨迹方程．解：(1)因为e ＝22，所以b 2a 2＝12，又椭圆C 经过点(2，1)，所以2a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →得x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2， 因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 1x 2＋4x 22)＋2(y 21＋4y 1y 2＋4y 22)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM 与ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，故点P 的轨迹方程为x 220＋y 210＝1.第1课时 椭圆的定义及简单几何性质[考点梳理]1．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1[解析] 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，又|C 1C 2|＝8＜16，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，则a ＝8，c ＝4，∴b 2＝48，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1．2．F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7B ．74C ．72D ．752[解析] 由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2， ∴|F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6．∵|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8， ∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8．∴|AF 1|＝72，∴S △AF 1F 2＝12×72×22×22＝72．[答案] (1)D (2)C3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，则|AF 2|＝________． 解析：由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3， ∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4． 则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5．4．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________．解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，所以b ＝3． 答案：(1)5 (2)31．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．x 24＋y 2＝1[解析] C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1．当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为y 25＋x 24＝1．] 2．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 28＋y 24＝1[解析] A [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1．又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， 则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12即a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1．] 3．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．y 24＋x 23＝1C ．x 216＋y 215＝1D ．y 216＋x 215＝1解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1．根据椭圆的定义，得△MF 2N 的周长为4a ＝8，得a ＝2，∴b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A ．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则椭圆C 的方程为( )A ．x 28＋y 24＝1B ．x 22＋y 2＝1C ．x 212＋y 26＝1D ．x 212＋y 28＝1解析：∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点∴设A (x ，x )，B (x ，－x )，则x x ＝22，解得x ＝2，∴A (2，2)．由已知得⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝22，b ＝2．∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，故选A ．答案：(1)A (2)A[命题角度1] 椭圆的长轴、短轴、焦距1．已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5 解析：A [∵椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10．∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8．] [命题角度2] 椭圆的离心率2．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A ．23B ．12C ．13D ．14解析：D [如图，作PB ⊥x 轴于点B ．由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1，由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2， tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4．所以e ＝c a ＝14．故选D ．]2．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C ．3－12D ．3－1 解析：D [在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|FP 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1．故选D ．]3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A ．[32，1) B ．[31，22] C ．[31，1) D ．(0，31]解析：C [如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ， 即椭圆上存在一点P ， 使得|PF 2|＝2c ．∴a －c ≤2c <a ＋c ．∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1．] [命题角度3] 与椭圆有关的最值或范围问题4．已知F 是椭圆C ：x 29＋y 25＝1的左焦点，P 为C 上一点，A (1，34)，则|P A |＋|PF |的最小值为( )A ．103B ．113C ．4D ．133解析：D [设椭圆C ：x 29＋y 25＝1的右焦点为F ′(2,0)，F (－2,0)，由A ⎝⎛⎭⎫1，43，则|AF ′|＝53， 根据椭圆的定义可得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋6－|PF ′|≥6－|AF ′|＝6－53＝133．]5．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为( )A ．1B ．23C ．4D ．43解析：C [设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3．所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3． 又F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2． 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4．][课时训练]一、选择题1．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±9，0)D ．(0，±9) 解析：B [根据椭圆方程可得焦点在y 轴上，且c 2＝a 2－b 2＝25－16＝9，∴c ＝3，故焦点坐标为(0，±3)．故选B.]2．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 28＋y 26＝1C ．x 22＋y 2＝1D ．x 24＋y 2＝1解析：A [依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.] 3．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．k ＞4B ．k ＝4C ．k ＜4D ．0＜k ＜4 解析：D [方程kx 2＋4y 2＝4k表示焦点在x 轴上的椭圆，即方程x 24＋y 2k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得0＜k ＜4，故选D.]4．若椭圆x 24＋y 2m ＝1上一点到两焦点的距离之和为m －3，则此椭圆的离心率为( )A ．53B ．53或217C ．217D ．37或59解析：A [由题意得，2a ＝m －3>0，即m >3，若a 2＝4，即a ＝2，则m －3＝4，m ＝7>4，不合题意，因此a 2＝m ，即a ＝m ，则2m ＝m －3，解得m ＝9，即a ＝3，c ＝m －4＝5，所以椭圆离心率为e ＝53.故选A.] 5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0<t <b )．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( ) A ．32 B ．22 C ．12 D ．33解析：A [△PEF 2的周长为|PE |＋|PF 2|＋|EF 2|＝|PE |＋2a －|PF 1|＋|EF 2| ＝2a ＋|EF 2|＋|PE |－|PF 1|≥2a ＋|EF 2|－|EF 1|＝2a ＝4b ，∴e ＝c a ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32，故选A.] 6．在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则该椭圆离 心率的取值范围是( )A ．(31，1)B ．[31，1)C ．(0，31)D ．(0，31] 解析：B [根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，将|PF 1|＝2|PF 2|代入，得|PF 2|＝2a 3，根据椭圆的几何性质，知|PF 2|≥a －c ，故2a 3≥a －c ，即a ≤3c ，故c a ≥13，即e ≥13，又e <1，故该椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1，故选B.]7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则 △PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20 解析：C [如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.]二、填空题8．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，离心率为63，则此椭圆 的方程为______________.解析：由题意知抛物线y 2＝16x 的焦点为(4，0)，∴c ＝4， ∵e ＝c a ＝4a ＝63，∴a ＝26，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴椭圆的方程为x 224＋y 28＝1. 答案：x 224＋y 28＝1 9．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是____________.解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2， 解得0<k <1.答案：(0，1)10．