【高中数学选修第三册】第七章二项分布1

7.4 二项分布与超几何分布

7.4.1 二项分布

新版课程标准学业水平要求

1.结合生活中的实例,了解二项分布;

2.了解二项分布的均值和方差及其意义. 1.结合教材实例,了解二项分布的概念.(数学抽象)

2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)

3.能利用二项分布概率模型解决实际问题.(数学建模)

必备知识·素养奠基

1.n重伯努利试验

(1)伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)定义:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.

(3)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;

②各次试验的结果相互独立.

定义中“重复”的含义是什么?

提示:“重复”意味着各次试验成功的概率相同.

2.二项分布

(1)定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为

p(0

P=p k,k=0,1,2,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布.

(2)记法:X～B.

(3)结论:P=1.

(4)确定一个二项分布模型的步骤:

①明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;

②确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;

③设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X～B.

3.二项分布的均值与方差

如果,X～B,那么E=np,D=np.

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)依次投掷四枚质地不同的骰子,点数1出现2次的试验是4重伯努利试

验.( )

(2)若随机变量X～B,则X=1,2,…,n.()

(3)若随机变量X～B,则P=·p k.( )

提示:(1)×.因为骰子的质地不同,点数1出现的概率不同,因此不是4重伯努利试验.

(2)×.X=0,1,2,…,n.

(3)×.P=p k,k=0,1,2,…,n.

2.(2020·钦州高二检测)某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现

甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为( )

A. B. C. D.

【解析】选C.某次抽奖活动中,参与者每次抽中奖的概率均为,现甲参加3次抽奖,则甲恰好有一次中奖的概率为P=×=.

3.某一批植物种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )

A. B. C. D.

【解析】选C.由n重伯努利试验恰有k次发生的概率公式得:P==.

关键能力·素养形成

类型一求n重伯努利试验的概率

【典例】1.(2020·临汾高二检测)随着二胎政策的开放,越来越多中年女性选择放下手中的工作,为二胎做准备.某公司为了使广大中年女性安心备孕,且不影

响公司的正常效益,对公司所有中年女性进行生育倾向调查.已知该公司共有6

名中年女性,若每名中年女性倾向于生二胎的概率为,且各名中年女性之间不

相互影响,则恰有4位中年女性倾向生二胎的概率为( )

A. B. C. D.

2.(2020·丰台高二检测)某篮球运动员在训练过程中,每次从罚球线罚球的命

中率是,且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.

(1)求他第1次罚球不中,后3次罚球都中的概率;

(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.

【思维·引】1.转化为6重伯努利试验,一次试验发生的概率为;

2.(1)利用概率的乘法公式计算;

(2)利用4重伯努利试验的概率公式计算.

【解析】1.选C.依题意,所求概率为··=15××=.

2.(1)设该篮球运动员第1次罚球不中,后3次罚球都中为事件A,则第

i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件B i,则A=B2B3B4;

因为每次罚球的结果相互独立,所以所求的概率为

P(A)=P()P(B2)P(B3)P(B4)

=×××=.

(2)因为该名篮球运动员4次罚球恰好命中次数X是一个随机变量,则X～B,所以所求的概率为P(X=3)=··=.

【内化·悟】

你能列举出几个常见的n重伯努利试验的例子吗?

提示:(1)反复抛掷一枚质地均匀的硬币.

(2)正(次)品率的抽样.

(3)有放回抽样.

(4)射手射击目标命中率已知的若干次射击.

【类题·通】

关于n重伯努利试验概率的计算

首先要判断是否符合n重伯努利试验的特征,其次求出一次试验的概率,最后用n 重伯努利试验的概率公式计算.

【习练·破】

某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,设X表示击中目标的次数,则P(X≥2)等于________.

【解析】击中目标的次数X≥2,则击中次数为3次或2次.P(x=3)=0.63=,

P(x=2)=0.62×0.4=,

所以P(x≥2)=P(x=3)+P(x=2)=.

答案:

类型二求服从二项分布的随机变量的分布列

【典例】某商场为了了解顾客的购物信息,随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如表:

一次购物款

[0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,+∞) (单位:元)

顾客人数20 a 30 20 b

统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%,该商场每日大约有4 000名顾客,为了增加商场销售额度,对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.

(1)试确定a,b的值,并估计每日应准备纪念品的数量;

(2)现有4人前去该商场购物,求获得纪念品的数量ξ的分布列.

【思维·引】(1)先计算购物款不低于150元的人数,再求b,a.

(2)先计算1人获得纪念品的概率,再利用4重伯努利试验求概率、分布列.