曲线积分与曲面积分的计算

第21章

曲线积分和曲面积分的计算

教学目的： 教学重点和难点：

§ 1第一类曲线积分的计算

设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为

z = z(t)

则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »

特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a

例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。求 (x 2 + y 2 )ds »

例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。

例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。

§ 2第一类曲面积分的计算

一曲面的面积

(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，

即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy

。

x = x(u,v)

（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = x

x v + y u y v + gj ,

u

Z = Z(u.v)

G = Xy + y； + Zy 9

则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。

V

例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。

例：求球而x2 + F +分=a2含在柱而” +〉,2 =心（° > o）内部的而积。

二化第一类曲面积分为二重积分

（1）设函数0（兀,”2）为概念在曲而S上的持续函数。曲而S的方程为z = /（x,y）。/（x,y）具有对尤和y的持续偏导数，即此曲面是滑腻的，且苴在XY平而上的投影为可求而积的。则

JJ 0 (x，『，Z) 〃S = Jj 0 [x, y, / (x, >-)] Jl + 代 + f； dxdy。S心

X = X(ZGV) （2）设函数0（七”乙）为概念在曲而S上的持续函数。若曲而的方程为=

z = z（u,v）令E = X： + £ + z： , F =兀儿 + 儿儿+ Z“Z八G = %； + y； + z；,

则Jj0(x，”Z)〃S =卩0[兀仏巧,z(«,v)]yjEG-F2dudv。

s s

例：计算JJ(x + y + z)t/S, S 是球面x2 + y2 +z2 =cr , 2>0o

s

X = U COS V

例：计算JJ N/S,貝中S为螺旋而的一部份：h- = wsinv (0

注：第一类曲而积分通过一个二重积分来概念，这就是为何在第一类曲面积分顶用“二重积

分符“的原因。

例：l=^x2 + y2dS 9 S是球而，球心在原点，半径为

§3第二类曲线积分

一变力做功和第二类曲线积分的概念

1.力场?(x,y) = (P(x,y) , 0(忑刃)沿平面曲线厶从点力到点8所作的功。先用微元法，

再用概念积分的方式讨论这一问题，得W=[ F di.

J AB

2.第二型曲线积分的概念

概念1设厶是一条滑腻或逐段滑腻曲线，且设f(x.y,z)是槪念在厶上的有界函数，将厶沿肯泄方

向从起点A开始用分点4(兀,力,召)分成"个有向弧段44+1 ,直至终点且设心产心厂齐。在每

一弧段44+1 上任取一点EG，%©)，作和式： b=左 / 化)a=iy G, a，G a。

J-l z-1

其中州(西，牙，乙J为起点A，A+I(X”+I，)'”+I，Z”+I )为终点B。设2 = max|^4+1这里表示有向线段的长度。若当几T O时，和cr有极限/,且它与厶的分法无关，也与点*的选择无关，则称/为f^y^dx沿曲线厶按所述方向的第二类曲线积分, 记作 / = J / (x, y, z yix或/ = L / (x, y, z\ix。

注：若是向量f (x, y,z) =(P(x, y, z),Q(x, y,z), R(x, y,z)),则向量沿曲线L按必然方向的第二类曲线积分为I = £ P(x,y\2)rZx + 2(x, y,Z)dy + R(x,y,z)clz,。

注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。

注：在平面情形下，若一人立在平而上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所用成的区域靠近这人的部份总在他的左方，则那个方向就算作正向，不然就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无关的。

二第二类曲线积分的计算

设曲线自身不相交英参数方程为

x = x(r). y = y(/), z = z(t) (f0

增加到丁时，曲线从点A按必然方向持续地变到点B。设函数P(x,y,z)概念在曲线A3上,

且设它在AB 上持续。则j P(x,= J P[x(/),y(/), z(/)]x，(f)d/。(*)

注：(*)积分下限必需对应积分所沿曲线的起点，上限必需对应终点。

注：若是向量= 则向量沿曲线厶按必然方向的第二类曲线积分为

Q (x, ” z)dy + R(x.y. z)dz

=『{P[H/)，y ⑴,z(/)卜(/)+O[M),y(/), z(/)卜⑴+R[x(/),y(f), ?(/)”(『)}(〃例：计算积分+ + x)dy, L的两个端点为A( 1, 1 ), B( 2,3 ).积分从点A到点B或闭合，路径为

(1)直线段月万：(2)抛物线y = 2(x —1)2+1：

(3)折线闭合路径A(1,1)TD(2,1) T B(2,3) T A( 1, 1 )。.

例：计算积分[xdy + ydx,这里厶：

(1)沿抛物线y = 2x2从点0( 0 , 0 )到点从1,2)；

(2)沿直线y = 2x从点0( 0 , 0 )到点机1,2)：

(3)沿折线封锁路径0(0,0) TA(1,O) TB(1,2) T 0(0,0).

例：汁算第二型曲线积分I = £ xy^dx + (x + y)dy + x2dz，其中L是螺旋线x = acQSt, y = asint,乙=bt、从f =0 到 / =龙的一段。

三两类曲线积分的联系

第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念是不同的，由于都是沿曲线的积分，二者之间又有紧密联系。二者之间的联系式为

f P(x,”zM + 0(x,y,z)dy + /?(x,y,z)dz

JAB

= L{P(x,y,z)cos(f,x) + 0(x,”z)cos(/,y) + /?(x, y,z)cos(f,z)}心

例：证明：对于曲线积分的估量式为『H/x + Q心卜厶M,(式中厶为曲线段的长度) M = maxJp2+Q20利用那个不等式估量：/…=(£. . . vJ.v-.vt/v并证明例：设平而区域D 由一持续闭曲线厶所围成，区域D而积设为S,推导用曲线积分il•算而积S的公式为：

§ 4第二类曲面积分