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 解析：由题可知c ＝2.①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a )＝22，解得a ＝8.故实数a ＝4或8.答案：4或811．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1→·PF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ______________.解析：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°.设P (x 0，y 0)S △PF 1F 2＝b 2＝c |y 0|≤cb ，即b ≤c ，则a 2－c 2≤c 2，解得e 2≥12，即e ≥22，又在椭圆中0<e <1，故椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，1三、解答题12．已知动圆M 过定点A (－3，0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3，0)，B (3，0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.13．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4， 所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. (2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12. 14．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点， 故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.14．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解：(1)由椭圆的定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知得PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a .于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a (λ＋1＋λ2－1)1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4(1＋λ＋1＋λ2)2＋(λ＋1＋λ2－1)2(1＋λ＋1＋λ2)2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋(t －2)2t 2＝8⎝⎛⎭⎫1t －142＋12. 由34≤λ<43及1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性， 得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.。
椭圆的简单几何性质(含解析)
椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为()(A)|x|≤5,|y|≤3(B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5(D)|x|≤,|y|≤2.椭圆x2+4y2=4的离心率为()(A)(B)(C)(D)3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为()(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于()(A)9 (B)4 (C)3 (D)25.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则()(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=96.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为()(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点(D)有相同的顶点7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=18.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)-29.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为()(A)(B)(C)(D)10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O 为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是()(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.12.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.14.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=.15.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.椭圆的简单几何性质班级：____________ 姓名：__________________一、选择题1.椭圆25x2+9y2=1的范围为( B )(A)|x|≤5,|y|≤3 (B)|x|≤,|y|≤(C)|x|≤3,|y|≤5 (D)|x|≤,|y|≤解析:椭圆方程可化为+=1,所以a=,b=,又焦点在y轴上,所以|x|≤,|y|≤.故选B.2.椭圆x2+4y2=4的离心率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:椭圆x2+4y2=4化为+y2=1,可得a=2,b=1,c==.所以椭圆的离心率e==,故选A.3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( D )(A)(±13,0) (B)(0,±10)(C)(0,±13) (D)(0,±)解析:由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±).故选D.4.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( C )(A)9 (B)4 (C)3 (D)2解析:根据焦点坐标可知焦点在x轴上,所以a2=25,b2=m2,c2=16,又因为m2=b2=a2-c2=9,解得m=3,故选C. 5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴,椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等,则( D )(A)a2=25,b2=16(B)a2=9,b2=25(C)a2=25,b2=9或a2=9,b2=25(D)a2=25,b2=9解析:因为椭圆+=1的长轴长为10,焦点在x轴上,椭圆+=1的短轴长为6,所以a2=25,b2=9.故选D.6.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( B )(A)有相等的长、短轴长(B)有相等的焦距(C)有相同的焦点 (D)有相同的顶点解析:因为(25-k)-(9-k)=25-9=16,所以焦距相等.故选B.7.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( A )(A)+=1 (B)+=1(C)+y2=1 (D)+=1解析:因为x2+y2-2x-15=0,所以(x-1)2+y2=16,所以r=4=2a,所以a=2,因为e=,所以c=1,所以b2=3,故选A.8.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )(A)(B)(C)(D)-2解析:因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c,又因为|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.所以离心率e==,故选B.9.已知A1,A2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点,P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点,若直线PA1,PA2的斜率的乘积为-,则椭圆C的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:设P(x0,y0),则·=-,化简得+=1,则=,e===,故选D.10.设A1,A2为椭圆+=1(a>b>0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于A1,A2的点P,使得·=0,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率e的取值范围是( D )(A)(0,) (B)(0,)(C)(,1) (D)(,1)解析:A1(-a,0),A2(a,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(a-x,-y),因为·=0,所以(a-x)(-x)+(-y)(-y)=0,y2=ax-x2>0,所以0<x<a.代入+=1,整理得(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0在(0,a)上有解,令f(x)=(b2-a2)x2+a3x-a2b2=0,因为f(0)=-a2b2<0,f(a)=0,所以Δ=(a3)2-4×(b2-a2)×(-a2b2)=a2(a4-4a2b2+4b4)=a2(a2-2b2)2≥0,所以对称轴满足0<-<a,即0<<a,所以<1,>,又0<e<1,所以<e<1,故选D.二、填空题11.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为4,则椭圆的方程为.解析:由题意可知e==,2b=4,得b=2,所以解得答案:+=112.已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=2经过椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B,则椭圆E的离心率为.解析:由题意得,椭圆的右焦点F为(c,0),上顶点B为(0,b),因为圆(x-1)2+(y-1)2=2经过右焦点F和上顶点B,所以解得b=c=2,则a2=b2+c2=8,解得a=2,所以椭圆E的离心率e===.答案:13.已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为.解析:当9>4-k>0,即-5<k<4时,a=3,c2=9-(4-k)=5+k,所以=,解得k=.当9<4-k,即k<-5时,a=,c2=-k-5,所以=,解得k=-21.答案:或-2114.将椭圆+=1的长轴(线段AB)分成8等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆于P1,P2,P3,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .解析:由椭圆的对称性及定义易知|P1F|+|P7F|=2a,|P2F|+|P6F|=2a,|P3F|+|P5F|=2a,|P4F|=a,所以|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a,因为a=5,所以所求式子的值为35.答案:3515.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上的任意一点,若以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是.名师点拨:若|PF1|=|PF2|,则·≥0;若|PF1|=|F1F2|,则cos ∠PF1F2≥0,由此建立关于a,c的不等式组,解不等式组可得椭圆C的离心率的取值范围.解析:因为F1(-c,0),F2(c,0),①若|PF1|=|PF2|,则点P为椭圆短轴上的顶点,不妨设P(0,b),则=(-c,-b),=(c,-b),因为△PF1F2不可能是钝角三角形,所以·≥0,即b2-c2≥0,所以c2≤b2=a2-c2,所以2c2≤a2,解得0<e≤.②若|PF1|=|F1F2|=2c,则|PF2|=2a-2c,在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠PF1F2==≥0,所以c2+2ac-a2≥0,所以e2+2e-1≥0,解得e≥-1(e≤--1舍去).因为以F1,F2,P三点为顶点的等腰三角形不可能是钝角三角形,所以所以-1≤e≤.答案:[-1,]三、解答题16.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为. 解:(1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,a=2.因为2a=2·2b,所以b=1,所以方程为+y2=1.若椭圆的焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为椭圆过点A(2,0),所以=1,所以b=2,因为2a=2·2b,所以a=4,所以方程为+=1.综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.(2)由已知所以从而b2=9,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.17.如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c. 所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中,c=,设B(x,y).由=2⇔(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B(,-).将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a 2=3c2.①又由·=(-c,-b)·(,-)=⇒b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.2。
