四川省绵阳南山中学2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
2021年高三上学期10月月考试题 数学(理) 含答案
2021年高三上学期10月月考试题 数学（理） 含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去） 当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a， 由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则． 记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。
2021年高三10月月考数学理试题word版
2021年高三10月月考数学理试题word版一、选择题（40分）1、设{－1,1，。
3}，则使函数的定义域是R，且为奇函数的所有的值是（）A、1,3B、－1,1C、－1,3D、－1，1，32、函数的定义域是（）A、{x|x＜0}B、{x|x＞0} A、{x|x＜0且x≠－1} A、{x|x≠－0且x ≠－1}3、若m＞0且m≠1，n＞0，则“＜0”是“（m－1）（n－1）＜0”的（）A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件4、若方程2－x－1＝0在（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是（）A、a＜－1A、a＞1 C、－1＜a＜1 D、0≤a＜15、已知集合P＝{（x，y）｜y＝k}，Q＝{（x，y）｜y＝＋1}，且Q＝，那么k的取值范围是A、（－，1）B、（－，1］C、（1，＋）D、（－，＋）6、若函数f（x）＝（a2－2a－3）x2＋（a－3）x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A、a＝－1或3B、a＝－1C、a＞3或a＜－1D、－1＜a37、已知函数f（x）满足f（x）＝f（－x），且当x时，f（x）＝x＋sinx，则A、f（1）＜f（2）＜f（3）B、f（2）＜f（3）＜f（1）C、f（3）＜f（2）＜f（1）D、f（3）＜f（1）＜f（2）8、如图是二次函数f（x）＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g（x）＝lnx＋的零点所在的区间是（）A、（）B、（，1）C、（1,2）D、（2,3）第II卷（非选择题，110分）二、填空题（30分）9、命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿10、若函数f（x）＝x2+ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af（－2x）＞0的解集是＿＿＿＿＿11、函数f（x）＝x3－15x2－33x＋6的极大值为＿＿＿＿12、若函数f（a）＝，则＝＿＿＿13、已知集合A＝{x｜2}，B＝（），若AB，则实数a的取值范围是（c，＋），其中c＝＿＿＿＿14、甲：函数f（x）是奇函数；乙：函数f（x）在定义域上是增函数，对于函数能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是＿＿＿＿三、解答题（80分）15、（本小题满分12分）已知＞3，且，命题p：指数函数f（x）＝（2a－6）x在R上是单调函数，命题q：关于x的方程：x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围。
2021年高三上学期10月月考数学(理)试题 含答案
xx学年第一学期10月月考高三年级数学试题（理科））李翠清本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则M∩N等于（）A．（﹣2，﹣1] B．（﹣2，1] C．[1，3）D．[﹣1，3）2．=（）A．i B．-i C．1+i D．1﹣i3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则且；④若，则，其中真题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34.命题p：；命题q：在中，若sinA>sinB，则A>B。
下列命题为真命题的是（）A.pB.C.D.5.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 16.已知=则的值为（）A.2B. 3C. 4D.167.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是（）A. B. C. D.8．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．9.若等比数列的各项均为正数，且=2（e为自然对数的底数），则= （）A. 20B.30C.40D.5010. 已知变量满足约束条件若目标函数 (其中)仅在点(1，1)处取得最大值，则的取值范围为 ( )A． B． C． D．11．设直线：，圆，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是( )A．B．C．D．12.右图为某四面体的三视图，其正视图、侧视图、俯视图均为边长为4的正方形，则该四面体的内切球的半径为（）A． B． C． D．2021年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线．．．．．．．．上）13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为．14. 设向量ab若是实数，且，则的最小值为．15．已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为．16．对于函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”. 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算1232016()()()()2017201720172017f f f f= .三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置．．．．．．．．．．）17.（本小题满分10分）8个篮球队中有3个强队，任意将这8个队分成两组（每组4个队）进行比赛（1）求至少有两个强队分在组中的概率；（2）用表示分在组中强队的个数，求的分布列和数学期望。
2021年高三上学期10月月考理数试题含答案
2021年高三上学期10月月考理数试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ．2．若，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的零点有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列中，，，计算，由此推测通项6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域和值域都是，则( )A ．B ．C ．D ．8．函数满足，那么函数的图象大致为（ ）9．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（ ）A ．且B ．或C ．D ．10．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11．．12．设实数满足则的最大值为．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为．14．在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为、．15．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知集合，，．(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．17．（本题满分12分）设命题：函数在上是增函数，命题：，如果是假命题，是真命题，求的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数．(Ⅰ)若函数的图象在处的切线方程为求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最大值．19．（本题满分12分）已知二次函数．(Ⅰ)若且函数的值域为求函数的解析式；(Ⅱ)若且函数在上有两个零点，求的取值范围．20．（本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．21．（本题满分14分）设，函数．(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：．高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：ABADA BCCBD二、填空题：11．8 12．4 13．14．4，12 15．②③三、解答题16.解：(Ⅰ)由，得．…………………………2分由不等式得所以．…………………………4分所以．…………………………6分(Ⅱ)因为，所以，…………………………8分所以…………………………9分解得．…………………………11分所以，实数的取值范围是．…………………………12分17．解：∵函数在上是增函数，∴，…………………………2分由得方程有解，………………4分∴，解得或…………………………5分∵是假命题，是真命题，∴命题一真一假，…………………………6分①若真假，则∴；…………………………8分②若假真，则解得，…………………………10分综上可得的取值范围为…………………………12分18．解：(Ⅰ)∵∴．于是由题知解得．…………………………2分∴．∴，于是，解得．…………………………4分(Ⅱ)由题意即恒成立，∴恒成立；……………6分减函数极小值增函数∴…………………………11分∴．∴的最大值为…………………………12分19．解：(Ⅰ)因为所以…………………………2分因为函数的值域为所以方程有两个相等的实数根，…………………………3分即有等根，故．…………………………5分所以；…………………6分(Ⅱ)解法一：因为在上有两个零点，且，所以有……8分(图正确，答案错误，扣2分)通过线性规划可得．……12分(若答案为，则扣1分)解法二：设的两个零点分别为，所以；…………8分不妨设，因为，且，所以,…………………………10分因为，所以．…………………………12分20．解：(Ⅰ)因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为…………………………2分当时，令，解得，所以．当时，令，解得，所以．于是得，…………………………5分即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达8天．…………………………6分(Ⅱ)设从第一次喷洒起，经天，浓度．…………………………8分因为，而，所以，…………………………10分故当且仅当时，有最小值为．令，解得，…………………………12分所以的最小值为．…………………………13分21．解：在区间上，．…………………………1分(Ⅰ) ．(1)当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为；………2分(2)当时，令，即，得∴的单调增区间为…………………………3分综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为…………………………4分(Ⅱ)得…………………………5分当时，恒有∴在上为单调增函数，故在上无极值；…………………………6分当时，令，得单调递增，单调递减．∴无极小值…………………………8分综上所述：时，无极值时，有极大值无极小值．…………………………9分29922 74E2 瓢25903 652F 支{28051 6D93 涓>31261 7A1D 稝11[~29029 7165 煥p31708 7BDC 篜21076 5254 剔20099 4E83 亃。
高三上学期10月月考数学(理)试题Word版含答案
时间:120 分钟宁阳一中级高三上学期阶段性考试（二）数 学 试 题（理科）满分:150 分命卷人:于洪海审核人:苏凡文一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分)1、设集合，，则()A.B.C.D.2、在中，，则 等于（ ）A.B.C.D.3、已知函数，实数 满足，则 的所有可能值为（ ）A. 或B.C.D. 或或4、已知命题，命题，则（ ）A.为假B.为真C.为真D.为假5、已知 是偶函数，它在上是减函数，若，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.6、已知，，则（）A.B.C.D.7、已知函数，若存在实数 ， ， ， ，当时满足，则的取值范围是( )A.B.C.D.第1页 共12页8、函数 A.的图象大致是（ ） B.C.D.9、使得函数有零点的一个区间是（ ）A.B.C.D.10、定义在 上的函数 的导函数为,已知是偶函数，且．若,且,则与的大小关系是（ ）A.B.C.D.不确定11、已知是定义在 上的减函数，那么实数 的取值范围是（）A.B.C.D.12、已知函数的部分图像如图所示，则的图象可由的图象( )第2页 共12页A.向右平移 个长度单位 B.向左平移 个长度单位 C.向右平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题 20 分)13、已知向量，满足，，则__________.14、已知函数的图象向左平移 个单位后与函数的图象重合，则正数 的最小值为__________.15、已知 为锐角，，则__________.16、若函数在上有最小值，则实数 的取值范围为__________.三、解答题(第 17 题 10 分,第 18 题 12 分,第 19 题 12 分,第 20 题 12 分,第 21 题 12 分,第 22 题 12 分,共 6 小题 70 分)17、已知命题,且,命题,且.（Ⅰ）若,求实数 的值；（Ⅱ）若 是 的充分条件,求实数 的取值范围.18、已知向量，，函数，且 图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.（1）求 的解析式；（2）在中，是角所对的边，且满足，求角 的大小以及的取值范围.第3页 共12页19、设函数（1）求函数的单调区间；（2）若关于 的方程（3）当时，证明：是自然对数的底数）在区间上恰有两相异实根，求 的取值范围；20、设函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；（Ⅱ）试讨论函数 极值点的个数；21、已知函数（其中（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若函数 与函数值范围．且），函数 在点处的切线过点 ．的图像在 有且只有一个交点，求实数 的取22、已知函数.（1）判断函数 的奇偶性，并证明；（2）若对于任意，不等式值范围.恒成立，求正实数 的取宁阳一中 2016 级高三上学期阶段性考试（二）第4页 共12页数学理科答案解析第 1 题答案 D 解析由已知得，故.第 2 题答案 D 因为，所以，所以，所以．第 3 题答案 A ∵，∴，∴，当时，，，.当 时，，∴ 或.第 4 题答案 C 当 时，，即命题 为真命题，当 时，，即命题 为假命题，则 为真， 为假， 为假， 为真，则为真；故选 C．第 5 题答案 C 因为 是偶函数，它在上是减函数，则，所以 的取值范围是，故选 C．第 6 题答案 D 由①, 所以②由①②可得③由①③得，.第 7 题答案 D 如下图所示，设从左往右的零点依次为，则，又∵，∴，，故选 D第 8 题答案 B 因为，易知，当时，第5页 共12页，当时，，排除 A、C；又易知当时，，此时当时，，此时 单调递减．第 9 题答案， 单调递增，∴，由零点存在定理，可知选 C第 10 题答案 C由可知,当 时,函数递减．当增．因为函数是偶函数,所以,对称轴为 ．所以若,则．若,此时由,即,选 C．第 11 题答案 C 依题意，有且，解得，当 时，，所以.时,函数递,即函数的,则必有,则,综上，又当 ，解得时， .故第 12 题答案 A 根据题中所给的图像，可知第 13 题答案 由，即 .，故选 A. ，即，所以第6页 共12页第 14 题答案将的图象向左平移 个单位后，得到函数的图象，又的图象与的图像重合，故，，所以（），又，故当 时， 取得最小值，为.第 15 题答案因为 为锐角，所以，，所以．因为，所以，所以.第 16 题答案,令得或,令得,所以函数 的单调递增区间为和,减区间为.所以要使函数在上有最小值,只需,即.第 17 题答案（1）∵，————2 分（1）若,则有，解得： .————5 分（2） 是 的充分条件,即分两种情况，或，解得： 或、a 4 ——------------10 分.第 18 题答案（1）；（2），（1）--------------------1 分. --------------------2 分∵ 图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.第7页 共12页∴，∴，于是---------------------5 分.所以. ---------------6 分（2）∵，∴. ------------7 分又，∴，----------------------------------8 分∴. ---------------------------------9 分∵，∴，于是，----------------10∴，所以.-------------------------12 分第 19 题答案（1） 的递增区间为 递减区间为（2）第 19 题解析（1）------------------1 分当时当时--------------2 分的递增区间为 递减区间为----------3 分（2）由方程得------------4 分令则-----------5 分当时，递减当时，递增-------------------------7 分又-------------------------9 分（3）要证原不等式成立，只需证明成立---------------10 分第8页 共12页由（1）可知当 时，故即又 时，--------11 分---------------------------12 分第 20 题答案（Ⅰ）（Ⅱ）当时，无极值点；当时，有 2 个极值点；当 时，有 1 个极值点第 20 题解析（Ⅰ）当时，-----------1 分，则，-----2 分∴，---------------3 分∴曲线在原点处的切线方程为；---------4 分（Ⅱ），--------------5 分令当时，，所以，则，所以在上为增函数，所以无极值点；-------------6 分当时，，所以，则，所以 在上为增函数，所以无极值点；----------------------7 分当时，，令，则，-------------9 分当时，，，此时有 2 个极值点；-----10 分当 时，，此时有 1 个极值点；-------------11 分综上：当时，无极值点；当时，有 1 个极值点；当 时，有 1 个极值点.第9页 共12页--------------12 分第 21 题答案见解析第 21 题解析（Ⅰ），∴∴----------------------------------------1 分∴函数 在处的切线方程为，∵切线过点 ，∴，即，------------------2 分∴，令，解得----------3 分①当时，单调递增，单调递减，-----------------4 分②当时，单调递减，单调递增-----------------5分．（Ⅱ）原题等价方程在 只有一个根，即在 只有一个根，令，等价函数 在 与 轴只有唯一的交点，------------6 分∴①当 时， 在递减，递增，当 趋近于趋近于正无穷要是函数 在 与 轴只有唯一的交点需或，所以或-------------------------------------8 分②当时， 在递增，递减，递增因为，当 趋近于 ， 趋近于负无穷，因为第10页 共12页所以 在与 轴只有唯一的交点----------------------10 分③当 时， 在 的递增，∵，，∴函数 在 与 轴只有唯一的交点，-------------------------------11 分综上所述， 的取值范围是或或．-------------12 分第 22 题答案（1） 在定义域上是奇函数；（2） 的取值范围是．第 22 题解析（1）由，得且，∴函数的定义域为，------------------1 分当时，，，-----------------5 分所以，∴ 在定义域上是奇函数--------------------6 分（2）由于，当或时，恒成立，所以在上是减函数，-----------7 分因为且，所以x x1 10,(xm 1)2 (7x)0-----------------------8分由及在上是减函数，第11页 共12页所以，-----------------9 分因为，所以在恒成立．---------10 分设，，则，所以，所以当时，．所以在 上是增函数，．--------------11 分综上知符合条件的 的取值范围是．-------------------------------12 分第12页 共12页。
四川省绵阳南山中学2024届高三上学期10月月考理科数学试卷及答案
2023年10月绵阳南山中学高2021级高三上期10月月考试题理科数学命题人：杜晓英审题人：周莉莎一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，1.已知集合A ．{}2,0−3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，则公比=q （ ） A ．2B ．32−C ．2或32−D ．2或324.如图所示的ABC ∆中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则=DE （ ）A ．BC BA 6131−−B ．BC BA 3161−−C ． BC BA 3165−−D ．BC BA 3165+−5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =−−−⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（ ） 参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A ．3.048分钟B ．4.048分钟C ．5.048分钟D ．6.048分钟6.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x R ∀∈，都有220ax x a −+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,0− B ．[]0,1 C ．(]()10,−∞−+∞, D ．(](),11,−∞−⋃+∞7.函数xx y cos )1ln(2+=的图象可能为（ ）A B C D8.已知()3sin cos sin 2παπαα⎛⎫−+−= ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ααα−=（ ）A ．2110B ．32C ．2D ．29.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ． 15[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=−，且当[0,2]x ∈时，1π()sin 24f x x =，则方程1()8f x x =−在[4,20]−上所有根的和为（ ） A ．32B ．48C ．64D ．8013.已知,x y 满足约束条件1021010x y x y x y −−≤⎧⎪−+≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =−+的最小值为 . 14.已知向量(23),(31)a t b =−=−，，，且()b b a//2+，则=a. 15.已知定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且5)4(=f ，则不等式3log )(log 222−>x x f 的解集是______________． 16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则满足条件0)34()()47()(>⎪⎭⎫⎝⎛−⎪⎭⎫ ⎝⎛−−ππf x f f x f 的最小正整数x 为________．三、解答题：共 70 分。
