幻方的探讨及其初步应用

第一章 介绍幻方的基本知识

1.1 幻方的定义

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中每一行,每一列以

及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都相等,具有这种性质的图表,

称为“幻方”.这个相等的数称幻方常数或定数.幻方的每条边有几格,就

叫做几阶幻方.n 阶幻方常数,记作n H .不难算出2)1(2+=n n H n .例如将图1

填成图2后,就成为一个4阶幻方.它的每一行,每一列以及每条对角线上

个各数的和都等于常数342)14(424=+⨯=

H .

1 14 15 4

8 11 10 5

12 7 6 9 13 2 3 16

图1 图2

1.2幻方的历史

幻方的历史很悠久.幻方又称纵横图,九宫图,最早记录于我国古代

的洛书.

在古代,人们没有认识到幻方是利用整数的某些特性构成的,而把它

看成神秘的东西.关于幻方的起源,我国有“河图”和“洛书”之说.相传在远

古时期,伏羲氏取得天下,把国家治理得井井有条,感动了上天,于是黄河中跃出

一匹龙马,背上驮着一张图,作为礼物献给他,这就是“河图”,也是最早的幻方.

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦,后来大禹治洪水时,洛水中浮出一只大

乌龟,它的背上有图有字,人们称之为“洛书”.“洛书”所画的图中共有黑,白

圆圈45个.把这些连在一起的小圆和数目表示出来,得到九个.这九个数就可以

组成一个纵横图,人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方,除此之外,还有

4阶,5阶...

后来,人们经过研究,得出计算任意阶数幻方的各行,各列,各条对角

线上所有数的和的公式为

2)

1(2+=n n S ,

其中n 为幻方的阶数,所求的数为S .

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中,这说明

我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律.而在国外,公元

130年,希腊人塞翁才第一次提起幻方.

我国也是最早发现幻方的国家之一.公元13世纪的数学家杨辉已经

编制出3－10阶幻方,记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中.在

欧洲直到574年,德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方.

而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古

学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,

历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),

而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.

幻方又叫魔方,日本人称为方阵,我国称为纵横图或方宫图等.几千年

来,人们没有中断过对幻方的研究.整数的这种变幻迷离的玄妙性质,自古

以来吸引着无数的数学爱好者.人们不仅造出了各种幻方,还找出了其中

的某些规律.到了本世纪60年代,有人应用数论的方法,证明了任何n 阶

)2(>n 幻方的可构造性.随着科学的发展以及电子计算机的问世,幻方这

个颇似数学游戏的古典题目日也受到重视.现在已经有人编出任意高次的

偶阶幻方的计算程序,并编入“CACM 程序汇编”.目前,幻方正在组合数学,

图论,博奕论以及程序设计.人工智能等等方面得到应用.

1.3幻方的性质

一．幻方的变换性质

我们在学关于幻方的知识时,对幻方数间的关系

．．．．．．．等问题表

．．．．．．．．,．幻方的构造之谜

现出了极大的兴趣.并提出：三阶幻方除了“每一行,每一列,每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15”这一性质外,还有其它的性质吗？

将-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数分别填入下图方阵(幻方)中的9个空格中,使得横,竖,斜对角的3个数之和为0.

1 2 3 4 1 2

4 5 6 7 5 3

7 8 9 8 9 6

(1) (2) (3)

6 1 8 1 -4 3

7 5 3 2 0 -2

2 9 4 -

3

4 -1

(4) (5)

这种幻方是3×3幻方,通常是填1～9这9个数,使得各行,各列,斜对角的三个数之和为15.填法是:先从左到右,从上到下,将1～9这9个数依次填入幻方中（如（2））；然后中心的5不动，周围的8个数顺时针转一格（如（3））；再将（3）中的对角的数互换一下（如（4））,即为填1～9的答案.将（4）中每个数减去5（或加-5）,得（5）,即填-4～4的答案.其他填法与之类似.

仔细体会上述填法从（4）到（5）这一步,我们发现它事实上提出了幻方的一种变换方式：

变换1将一个幻方中的各数同时加上（或减去）一个相同的数，得到的仍就是幻方.

如,上面的图（4）中每一行,每一列以及每条对角线的几个数分别加起来所得的和都15,是个3阶幻方，那么由变换1知道把图（4）中的每行数字加上2或减去2可分别得到图（6）,图（7）.图（6）中每行，每列及每条对角线的几个数分别加起来所得的和是21，所以它是一个3阶幻方.同理，图（7）也是一个3阶幻方.

6+2 1+2 8+2 6-2 1-2 8-2

7+2 5+2 3+2

7-2 5-2 3-2 2+2 9+2 4+2 2-2 9-2 4-2

（6） （7）

变换2 将一个幻方中的各数按一定顺序（从大到小或从小到大）与一个等

差数列中的各数对应相加（或减），得到的还是幻方.

如（8）,（9）就是在（4）的基础上按变换2得到的.

6+11 1+1 8+15 6-7 1-17 8-3 7+13 5+9 3+5

7-5 5-9 3-13 2+3 9+17 4+7 2-15 9-1 4-11

(8) (9)

二．幻方的对称与方幂和性质

认真观察（5）,我们容易发现：关于中心数0对称的两个数互为相反数.根

据填幻方的要求（各行,各列,斜对角的三个数之和相等）和方幂的性质（互为相

反数的两个数的偶次幂相等,而奇次幂互为相反数）,我们得到（5）的两条奇妙

性质：

（i ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和互为相反数,且各数

的奇次幂之和亦互为相反数.

（ii ） 关于中心行（列）对称的两行（列）的各数之和相等,且各数的偶次

幂之和亦相等.

面对如此奇妙的性质,我们不尽浮想连翩：（4）,（6）～（9）同样都是幻

方,它们也有这样的性质吗？不难否定性质（i ）.现在我们以（4）为例来考察一

下性质（ii ）.

先取第一,三行：

15

816=++ 15492=++ 101

816222=++ 101492222=++ 729816333=++ 901492333=++

………………….