3.1.2椭圆的简单几何性质(解析版)
椭圆及其性质导学案【学习目标】1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．3.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识【自主学习】知识点1椭圆的范围、对称性和顶点坐标(±c,0)(0，±c)知识点2椭圆的离心率(1)椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca叫椭圆的离心率．(2)对于x2a2＋y2b2＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)知识点3 点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外x20a2＋y20b2>1P在椭圆上x20a2＋y20b2＝1P在椭圆内x20a2＋y20b2<1知识点4 直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦， 线段AB 的长度叫做弦长．弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|，＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．【合作探究】例1由椭圆方程研究其简单几何性质（1）求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)．归纳总结：解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．练习1求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18; 短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率：e ＝c a ＝223.例2椭圆的几何性质的简单应用如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程． 解 依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |， 又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形，∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|F A |＝10－5， 即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.归纳总结：确定椭圆的标准方程时，首先要分清其焦点位置，然后，找到关于a ，b ，c 的等量关系，最后确定a 2与b 2的值即可确定其标准方程．练习2已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的标准方程．解 ∵F 是椭圆的焦点，cos ∠OF A ＝23，∴点A 是短轴的端点，∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3， ∴c a ＝23， ∴c ＝2，b 2＝32－22＝5，∴椭圆的标准方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.例3 椭圆的离心率的求解（1）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是 A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】∵D ．（2）设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 答案 C解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt △PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a 2－c ，故cos 60°＝|F 2M ||PF 2|＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.（3）已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－(1,0)F 2114322=+y x 13422=+y x 12422=+y x 13422=+y x 1,2,3c a b ===b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[12，1)B ．(0，12]C ．[22，1) D ．(0，22] 答案 B解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.归纳总结：练习3（1）若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B 解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca ＝ 1－b 2a 2＝ 1－m 2＝12，∴m ＝32.（2）已知点P (m,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．答案 35解析 一方面△PF 1F 2的面积为12(2a ＋2c )·r ；另一方面△PF 1F 2的面积为12|y p |·2c ，∵12(2a ＋2c )·r ＝12|y p |·2c ， ∴(a ＋c )·r ＝|y p |·c ，∴a ＋c c ＝|y p |r . ∴(a c ＋1)＝|y p |r， 又y p ＝4，∴a c ＝|y p |r －1＝432－1＝53， ∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝35.（3）已知1F 、2F 为椭圆()222:124x y C a a +=>的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足12△PF F的面积为C 的离心率的取值范围为A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】设()00,P x y ，12120012△PF F S F F y c y =⋅==0y c ==，若存在四个不同点P 满足12△PF F S =002y <<，即02<<，解得4a >，e ⎫==⎪⎪⎝⎭，故选D.例4直线与椭圆的位置关系（1）直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．（2）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 归纳总结：1.直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点． 2.直线过的定点是否在椭圆内练习4(1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． (2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.例5 直线与椭圆的相交弦问题（1）已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；解析(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. 归纳总结：处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，练习5如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为310时，求k 的值． 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.例6 中点弦问题（1）已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)， 由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12， 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.归纳总结：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．练习6已知椭圆C:x 23+y 2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为 .【答案】3x +3y −4=0【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1+x 22=1，y 1+y 22=1由A ，B 在椭圆上可得x 123+y 12=1，x 223+y 22=1,两式相减可得，(x 1−x 2)(x 1+x 2)3+(y 1−y 2)(y 1+y 2)1=0∴K AB =y 1−y2x 1−x 2=−(x 1+x 2)3（y 1+y 2）=−23⋅23=−1直线AB 的方程为y −13=−1(x −1)即3x +3y −4=0.例7 椭圆中的最值(或范围)问题（1）椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10 答案 D解析 设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0. Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m 24－4＝0, 即－m 2＋32＝0，∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时，d max ＝|2＋42|5＝10.（2）已知F 是椭圆C ：22195x y +=的左焦点，P 为C 上一点，41,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PA PF +的最小值为A ．103 B ．113 C ．4 D ．133【答案】D 【解析】设椭圆:C 22195x y +=的右焦点为F '，易知()()2,0,2,0F F '-，由41,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，得53AF '=，根据椭圆的定义可得26PF PF a ='+=，所以51366633PA PF PA PF AF +=+-≥=-='-'. （3）已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，求|PM →|的最小值．解 由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.归纳总结：练习8（1）设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是 A ．25 B ．246+ C ．27+ D ．26【答案】D 【解析】由题意可设(10,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为2222||(10cos )(sin 6)509(sin )5023CQ ααα=+-=-+=，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||52262PQ CQ r +==≤Q P ,两点间的最大距离是62（2）在椭圆2214x y +=上有两个动点,P Q ，()1,0E 为定点，EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为_________． 【答案】23【解析】由题意得()22EP QP EP EP EQ EP EP EQ EP ⋅=⋅-=-⋅=． 