2021年高三10月月考数学(理)试卷 含解析
2021年高三10月月考数学（理）试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．2．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．5．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为．6．已知函数，则的值为．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．8．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为．9．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．13．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．16．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．17．（15分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（15分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．19．（15分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．xx学年江苏省连云港市灌南县华侨双语学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（xx•江苏模拟）已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（xx•江苏三模）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（xx•江苏模拟）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．（xx•江苏四模）已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5．（xx秋•仪征市期末）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．【解答】解：因为f（x）==，所以f（）=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．7．（xx•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（xx春•姜堰市期中）求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．9．（xx•江苏模拟）如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=﹣（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．（2011•江苏二模）若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．【专题】计算题；分类讨论．【分析】讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．【解答】解：设x＜0，则f（x）=2x∈（0，1）∴y=f（f（x））=f（2x）当x∈（0，1）时f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，﹣）设x＞0，则f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，0）∴y=f（f（x））=f（﹣2﹣x）当x∈（﹣1，0）时f（x）=2x∈（，1）综上所述：y=f（f（x））的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．11．（xx•徐州三模）已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（﹣∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a，即0＜a，故答案为：（0，）【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．12．（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．13．（xx•崇川区校级一模）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf （x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，xx）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．14．（xx•泰州二模）若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）（xx•河南校级二模）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．16．（15分）（xx秋•徐州期中）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（15分）（xx•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】应用题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，=MN•AQ可求进而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次入三角形的面积公式S△PMN函数的最值求解【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）=MN•AQ=××（1+）=…（6分）S△PMN（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（15分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．19．（15分）（2011•江苏二模）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．【解答】解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．【点评】本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a ＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．（15分）（xx•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．28094 6DBE 涾37302 91B6 醶39449 9A19 騙E21759 54FF 哿20781 512D 儭31582 7B5E 筞31135 799F 禟Q29265 7251 牑35431 8A67 詧32475 7EDB 绛。
2021年高三10月月考数学(理)试题含答案
2021年高三10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是（ ）A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩()＝{1}2．,,,,5.0log ,3,5.035.03c b a c b a 则若===的大小关系是（ ）A. B. C. D.3．下列命题中，假命题是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数的一个零点落在下列哪个区间（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．若函数)10()(≠>==a a a y x f y x ，且是函数的反函数，且 （ ）A. B ． C ． D ．6．函数的图象大致是（ ）7．已知函数)()2())((x f x f R x x f y =+∈=满足，且，则的交点的个数为（）A ．4B ．5C ．6 D.78．若函数在区间［2,+∞)上单调递增,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.9．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. B. C. D ．10．设函数在上均可导，且，则当时，有（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题: （本大题5小题，每小题5分，共25分）中学联盟网11、函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为 .12． = .13. 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极值，则 a 的取值范围是________． 14．已知函数，若f (x )在上单调递增，则实数a 的取值范围为____ ____．15．定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：①的图像关于点P()对称 ②的图像关于直线对称；③在[0，1]上是增函数； ④.其中正确的判断是____________________(把你认为正确的判断都填上)三、解答题：（本大题共6题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（本小题满分12分 ）已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.17. (本小题满分12分)已知，设命题上的单调递减函数；命题R ax axx g q 的定义域为：函数)122lg()(2++=.是假命题，求实数的取值范围.18．(本小题满分12分)山东中学联盟网已知函数f (x )＝ax ＋1x 2 ( x ≠0，常数a ∈ R)． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈ [3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19. （本小题满分12分 ）已知函数（1）求函数的极值点；（2）若直线过点（0，—1），并且与曲线相切，求直线的方程；20. （本小题满分13分 ）有两个投资项目，根据市场调查与预测，A 项目的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 项目的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙.（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将两个投资项目的利润表示为投资（万元）的函数关系式；（2）现将万元投资项目, 万元投资项目.表示投资A 项目所得利润与投资项目所得利润之和.求的最大值,并指出为何值时, 取得最大值21. （本小题满分14分 ）设函数（e=2.718 28……是自然对数的底数)．(I)判断的单调性；(1I)当在(0，+∞)上恒成立时，求a 的取值范围；(Ⅲ)证明：当(0，+∞)时，．高三理科数学阶段检测一参考答案xx.10一、选择题：1-5：DABBD 6-10: DCADB二、填空题：11. 2 12. 13. a >2或a <－1 14. (2,3] 15.①②④三、解答题：16．解：由，得，或.由，得. 中学联盟网或是的必要不充分条件，.17．解：当命题， 因为上的单调递减函数，所以 --------------------2分当命题，因为R ax ax x g 的定义域为函数)122lg()(2++=所以当 ----------------4分当20084002<<⎩⎨⎧<-=∆>≠a a a a a ，解得时，则有 所以，当命题---------------8分因为是假命题，所以一真一假当--------------9分当0212010=<≤⎩⎨⎧<≤≥≤a a a a a q p 或，解得或真时，有假-----------11分综上所述的取值范围是 ----------------12分18.解：(1)定义域(－∞，0 )∪ ( 0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f(x)＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f(－x)＝f(x)，∴ a ＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(1)＝a ＋1，f(－1)＝1－a ，若f(x)为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾；若f(x)为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾，∴ 当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．(2) 在[3，＋∞)上恒成立．[)max 33222y=3+27a y x x ∴≥∞∴=即恒成立 又在区间，上递减. ≥ 227 19.(1)解： （1）＞0.………………………………………………………1分而＞0lnx+1＞0＞＜0＜00＜＜所以在上单调递减，在上单调递增.………………4分所以是函数的极小值点，极大值点不存在.…………………6分（2）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为……………………8分又切线过点，所以有解得所以直线的方程为………………………………………………12分20.解：（1）设投资为万元，A 项目的利润为万元，B 项目的利润为万元。
10月月考理科数学答案
绵阳南山中学高 2021级高三上期10月月考试题理科数学答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1-5: ADABC 6-10 :ADDBA 11-12 :CA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.4− 14.3√10 15. )16,1( 16.2三、解答题：共 70 分。
17.（1）由题意得：π()sin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=−++=−+=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由ππ2π22π(Z)22k x k k −+≤≤+∈，可得ππππ(Z)44k x k k −+≤≤+∈； 所以()f x 的单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦； 令2πx k =，Z k ∈，解得：π2k x =，Z k ∈，此时函数值为-1， 所以对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭． （2）∵ππ32sin 21635f x x ⎛⎫⎛⎫+=+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴π4sin 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵X ϵ(−π2,0), ∴2X +π3ϵ(−2π3,π3), ∵sin(2X +π3)>0, ∴0<2X +π3<π3 , ∴cos(2X +π3)=35ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=3+4√310． 18.（1）设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，因为1n a +−，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=− 即111112n n n a q a q a q −+=−，因为0q >，10a >，所以22q q =−，解得2q 或1q =−（舍去），所以111222n n n n a a q −−==⨯=，2121215b a =+=+=，由523233b b a −=−可得()()32543523d d +−+=−，解得2d =，所以()()1152123n b b n d n n =+−⋅=+−=+；（2）因为23n b n =+ ，所以，11111()(21)(21)(23)22123n n b n n n n ==−+++++ 所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111235572123232369n n n n n ⎛⎫⎛⎫−+−++−=−= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 19.(1)：因为()sin cos sin cos a C B B C −= ，即cos sin cos sin cos a B C B B C −= ，所以()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以1sin cos a A B= ，又sin sin a b A B = ，b =，所以1sin cos b B B = ，所以sin tan cos B B b B===，因为()0,B π∈ ，所以3B π=；(2)因为3B π= 、b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+− ，即223a c ac =+− ，即2232a c ac ac +=+≥当且仅当a c ==时取等号，所以03ac <≤ ，所以()222233a c a c ac ac +=++=+ ，所以()2312a c <+≤ a c +≤ ，所以ABC C <≤，即三角形的周长的取值范围为(20. （1）因为()()()3223160f x x a x ax a =−++>，所以()()()'2()661661f x x a x a x x a =−++=−−．①当1a =时，()2'()610f x x =−≥，()f x 在R 上严格递增； ②当01a <<时，由()0f x '>得x a <或1x >，由()0f x '<得1a x <<，所以()f x 在(,)a −∞单调递增，在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞单调递增；③当1a >时，由()0f x '>得1x <或x a >，由()0f x '<得1x a <<，所以()f x 在(,1)−∞单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞单调递增；（2）由（1）可知①当1a =时，()2'()610f x x =−≥，()f x 在[]0,1a +上严格递增，此时()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +；②当01a <<时，()f x 在()0a ，单调递增，在(,1)a 上单调递减，在()1,1a +单调递增；，()f x 在[]0,1a +上的最大值只有可能是()f a 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()323213313310f a f a a a a a a a +−=−++−−−+=−≥，解得13a ≥，此时113a ≤<； ③当1a >时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(),1a a +单调递增；()f x 在[]0,1a +上的最大值可能是()1f 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()()323221133131330f a f a a a a a a a a +−=−++−−−=−+=−−≥，解得3a ≤，此时13a ，由①②③得，133a ≤≤，∴满足条件的a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21. （1）()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，e 0ax >，∴0,x >()f x 有两个零点即ln x a x =有两个相异实根. 令()ln x G x x=，则()21ln x G x x −'=，()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x > ()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e e G x G ∴==， 又()10,G =∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →()f x 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 恒成立，a函数22.（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=． 由2cos sin 20ρθρθ−+=，得220x y −+=，故直线l 的直角坐标方程为220x y −+=．（2）由题意可知直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）． 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并整理得217600t ++=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，则1217t t +=−，126017t t =， 故121212121115t t t t PA PB t t t t +++===． 23.（1）因为()21,2325,2321,3x x f x x x x x x −+≤−⎧⎪=−++=−<<⎨⎪−≥⎩，所以()7f x ≤等价于2217x x ≤−⎧⎨−+≤⎩，或2357x −<<⎧⎨≤⎩，或3217x x ≥⎧⎨−≤⎩， 解得32x −−≤≤或23x −<<或34x ≤≤，所以34x −≤≤，即不等式()7f x ≤的解集为[]3,4−． （2）因为()33f x x x a a =−++≥+，当且仅当()()30x x a −−≤时等号成立；所以函数()3f x x x a =−++的最小值为3a +，由已知可得32a +≥，所以32a +≥或32a +≤−， 解得1a ≥−或5a ≤−，即a 的取值范围(][),51,−∞−⋃−+∞．。
四川省绵阳2024届高三上学期10月月考试题 数学(理)试题含解析
