椭圆的几何性质(解析版)

第52讲椭圆的几何性质

一、课程标准

1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质

2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围

3、掌握直线与椭圆的位置关系

二、基础知识回顾

1、椭圆的标准方程和几何性质

2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)y2

a2＋x2

b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为

S，则在椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S ＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝b 2tan θ

2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．

4、．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则 (1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k 2|y 1－y 2|；

(2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0

a 2y 0.

5、直线与椭圆的关系

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．

再求一元二次方程的判别式Δ，当： ①Δ>0⇔直线与椭圆相交； ②Δ＝0⇔直线与椭圆相切； ③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．

6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，k 为直线l 斜率，则AB ＝（1＋k 2）|x 1－x 2|．

三、自主热身、归纳总结

1、直线y ＝kx －k ＋1(k 为实数)与椭圆x 29＋y 2

4

＝1的位置关系为( )

A . 相交

B . 相切

C . 相离

D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A

【解析】 直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1恒过定点(1，1)．∵点(1，1)在椭圆内部，∴直线与椭圆相交．故选A .

第2题图

2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的右、下、上顶点，F

是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是____． 【答案】

5－1

2

【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1＝－1，－b c ·b a ＝－1，b 2＝ac ，即a 2－c 2＝ac ，∴e ＝c

a ＝5－12

.

3、中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为1

2，则该椭圆的方程是

____________． 【答案】：x 225＋y 2

75

＝1

【解析】：由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2

a

2＝1，联立方程

⎩⎨

⎧

x 2a 2－50＋y 2

a

2＝1，y ＝3x －2，

消去y ，整理得

(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，

由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450

＝1，解得a 2

＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 2

75＝1. 4、已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为2

2，焦距为2，则线

段AB 的长是( )

A.22

3

B.423

C. 2 D ．2

【答案】B

【解析】由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2

＝1，联立直线方程与椭圆方程可

得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423

. 5、(一题两空)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

9＝1的左、右焦点，点P 在此椭圆上，则椭圆离心率为________，

△PF 1F 2的周长为________． 【答案】4

5

18

【解析】由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以其离心率e ＝c a ＝4

5.△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝10＋8＝18.

四、例题选讲

考点一 椭圆的离心率的值

例1 (1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，

第(1)题图

上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO ＝90°，则椭圆的离心率是____．

(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点．P

为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____． 【答案】（1） 5－12 （2）1

3

【解析】 (1)由∠BAO ＋∠BFO ＝90°，∠BAO ＋∠ABO ＝90°，得∠BFO ＝∠ABO.又∠AOB ＝∠AOB ，∴△ABO ∽△BFO ，∴OB OF ＝AO BO ，即b c ＝a b

，

得ac ＝b 2＝a 2－c 2，变形得e 2＋e －1＝0，解得e ＝

5－12或－5－12(舍)，∴椭圆的离心率为5－1

2

. (2)设M(－c ，m)，则E(0，am a －c )，OE 的中点为D ，则D(0，am 2（a －c ）)，又B ，D ，M 三点共线，∴

m

2（a －c ）＝

m a ＋c

，解得a ＝3c ，∴e ＝1

3.

变式1、(1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为

3

6的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )

A.2

3 B.12 C.13 D.14

【答案】 D

变式2、（四川省乐山一中2019届质检）设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆x 2＋y 2＝a 2

9与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为( ) A.3

3

B.5

3

C.104

D.175 【答案】D

【解析】如图，取线段PF 的中点H ，连接OH ，OA .设椭圆另一个焦点为E ，连接PE .

∵A ，B 三等分线段PF ，∴H 也是线段AB 的中点，即OH ⊥AB .