设椭圆上一点(),P x y ，则()1,EP x y =-，∴()()2222223421114433x EP x y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又22x -≤≤，∴当43x =时，2EP 取得最小值23． （3）已知F 是椭圆C ：1222=+y x 的左焦点,P 为椭圆C 上任意一点,点Q(4,3),则|PQ|+|PF|的最大值为 解析:因为点F 为椭圆C:x 22+y 2=1的左焦点, 所以F(-1,0).因为点P 为椭圆C 上任意一点,点Q 的坐标为(4,3), 设椭圆C 的右焦点为F ′(1,0),所以|PQ|+|PF|=|PQ|+2√2-|PF ′|=2√2+|PQ|-|PF ′|, 因为|PQ|-|PF ′|≤|QF ′|=3√2, 所以|PQ|+|PF|≤5√2,即最大值为5√2,此时Q,F ′,P 共线. 故选A.课后作业A 组 基础题1.椭圆2214x y +=的短轴长是( )A. 4B. 2C. 1D.12答案：B【详解】椭圆2214x y +=的短轴长为2b =2.2.若若若若221164x y +=若若若()3,1P 若若若若若若若若若若若若若若若若若若若 若A. 34130x y +-=B. 3450x y --=C. 43150x y +-=D. 4390x y --=答案：A【详解】点差法：设交点为()11,A x y ,()22,B x y ,则()()()()2211222212121212121222221164001641641164x y x x x x y y y y x x y y x y ⎧+=⎪-+-+--⎪⇒+=⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()121212121111230016416464AB AB y y y y k k x x x x -+⇒+=⇒+=⇒=--+ 3:1(3)341304AB y x x y ⇒-=--⇒+-=,3.椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（ ）A. 没有交点B. 有一个交点C. 有两个交点D. 由m 的取值而确定答案：C【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C +=可得911169+<， 所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以必有两个交点.4.椭圆22143x y +=的离心率为（ ）A. 14B. 4C.12D.2答案：C【详解】解: 因为椭圆22143x y +=所以224,3a b ==,所以离心率12e ==.5.若点P 在椭圆C ：2214x y +=，F 1，F 2分别为椭圆C 的左右焦点，且1290F PF ∠=︒，则12F PF ∆的面积为（ ）A.B. 3C. 4D. 1答案：D【详解】∵椭圆C ：2214x y +=，∴a 2=4，b 2=1．可得c =因此12Rt F PF ∆中，12F F =221212PF PF += ①根据椭圆的定义，得1224PF PF a +== ②①②联解，可得122PF PF ⋅=，∴12F PF ∆的面积12112S PF PF =⋅=． 6.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b答案：B【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 7.椭圆2x m +236y =1的焦距是2，则m 的值是：A ．35或37B ．35C ．37D ．16答案：A8.若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b+=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A.[2,+∞)B. [2,3)∪(3,+∞)C. [2,3)D. (3,+∞)答案：B【详解】椭圆2229x y b+=1（b ＞0）得出b ≠3，∵若直线2y kx =+∴直线恒过（0，2），∴24b≤1,解得2b ≥ ，故实数b 的取值范围是[2,3)(3,)⋃+∞ 9.如图所示，直线过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ）．:220l x y -+=A ．B ．CD答案：D直线的斜率为，则，解得． 10.过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C 的离心率为 （ ）A ．32B ．36C ．35D ．21答案：B11.过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________答案：2350x y +-=【详解】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，斜率为k ，则1525l 1212b c =12c a22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121223y y y y x x x x --++⋅-=，即221321k ⨯-=⋅⨯，所以23k =-， 所以所求直线方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 12.如图所示，在△ABC 中，90A ∠=︒，3tan 4B =.以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为______．答案：【详解】因为在ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，4AB =， 所以3AC =，5BC ==，由椭圆的定义得2AC BC a +=，所以4a =，因为2c =，所以b ==，故答案为：13.已知F 1，F 2为椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，若12122PF PF F F +=，则C 的离心率为______． 答案：12【详解】P 为椭圆C 上一点，由椭圆的定义知，122PF PF a +=，因121224PF PF F F c +==，所以24a c =，所以12c e a ==. 14.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，过点F 2且斜率为2b a的直线l 交直线20bx ay +=于M ，若M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则椭圆的离心率为__________．答案：12【详解】设直线l 的方程为()2b y x c a =-，联立20bx ay +=，解得2c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点M 的坐标为,2c bc a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为M 在以线段12F F 为直径的圆上，所以12F M F M ⊥，有120FM F M ⋅=，则2222304b c c a -+=，解得b a =则椭圆的离心率为12e ===.15.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点，A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点，且1k =，求||AB .答案(1) 2214x y += (2) 85【详解】（1）由题意得222,2a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩解得2a =，1b =.所以椭圆M 的方程为2214x y +=.（2）由（1）得椭圆的左焦点为()，则直线l的方程为：y x = 设()11,A x y ，()22,B x y .由221,4y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2580x ++=，又12x x +=，1285x x =.所以2185AB x =-===16.已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上.（1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.答答（1）22143x y +=（2）5【详解】解：（1）由己知得221a b -=，因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O 到直线l 的距离为d ==，所以直线l 被圆O 截得的弦长为5l ===.B 组 能力提升1.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为35，左，右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1作直线与椭圆在第一象限交点为P ，若12PF F △为等腰三角形，则直线1PF 的斜率为( )A.7B.8C.D.7答案：A【详解】因为点P 在第一象限，所以12||||PF PF >，因为35c e a ==，所以53a c =，当112||||2PF F F c ==时，24||223PF a c c =-=满足12||||PF PF >，222112212112||||||cos 2||||PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅222216447989c c c c +-==，所以12sin PF F ∠==，所以121212sin 9tan 7cos 79PF F PF F PF F ∠∠===∠， 所以直线1PF的斜率为7，当212||||2PF F F c ==时，1224||2||22||3PF a PF a c c PF =-=-=<，不符合题意.综上所以直线1PF. 2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A.2B.12C.2D.3【详解】由F 到直线20bx ay -=的距离为22c ，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得32e =.3.已知圆M :x 2+(y ﹣1)2=1，圆N :x 2+(y +1)2=1，直线l 1､l 2分别过圆心M ､N ，且l 1与圆M 相交于A ､B ，l 2与圆N 相交于C ､D ，P 是椭圆22134x y +=上的任意一动点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为（ ）A.3 B. 23C. 3D. 6答案：D【详解】如图所示，圆心M (0，1)，N (0，﹣1)即为椭圆的焦点.PA PM MA =+，PB PM MB =+，0MA MB +=，∴221PA PB PM MA MB PM +⋅=⋅=-，同理21PC PD PN ⋅=-，∴222PA PB PC PD PM PN ⋅+⋅+=-，∵|PM |+|PN |=4，∴2(22PM PN +)≥2(||||)PM PN +=16，当且仅当|PM |=|PN |=2时取等号.∴22+PM PN ≥8，∴2226PA PB PC PD PM PN ⋅+⋅+-≥=. 故选:D.4.点P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆22:(1)1N x y -+=的任意一条直径，则PE PF ⋅的取值范围是（ ） A. (8,24)B. [8,24]C. [5,21]D. (5,21)【详解】由题意，()()()()22PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE PN NE ⋅=+⋅+=+⋅-=-又EF 为圆22:(1)1N x y -+=的任意一条直径，则1NE =，在椭圆2211615x y +=中，有a c PN a c -≤≤+，即35PN ≤≤，所以，28124PN ≤-≤，故21PE PF PN ⋅=-的取值范围为[]8,24.5.已知F 1，F 2分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点F 2作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ）A. 4B. 2C.32D.332答答：A【详解】延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下： 因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥，所以2MF MP =，所以2111MF MF MP MF F P -=-=， 因为,O N 分别为122,F F F P 的中点，所以ON 为12PF F ∆的中位线，所以1122ON F P ==，所以21124MF MF F P ON -===. 6.已知F 1，F 2分别是椭圆2222:1x y C a b +=(0,0)a b >>的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E =22DF =，且2DF x ⊥轴.若点P 是圆22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）A.