绵阳高2021级高三上期10月月考试题理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=+28<0A x x x -，{}4,2,0,2,4B =--，则A B ⋂=（）A.{}2,0- B.{}4,2,0,2-- C.{}0,2 D.{}2,0,2,4-【答案】A 【解析】【分析】解出集合A 中的不等式，然后根据集合的交集运算可得答案.【详解】因为{}{}2=+28<0=4<<2A x x x x x --，{}4,2,0,2,4B =--，所以{}2,0A B ⋂=-.故选：A2.已知a b <，则（）A.22a b < B.e e a b--<C.()()ln 1ln 1a b +<+ D.a a b b<【答案】D 【解析】【分析】根据反例可判断AC ，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，但不能得到22a b <，故A 错误，对于B ，由于a b <，所以a b ->-，又e x y =为单调递增函数，所以e e a b -->，故B 错误，对于C ，若1,0a b =-=，显然满足a b <，()()ln 1ln 2ln 1ln10a b +=>+==，故C 错误，对于D ，若0a b <<，则22,a a a b b b =-=-，函数2y x =-在(),0∞-上单调递增，所以22a a a b b b =-<=-，当0a b ≤<，则22,a a a b b b ==，函数2y x =在[)0,∞+上单调递增，所以22a a ab b b =<=，当0a b <≤，则22a a ab b b =-<=，综上可知D 正确，故选：D3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，则公比q =（）A.2 B.32-C.2或32-D.2或32【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比.【详解】由321238S a a =+，有()12321238a a a a a ++=+，即321260a a a --=．由等比数列的通项公式得2111260a q a q a --=，即2260q q --=，解得2q =或32q =-，由数列为正项等比数列，∴2q =．故选：A4.如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点，则DE =（）A.1136BA BC --B.1163BA BC --C.5163BA BC --D.5163BA BC -+【答案】B 【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BC =+=+=+-=--.故选：B5.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A.3.048分钟 B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C 【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦33804lg 44log 4log 420lg 3===8lg 280.301 5.048lg 30.477⨯=≈≈（分钟），故选：C.6.已知命题p ：函数()af x x =在()0,∞+上单调递减；命题:q x ∀∈R ，都有220ax x a -+≤．若p q ∨为真命题，p q ∧为假，则实数a 的取值范围为（）．A.()1,0- B.[]0,1C.(]()10,-∞-+∞ , D.(](),11,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意求出,p q 为真命题时的范围，进而根据,p q 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p 为真，则a<0，若q 为真，则201440a a a <⎧⇒≤-⎨∆=-≤⎩，由于p q ∨为真命题，p q ∧为假，则,p q 中一真一假若p 真q 假，则满足：0101a a a <⎧⇒-<<⎨>-⎩；若q 真p 假，则满足：01a a ≥⎧⎨≤-⎩，此时a 无解，综上10a -<<故选：A 7.函数()2ln 1cos x y x+=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B ；计算()00f =排除C ；根据0x +→时，()0f x >；排除D.即可得到答案.【详解】对于()()2ln 1cos x f x x+=，定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称.因为()()()()()()22ln 1ln 1cos cos x x f x f x x x +-+-===-，所以()f x 是偶函数，排除B .当0x =时，()2ln 1000cos 01y +===，排除C ；当0x +→时，()2ln 10x +>，cos 0x >，()0f x >；排除D.故选：A.8.已知()3sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，则22sin sin cos ααα-=（）A.2110 B.32C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan α的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：由诱导公式可得()3sin sin cos 2cos 2πααπαα⎛⎫=-+-=-⎪⎝⎭，所以，tan 2α=-.因此，2222222sin sin cos 2tan tan 102sin sin cos 2sin cos tan 15ααααααααααα---====++.故选：D.9.已知0ω>，函数()sin(4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A 【解析】【详解】由题意可得,322,22442k k k Z ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈，∴1542,24k k k Z ω+≤≤+∈，0ω> ，1524ω∴≤≤．故A 正确．考点：三角函数单调性．10.若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中a ，b 为正实数，则2ea b ++的取值范围是（）A.[)2,+∞ B.[),e +∞ C.[)2,e D.2,2e e ⎛⎫++∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先根据已知求出2b ae =-，2a e>，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为()00,x y ，则有()0001,2ln ex a b ae x a ex b⎧=⎪+∴=-⎨⎪+=+⎩，∵0b >，∴2a e>，122e a a b a+=+≥+，（当且仅当1a =时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且当[0,2]x ∈时，1π()sin 24f x x =，则方程1()8f x x =-在[4,20]-上所有根的和为（）A.32B.48C.64D.80【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.【详解】因为()f x 是奇函数，所以由(2)(2)(4)()()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=-=-⇒+=-+=，因此函数的周期为8，当[0,2]x ∈时，1π()sin 24f x x =，所以当[2,0)x ∈-时，()()1π1πsin sin 2424f x f x x x ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭，当(2,4]x ∈时，由(2)(2)(4)()f x f x f x f x +=-⇒-=，所以()()1π1π()4sin 4sin 2424f x f x x x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦，所以当[4,2)x ∈--时，()()1π1πsin sin 2424f x f x x x ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭，于是当x ∈R 时，1π()sin 24f x x =，该函数关于点(8,0)对称，而函数18y x =-也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于(8,0)对称的点，所以方程1()8f x x =-在[4,20]-上所有根的和为42864⨯⨯=，故选：C【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.12.若正实数1x 是函数()2e e xf x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3e ln 1e g x x x =---的一个大于e 的零点，则()122e ex x -的值为（）A.1eB.21e C.eD.2e 【答案】C 【解析】【分析】依题意得1211e e x x x -=，()()322e ln 1e x x --=，则()()()131122e e e e ln 1xx x x x -==--，即是()()()21ln 11112ee ln 1e e x x x x -++⎡⎤-=--⎣⎦，从而同构函数()()1e e x F x x +=-，0x >，利用()F x 的单调性得到12ln 1x x =-，代入()122e ex x -求解即可.【详解】依题意得，1211e e 0x x x --=，即1211e e x x x -=，1>0x ，()()322e ln 1e 0x x ---=，即()()322e ln 1e x x --=，2e x >，()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--，()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--，()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦又22ln 1,ln 10x x >-> ，∴同构函数：()()1e e x F x x +=-，0x >，则()()312ln 1e F x F x =-=，又()()111ee e e e 1e x x x x F x x x +++'=-+=-+，0x >，0e e 1x ∴>=，e 10x ∴->，又1e 0x x +>，()0F x '∴>，()F x 单调递增，12ln 1x x ∴=-，()()()31222222e ln 1e e e e e ex x x x ---∴===.故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）函数零点即为函数()0f x =的x 取值；（2）对12,x x 的两个方程合理的变形，达到形式同一，进而同构函数()()1e e x F x x +=-，0x >，其中应注意定义域；（3）运用导数研究函数()F x 的单调性，进而确定12ln 1x x =-；（4）求解()122e ex x -的值时，将1x 替换后应注意分子的取值.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知x ，y 满足约束条件1021010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为______．【答案】4-【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），作目标函数对应的直线：:20l x y -+=，在直线2z x y =-+中，纵截距为z ，向下平移直线时，z 减小，由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，即()3,2C ，因此向下平移直线l ，当l 过点()3,2C 时，2324z =-⨯+=-为最小值．故答案为：4-．14.已知向量(23),(31)a t b =-=- ，，，且(2)a b b +∥，则a =r ___________.【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.【详解】因为(23)a t =- ，，(31)b =- ，，所以()24,1a b t +=+ ，又(2)a b b +∥，所以()()41310t +⨯--⨯=，解得7t =-，所以()93a =- ，，故a =.故答案为：.15.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()2f x '<，且()45f =，则不等式()222log log 3f x x >-的解集是______．【答案】()1,16【解析】【分析】构造函数()()23g x f x x =-+，由导数确定其单调性，题设不等式化为2(log )(4)g x g >，再利用单调性变形求解．【详解】令()()23g x f x x =-+，则()()20g x f x ''=-<，∴()g x 在(0,)+∞上是减函数，(4)(4)830g f =-+=，不等式()222log log 3f x x >-化为22(log )2log 3f x x >-，即22(log )2log 30f x x -+>，也即为2(log )(4)g x g >，所以20log 4x <<，116x <<.故答案为：(1,16)，16.已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),(43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设函数()22sin cos 2cos π4f x x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间及对称中心；（2）当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，π365f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 2x 的值．【答案】（1）单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈（2）310+【解析】【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算．【小问1详解】由题意得：()πsin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-++=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()ππ2π22πZ 22k x k k -+≤≤+∈，可得()ππππZ 44k x k k -+≤≤+∈；所以()f x 的单调递增区间是()πππ,πZ 44k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；令2πx k =，Z k ∈，解得：π2k x =，Z k ∈，此时函数值为1-，所以对称中心为π,12k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Z k ∈．【小问2详解】∵ππ32sin 21635f x x ⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4sin 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴π2ππ2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵πsin 203x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴ππ0233x <+<，∴π3cos 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππππππ3cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 33333310x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．18.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，1n a +-，n a ，2n a +成等差数列．等差数列{}n b 满足121b a =+，523233b b a -=-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列()121n n b ⎧⎫⎪⎪⎨+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ．【答案】（1）2n n a =，23n b n =+；（2）69n n +【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，因为1n a +-，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=-即111112n n n a q a q a q -+=-，因为0q >，10a >，所以22q q =-，解得2q =或1q =-（舍去），所以111222n n n n a a q--==⨯=，2121215b a =+=+=，由523233b b a -=-可得()()32543523d d +-+=-，解得2d =，所以()()1152123n b b n d n n =+-⋅=+-=+；【小问2详解】因为23n b n =+，所以()()()1111121212322123n n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111235572123232369n n n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪++++⎝⎭⎝⎭19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b =，且(sin )cos sin cos a C B B C -=.（1）求角B 的大小；（2）求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3π（2）(【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cos sin a B A =，再由正弦定理得到1sin cos b B B=，即可得到tan B ，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到03ac <≤，再根据()222233a c a c ac ac +=++=+求出a c +的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为()sin cos sin cos a C B B C -=，即cos sin cos sin cos a B C B B C -=，所以()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以1sin cos a A B=，又sin sin a bA B =，b =，所以1sin cos b B B =，所以sin tan cos B B b B ===，因为()0,B π∈，所以3B π=；【小问2详解】解：因为3B π=、b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac =+-，即2232a c ac ac +=+≥当且仅当a c ==时取等号，所以03ac <≤，所以()222233a c a c ac ac +=++=+，所以()2312a c <+≤a c <+≤，所以ABC C <≤ ，即三角形的周长的取值范围为(20.已知函数()()322316f x x a x ax =-++，其中a 是正数．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在闭区间[]0,1a +上的最大值为()1f a +，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围．【小问1详解】因为()()()3223160f x x a x ax a =-++>，所以()()()()2661661f x x a x a x x a =-++=--'．①当1a =时，()()2610f x x '=-≥，()f x 在R 上严格递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>得x a <或1x >，由()0f x '<得1<<a x ，所以()f x 在(),a -∞单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,+∞单调递增；③当1a >时，由()0f x ¢>得1x <或x a >，由()0f x '<得1x a <<，所以()f x 在(),1-∞单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞单调递增；【小问2详解】由（1）可知①当1a =时，()()2610f x x '=-≥，()f x 在[]0,1a +上严格递增，此时()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +；②当01a <<时，()f x 在()0,a 单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,1a +单调递增；()f x 在[]0,1a +上的最大值只有可能是()f a 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()323213313310f a f a a a a a aa +-=-++---+=-≥，解得13a ≥，此时113a ≤<；③当1a >时，()f x 在()0,1单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),1a a +单调递增；()f x 在[]0,1a +上的最大值可能是()1f 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，所以()()()()()323221133131330f a f a a a a a a aa +-=-++---=-+=--≥，解得3a ≤，此时13a <£，由①②③得，133a ≤≤，∴满足条件的a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21.已知函数()e axf x x =-（,e a R ∈为自然对数的底数），()ln 1g x x bx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对()[)0,,1,x a ∞∞∀∈+∀∈+恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）()f x 有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成e ln 1x x x bx ≥++恒成立，再通过参变分离转化成()ln 1e (0)xx F x x x x=-->最小值问题.【小问1详解】()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，e 0ax >，∴0,x >()f x \有两个零点即ln xa x=有两个相异实根.