毕奥-萨伐尔定律

毕奥—萨伐尔定律

1820年，毕奥和萨伐尔通过实验得到了载流导线周围磁场与电流的定量关系，拉普拉斯又以公式的形式概括得出电流元产生磁感强度d B 的规律。

为计算电流为I 的导线在空

间某点户产生的磁感强度B ，

设想将载流导线分割成许多电

流元，用矢量dl I 表示．线元dl

的方向与电流流向一致。毕奥

—萨伐尔定律指出：载流导线上的电流元dl I 在真空中某点P 的磁感度dB 的大小与电流元dl I 的大小成正比，与电流元dl I 和从电流元到P 点的位矢r 之间的夹角θ的正弦成正比，与位矢r 的大小的平方成反比，即

2

0sin 4r dl I dB θπμ= （9-2a ） 上式中，π

μ40为比例系数，0μ称为真空磁导率，其值为 270104--∙⨯=A N πμ dB 的方向垂直于dl I 和r 所确定的平面，当右手弯曲，四指从dl I 方向沿小于π角转向r 时，伸直的大姆指所指的方向为dB 的方向， 即dB 、dl I 、r 三个

矢量的方向符合右手螺旋

法则，如图9—2所示，因此，可将式(9—2a)写成矢量形

式

20

4r r

dl

I dB ⨯

=

π

μ

（9-2b）

上式中，r0为位矢r的单位矢量．此即毕奥——萨伐尔定律的公式表述。

与点电荷的场强公式相似，毕奥——萨伐尔定律是求电流周围磁感强度的基本公式．磁感强度B也遵从叠加原理．因此，任一形状的载流导线在空间某一点P的磁感强度B，等于各电流元在该点所产生的磁感应强度dB的矢量

和，即⎰⎰⨯

=

=

L r r

Idl

dB

B

20

4π

μ

（9-3）

例9-1例9-1求载流直导线周围的磁场。

解：设有长为L的直导线上通有

电流I,求距离此导线为a处一点P的磁

感应强度。在直导线上任取一电流元

Idl,它到P点的位矢为r,P点到直线的

垂足为O，电流元到O的距离为l，Idl

与r的夹角为θ，如左图所示。根据毕萨定律可得该电流元在P点的磁感应强度dB的大小为

2

0sin 4r l d I dB θπμ= dB 的方向垂直于纸面向里，图中用⊗表示.由于直导线上所

有电流元在P 点的磁感应强度dB 的方向度相同,所以, P 点

的磁感应强度B 的大小等于各电流元在P 点dB 的大小之和,

即

20sin 4r l d I B L θπ

μ⎰

= 将上式中l 、r 、θ等变量统一为一个变量,以便积分.由图9-3所得

()θπ-=ctg a l

θ

θd a

dl 2sin =

()

θθπsin sin a a r =-=

于是

()2100c o s c o s 4s i n 421θθπμθθπμθθ-==⎰a

I d a I B （9-4）

式中,θ1和θ2分别为直导线两端的电流元与它到P 点的位矢

之间的夹角。

若L 》a,则导线可视为无限长.此时,θ1≈0,θ2≈π,P 点的

磁感应强度为

a

I B πμ20= （9-5）

上式表明,无限长载流直导线周围的a

I B ∝。这一正比关系最初是毕奥、萨伐尔从实验中得到的。

例9-2 设在半径为R 的圆形线圈上通有电流I,求圆心O

处的磁感强度。

解：在圆线圈上任取一电流元Idl ，他到圆心O 的位矢

为r ，因Idl 与r 之间夹角为2

π，所以该电流元在圆心O 的磁感强度dB 的大小为

202020442sin 4R l d I r l d I r l d I dB πμπμπ

πμ===

dB 的方向垂直于纸面向外。由于所有电流元在O 点的磁感

应强度B 的方向都相同，所以，O 点的磁感应强度B 的大小等于各电流元在P 点的dB 的大小之和，即 R I dl R I B L 24020μπμ==

⎰ （9-6）