[3,5]B. [2,5]C. [2,4]D. [3,4]答案：A【详解】由题意可知，(D c，7,55E c ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，将,D E 代入椭圆方程得2222222222112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩，所以()12,0F -，()22,0F ， 设()cos ,sin P θθ，则12PF PF ⋅==所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5]. 7.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22214x y a +=（2a >）的左右焦点，若椭圆C 上存在四个不同的点P ，满足12PFF ∆的面积为C 的离心率的取值范围（ ）A. ⎛ ⎝⎭B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. ⎛ ⎝⎭D. ⎫⎪⎪⎝⎭答案：B【详解】因为焦点三角形面积最大值为2bc c =，故只需2c >，即c >.又()c c a ===∈+∞易知3c a >，又()0,1e ∈综上则e ⎫∈⎪⎪⎝⎭8.已知F 为椭圆22:162x y C +=的右焦点，过F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则M到x 轴的最大距离为（ ）A.13B.12C.3D.2答案：C【详解】因为226,2a b ==，所以椭圆的右焦点坐标为()2,0．设()()1122,,,A x y B x y ，直线l ：x =2ty +，（显然当直线斜率为0时，不可能最大），与椭圆方程联立得，()223420ty ty ++-=，所以12243ty y t +=-+， 即弦AB 的中点M 纵坐标为122223y y tt +=-+，所以M 到x 轴的距离为223t t +． 当0t ≠时，222333t t t t=≤=++，故M 到x轴的最大距离为3． 9.设F 1是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点,焦距为2c , P 为椭圆上任一点,已知点()2,M c a ,1PMPF 的最大值为32a b +,则该椭圆的离心率为( )A. 22B. 32C. 265D.154答案：C【详解】()2,M c a ,0a b >>又()222221c a a b+> ∴M 为椭圆外一点设右焦点为2F ,P 为椭圆上任一点,根据椭圆定义可得:122PF PF a +=∴()()122222232PM PF PM a PF a PM PF a MF a b +=+-=+-≤+=+, ∴2232a MF a b +=+即22MF a b =+根据两点间距离公式可得:222MF c a =+∴222c a a b +=+,解得:5a b =,222615c b e a a ==-=.10.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为1r ，2r ，则卫星轨道的离心率等于（ ）A.21122r r R r r -++ B. 21122r r R r r +++ C. 21122r r R r -+ D. 21222r r R r -+答案：A【详解】椭圆的离心率：(0,1)ce a=∈，（c ，半焦距；a ，长半轴） 所以只要求出椭圆的c 和a ， 由题意，结合图形可知，1222r r a R++=， 122111222R r r r rc OF r R +-==--=+， 所以212112122222r r r r c e r r a R R r r --===++++．11.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2c ，过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为M ，N .若椭圆离心率的取值范围为12,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则MPN ∠的取值范围为（ ）A. ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：D【详解】在直角三角形OMP 中，∵21s ,22in OM a c MPO a OP a c⎡⎢∠=⎣==⎦∈，∴,64MPO ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∠， ∵2MPN MPO ∠=∠，∴,32MPN ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦. 12.若若若若22143x y +=若若若若若AB 若若P 若若若若(0,1)若若230OA OB OP +-=若若若AB 若若若若若若14y =-若若若若_________________.答答：1若若若若若1122(,),(,)A x y B x y ,若若230OA OB OP +-=若若若121220,23x x y y +=+=若若,A B 若若若若若若若22221122114343x y x y +=+=，若若221144443x y +=若2211(2)(32)143x y --+=若若若12302y y =∴=若若若AB 若若若若若若若12324y y +=若 若若若若14y =-若若若若31()144--= 13.若若P 若若若C 若22184x y +=若若若若若F 若C 若若若若若若若()2,1A 若若PA PF +若若若若若若____若答案⎡⎣【详解】22184x y +=，F 为C 的右焦点，(2,0)F ，左焦点1(2,0)F -11242PA PF PA a PF PA PF +=+-=+- 11111717AF PA PF AF PA PF -≤-≤⇒-≤-≤ 4217,4217PA PF ⎡⎤-++⎣∈⎦14.已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C .如图椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，OE=3.若光线与地面所成角为θ，则sin θ=______________，椭圆的离心率e=___________.答答答答答：45 ；35【详解】解：连接OO '，则O OE θ'∠=，因为4O E '=，3OE =，所以2222345OO O E OE ''=+=+=所以4sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径R ，4b ∴=，如图． 椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ， 由题意得：28AB R ==，4sin sin 5ACB θ∠==， 又4sin 5AB θAC ==所以10AC =即210a =，5a =， ∴椭圆的离心率为222553516c a b e a a --====15.设F 1，F 2为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的两个焦点，点P 在C 上，e 为C 的离心率.若12PF F △是等腰直角三角形，则e =________；若12PF F △是等腰钝角三角形，则e 的取值范围是________.答答答答答1-；121,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】(1)当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，两条直角边长为2c ，斜边长为，由椭圆定义可得，22c a +=，所以1c e a ===；当12PF PF ⊥时，斜边长为2c ，由椭圆定义可得，2a =，所以c e a ==． (2)当12PF F ∠为钝角时，1122PF F F c ==，由椭圆定义可得，222PF a c =-，再根据形成三角形的条件以及余弦定理可得，2222a c c c -<+，()2222244a c c c ->+，解得113e <<；当21PF F ∠为钝角时，同上可得，113e <<；当12F PF ∠为钝角时，12PF PF a ==，122F F c =，所以2224a a c +<，解得12e <<．故113e <<1e <<． 16.在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b+=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足||2||PA PB =，△P AB 面积最大值为163 ,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______．答案及解析：2【详解】依题意()(),0,,0A a B a -，设(),P x y ，依题意的2PA PB ==两边平方化简得2225433x a y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆心为5,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径43a r =.所以PAB ∆的最大面积为14162233a a ⋅⋅=，解得2a =，PCD ∆的最小面积为1542223333a a a b b ⎛⎫⋅⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，解得1b =.故椭圆离心率为2e ===. 17.如图，已知直角MON ∆的斜边MN 的长为12，点P 是斜边上的中线OD 与椭圆221259x y +=的交点，O 为坐标原点，当MON ∆绕着点O 旋转时，PM PN ⋅的取值范围为__________.答案及解析：[35,27]--【详解】椭圆221259x y +=的5a =，3b =，由椭圆的性质可得P 为长轴的端点时||OP 取得最大值5，P为短轴的端点时||OP 取得最小值3，由直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，可得1||||62OD MN ==， 所以||||||[1,3]PD OD OP =-∈，从而2()()()PM PN PD DM PD DN PD PD DM DN DM DN ⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 221||||[35,27]4PD MN =-∈--．故答案为：[35,27]--．18.在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x =3交于点M ,N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．答答答答答：（1）2234(1)x y x +=≠± （2）存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为5(,3. 【详解】试题分析：（1）利用直接法设()(),1P x y x ≠±，利用直线AP 与BP 的斜率之积等于13-，得到关于,x y 的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设P ()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y 三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得PAB S ∆和PMN S ∆的面积，利用PABS ∆PMN S ∆=，进而得到关于0x 的方程，求得点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭． 试题解析：（1）点P 的轨迹方程为()22341x y x +=≠±；（2）设点P 的坐标为()00,x y ，点,M N 的坐标分别为()()3,,3,M N y y ，则直线AP 的方程为()001111y y x x --=++， 直线BP 的方程为()001111y y x x ++=--． 令3x =，得0000004323,11M N y x y x y y x x +--+==+-，于是PMN ∆的面积()()200002031321PMNM N x y x S y y x x ∆+-=--=-， 直线AB 的方程为0x y +=，AB =，点P 到直线AB的距离d =于是PAB △的面积PABS0012AB d x y =⋅=+， 当PAB S ∆PMN S ∆=时，得()2000002031x y x x y x +-+=-，又000x y +≠，所以()220031x x -=-，解得053x =， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB △与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为5,3⎛ ⎝⎭．19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上动点P ,Q ，点O 为原点.（1）若2222OP OQ a b +=+，求证：OP OQ k k ⋅为定值； （2）点()0,B b ，若BP BQ ⊥，求证：直线PQ 过定点；（3）若OP OQ ⊥，求证：直线PQ 为定圆的切线.