令()ln x G x x =，则()21ln xG x x -'=，()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x >()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e eG x G ∴==，又()10,G = ∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →()f x \有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】1,0a x ≥>，所以e e ax xx x ≥∴原命题等价于e ln 1x x x bx ≥++对一切()0,x ∞∈+恒成立，ln 1e x x b x x ∴≤--对一切()0,x ∞∈+恒成立，令()ln 1e (0)xx F x x x x=-->，min (),b F x ∴≤()222ln e ln e x xx x xF x x x +=+='令()()2e ln ,0,xh x x x x ∞=+∈+，则()x212e e 0,xh x x x x+'=+>()h x ∴在()0,+∞上单增，又()120e 11e 0,e 1e 10e h h -⎛⎫=>=-<-= ⎪⎝⎭，01,1e x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，即0200e ln 0x x x +=①，当()00,x x ∈时，()0h x <，即()F x 在()00,x 递减当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()0,x +∞递增，()00min 000ln 1()e x x F x F x x x ∴==--由①知0200eln x x x =-，01ln 000000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫∴=-== ⎪⎝⎭，函数()e x x x ϕ=在()0,+∞单调递增，001lnx x ∴=即00ln ,x x =-0ln 0min 0000111()e 11,x x F x x x x x --∴=--=+-=1,b ∴≤∴实数b 的取值范围为(],1-∞.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.（二）选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2cos sin 20ρθρθ-+=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()0,2P ，求11PA PB +的值．【答案】（1）2214x y +=，220x y -+=；（2）15.【解析】【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入椭圆普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=．由2cos sin 20ρθρθ-+=，得220x y -+=，故直线l 的直角坐标方程为220x y -+=．【小问2详解】由题意可知直线l的参数方程为5525x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得217600t ++=，设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，则1217t t +=-，126017t t =，故121212121115t t t t PA PB t t t t +++===．23.已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）[]3,4-（2）(][),51,-∞-⋃-+∞【解析】【分析】（1）分2x ≤-、23x -<<、3x ≥三种情况解不等式()7f x ≤，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得出关于a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】因为()21,2325,2321,3x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，所以()7f x ≤等价于2217x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，或2357x -<<⎧⎨≤⎩，或3217x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得32x --≤≤或23x -<<或34x ≤≤，所以34x -≤≤，即不等式()7f x ≤的解集为[]3,4-．【小问2详解】因为()33f x x x a a =-++≥+，当且仅当()()30x x a -+£时等号成立；所以函数()3f x x x a =-++的最小值为3a +，由已知可得32a +≥，所以32a +≥或32a +≤-，解得1a ≥-或5a ≤-，即a 的取值范围(][),51,-∞-⋃-+∞．。
2020-2021学年四川省绵阳市某校高三(上)10月月考数学(理)试卷(有答案) (2)
2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合A ＝{x|−2<x <3}，B ＝{x ∈Z |x 2−5x <0}，则A ∩B ＝( ) A.{1, 2} B.{2, 3} C.{1, 2, 3} D.{2, 3, 4}2. 已知命题p:∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则¬p 为（ ） A.∀x ∉R ，x 2−x +1>0 B.∃x 0∉R ，x 02−x 0+1≤0C.∀x ∈R ，x 2−x +1≤0D.∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤03. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日，第五日，第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( ) A.8 B.9 C.10 D.114. 若实数x ，y 满足{x −y ≥0，x +y ≤1，y ≥0，则z =2x +y 的最大值为( )A.0B.1C.2D.325. 设命题p:(12)x<1，命题q:ln x <1，则p 是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送劵”活动．一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠劵．根据购买商品的标价，三张优惠劵的优惠方式不同，具体如下： 优惠劵A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠劵C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%．若顾客想使用优惠劵C ，并希望比使用优惠劵A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( ) A.300元B.400元C.500元D.600元7. 要得到函数f(x)=sin 2x +√3cos 2x(x ∈R )的图象，可将y =2sin 2x 的图象向左平移( ) A.π6个单位 B.π3个单位C.π4个单位D.π12个单位8. 已知sin θ+cos θ=2sin α，sin 2θ=2sin 2β，则( ) A.cos β=2cos αB.cos 2β=2cos 2αC.cos 2β+2cos 2α=0D.cos 2β=2cos 2α9. 已知定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足f(x +1)=2f(x)，当x ∈[0, 1)时，f(x)=−x 2+x ，设f(x)在[n −1, n)上的最大值为a n (n ∈N ∗)，则a 3+a 4+a 5=( ) A.7 B.78C.54D.1410. 在△ABC 中，cos A =18，AB =4，AC =2，则∠A 的角平分线AD 的长为( )A.2√2B.2√3C.2D.111. 如图，矩形ABCD 中， AB =2,AD =1，P 是对角线AC 上一点，AP →=25AC →，过点P的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于M ，E,N ．若DM →=mDA →，DN →=nDC →(m >0,n >0)，则2m +3n 的最小值是( )A.65 B.125C.245D.48512. 若函数f(x)=x 4+4x 3+ax 2−4x +1的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2, +∞)B.(1, +∞)C.(√3−12, +∞) D.(√2−12, +∞) 二、填空题若向量a →=(1,0)，b →=(2,1)，c →=(x,1)满足条件3a →−b →与c →垂直，则x =________．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9和等比中项，则a 5=________．函数f (x )=a ln x x的图象在点(e 2,f(e 2))处的切线与直线y =−1e 4x 平行，则f (x )的极值点是________.f(x)是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f(x)=x 3．若对任意的x ∈[2t −1, 2t +3]，不等式f(3x −t)≥8f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________． 三、解答题已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象（部分）如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若α∈(0,π3)，且f (απ)=43，求cos α.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =2a n −1(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N ∗，不等式k (S n +1)≥2n −9恒成立，求实数k 的取值范围．在△ABC 中，角A,B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知c =12，b =4√6，O 为△ABC 的外接圆圆心．(1)若cos A =45，求△ABC 的面积S ；(2)若点D 为BC 边上的任意一点， DO →−DA →=13AB →+14AC →，求sin B 的值．已知函数f (x )=x sin x +cos x ．(1)判断f (x )在区间(2,3)上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：√2≈1.4，√6≈2.4）(2)若存在x ∈(π4,π2)，使得f (x )>kx 2+cos x 成立，求实数k 的取值范围．已知函数f (x )=ln x +ax 2−1， g(x)=e x −e ． (1)讨论f (x )的单调区间；(2)若a =1，且对于任意的x ∈(1,+∞)，mg (x )>f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为{x =1+√5，y =1+√5（t 为参数），设点P(1, 1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．已知函数f(x)=|x +1|−|x −1|+a(a ∈R)． (1)若a =1，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若方程f(x)=x 有三个实数根，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）10月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B＝{x∈Z|x2−5x<0}={x∈Z|0<x<5}={1, 2, 3, 4}，且集合A＝{x|−2<x<3}，∴A∩B＝{1, 2}.故选A.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式：将量词“∀”与“∃”互换，结论同时否定，写出命题的否定即可【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题p:∀x∈R，x2−x+1>0的否定是∃x0∈R，x02−x0+1≤0.故选D.3.【答案】B【考点】等差数列的性质【解析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5−a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选B．4.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：根据题意可作出可行域如图阴影部分所示，z=2x+y变形为y=−2x+z，当此直线经过图中A(1, 0)时在y轴的截距最大，z最大，所以z的最大值为2×1+0=2.故选C.5.【答案】B【考点】指、对数不等式的解法必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】分别求出关于p，q成立的x的范围,根据集合的包含关系判断即可．【解答】)x<1，即p:x>0,解：∵p：(12命题q:ln x<1，即q：0<x<e,∴p是q成立的必要不充分条件，故选B．6.【答案】B不等式的概念与应用函数模型的选择与应用【解析】根据条件，分别求出减免钱款，可得结论；利用顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，建立不等式，即可求出他购买的商品的标价的最低价．【解答】解：设标价为x元，则(x−200)×20%>x×10%且(x−200)×20%>30，∴x>400，即他购买的商品的标价应高于400元．故选B．7.【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据两角和差的正弦公式求得f(x)的解析式，再利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵sin2x+√3cos2x=2(12sin2x+√32cos2x)=2sin(2x+π3)=2sin[2(x+π6)]，∴将y=2sin2x的图象向左平移π6个单位，可得函数sin2x+√3cos2x(x∈R)的图象. 故选A．8.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系可得1+sin2θ=4sin2α，再利用二倍角公式化简可得cos2α=cos2β，从而得出结论．【解答】解：∵sinθ+cosθ=2sinα，sin2θ=2sin2β，∴1+sin2θ=4sin2α，即1+2sin2β=4sin2α，即1+2⋅1−cos2β2=4⋅1−cos2α2，化简可得cos2β=2cos2α. 故选D.9.A【考点】数列与函数最值问题 函数的最值及其几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：f(x +1)=2f(x)，即函数f(x)的自变量每增加1，对应的函数值变为原来的2倍. 当x ∈[0, 1)时，f(x)=−x 2+x =−(x −12)2+14，故f(x)在[0, 1)上的最大值a 1=f (12)=14，f(x)在[1,2)上的最大值a 2=2a 1=12，……可知{a n }是首项为14，公比为2的等比数列， ∴ a n =14×2n−1=2n−3， ∴ a 3+a 4+a 5=1+2+22=7．故选A ． 10.【答案】 C【考点】 余弦定理 【解析】由条件利用余弦定理求得BC 、cos B 的值，根据角平分线的性质求得BD 的值，再利用余弦定理求得AD 的值． 【解答】 解：如图，在△ABC 中，因为cos ∠BAC =18，AB =4，AC =2， 则由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =16+4−2×4×2×18=18， 解得BC =3√2，所以cos B =AB 2+BC 2−AC 22⋅AB⋅BC=2×4×3√2=5√28， 根据角平分线的性质可得： CDBD=ACAB =12， 又BC =BD +CD =3√2，所以BD =2√2，CD =√2，由余弦定理得，AD 2=AB 2+BD 2−2AB ⋅BD ⋅cos B =16+8−2×4×2√2×5√28=4，则AD =2. 故选C . 11.【答案】 C【考点】共线向量与共面向量基本不等式在最值问题中的应用 向量在几何中的应用【解析】由题以A 为原点，直线AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系根据已知条件得到P (45,25)，M (0,−m +1)，N (2n,1)，根据M 、P 、N 三点共线，即可得到2m +3n =5mn (m >0,n >0)，再利用基本不等式即可得到2m +3n 的最小值． 【解答】解：由题以A 为原点，直线AB 、AD 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则AC →=(2,1)，DA →=(0,−1)，DC →=(2,0)， ∴ AP →=25AC →=(45,25)，即P (45,25)， DM →=mDA →=(0,−m)，即M (0,−m +1)， DN →=nDC →=(2n,0)，即N (2n,1),因为M 、P 、N 三点共线， ∴1−252n−45=m−3545−0，化简得2m +3n =5mn (m >0,n >0)，由均值不等式知2m +3n ≥2√2m ⋅3n ，当且仅当2m =3n =125时取得等号，∴ 5mn ≥2√6mn ， ∴ mn ≥2425,∴ 2m +3n 的最小值为2425. 故选C ． 12.【答案】 A【考点】函数恒成立问题函数的最值及其几何意义 【解析】问题转化为ax 2>−x 4−4x 3+4x −1，x =0时，成立，x ≠0时，a >−(x −1x)2−4(x −1x )−2，求出a 的范围即可．【解答】解：∵ f(x)=x 4+4x 3+ax 2−4x +1>0， ∴ ax 2>−x 4−4x 3+4x −1， x =0时，成立，x ≠0时，a >−x 2−1x 2−4(x −1x )=−(x −1x )2−4(x −1x )−2， 设x −1x =t ，则a >−t 2−4t −2=−(t +2)2+2， 要使x ≠0时a 恒大于−(t +2)2+2， 则只需a 比−(t +2)2+2的最大值大， 故a >2， 故选A ． 二、填空题【答案】 1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】根据平面向量的坐标运算与两向量垂直，数量积为0，列出方程求出x 的值． 【解答】解：向量a →=(1,0)，b →=(2,1)，c →=(x,1)， 则3a →−b →=(3×1−2, 3×0−1)=(1, −1)，又3a →−b →与c →垂直，∴ (3a →−b →)⋅c →=x −1=0， 解得x =1． 故答案为：1． 【答案】 13【考点】 等比中项等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n }的公差d ≠0，由a 1+a 3＝8，且a 4为a 2和a 9和等比中项，可得2a 1+2d ＝8，(a 1+d)(a 1+8d)=(a 1+3d)2，联立解出即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∵ a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9和等比中项，∴ 2a 1+2d =8，(a 1+d)(a 1+8d)=(a 1+3d)2， 解得a 1=1，d =3， 则a 5=1+3×4=13. 故答案为：13. 【答案】 e【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：f ′(x )=a (1−ln x )x 2，故f ′(e 2)=−a e 4=−1e4，解得：a =1， 故f (x )=ln x x，f ′(x )=1−ln x x 2，令f ′(x )=0，解得：x =e ，经检验x =e 是函数的极值点. 故答案为：e ． 【答案】t ≤−3或t ≥1或t =0 【考点】已知函数的单调性求参数问题 函数恒成立问题 偶函数【解析】由题意f(x)为R 上偶函数，f(x)＝x 3 在x >0上为单调增函数知|3x −t|≥|2x|，转化为对任意x ∈[2t −1, 2t +3]，5x 2−6xt +t 2≥0 恒成立问题． 【解答】解：∵ f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )=x 3时，在x ≥0上为单调增函数，∴ f (3x −t )≥8f (x )=f (2x )，即|3x −t|≥|2x|， ∴ (3x −t )2≥(2x )2，化简后：5x 2−6xt +t 2≥0 ①， 当t =0时显然成立；当t >0时，①式解为x ≤t5或x ≥t ，对任意x ∈[2t −1,2t +3]，①式恒成立， 则需t ≤2t −1，故t ≥1;当t <0时，①式解为x ≤t 或t ≥t5，对任意x ∈[2t −1,2t +3] ，①式恒成立， 则需2t +3≤t ，故t ≤−3.综上所述， t ≤−3或t ≥1或t =0. 故答案为：t ≤−3或t ≥1或t =0． 三、解答题【答案】解：(1)由图得： A =2，由T4=2π4ω=56−13=12，解得ω=π，由f (13)=2sin (π3+φ)=2，可得π3+φ=2kπ+π2，φ=2kπ+π6， 又|φ|<π2 ，可得φ=π6， ∴ f (x )=2sin (πx +π6)．(2)由(1)知f (απ)=2sin (α+π6)=43， ∴ sin (α+π6)=23，由α∈(0,π3)得α+π6∈(π6,π2)，cos (α+π6)=√1−(23)2=√53，cos α=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=√53×√32+23×12=√15+26． 【考点】两角和与差的余弦公式由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 同角三角函数间的基本关系函数的求值 【解析】 无 无【解答】解：(1)由图得： A =2，由T4=2π4ω=56−13=12，解得ω=π，由f (13)=2sin (π3+φ)=2，可得π3+φ=2kπ+π2，φ=2kπ+π6， 又|φ|<π2，可得φ=π6，∴ f (x )=2sin (πx +π6).(2)由(1)知f (απ)=2sin (α+π6)=43，∴ sin (α+π6)=23，由α∈(0,π3)得α+π6∈(π6,π2)， cos (α+π6)=√1−(23)2=√53， cos α=cos [(α+π6)−π6]=cos (α+π6)cos π6+sin (α+π6)sin π6=√53×√32+23×12=√15+26． 【答案】解：(1)令n =1，S 1=2a 1−1=a 1，解得a 1=1． 由S n =2a n −1，有S n−1=2a n−1−1， 两式相减得a n =2a n −2a n−1， 化简得a n =2a n−1(n ≥2)，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n−1． (2)由k (S n +1)≥2n −9，整理得k ≥2n−92n，令b n =2n−92n，则b n+1−b n =2n−72n+1−2n−92n=11−2n 2n+1，n =1,2,3,4,5时，b 1<b 2<b 3<b 4<b 5． n =6,7,8,⋯时，b n+1−b n =11−2n 2n+1<0，即b 6>b 7>b 8>⋯．