数学归纳法的概念

7.4 数学归纳法的概念

一、新课引入：

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办? 答案：枚举法

问题2：在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝n

n

a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 答案：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n

1

（n ∈N+）．

二、新课讲授 1、归纳法

(1)概念：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。问题1中把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，对于问题2，由于自然有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法.

问题3：对于任意自然数n ，比较7n-3与6（7n+9）的大小．

答案1：由于当n ＝1，n ＝2，n ＝3，n ＝4时，有7n-3＜6（7n+9），所以得到对任意n ∈N+，7n-3＜6（7n+9）．

答案2：由于当n ＝8时，有7n-3

＞6（7n+9），而不是7n-3

＜6（7n+9），所以得到当n ＝1，2，3，4，5时，7n-3＜6（7n+9）； 当n ＝6，7，8，…时，7n-3＞6（7n+9）． 总结：仔细地占有准确的材料，不能随便算几个数就作推测,推测也要有依据． 37n -

大小关系 ()679n - n=1 1

49

< 96 n=2 1

7

< 138 n=3 1 < 180 n=4

7

<

222

n=5 49 < 264 n=6 343 > 306 n=7

2401

>

348

依据数据作推测，决不是乱猜．要注意对数据作出谨慎地分析．由上表可看到，当n

依1，2，3，4，…变动时，相应的7n-3

的值以后一个是前一个的7倍的速度在增加，而6（7n+9）

相应值的增长速度还不到2倍．完全有理由确认，当n 取较大值时，7n-3

＞6（7n+9）会成立的．

2、归纳与证明（提前阅读资料）

资料1：费马（Fermat ）是17世纪法国著名数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的的创始者之一，他对数论也有许多贡献． 但是，费马曾认为，当n ∈N+时，n

22 +1一定都是质数，这是他对n ＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5

22+1＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测． 资料2：

f （n ）＝n 2

+n+41,当n ∈N+时，f （n ）是否都为质数?

f （0）=41,f （1）＝43,f （2）＝47,f （3）＝53,f （4）＝61, f （5）＝71,f （6）＝83,f （7）＝97,f （8）＝113,f （9）＝131, f （10）＝151，… f （39）＝1 601． 但f （40）＝1 681＝412是合数.

问题4：不完全归纳法为什么会出错呢? 如何避免？

答案：猜测后证明. 结合问题1来说，他首先确 定第一次拿出来的是白球． 然后再构造一个命题予以证明．命题的条件是：“设某一次拿出来的是白球”，结论是“下一次拿出来的也是白球”． 这个命题不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球这个条件能保证下一次也是白球的逻辑必然性．大家看，是否证明了上述两条，就使问题得到解决了呢?下面我们用数学语言描述下这种证明方法.

2、数学归纳法

例如：多米诺骨牌游戏要取得成功，必须靠两条：

（1）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒； （2）第一张牌被推倒． 用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学 归纳法．

例如(问题2)：(1)当n ＝1时，左式＝a 1＝1，右式＝1

1＝1．此时公式成立． (2)设n ＝k 时，公式成立，即a k ＝k

1

．以此为条件来证明n ＝k+1时，公式也成立，即a k+1＝

1

1

+k 也成立． 注意:这里是证明递推关系成立，证明a k+1＝

11+k 成立时，必须用到ak ＝k

1

这个条件

依已知条件，a k+1＝

1

1

1111+=

+=+k k

k a a k

k

． 下面我们用数学语言描述下这种证明方法. （1）数学归纳法的概念：

（i ）证明当n 取第一个值()*00n n N ∈时命题成立；

（ii ）假设当()*0,n k k N k n =∈≥时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

在完成了上面的两个步骤后，我们就可以断定这个命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法. （2）反例

用数学归纳法证明：n

n ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=++++21121.....21212132（n ∈N+）时，其中第二步采用下

面证法：

（ii ）设n ＝k 时，等式成立，即k

n ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=++++21121.....21212132，则当n ＝k+1时，

11

122112

1

1211212

121.....2121+++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎭

⎫

⎝⎛-=+++k k k k ，

即n ＝k+1时等式也成立．

这是不正确的．因为递推思想要求的不是n ＝k ，n ＝k+1时命题到底成立不成立，而是n ＝k 时命题成立作为条件能否保证n ＝k+1时命题成立这个结论正确，即要求的这种逻辑关系是否成立．证明的主要部分应改为

1

112211212112121.....2121+++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++k k k k k

4、例题举隅

例1、用数学归纳法证明：()213521n n +++

+-=.

证明：（i ）当n=1时，左边=右边=1，等式成立； （ii ）假设当()*,1n k k N k =∈≥时，等式成立，即

()213521k k +++

+-=

那么当n=k+1时，