答答答答答：（1）22b a；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【详解】证明：（1）由题意，设()()1122,,,P x y Q x y ，则222222221122||OP OQ x y x y a b +=+++=+，由,P Q 在椭圆上，则2222221212221,1x x y b y b a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入得，2222222212122211x x x b x b a b a a ⎛⎫⎛⎫+-++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得，()()222212222xx a b a b a+-=-，因为220a b -≠，所以22212x x a +=，则1212OP OQy y k k b x x ⋅=⋅===b =22b a =， ∴OP OQk k ⋅定值22b a；（2）易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()22222222220b a k x a kmx a m a b +++-=，则2112222a km x x b a k +=-+，222212222a m ab x x b a k-=+， 由BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在，22111y b y b x x --∴⋅=-，整理得()21212120x x y y b y y b +-++=，因为11y kx m =+，22y kx m =+，所以()12122y y k x x m +=++，()22111212y y k x x km x x m =+++，整理得，()()()2221212120kx xk m b x x m bm b ++-++-+=，所以()()222222222222222120a m a b a km k k m b m bm b b a k b a k ⎛⎫-+⋅+--+-+= ⎪++⎝⎭， 整理得，()()222322220a bmb m b a b +---=，即()()()22220m b a bm b ab ⎡⎤-++-=⎣⎦，所以()2222b a b m a b -=-+，或m b =，因为m b ≠，所以()2222b a b m a b -=-+，所以直线PQ 恒过定点()22220,b a b a b ⎛⎫- ⎪-⎪+⎝⎭；（3）当,OP OQ 斜率都存在时，设OP 方程为()0y kx k =≠，()()1122,,,P x y Q x y ，则OQ 方程为1=-y x k， 联立22221y kx x y a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2221222a b x k a b =+， 所以()()222222111222221||1a b k OP x y k x a k b +=+=+=+，同理可得()()222222222222211a b k a b k OQ k a b k b a --++==++，设O 到直线PQ 的距离为d ，即为POQ △斜边上的高，则OP OQ d PQ==⋅====，故当,OP OQ 斜率都存在时，O 到直线PQ 的距离为定值.当,OP OQ 的斜率有一个不存在时，此时直线PQ 为连接长轴和短轴端点的一条直线，方程为0bx ay ab +±=或0bx ay ab -±=，点O 到直线PQ .综上，原点O 到直线PQ ，即直线PQ 为定圆222222a b x y a b +=+的切线. 20.设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.答答答答答（1）22142y x+=；（2）直线l 的方程为2y =±.【详解】（1）由已知可得，椭圆经过点(1,，由22222211a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得2,a=b =C 的方程为22142y x +=. （2）设直线l的方程为y m =+，A ，B 的坐标()11,x y ，()22,x y ，由22142y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22440x m ++-=，则()228164m m ∆=--()2880m=->，所以(m ∈-.由12,2x x m +=-21244m x x -=，得||AB =2=又点M 到AB 的距离d =，所以1||2MABSAB d =⋅==()22842m m+-≤= 当且仅当228m m =-，即2m =±时取等号，此时直线l 的方程为2y =±.21.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y b b αα+=>>12）在椭圆C 上.（若）求椭圆C 的方程；（若）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A 、B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（若）求OQ OP的值；（若）求ABQ ∆面积的最大值.答案及解析（若）2214x y +=；（若）（若）2OQ OP =；（若）【详解】（若）由题意知22311,4a b +==，解得224,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y +=（若）由（若）知椭圆E 的方程为221164x y +=.（若）设00(,),,OQ P x y OPλ=由题意知00(,)λλ--Q x y .因为2200 1.4x y +=又2200()()1164λλ--+=x y ，即22200() 1.44x y λ+=所以2λ=，即 2.OQ OP=（若）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+若则有21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以12214x x k-=+因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积1212S m x x =-===设22.14m t k =+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+若由若若可知01,t S <≤==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（若）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为22.设点()1,0F c -，()2,0F c 分别是椭圆()222:11xC y a a+=>的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12•PF PF 的最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M ，N 是直线l 上的两点，且1F M l ⊥，2F N l ⊥，求四边形12F MNF 面积S 的最大值．答答答答答：（1）2212x y +=；（2）2. 【详解】（1）设(),P x y ，则()1,F P x c y =+，()2,F P x c y =-，2222221221•1a PF PF x y c x c a-∴=+-=+-，[],x a a ∈-，由题意得，221012c c a -=⇒=⇒=，∴椭圆C 的方程为22x y 12+=； （2）将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2222x y +=中，得()222214220k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，()()222216421220k m k m ∆=-+-=，化简得：2221m k =+．设11d F M ==，22d F M ==，当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，121=MN d d k∴⋅-， ()12122211=21m S d d d d k k ∴⨯⋅-⋅+=+，2221m k =+，22244=111m m S k m m m∴==+++∴当0k ≠时，1m >，12m m+>， 2S <∴．当0k =时，四边形12F MNF 是矩形，2S =． 所以四边形12F MNF 面积S 的最大值为2．C 组 挑战压轴题1.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：若两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；若若球心距124O O =，则所得椭圆的焦距为2； 若当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. 若B. 若若C. 若若D. 若若若答案及解析：C【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =， 长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==， 又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以若是正确的；由124O O =，可得12O O =，又由球的半径为3，即3R =， 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由若可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以若是正确的； 由若可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以若不正确.2.P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，M 、N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4答答答答答：B【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r.。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。
对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。
若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。
同学们想一想其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。
椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。
椭圆的简单几何性质
1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆 三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。
（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长 四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。