∵ b 5=132<b 6=364， ∴ b n 的最大值是b 6=364，∴ 实数k 的取值范围是[364,+∞)．【考点】数列与不等式的综合 函数恒成立问题 等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：(1)令n =1，S 1=2a 1−1=a 1，解得a 1=1． 由S n =2a n −1，有S n−1=2a n−1−1， 两式相减得a n =2a n −2a n−1， 化简得a n =2a n−1(n ≥2)，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n−1． (2)由k (S n +1)≥2n −9，整理得k ≥2n−92n，令b n =2n−92n，则b n+1−b n =2n−72n+1−2n−92n=11−2n 2n+1，n =1,2,3,4,5时，b 1<b 2<b 3<b 4<b 5． n =6,7,8,⋯时， b n+1−b n =11−2n 2n+1<0，即b 6>b 7>b 8>⋯．∵ b 5=132<b 6=364， ∴ b n 的最大值是b 6=364， ∴ 实数k 的取值范围是[364,+∞)． 【答案】解：(1)由cos A =45得sin A =35，∴ S △ABC =12bc sin A =12×4√6×12×35=72√65. (2)由DO →−DA →=13AB →+14AC →得AO →=13AB →+14AC →,于是AO →⋅AO →=13AB →⋅AO →+14AC →⋅AO →，即AO →2=13|AB →|⋅|AO →|cos ∠OAB +14|AC →|⋅|AO →|cos ∠OAC ①，又O 为△ABC 的外接圆圆心，则|AO →|cos ∠OAB =12|AB →|， |AO →|cos ∠OAC =12|AC →|②，将②代入①得到，AO →2=13×12|AB →|2+14×12|AC →|2 =16×144+18×96=24+12=36，解得：|AO →|=6， 由正弦定理得bsin B =2R =2|AO →|=12．可解得sin B =√63. 【考点】正弦定理向量在几何中的应用 向量的三角形法则 同角三角函数间的基本关系 【解析】 【解答】解：(1)由cos A =45得sin A =35，∴ S △ABC =12bc sin A =12×4√6×12×35=72√65. (2)由DO →−DA →=13AB →+14AC →得AO →=13AB →+14AC →, 于是AO →⋅AO →=13AB →⋅AO →+14AC →⋅AO →，即AO →2=13|AB →|⋅|AO →|cos ∠OAB +14|AC →|⋅|AO →|cos ∠OAC ①， 又O 为△ABC 的外接圆圆心，则|AO →|cos ∠OAB =12|AB →|， |AO →|cos ∠OAC =12|AC →|②，将②代入①得到，AO →2=13×12|AB →|2+14×12|AC →|2 =16×144+18×96=24+12=36，解得：|AO →|=6， 由正弦定理得bsin B =2R =2|AO →|=12．可解得sin B =√63. 【答案】解：(1)f ′(x )=sin x +x cos x −sin x =x cos x ， ∴ x ∈(2,3)时，f ′(x )=x cos x <0， ∴ 函数f (x )在(2,3)上是减函数．又f (2)=2sin 2+cos 2=sin 2+cos 2+sin 2 =√2sin (2+π4)+sin 2>0，∵ 3sin 3<3sin 11π12=3sin π12=3sin (π3−π4)=3×√6−√24≈0.75，cos 3<cos 11π12=−cos π12=−cos (π3−π4) =−√6+√24≈−0.95，∴ f (3)=3sin 3+cos 3<0，由零点存在性定理，f (x )在区间(2,3)上只有1个零点． (2)由题意等价于x sin x +cos x >kx 2+cos x ， 整理得k <sin x x，令ℎ(x )=sin x x，则ℎ′(x )=x cos x−sin xx 2，令g (x )=x cos x −sin x ，g ′(x )=−x sin x <0， ∴ g (x )在x ∈(π4,π2)上单调递减，∴ g (x )<g (π4)=√22×(π4−1)<0，即g (x )=x cos x −sin x <0， ∴ ℎ′(x )=x cos x−sin xx 2<0，即ℎ(x )=sin x x在(π4,π2)上单调递减，∴ ℎ(x )<sinπ4π4=√22π4=2√2π, 即k <2√2π．【考点】两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性导数的乘法与除法法则导数的加法与减法法则函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f′(x)=sin x+x cos x−sin x=x cos x，∴x∈(2,3)时，f′(x)=x cos x<0，∴函数f(x)在(2,3)上是减函数．又f(2)=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=√2sin(2+π4)+sin2>0，∵3sin3<3sin11π12=3sinπ12=3sin(π3−π4)=3×√6−√24≈0.75，cos3<cos 11π12=−cosπ12=−cos(π3−π4)=−√6+√24≈−0.95，∴f(3)=3sin3+cos3<0，由零点存在性定理，f(x)在区间(2,3)上只有1个零点．(2)由题意等价于x sin x+cos x>kx2+cos x，整理得k<sin xx，令ℎ(x)=sin xx ，则ℎ′(x)=x cos x−sin xx2，令g(x)=x cos x−sin x，g′(x)=−x sin x<0，∴g(x)在x∈(π4,π2)上单调递减，∴g(x)<g(π4)=√22×(π4−1)<0，即g(x)=x cos x−sin x<0，∴ℎ′(x)=x cos x−sin xx2<0，即ℎ(x)=sin xx 在(π4,π2)上单调递减，∴ℎ(x)<sinπ4π4=√22π4=2√2π,即k<2√2π．【答案】解(1)f′(x)=1x +2ax=2ax2+1x，①a ≥0时，f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增； ②a <0时，由f ′(x )>0可解得0<x <√−12a，由f ′(x )<0可解得x >√−12a，综上：a ≥0时，f (x )的单调递增区间是(0,+∞)； a <0时，f (x )的单调递增区间是(0,√−12a)，单调递减区间是(√−12a,+∞)．(2)mg (x )>f (x )⇔m (e x −e )−ln x −x 2+1>0， 令ℎ(x )=m (e x −e )−ln x −x 2+1， 则ℎ′(x )=me x −1x −2x ，令ℎ′(1)=0，即me −3=0，可解得m =3e ． ①当m ≤0时，显然ℎ′(x )=me x −1x −2x <0， 此时ℎ(x )在(1,+∞)上单调递减， ∴ ℎ(x )<ℎ(1)=0，不满足条件．②当0<m <3e时，令p (x )=me x −1x，q (x )=2x ，显然p (x )=me x −1x在[1,+∞)上单调递增，∴ p (x )min =p (1)=me −1<3e ×e −1=2． 由q (x )=2x 在[1,+∞)单调递增，于是q (x )min =2． ∴ p (x )min <q (x )min ．于是函数p (x )=me x −1x 的图象与函数q (x )=2x 的图象只可能有两种情况：若p (x )的图象恒在q (x )的图象的下方，此时p (x )<q (x )， 即ℎ′(x )<0，故ℎ(x )在(1,+∞)单调递减， 又ℎ(1)=0，故ℎ(x )<0，不满足条件．若p (x )的图象与q (x )的图象在x >1的某点处相交，设第一个交点横坐标为x 0，当x ∈(1,x 0)时，p (x )<q (x )，即ℎ′(x )<0，故ℎ(x )在(1,x 0)单调递减， 又ℎ(1)=0，故当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x )<0． ∴ ℎ(x )不可能恒大于0，不满足条件． ③当m ≥3e 时，令φ(x )=me x −1x −2x ， 则φ′(x )=me x +1x 2−2．∵ x ∈(1,+∞)， ∴ φ′(x )=me x +1x 2−2>me x −2≥3e⋅e −2=1>0，故φ(x )=me x −1x −2x 在x ∈(1,+∞)上单调递增， 于是φ(x )>φ(1)=me −11−2≥3e ×e −3=0， 即ℎ′(x )>0，∴ ℎ(x )在(1,+∞)上单调递增， ∴ ℎ(x )>ℎ(1)=0成立．综上，实数m 的取值范围是m ≥3e ．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解 (1) f ′(x )=1x +2ax =2ax 2+1x，①a ≥0时，f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增；②a <0时，由f ′(x )>0可解得0<x <√−12a ，由f ′(x )<0可解得x >√−12a ， 综上：a ≥0时，f (x )的单调递增区间是(0,+∞)；a <0时，f (x )的单调递增区间是(0,√−12a )，单调递减区间是(√−12a ,+∞)． (2)mg (x )>f (x )⇔m (e x −e )−ln x −x 2+1>0， 令ℎ(x )=m (e x −e )−ln x −x 2+1， 则ℎ′(x )=me x −1x −2x ，令ℎ′(1)=0，即me −3=0，可解得m =3e ． ①当m ≤0时，显然ℎ′(x )=me x −1x −2x <0， 此时ℎ(x )在(1,+∞)上单调递减， ∴ ℎ(x )<ℎ(1)=0，不满足条件．②当0<m <3e时，令p (x )=me x −1x，q (x )=2x ，显然p (x )=me x −1x 在[1,+∞)上单调递增， ∴ p (x )min =p (1)=me −1<3e ×e −1=2．由q (x )=2x 在[1,+∞)单调递增，于是q (x )min =2． ∴ p (x )min <q (x )min ．于是函数p (x )=me x −1x 的图象与函数q (x )=2x 的图象只可能有两种情况：若p (x )的图象恒在q (x )的图象的下方，此时p (x )<q (x )， 即ℎ′(x )<0，故ℎ(x )在(1,+∞)单调递减， 又ℎ(1)=0，故ℎ(x )<0，不满足条件．若p (x )的图象与q (x )的图象在x >1的某点处相交，设第一个交点横坐标为x 0，当x ∈(1,x 0)时，p (x )<q (x )，即ℎ′(x )<0，故ℎ(x )在(1,x 0)单调递减， 又ℎ(1)=0，故当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x )<0． ∴ ℎ(x )不可能恒大于0，不满足条件． ③当m ≥3e 时，令φ(x )=me x −1x −2x ， 则φ′(x )=me x +1x 2−2．∵x∈(1,+∞)，∴φ′(x)=me x+1x2−2>me x−2≥3e⋅e−2=1>0，故φ(x)=me x−1x−2x在x∈(1,+∞)上单调递增，于是φ(x)>φ(1)=me−11−2≥3e×e−3=0，即ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0成立．综上，实数m的取值范围是m≥3e．【答案】解：(1)由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．(2)联立直线l的参数方程与曲线C方程可得(1+√52=4(1+√5，整理得t2−6√5t−15=0，∵t1⋅t2=−15<0，于是点P在AB之间，∴|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=4√15．【考点】抛物线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与抛物线结合的最值问题【解析】(1)利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．(2)参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．【解答】解：(1)由曲线C的原极坐标方程可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x．(2)联立直线l的参数方程与曲线C方程可得(1+√52=4(1+√5，整理得t2−6√5t−15=0，∵t1⋅t2=−15<0，于是点P在AB之间，∴|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=4√15．【答案】解：(1)∵a=1时，f(x)=|x+1|−|x−1|+1，∴当x≤−1时，f(x)=−1，此时f(x)≥0无解；当−1<x<1时，f(x)=2x+1，由f(x)≥0可解得x≥−12，于是−12≤x<1；当x≥1时，f(x)=3>0恒成立；∴不等式f(x)≥0的解集[−12，+∞)．(2)由方程f(x)=x可变形为a=x+|x−1|−|x+1|．令ℎ(x)=x+|x−1|−|x+1|={x+2,x<−1,−x,−1≤x≤1,x−2,x>1,作出图象如下:若方程f(x)=x有三个实数根，即y=a和y=ℎ(x)的图像有三个交点，根据图像可知，−1<a<1．【考点】绝对值不等式的解法与证明根的存在性及根的个数判断【解析】(1)根据绝对值的意义，求得不等式f(x)≥0的解集．(2)函数f(x)的图象与直线y=x有3个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：(1)∵a=1时，f(x)=|x+1|−|x−1|+1，∴当x≤−1时，f(x)=−1，此时f(x)≥0无解；当−1<x<1时，f(x)=2x+1，由f(x)≥0可解得x≥−12，于是−12≤x<1；当x≥1时，f(x)=3>0恒成立；∴不等式f(x)≥0的解集[−12，+∞)．(2)由方程f(x)=x可变形为a=x+|x−1|−|x+1|．令ℎ(x)=x+|x−1|−|x+1|={x+2,x<−1,−x,−1≤x≤1,x−2,x>1,作出图象如下:若方程f(x)=x有三个实数根，即y=a和y=ℎ(x)的图像有三个交点，根据图像可知，−1<a<1．。
2020-2021学年四川省绵阳市某校高三(上)十月月考数学(理)试卷(有答案)
2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）十月月考数学（理）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|−1<x <2}，B ={x|x 2+2x ≤0}，则A ∩B =( ) A.{x|0<x <2} B.{x|0≤x <2} C.{x|−1<x <0} D.{x|−1<x ≤0}2. 设命题p:2x <2，命题q:x 2<1，则p 是q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P (sin 4π3,cos4π3)，则cos (π+α)=( )A.√32B.12C.−12D.−√324. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若BD →=2DC →，则AD →=( ) A.14AB →+34AC →B.34AB →+14AC →C.13AB →+23AC →D.23AB →+13AC →5. 已知a =log 30.5，b =log 0.50.6，c =30.2，则( ) A.a <b <c B.b <c <a C.b <a <c D.c <a <b6. 函数y =x 2ln |x||x|的图象大致是( )A.B. C. D.7. 已知cos(π3+α)=35−cos(π−α)，则cos(2α+π3)=( )A.−725B.725C.5725D.−57258. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则()A.f(x)的图象关于点(π6,0)对称B.f(x)的图象关于点(−π6,0)对称C.f(x)在(−π6,π3)上单调递增D.f(x)在(−2π3,−π6)上单调递增9. 已知数列{a n }(n ∈N ∗)中，a 1=1，a n+1=a n 2a n +1，则a n =( )A.2n −1B.2n +1C.12n−1D.12n+110. 设f (x )=|ln x|，若函数g (x )=f (x )−ax 在区间(0,e 2)上有三个零点，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,1e ) B.(1e 2,1e )C.(2e 2,2e )D.(2e 2,1e )11. 函数 f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0) 在(−π2,π2) 上单调递增，且图象关于x =−π对称 ，则ω的值为( ) A.23 B.53C.2D.8312. 若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( ) A.a >2b B.a <2bC.a >b 2D.a <b 2二、填空题已知向量a →=(−2,2)， 向量b →的模为1，且 |a →−2b →|=2，则a →与b →的夹角为_______.已知f (x )=sin [π3(x +1)]−√3cos [π3(x +1)]，则f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2020)=__________.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45∘的方向上，行驶300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD = ________m ．f(x)定义在R 上的函数，满足f(x)=f(−x)且x ≥0时，f(x)=x 3，若对任意的x ∈[2t −1, 2t +3]，不等式f(3x −t)≥8f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是________．三、解答题已知函数f(x)=(cos x−sin x)2−2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；(2)若f(x0)=−1，且x0∈(−π,−π2)，求x0的值.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A=c−√22a．(1)求B；(2)若c=4√2，cos A=7√210，求△ABC的面积．已知数列{a n}的前n项和S n满足2(S n+1)=(n+1)a n+1，且a1=2，n∈N∗.(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{a n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式；已知函数f(x)=ln x−2ln x+2.(1)求函数f(x)在区间[1，+∞)上的值域；(2)若实数x1，x2均大于1且满足f(x1)+f(x2)=12，求f(x1x2)的最小值.已知函数f(x)=(x−1)ln x−x−1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2−t−t2，y=2−3t+t2（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A，B两点．(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）十月月考数学（理）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|−1<x<2}，B={x|x2+2x≤0}={x|−2≤x≤0}，∴A∩B={x|−1<x≤0}．故选D.2.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2x<2得x<1，由x2<1得−1<x<1，则p是q成立的必要不充分条件.故选B.3.【答案】A【考点】任意角的三角函数运用诱导公式化简求值【解析】结合三角函数的定义及诱导公式即可求解．【解答】解：由题意可得，P(−√32,−12)，故cosα=−√32，则cos(π+α)=−cosα=√32．故选A.4.C【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的减法及其几何意义向量的三角形法则【解析】利用向量的三角形法则和平行四边形法则、向量共线定理即可得出．【解答】解：如图所示，∵BD→=2DC→，∴BD→=23BC →，∴AD→=BD→−BA→=23BC→+AB→=23(AC→−AB→)+AB→=23AC→−23AB→+AB→=23AC→+13AB→．故选C．5.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】容易得出log30.5<0,0<log0.50.6<1,30.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log30.5<log31=0，0=log0.51<log0.50.6<log0.50.5=1，30.2>30=1，∴a<b<c．故选A.6.【答案】D利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合函数图象的作法【解析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数y=x 2ln|x||x|是偶函数，排除B；当x=e时，y=e，即点(e, e)在函数的图象上，排除A；当x>0，y′=ln x+1，从而当x∈(0,1e)时，y′<0，函数在(0, 1e)上单调递减；当x∈(1e,+∞)时，y′>0，函数在(1e, +∞)上单调递增，排除C.故选D.7.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】【解答】解：由cos(π3+α)=35−cos(π−α)，可得12cosα−√32sinα=35+cosα，即√32sinα+12cosα=−35，即cos(α−π3)=−35，所以cos(2α−2π3)=2cos2(α−π3)−1=2×925−1=−725，所以cos(2α+π3)=cos[(2α−2π3)+π]=−cos(2α−2π3)=725.8.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性正弦函数的单调性正弦函数的周期性【解析】由函数y＝2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)图象相邻的最高点之间的距离为π，求出函数的周期，即可求出ω，通过函数的图象的平移，求出新函数，通过函数的奇偶性，求出φ，进而根据正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)，其图象相邻的最高点之间的距离为π，所以函数的周期为T=π=2πω，则ω=2，所以函数f(x)=2sin(2x+φ).将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度时，得到函数g(x)=f(x+π12)=2sin[2(x+π12)+φ]=2sin(2x+φ+π6)，由g(x)是奇函数，得φ+π6=kπ，k∈Z.又|φ|<π2，解得φ=−π6，所以f(x)=2sin(2x−π6).