312 椭圆的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.2椭圆的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一椭圆的范围以椭圆22221(0)x y a b a b +=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||x a y b ≤≤．这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内（如图2．2-8）．拓展（1）确定了曲线的范围后，用描点法作图时，就可以不取范围之外的点了，在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中变量的取值范围．（2）如果将椭圆的标准方程22221(0)x y a b a b+=>>变形为y =，那么这个椭圆的方程可以分成y =，y =两个函数式，研究椭圆的范围，就是讨论这两个函数的定义域和值域，这也是讨论椭圆范围的一种方法．知识点二椭圆的对称性以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的对称轴：坐标轴．2．椭圆的对称中心：原点(0,0)O ，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．提示：（1）在方程22221(0)x y a b a b+=>>中，将x 换成x -，方程显然不变，这就是说椭圆上的点(,)x y 关于y 轴的对称点(,)x y -也在椭圆上，故椭圆关于y 轴对称；将方程中的y 换成y -，方程也不变，故椭圆关于x 轴对称；同理，将,x y 分别换成,x y --时，方程也不变，故椭圆关于原点对称．（2）椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及它的垂直平分线．（3）椭圆关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，原点为椭圆的中心．知识点三椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．1．椭圆的顶点令0x =，得y b =±，令0y =，得x a =±．这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 的两个交点，因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点．这四个交点叫做椭圆的顶点．2．椭圆的长轴、短轴线段12A A 叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段12B B 叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．提示明确,a b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，由222c a b =-，得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法，只要以短轴的端点1B （或2B ）为圆心，以a 为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点．知识点四椭圆的离心率1．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作22c c e a a==．2．范围：因为0a c >>，所以01ca<<，即(0,1)e ∈．拓展对椭圆离心率的理解（1）01e <<，越趋近于1，椭圆越扁；越趋近于0，椭圆越接近于圆．（2）当趋近于0时，c 趋近于0，椭圆变圆，直至成为圆，此时也可认为圆在椭圆在0e =时的特例．（3）当趋近于1时，c 趋近于a ，椭圆变扁，直至成为线段12F F ，此时也可认为12F F 为椭圆在1e =时的特例．（4）2221b e a=-．知识点五直线与椭圆的位置关系1．直线与椭圆的三种位置关系：（1）相交；（2）相切；（3）相离．2．直线与椭圆的位置关系的判断；直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x （或y ）的一元二次方程的判别式∆来判定；0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆<⇔直线与椭圆相离．3．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦，若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线被椭圆所截得的弦长公式为12|||AB x x =-或12|||AB y y =-．考点一由方程求椭圆的几何性质例1．求椭圆22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．解：将椭圆的方程化为标准形式为221259x y +=，得5,3a b ==，则4c ==因此，长轴长210a =，短轴长26b =，离心率40.85c e a ===．焦点坐标为1(4,0)F -和2(4,0)F ，顶点坐标为1212(5,0),(5,0),(0,3),(0,3)A A B B --．将方程变形为55)y x =-≤≤，根据5)y x =≤≤可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(,)x y ，列表如下：x 012345y32．942．752．41．8先描点画出第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．将椭圆的方程化成标准方程易得5,3a b ==，则椭圆位于四条直线5x =±，3y =±所围成的矩形框内，又因为椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出椭圆在第一象限内的图形，就可以利用对称性画出整个椭圆．考点二由椭圆的几何性质求方程例2．已知椭圆C 以坐标轴为对轴称、长轴长是短轴长的5倍，且经过点(5,0)A ，求此椭圆的标准方程．解：方法1：若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>由题意，得22252,2501,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5,1.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=，若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由题意，得22252,0251,a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩解得25,5.a b =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22162525y x +=．综上所述，所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．方法2：设椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠．由题意，得2501,5m n ⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩或2501,5m n⎧+=⎪⎨⎪=⨯⎩解得25,1m n =⎧⎨=⎩或25,625.m n =⎧⎨=⎩故所求椭圆的标准方程为22125x y +=或22162525y x +=．（1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程，通常利用待定系数法．（2）根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，其一般步骤：①确定焦点所在的坐标轴；②求出22,a b 的值；③写出标准方程．考点三求椭圆的离心率例3．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．分析：解答本题的关键是先由椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，列出,,a b c 的关系式，再转化成,a c 间的关系式，从而求出．解：因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2b a c =+，①所以224()b a c =+，即22242b a ac c =++．②又因为222a b c =+，所以22224()2a c a ac c -=++，③即225230c ac a +-=．两边同除以2a ，得25230e e +-=．④解得35e =或1e =-（舍去）．故该椭圆的离心率为35．求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地，（1）若已知,a c ，则直接代入ce a=求解；（2）若已知,a b，则由e =（3）若已知,,a b c 的关系，则可先转化为,a c 的齐次式，再转化为含的方程，求解即可．例4．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在一点M ，使1290F MF ∠=︒（12,F F 为椭圆的两焦点），求椭圆的离心率的取值范围．解：设点M 的坐标是00(,)x y ，则220022222001,.x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩消去0y ，得222202()a cb xc -=．因为2200x a ≤≤②所以222222222()0,().a c b c a c b a c ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②由①，得22c b ≥，即222c a c ≥+，所以222a c ≤，所以22212c e a =≥．又因为01e <<，所以2[2e ∈，由②，得222c b c -≤，此式恒成立．综上所述，所求椭圆的离心率的取值范围是2[2．（1）解析几何中求参数的取值范围是一类常见而又较困难的题型，其基本的解题思路有：①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解．（2）本题在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围(||,||)x a y b ≤≤建立了一个关于基本量的不等式组．考点四点与椭圆的位置关系例5．直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，求m 的取值范围．解：方法1，直线1y kx =+恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上，所以20115m+≤，即1m ≥．又由于5m <，故[1,5)m ∈，方法2：由221,15y kx x y m=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(5)105(1)0m k x kx m +++-=，则2210020(1)(5)0k m m k ∆=--+≥对k R ∈恒成立，即2250mk m m +-≥对k R ∈恒成立．因为0m >，所以251k m ≥-对k R ∈恒成立，故10m -≤，即1m ≥．又因为5m <，所以[1,5)m ∈．点与椭圆的位置关系（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=；（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外⇔2200221x y a b +>；（3）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内2200221x y a b⇔+<．考点五直线与椭圆的位置关系例6．已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的最长弦的长度．解：由方程组2241,x y y x m⎧+=⎨=+⎩消去y 并整理，得225210x mx m ++-=．（1）因为直线与椭圆有公共点，所以222420(1)20160m m m ∆=--=-≥．解得m ≤故实数m 的取值范围是55[]22．（2）由根与系数的关系，得1225m x x +=-，21215m x x -⋅=，则弦长12||d x x =-===故当0m =时，d．（1）利用方程讨论直线与椭圆的位置关系设直线方程为y kx m =+，椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，联立方程，得2222,1.y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去方程组中的一个变量，得到关于另一变量的一元二次方程，写出判别式∆，则0∆>⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；0∆=⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；0∆<⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．（2）弦长问题设直线：y kx m =+交椭圆22221(0)x y a b a b+=>>于111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，则1212||||PP x x =-=或1212||||PP y y =-=考点六椭圆中弦的中点问题例7焦点分别为和的椭圆截直线32y x =-所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．分析：设椭圆的方程→联立椭圆的方程与直线的方程→利用根与系数的关系设而不求→由中点列出方程→已知焦点→求出方程．解析：设22221(0)y x a b a b+=>>依题意，有22250a b -==．①由22221,32y x a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理，得2222222(9)1240a b x b x b a b +-+-=．因为12122x x +=，所以2226192b a b =+．所以223a b =．②由①②，得275a =，225b =．经检验，此时0∆>．所以椭圆方程为2217525y x +=．弦的中点问题的解决方法关于中点的问题，我们一般可以采用两种方法解决：(1)联立方程、消元，利用根与系数进行设而不求，从而简化运算过程；(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解．不管应用何种方法，我们都必须要注意判别式∆的限制．考点七椭圆中的最值问题例8设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e =3(0,2P 到这个椭圆P的点的坐标．分析:本题是解析几何与代数中的最大值的综合题．解题关键是怎样运用“最远距离是”这个条件，可尝试用两点间的距离公式，转化为函数的最大值问题来解．解析:设所求椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0)．由c e a ==，得a =2b ．①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则22222a y x a b =-，且2222222233()()22a d x y a y yb =+-=-+-2222913343()4342y y b y b =--++=-+++，其中b y b -≤≤．若12b <，则当y =-b 时，2d 取得最大值223()2b =+．解得3122b =>，与12b <矛盾．若12b ≥，则当12y =-时，2d 取得最大值2243b =+．②由①②，得b =1，a =2．故所求椭圆方程为2214x y +=．由12y =-，得椭圆上到点P 的点为1()2-，12-．本题是一道考查椭圆知识和函数最值的综合性问题，需要全面的掌握基础知识和基本方法，在建立二次函数求最值时，要特别注意通过椭圆的范围来确定自变量的取值范围．考点八与椭圆相关的实际问题例9在大西北的荒漠上，A ，B 两地相距2km ，正在准备在荒漠上围成一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域，建立农艺园．按照规划，围墙总长度为8km ．(1)农艺园的最大面积能达到多少?(2)该荒漠上有一条直线型水沟刚好过点A ，且与AB 成45︒角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园内的水沟要重新设计改造，因此该水沟可能被农艺园围住的部分暂不加固，那么暂不加固的部分有多长?分析:(1)如图2．2-12所示，求农艺园的最大面积，实际就是求平行四边形ADBC 的面积的最大值．结合图形和椭圆的几何性质，易知当点C 位于短轴端点时，ACB ∆的面积最大，即平行四边形ADBC 的面积最大；(2)实质就是求弦长．解析:(1)如图2．2-12所示，由题意，知平行四边形相邻两边长之和为4km ，另两个端点C ，D 在以A ，B 为焦点的椭圆上．以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为22143x y +=(0y ≠)．因为max ()ABC S ∆=(点C 在短轴端点)，所以农艺园的最大面积为2km ．(2)由题可知，直线型水沟的方程是y =x +1，暂时不加固的部分的长度即直线被椭圆所截得的弦长．把直线方程代入椭圆方程，得27880x x +-=．1224|7x x -=．所以暂时不加固的部分长为247km ．椭圆是天文学和日常生产、生活中常见的一个模型，因此，我们必须熟练掌握利用代数方法解决与椭圆有关的问题的技巧．。
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第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|；(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．三、自主热身、归纳总结1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .第2题图2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】5－12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝ca ＝5－12.3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是____________． 【答案】：x 225＋y 275＝1【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立方程⎩⎨⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D ．2【答案】B【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 29＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝45.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，第(1)题图上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）13【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b，得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－12. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴m2（a －c ）＝m a ＋c，解得a ＝3c ，∴e ＝13.变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .设|OH |＝d ，则|PE |＝2d ，|PF |＝2a －2d ，|AH |＝a －d3.在Rt △OHA 中，|OA |2＝|OH |2＋|AH |2，解得a ＝5d . 在Rt △OHF 中，|FH |＝45a ，|OH |＝a5，|OF |＝c . 由|OF |2＝|OH |2＋|FH |2， 化简得17a 2＝25c 2，c a ＝175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ×b ＝12(2a ＋2c )×b3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.变式4、(2017苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
考点二 椭圆离心率的范围例2、(2020·福州模拟)过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤0，55【解析】 (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c .由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3c ，|BF 2|＝c ，故|AB |＝a ＋c ＋c ＝a ＋2c ，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3c a ＋2c ＝36，解得a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14.(2)由题设知，直线l ：x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0，以AB 为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c 代入椭圆C 的方程，得y ＝±b 2a ，即圆的半径r ＝b 2a .又圆与直线l 有公共点，所以2bcb 2＋c 2≤ b 2a ，化简得2c ≤b ，平方整理得a 2≥5c 2，所以e ＝c a ≤55.又0＜e ＜1，所以0＜e ≤55.变式1、设F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°，则椭圆离心率e 的取值范围是____． 【答案】[32，1) 【解析】 (方法1)易知P 点在短轴端点时∠F 1PF 2取最大值，∴只要在此情况下椭圆变得扁就行了，点P 在短轴端点时，若∠F 1PF 2＝120°，则e ＝c a ＝sin 60°＝32.∴e ∈[32，1)．(方法2)若∠F 1PF 2＝120°，则有PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°＝F 1F 22，且PF 1＋PF 2＝2a ，∴4a 2－PF 1·PF 2＝4c 2，∴PF 1·PF 2＝4b 2，又PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝a 2，∴a 2≥4b 2.∴3a 2≤4c 2即e 2≥34，∴e ∈[32，1)．(方法3)也可利用焦半径公式结合余弦定理将P 点横坐标表示出来，再解不等式－a ≤x 0≤a 即可．变式2、(2020·上饶模拟)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________． 【答案】：105【解析】由题意知c ＝1，离心率e ＝ca，因为P 在直线l ：y ＝x ＋2上移动， 所以2a ＝|P A |＋|PB |.点A 关于直线y ＝x ＋2的对称点C ，设C (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧nm ＋1＝－1，12n ＝12(m －1)＋2解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1即有C (－2,1)，则2a ＝|P A |＋|PB |＝|PC |＋|PB |≥|BC |＝10， 当C ，P ，B 共线时，a 有最小值102， 对应的离心率e 有最大值105. 变式3、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝32，求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围．【解析】(1)由题意得c ＝3，c a ＝32，所以a ＝23，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝kx 得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2，依题意易知，OM ⊥ON ，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2.因为F 2A ―→＝(x 1－3，y 1)， F 2B ―→＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A ―→·F 2B ―→＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a 2a 2－91＋k 2a 2k 2＋a 2－9＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2.因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，即12≤a 2＜18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.变式4、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，P 为右准线上一点．点Q 在椭圆上，且FQ FP ⊥．（1）若椭圆的离心率为12，短轴长为23．① 求椭圆的方程；（2）若在x 轴上方存在P Q ，两点，使O F P Q ，，，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围．【思路分析】（1）列出关于,,a b c 的方程组，解出,a b 值，从而求得椭圆的方程； （2）设出00()Q x y ，，求出P 坐标，,,P Q F 三点确定以PQ 为直径的圆，要使四点共圆，则第四点O 在圆上，有两种思路：思路1，求出圆方程，将点O 坐标代入圆方程，思路2，OF 的中垂线经过圆心，求出2a x cc ，根据点P ，Q 均在x 轴上方，得到2a a c c c -<-<，转化为e 的不等式，求出范围. 规范解答 （1）①设椭圆的焦距为2c ，由题意，得222122c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，，所以2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以椭圆的方程为22143y x +=． ②由①得，焦点(10)F ，，准线为4x =，（2）解法1 设2()a P t c，，00()Q x y ，， 因为FP ⊥FQ ，则△FPQ 的外接圆即为以PQ 为直径的圆200()()()()0a x x x y t y y c--+--=．由题意，焦点F ，原点O 均在该圆上，所以20020()()00ac c x ty c a x ty c ⎧--+=⎪⎨⎪+=⎩，，消去0ty 得2200()()0a a c c x x c c ---=，所以20a x c c=-， 因为点P ，Q 均在x 轴上方，所以2a a c c c -<-<，即220c ac a +->，所以210e e +->，又因为01e <<，1e <<．解法2 因为O ，F ，P ，Q 四点共圆且FP ⊥FQ ，所以PQ 为圆的直径，所以圆心必为PQ 中点M ， 又圆心在弦OF 的中垂线2c x =上，所以圆心M 的横坐标为2M c x =，所以点Q 的横坐标为222Q M a a x x c c c=-=-．（以下同方法1）求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。