对于A，f(π6)=2sinπ6=1≠0，故A错误；对于B，f(−π6)=2sin(−π2)=−2≠0，故B错误；对于C，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，可得f(x)在(−π6,π3)上单调递增，故C正确，D错误．故选C.9.【答案】C数列递推式等差数列的通项公式【解析】本题可以通过求倒数，构造出新的数列{1a n}成等差，然后根据等差数列的通项公式，求出通项1a n的表达式，得到数列{a n}的通项公式，即得本题结论．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n2a n+1，∴a n≠0，n∈N∗，两边取倒数得1a n+1=2a n+1a n=1a n+2，∴{1a n }是首项为1a1=1，公差为2的等差数列，∴1a n=1+2(n−1)=2n−1，∴a n=12n−1，n∈N∗.故选C．10.【答案】D【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：令g(x)=f(x)−ax=0，可得f(x)=ax，在坐标系内画出函数f(x)=|ln x|图象，如图：当x>1时，f(x)=ln x．由y=ln x得y′=1x．设过原点的直线y=ax与函数y=ln x的图象切于点A(x0,ln x0)，则有 {ln x 0=ax 0，a =1x 0，解得 {x 0=e ，a =1e ，所以当直线y =ax 与函数y =ln x 的图象相切时a =1e ．又当直线y =ax 经过点B (e 2,2)时， 有2=a ⋅e 2，解得a =2e 2．结合图象可得当直线y =ax 与函数f (x )=|ln x|的图象有3个交点时， 实数a 的取值范围是(2e 2,1e)．即函数g (x )=f (x )−ax 在区间(0,e 2)上有3个零点时，实数a 的取值范围是(2e 2,1e )．故选D . 11.【答案】 A【考点】正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：f(x)的单调增区间为:−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 即−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω,k ∈Z .又f(x)在(−π2，π2)上单调递增， ∴ {−2π3ω+2kπω≤−π2π3ω+2kπω≥π2⇒{ω≤43−4k ω≤23+4k ， 令k =0，则0<ω≤23, ∵ f(x)关于x =−π对称， ∴ −πω+π6=−π2+kπ,k ∈Z , ∴ ω=23−k , ∴ ω=23.故选A. 12.【答案】 B【考点】对数的运算性质指数函数单调性的应用【解析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a +log 2a <22b +log 22b ，再借助于函数的单调性即可求解结论． 【解答】解：由指数与对数运算可得：2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b又因为22b +log 2b <22b +log 22b =22b +1+log 2b ， 即2a +log 2a <22b +log 22b ， 令f (x )=2x +log 2x ，由指对函数单调性可得f (x )在(0,+∞)内单调递增， 由f (a )<f (2b )可得：a <2b . 故选B ． 二、填空题【答案】 45∘【考点】向量模长的计算数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算【解析】运用向量的数量积的定义，求得向量a ，b 的数量积，再由向量的平方即为模的平方，化简整理，解方程即可得到向量b 的模． 【解答】解：设a →与b →的夹角为θ， 因为向量a →=(−2,2)，所以|a →|=√(−2)2+22=2√2， 由题意知|a →−2b →|=2，两边同时平方可得a →2+4b →2−4|a →|⋅|b →|⋅cos θ=4， 即8+4−8√2cos θ=4，解得cos θ=√22， 又0∘<θ<180∘，故θ=45∘.故答案为：45∘.【答案】√3【考点】两角和与差的正弦公式周期函数三角函数的周期性及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x)=sin[π3(x+1)]−√3cos[π3(x+1)]=2sinπ3x，∴函数f(x)的最小正周期为6，∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=√3.故答案为：√3．【答案】300+100√3【考点】两角和与差的正弦公式解三角形解三角形的实际应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意∠BCA=60∘−45∘=15∘，sin15∘=sin(60∘−45∘)=sin60∘cos45∘−cos60∘sin45∘=√32×√22−12×√22=√6−√24.在△ABC中由正弦定理得ABsin∠BCA =BCsin∠BAC，所以BC=AB sin∠BACsin∠BCA =300sin45∘sin15∘=300×√2 2√6−√24=300(√3+1).在Rt△BCD中，CD=BC tan∠CBD =300(√3+1)tan30∘=300+100√3．故答案为：300+100√3．【答案】t≤−3或t≥1或t=0【考点】已知函数的单调性求参数问题函数恒成立问题偶函数【解析】由题意f(x)为R上偶函数，f(x)＝x3在x>0上为单调增函数知|3x−t|≥|2x|，转化为对任意x∈[2t−1, 2t+3]，5x2−6xt+t2≥0恒成立问题．【解答】解：∵f(x)满足f(x)=f(−x)，∴f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)=x3，在x>0上为单调增函数，∴f(3x−t)≥8f(x)=f(2x)，即|3x−t|≥|2x|，∴(3x−t)2≥(2x)2，化简后：5x2−6xt+t2≥0①.当t=0时显然成立；当t>0时，①式解为x≤t5或x≥t，对任意x∈[2t−1,2t+3]，①式恒成立，则需t≤2t−1，故t≥1;当t<0时，①式解为x≤t或t≥t5，对任意x∈[2t−1,2t+3]，①式恒成立，则需2t+3≤t，故t≤−3.综上所述，t≤−3或t≥1或t=0.故答案为：t≤−3或t≥1或t=0.三、解答题【答案】解：(1)f(x)=(cos x−sin x)2−2sin2x=1−2sin x cos x−2sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，∴ T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π∵y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z∴由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π, k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8,k∈Z，∴ f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8], k∈Z.(2)由已知f(x0)=−1，可得√2cos(2x0+π4)=−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4,−3π4)，∴ 2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4.【考点】三角函数的化简求值函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f(x)=(cos x−sin x)2−2sin2x=1−2sin x cos x−2sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，∴ T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π∵y=cos x的单调递减区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z∴由2kπ≤2x+π4≤2kπ+π, k∈Z，解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8,k∈Z，∴ f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8], k∈Z.(2)由已知f(x0)=−1，可得√2cos(2x0+π4)=−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4,−3π4)，∴ 2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4.【答案】解：(1)由已知b cos A=c−√22a，得到sin B cos A=sin C−√22sin A=sin A cos B+cos A sin B−√22sin A，因为A∈(0, π)，所以sin A>0，所以cos B=√22，由B∈(0, π)，得B=π4．(2)由cos A=7√210，A∈(0, π)，得，sin A=√1−cos2A=√210，在△ABC中，sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B，=√22⋅√210+√22⋅7√210=45，由正弦定理csin C =asin A得，a=csin C ⋅sin A=4√2⋅54⋅√210=1，所以S△ABC=12ac sin B=12×4√2×√22=2．【考点】三角形的面积公式正弦定理【解析】(Ⅰ)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出B的值．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：(1)由已知b cos A=c−√22a，得到sin B cos A=sin C−√22sin A=sin A cos B+cos A sin B−√22sin A，因为A∈(0, π)，所以sin A>0，所以cos B=√22，由B∈(0, π)，得B=π4．(2)由cos A=7√210，A∈(0, π)，得，sin A=√1−cos2A=√210，在△ABC中，sin C=sin(A+B) =sin A cos B+cos A sin B，=√22⋅√210+√22⋅7√210=45，由正弦定理csin C =asin A得，a=csin C ⋅sin A=4√2⋅54⋅√210=1，所以S△ABC=12ac sin B=12×4√2×√22=2．【答案】(1)解：因为2(S n+1)=(n+1)a n+1，所以当n=1时，2(a1+1)=(1+1)a2将a1=2代入得：a2=3．同理，当n=2时，有2(S2+1)=(2+1)a3，得a3=2(S2+1)3=2(a1+a2+1)3=2×(2+3+1)3=4.(2)证明：由2(S n+1)=(n+1)a n+1，①得2(S n−1+1)=na n(n≥2)，②①−②得：2a n=(n+1)a n+1−na n，即a n+1a n =n+2n+1(n≥2).又a2a1=32成立，故a n+1a n =n+2n+1，则a na n−1=n+1n，a n−1 a n−2=nn−1，a n−2 a n−3=n−1n−2，⋯a2 a1=32，累乘得：a na1=n+12，即a n=n+12a1=n+1.故数列{a n}是以2为首项，公差为1的等差数列，且a n=n+12a1=n+1. 【考点】数列递推式等差数列【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为2(S n+1)=(n+1)a n+1，所以当n=1时，2(a1+1)=(1+1)a2将a1=2代入得：a2=3．同理，当n=2时，有2(S2+1)=(2+1)a3，得a3=2(S2+1)3=2(a1+a2+1)3=2×(2+3+1)3=4.(2)证明：由2(S n+1)=(n+1)a n+1，①得2(S n−1+1)=na n(n≥2)，②①−②得：2a n=(n+1)a n+1−na n，即a n+1a n =n+2n+1(n≥2).又a2a1=32成立，故a n+1a n =n+2n+1，则a na n−1=n+1n，a n−1 a n−2=nn−1，a n−2 a n−3=n−1n−2，⋯a2 a1=32，累乘得：a na1=n+12，即a n=n+12a1=n+1.故数列{a n}是以2为首项，公差为1的等差数列，且a n=n+12a1=n+1. 【答案】解：(1)由题意得f(x)=ln x+2−4ln x+2=1−4ln x+2，由x≥1，知ln x≥0，于是ln x+2≥2，∴ 0<1ln x+2≤12，即−2≤−4ln x+2<0，∴−1≤1−4ln x+2<1∴ f(x)的值域为[−1,1).(2)f(x1)+f(x2)=1−4ln x1+2+1−4ln x2+2=12，所以4ln x1+2+4ln x2+2=32.又x1>1,x2>1，∴ln x1x2=ln x1+ln x2 =ln x1+2+ln x2+2−4=23[(ln x1+2)+(ln x2+2)]⋅(4ln x1+2+4ln x2+2)−4=23[8+4(ln x2+2)ln x1+2+4(ln x1+2)ln x2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(ln x2+2)ln x1+2=4(x1+2)ln x+2，即x1=x2时取“=”，故(x1x2)min=e203，∵ f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴ f(x1x2)min=f(e203)=713. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数的单调性及单调区间函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意得f(x)=ln x+2−4ln x+2=1−4ln x+2，由x≥1，知ln x≥0，于是ln x+2≥2，∴ 0<1ln x+2≤12，即−2≤−4ln x+2<0，∴−1≤1−4ln x+2<1∴ f(x)的值域为[−1,1).(2)f(x1)+f(x2)=1−4ln x1+2+1−4ln x2+2=12，所以4ln x1+2+4ln x2+2=32.又x1>1,x2>1，∴ln x1x2=ln x1+ln x2 =ln x1+2+ln x2+2−4=23[(ln x1+2)+(ln x2+2)]⋅(4ln x1+2+4ln x2+2)−4=23[8+4(ln x2+2)ln x1+2+4(ln x1+2)ln x2+2]−4≥23(8+2√16)−4=203，当且仅当4(ln x2+2)ln x1+2=4(x1+2)ln x+2，即x1=x2时取“=”，故(x1x2)min=e203，∵ f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴ f(x1x2)min=f(e203)=713.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=x−1x +ln x−1=ln x−1x.因为y=ln x单调递增，y=1x单调递减，所以f′(x)单调递增.又f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12=ln4−12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.又当x<x0时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=−2，又f(e2)=e2−3>0，所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x0>1得1α<1<x0.又f(1α)=(1α−1)ln1α−1α−1=f(α)α=0，故1α是f(x)=0在(0,x0)的唯一根，综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性根的存在性及根的个数判断【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f′(x)=x−1x +ln x−1=ln x−1x.因为y=ln x单调递增，y=1x单调递减，所以f′(x)单调递增.又f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12=ln4−12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.又当x<x0时，f′(x)<0,f(x)单调递减；当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)<f(1)=−2，又f(e2)=e2−3>0，所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x0>1得1α<1<x0.又f(1α)=(1α−1)ln1α−1α−1=f(α)α=0，故1α是f(x)=0在(0,x0)的唯一根，综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】解：(1)当x=0时，即0=2−t−t2，解得t=−2或t=1（舍），将t=−2代入y=2−3t+t2中，解得y=12；当y=0时，即0=2−3t+t2，解得t=2或t=1（舍），将t=2代入x=2−t−t2中，解得x=−4，所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(−4,0)，故|AB|=√(−4)2+122=4√10.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，由(1)得直线AB过点(0,12)和(−4,0)，所以直线AB的解析式为3x−y+12=0.故直线AB的极坐标方程为3ρcosθ−ρsinθ+12=0.【考点】直线的极坐标方程两点间的距离公式【解析】(1)可令x=0，求得t，对应的y；再令y=0，求得t，对应的x；再由两点的距离公式可得所求值；(2)运用直线的截距式方程可得直线AB的方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得所求极坐标方程．【解答】解：(1)当x=0时，即0=2−t−t2，解得t=−2或t=1（舍），将t=−2代入y=2−3t+t2中，解得y=12；当y=0时，即0=2−3t+t2，解得t=2或t=1（舍），将t=2代入x=2−t−t2中，解得x=−4，所以曲线与坐标轴交于(0,12)和(−4,0)，故|AB|=√(−4)2+122=4√10.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，由(1)得直线AB过点(0,12)和(−4,0)，所以直线AB的解析式为3x−y+12=0.故直线AB的极坐标方程为3ρcosθ−ρsinθ+12=0.。
四川省绵阳南山中学实验学校23-24学年高三上学期10月月考(一诊模拟)理科数学试题含答案解析
绵阳南山中学实验学校高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A.{}12x x << B.{}12x x ≤< C.{}01x x << D.{}01x x <≤2.若复数5i43iz =-，则z =（）A.34i 55+ B.34i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.604.已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),1-∞ C.[)0,1 D.(]0,15.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC6.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.167.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.1.12B.1.13C.1.14D.1.158.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.55C.53D.1539.函数π()412sin 2xxf x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A. B. C.D.10.设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭ B.519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.138,63⎛⎤⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤⎥⎝⎦11.已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A.40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.18,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12.已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A.()3,1- B.()0,1 C.[)1,1- D.()1,3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．14.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =______m ．15.已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =___________.16.已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.20.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．21.已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为y =，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M ，N 的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,02l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．选修4—5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()8f x <的解集；（2）设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．绵阳南山中学实验学校高2021级高三（上）一诊模拟考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}220A x x x =-<，{}1B x x =>，则()UA B = ð（）A.{}12x x << B.{}12x x ≤< C.{}01x x << D.{}01x x <≤【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.【详解】解一元二次不等式化简集合A,得{|02}A x x =<<,由{|1}B x x =>得{|1}U C B x x =≤,所以(){|01}U A C B x x ⋂=<≤.故选D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.2.若复数5i43iz =-，则z =（）A.34i 55+ B.34i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-【答案】C 【解析】【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由()5i 43i 5i 34i43i 2555z +===-+-，得34i 55z =--．故选：C3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若25815a a a ++=，则9S =（）A.15B.30C.45D.60【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质求出5a ，再根据等差数列前n 项和公式即可得解.【详解】由题意得2585315a a a a ++==，所以55a =，所以()199599452a a S a +===.故选：C.4.已知命题p ：x ∃∈R ，使得2210ax x ++<成立为真命题，则实数a 的取值范围是（）A.(],0-∞ B.(),1-∞ C.[)0,1 D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当0a ≤时，命题为真命题，当0a >时，需0∆>，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】命题p 为真命题等价于不等式2210ax x ++<有解．当0a =时，不等式变形为210x +<，则12x <-，符合题意；当0a >时，Δ440a =->，解得01a <<；当a<0时，总存在x ∃∈R ，使得2210ax x ++<；综上可得实数a 的取值范围为(),1-∞．故选：B5.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6.执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为17，则输入的最小整数t 的值为（）A.9B.12C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的a 值恰好满足题意，然后停止循环求出t 的值.【详解】第一次循环，2213a =⨯-=，3a t =>不成立；第二次循环，2315a =⨯-=，5a t =>不成立；第三次循环，2519a =⨯-=．9a t =>不成立；第四次循环，29117a =⨯-=，17a t =>，成立，所以917t <≤，输入的最小整数t 的值为9．故选：A7.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为15A 时，放电时间为30h ；当放电电流为50A 时，放电时间为7.5h ，则该萻电池的Peukert 常数λ约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.1.12 B.1.13C.1.14D.1.15【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得1530507.5C λλ=⨯=⨯，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．【详解】由题意知1530507.5C λλ=⨯=⨯，所以50304157.5λ⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg 2lg23λ=，所以2lg220.3011.151lg310.477λ⨯=≈≈--．故选：D ．8.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈=⎪-⎝⎭，则tan α=（）A.1515B.5C.3D.3【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.9.函数π()412sin 2xxf x x -⎛⎫=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为()|22|cos x x f x x -=-⋅，()22cos()()xx f x x f x --=-⋅-=，所以()f x 为偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，所以排除A ，C 选项；又1(2)4cos 204f =-<，所以排除B 选项，故选：D ．10.设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A.513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭ B.519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.138,63⎛⎤⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x πω+的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．11.已知函数()1ex x f x +=.若过点()1,P m -可以作曲线()y f x =三条切线，则m 的取值范围是（）A.40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.80,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.14,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.18,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，可得()0201e x x m +=，设()()21e x x g x +=，求()g x '，利用导数求()g x 的单调性和极值，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1e x x f x +=可得()()2e e 1e ex x x x x x f x -⋅+-=='，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为()000e x x k f x -'==，所以在点0001,e x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线为：()000001e ex x x x y x x +--=-，因为切线过点()1,P m -，所以()0000011e e x x x x m x +--=--，即()0201e x x m +=，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线y m =与()g x 图象交点的个数，设()()21e x x g x +=，则()()()2222211e e x xx x x x g x +-++'-+==由()0g x '>可得11x -<<，由()0g x '<可得：1x <-或1x >，所以()()21e x x g x +=在(),1-∞-和()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增，当x 趋近于正无穷，()g x 趋近于0，当x 趋近于负无穷，()g x 趋近于正无穷，()g x 的图象如下图，且()41e g =，要使y m =与()()21e xx g x +=的图象有三个交点，则40e m <<.则m 的取值范围是:40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A .12.已知函数()323,0,31,0x x f x x x x ->⎧=⎨-+≤⎩，函数()()()g x f f x m =-恰有5个零点，则m 的取值范围是（）A.()3,1- B.()0,1 C.[)1,1- D.()1,3【答案】C【解析】【分析】由题意可先做出函数()f x 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m 的取值范围.【详解】当0x ≤时，()233f x x ¢=-．由()0f x ¢>，得1x <-，由()0f x '<，得10-<≤x ，则()f x 在(]1,0-上单调递减，在(),1-∞-上单调递增，故()f x 的大致图象如图所示．设()t f x =，则()m f t =，由图可知当3m >时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意．当3m =时，()m f t =的解是11t =-，23t =．1f x t =（）有2个不同的实根，2f x t =（）有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当13m ≤<时，()m f t =有3个不同的实根3t ，4t ，5t ，且()321t ∈--,，(]41,0t ∈-，[)52,3t ∈．3f x t =（）有2个不同的实根，4f x t =（）有2个不同的实根，5f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有7个不同的实根，不符合题意．当11m -≤<时，()m f t =有2个不同的实根6t ，7t ，且()631t ∈--,，[)71,2t ∈．6f x t =（）有2个不同的实根，7f x t =（）有3个不同的实根，则()t f x =有5个不同的实根，符合题意．当3<1m -<-时，()m f t =有2个不同的实根8t ，9t ，且()831t ∈--,，()901t ∈,，8f x t =（）有2个不同的实根，9f x t =（），有2个不同的实根，则()t f x =有4个不同的实根，不符合题意．当3m ≤-时，()m f t =有且只有1个实根，则()t f x =最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是[)1,1-．故选：C.【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m 的讨论应有3m =，13m ≤<，11m -≤<，3<1m -<-，3m ≤-这几种情况,也是解题关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103-.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k 的值【详解】()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+ ,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103k =-,故答案为：103-.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y == 垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=.14.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高200BC =m ，则山高MN =______m ．【答案】300【解析】【分析】先求,AC AMC ∠，由正弦定理得sin sin MCA AMC AM AC ∠∠=，最后由sin MN AM MAN =⋅∠可求.【详解】由题意，sin BC AC CAB==∠m ，18045AM C M AC M CA ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理得32sin sin 22MCA AMC AM AM AC AM ∠∠=⇒=⇒=m ，所以sin 3002MN AM MAN =⋅∠==m.故答案为：30015.已知等比数列{}n a 的前3项和为25168,42a a -=，则6a =___________.【答案】3【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得12q =，196a =，即可求得6a 的值.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，由题意1q ≠，因为前3项和为168，故()3112311681a q a a a q -++==-，又()43251111a a a q a q a q q -=-=-，所以12q =，196a =，则561196332a a q ==⨯=.故答案为：3.16.已知函数()y f x =是R 的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，有下列命题①(1)(2)(3)(2019)0f f f f ++++= ②直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴③函数()y f x =在[7,7]-上有5个零点④函数()y f x =在[7,5]--上为减函数则结论正确的有____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法求得()20f =，进而分析得到1x =时函数()f x 的一条对称轴，，函数()f x 时周期为4的周期函数，且函数()f x 在[1,1]-上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()y f x =是R 的奇函数，则()00f =，对任意x R ∈，都有(2)()(2)f x f x f -=+成立，当2x =，有()()0220f f ==，即()20f =，则有(2)()f x f x -=，即1x =时函数()f x 的一条对称轴，又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，即()()2f x f x +=-，可得()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 时周期为4的周期函数，当12,,1[]0x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，可函数()f x 在[1,1]-上单调递增，对于①中，由()()2f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以(1)(2)(3)(2019)504[(1)(2)(3)(4)]f f f f f f f f ++++=+++ ()(1)(2)(3)20f f f f +++==，所以①正确；对于②中，由1x =时函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 时周期为4的周期函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以②正确；对于③中，函数()y f x =在[7,7]-上有7个零点，分别为6,4,2,0,2,4,6---，所以C 错误；对于④中，函数()y f x =在[1,1]-上为增函数且周期为4，可得()y f x =在[5,3]--上为增函数，又由5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7,5]--上为减函数，所以④正确.故答案为：①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）32⎡-⎢⎣【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A ，由最小正周期求出ω，并确定ϕ.（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.【小问1详解】解：根据函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可得A =1252632ππππω=-=⋅，所以2ω=.再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，所以3πϕ=，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后，可得22333y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦又 函数()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减∴3(0)2g =-，524g π⎛⎫= ⎪⎝⎭03g π⎛⎫= ⎪⎝⎭∴3()4,32g x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣∴函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域32⎡-⎢⎣.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313log 1log n n b b +-=，且()1122n n n a a a n +-=+≥．339S b ==，414b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n b -=，21n a n =-（2）13n n T n +=⋅【解析】【分析】（1）根据对数运算得13n nb b +=，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列{}n a 为等差数列，建立方程求出公差，从而可得{}n a 的通项；（2）利用错位相减法计算即可.【小问1详解】∵313log 1log n n b b +-=，∴313log log (3)n n b b +=，则13n nb b +=，所以{}n b 为等比数列，又39b =，得11b =，所以13n n b -=，由112n n n a a a +-=+知{}n a 是等差数列，且41427b a ==，39S =，∴111327339a d a d +=⎧⎨+=⎩，得11a =，2d =．∴21n a n =-.【小问2详解】因为21n a n =-，13n n b -=，所以()11213nn n n c a b n ++=⋅=+，所以()()1231335373213213n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅则()()23413335373213213n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅上面两式作差得()223123232323213n n n T n +-=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅-+⋅()()111913922132313n n n n n -++⎛⎫- ⎪=+-+⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，∴13n n T n +=⋅19.记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.【答案】（1）证明见解析；（2）7cos 12ABC ∠=.【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有ac BD b=，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a 与c 的关系，然后利用余弦定理即可求得cos ABC ∠的值.【详解】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得sin sin ,22b c R ABC C R==∠，因为sin sin BD ABC a C ∠=，所以22b c BD a R R ⋅=⋅，即BD b ac ⋅=．又因为2b ac =，所以BD b =．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为2AD DC =，如图，在ABC 中，222cos 2a b c C ab+-=，①在BCD △中，222()3cos 23b a b b a C +-=⋅．②由①②得2222223(3b a b c a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦，整理得22211203a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，解得3c a =或32c a =，当22,33c c a b ac ===时，33c a b c +=+<（舍去）．当2233,22c c a b ac ===时，22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠．所以7cos 12ABC ∠=．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知2AD DC =，则23ABD ABC S S =△△，即21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠，而2b ac =，即sin sin ADB ABC ∠=∠，故有ADB ABC ∠=∠，从而ABD C ∠=∠．由2b ac =，即b c a b =，即CA BA CB BD=，即ACB ABD ∽，故AD AB AB AC =，即23b c c b =，又2b ac =，所以23c a =，则2227cos 212c a b ABC ac +-==∠．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD b AC ==，再由2AD DC =得21,33AD b CD b ==．在ADB 中，由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠．又ABD C ∠=∠，所以s 3sin n 2i C b A b =，化简得2sin sin 3C A =．在ABC 中，由正弦定理知23c a =，又由2b ac =，所以2223b a =．在ABC 中，由余弦定理，得222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +--⨯∠+===．故7cos 12ABC ∠=．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE AB ∥，交BC 于点E ，则DEC ABC △∽△．由2AD DC =，得2,,333c aaDE EC BE ===．在BED 中，2222(()33cos 2323BED a c bac-=⋅∠+⋅．在ABC 中222cos 2a a BC c A b c +-=∠．因为cos cos ABC BED ∠=-∠，所以2222222()()3322233a c ba cb ac ac +-+-=-⋅⋅，整理得22261130a b c -+=．又因为2b ac =，所以2261130a ac c -+=，即3c a =或32a c =．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为2AD DC =，所以2AD DC =uuu r uuu r．以向量,BA BC 为基底，有2133BD BC BA =+ ．所以222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ ，即222441cos 999b ac c ABC a ∠=++，又因为2b ac =，所以22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++．③由余弦定理得2222cos b a c ac ABC =+-∠，所以222cos ac a c ac ABC =+-∠④联立③④，得2261130a ac c -+=．所以32a c =或13a c =．下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则()()()0,0,2,0,1,0D A C -．由（1）知，3BD b AC ===，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设()(),33B x y x -<<，则229x y +=．⑤由2b ac =知，2BA BC AC ⋅=，9=．⑥联立⑤⑥解得74x =-或732x =≥（舍去），29516y =，代入⑥式得36||||32a BC c BA b =====，由余弦定理得2227cos 212a cb ABC ac +-∠==．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.20.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1x h x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1x f x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.21.已知函数()()ln 1e x f x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x=（2）(,1)-∞-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21ex x f x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=【小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x '+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1︒若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x ∈-=+->,即()0f x '>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意2︒若10a -≤≤,当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->所以()g x 在(0,)+∞上单调递增所以()(0)10g x g a >=+≥,即()0f x '>所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+∞上没有零点,不合题意3︒若1a <-(1)当,()0x ∈+∞,则()e 20x g x ax '=->,所以()g x 在(0,)+∞上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m ∈,使得()0g m =,即()0'=f m 当(0,),()0,()x m f x f x '∈<单调递减当(,),()0,()x m f x f x '∈+∞>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f ∈<=,令(),1,e x x h x x =>-则1(),1,e xx h x x -'=>-所以()x x h x e =在()1,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()1()1e h x h ≤=，又e e 10a -->，e 1e 10e e a a f a -⎛⎫-≥-+⋅= ⎪⎝⎭，所以()f x 在(,)m +∞上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+∞上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a x∈-=+-设()()e 2x h x g x ax '==-()e 20x h x a '=->所以()g x '在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ''-=+<=>所以存在(1,0)n ∈-,使得()0g n '=当(1,),()0,()x n g x g x '∈-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x '∈>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n ∈-,使得()0g t =,即()0f t '=当(1,),()x t f x ∈-单调递增,当(,0),()x t f x ∈单调递减，当()1,0x ∈-，()()1e h x h >-=-，又e 1e 10a -<-<，()e e 1e e 0a f a a -<-=而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x ∈>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+∞各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-∞-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．选修4—4：坐标系与参考方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线M 的方程为24y x x =-+，曲线N 的方程为9xy =，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线M ，N 的极坐标方程；（2）若射线00π:(0,02l θθρθ=≥<<与曲线M 交于点A （异于极点），与曲线N 交于点B ，且||||12OA OB ⋅=，求0θ．【答案】（1）π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2sin 218ρθ=（2）π4【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线M 和N 的极坐标方程；（2）将0θθ=代入曲线M 和N 的方程，求得018||sin 2OB ρθ==0||4cos OA ρθ==，结合题意求得0tan 1θ=，即可求解.【小问1详解】解：由24y x x =-+224(0)y x x y =-+≥，即224(04,0)x y x x y +=≤≤≥，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得2π4cos (0)2ρρθθ=≤≤，所以曲线M 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭．由9xy =，可得2cos sin 9ρθθ=，即2sin 218ρθ=，即曲线N 的极坐标方程为2sin 218ρθ=.【小问2详解】解：将0θθ=代入2sin 218ρθ=，可得||OB ρ==将0θθ=代入4cos ρθ=，可得0||4cos OA ρθ==，则||||OA OB ⋅=，因为||||12OA OB ⋅=，所以0tan 1θ=，又因为0π02θ<<，所以0π4θ=．选修4—5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =++-．（1）求不等式()8f x <的解集；（2）设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥．【答案】（1）7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得2m =，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】由题意可得：()31,11213,1131,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩，当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得23x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-；综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫-⎪⎝⎭.【小问2详解】∵()()1112g x f x x x x =++---≥=，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立，∴函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，又∵22a b a b +≥=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；22b c b c +≥=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；22c a c a +≥=，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立；上式相加可得：222222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立，∴2222a b c a b c b c a ++≥++=.。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试卷 含解析
2021年高三上学期10月月考数学（理）试卷 含解析一、选择题（每小题5分，共12小题60分） 1．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C.0 D.1 【答案】A【解析】2222(1)1212ai ai a i a ai +=++=-+，要使复数是纯虚数，则有且，解得，选A.2．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}答案 D解析 由已知得A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{0,1，…，16}，所以A ∩B ＝{0,1,2}． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝xD ．y ＝ln x 2答案 D解析 y ＝sin x 在整个定义域上不具有单调性，排除B ；y ＝x ，y ＝e x 为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A ，C ；y ＝ln x 2满足题意，故选D. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f (f (π4))＝( ) A.2 B.1 C ． D ． 答案 C【解析】 ∵π4∈[0，π2)，∴f (π4)＝－tan π4＝－1. ∴f (f (π4))＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.5．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.6．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A ．－23B ．－13 C.13 D.23答案 D解析 a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝70，解得d ＝23.故选D.7.数列{a n }的通项公式是a n ＝，若前n 项和为10，则项数n 为（ ） A ．121 B ．120 C ．99 D ．11 答案B解析由n a ===，所以12(21)(32)(1)10n a a a n n +++=-+-+++-=，即，即，解得.选B.8．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个函数f (x )的图像，则“f (x )是偶函数”是“φ＝π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin(2x＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以则“f (x )是偶函数”是“φ＝π4”的必要不充分条件，选B.9.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[－6，－2]C ．(2,6)D ．(－6，－2)答案 A解析 ∵命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，∴命题“∀x ∈R ，使得x2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，∴2≤m ≤6. 10.已知函数的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A [解析] 本小题主要考查导数的应用，解题的突破口为三次函数求导后极大值或极小值等于零．由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0⇒x ＝±1，结合f (x )的图象可知只要f (－1)＝0或f (1)＝0即可，故解得c ＝－2或2，故选A.11．若y ＝A sin(ωx ＋θ)(A >0，ω>0，|θ|<π2)的图像如图所示，则y ＝（ ）A. B. C. D. 答案 C解析 由题图知周期T ＝1112π－(－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，且A ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋θ)．把x ＝0，y ＝1代入上式得2sin θ＝1， 即sin θ＝12.又|θ|<π2，∴θ＝π6.即y ＝2sin(2x ＋π6)．12.已知⎩⎨⎧≥-<--=)0)(2()0(4)(2x x f x x x a x f ，且恰有3个不同零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 答案 C二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13．若向量，满足且与的夹角为，则 ．答案14．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ．答案 30°解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.15．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为{a n }为等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5. 于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)． 而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， 因此ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.16．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)，若在(0,4)上f (x )为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 0<k ≤13解析 由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－2(k －1)k ≥4，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13.三、解答题（共6小题70分，第17小题10分，其余每小题12分）17.已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{}的前n 项和S n . 答案 (1)a n ＝n (2)S n ＝2n ＋1－2 解析 (1)由题设知公差d ≠0.由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d ，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．所以{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n＋1－2.18.已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．答案 (1)a ＝12，b ＝1 (2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y19.已知函数()2cos cos .f x x x x =-（I ）求的最小正周期和单调递增区间；（II ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值. 答案20.已知中，角A ，B ，C ，所对的边分别是，且； （1）求的值；（2）若，求面积的最大值。
四川省绵阳南山中学实验学校2020-2021学年高三10月月考数学(理)试题
四川省绵阳南山中学实验学校2020-2021学年高三10月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}12A x x =-<，()0,2B =，则A B =（ ）A ．{}04x x << B ．{}22x x -<< C ．{}02x x <<D ．{}13x x <<2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．7B ．10C ．14D ．213．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c -+等于（ ）A ．0B C ．2D ．4．设sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan2α的值是（ ）A B ．C D ．5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99B ．131C ．139D ．1416．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞7．已知123a =，b log =92c log =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．.a c b >>C ．.b a c >>D ．.c b a >>8．函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D ．函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭9．已知命题p ：x R ∃∈，321x x =-，命题q ：210ax ax ++>恒成立，则()0,4a ∈.下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝10．在数列{}n a 中，已知12a =，1122n n n a a a --=+，(2)n ≥，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．3nD ．31n + 11．已知函数()log (|1|)a f x x a =--（0a >且1a ≠），则“()f x 在[3,)+∞上是单调函数”是“12a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数()f x 的定义域为[)t +∞，，若存在一次函数()g x kx b =+，使得对于任意的[)x t ∈+∞，，都有()()1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在[)t +∞，上的弱渐进函数.下列结论正确的是（ ） ①()g x x =是()f x =[)1+∞，上的弱渐进函数；②()21g x x =+是()13f x x x=+在[)1+∞，上的弱渐进函数； ③()34g x x =-是()ln f x x x =在[)1+∞，上的弱渐进函数； ④()1g x x =+是()xxf x x e =+在[)1+∞，上的弱渐进函数. A ．①② B ．②④C ．①④D ．①③二、填空题13．数列{}n a 满足13n n a a +=且2469a a a =，则()3579log a a a 的值是___________ 14．曲线2ln y x x =+在点()1,b 处的切线方程与直线10ax y --=垂直，则a b +=______． 15．已知()()36xx f x xee -=++, ()10f a =,则()f a -= _________.16．如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13t AC AB AP =+，若ABCAP 的最小值为__________.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a 、b 、c ，且()co 2cos s 0c b A a B --=. （1）求角A 的大小；（2）若3b =，ABC的面积ABCS=，求a 的值．19．已知函数()21cos 2sin f x x x x =+-，x ∈R.（1）若[]0,x π∈，求函数()f x 的单调递减区间； （2）若把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数()g x ，求()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 20．已知函数()ln f x x ax =+()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，设函数()()(2)5g x f x k x =-++．若函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，求实数k 的取值范围． 21．已知函数2()ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的最值；（2）若1x ，2x 是方程2()(0)ax f x x x a +=->的两个不同的实数根，求证：12ln ln 2ln 0x x a ++<.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=，曲线2C的参数方程为1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程;（2）求点()1,2M -到A 、B 两点的距离之积. 23．已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．C 【分析】解绝对值不等式得集合A ，再求交集即可. 【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，()0,2B =， 所以AB ={}02x x <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，属于基础题. 2．C 【分析】由1476a a a ++=，利用等差数列的性质解得4a ，再利用等差数列求和公式即可得出． 【详解】1476a a a ++=， 436a ∴=，解得42a =．则17747()7142a a S a +===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．C 【分析】利用向量的三角形法则、向量加法的运算律及向量减法的运算律，即可得解. 【详解】 如图，a b c +=，∴2a b c a b a b a -+=-++=，1a =，∴22a b c a -+==.故选：C. 【点睛】本题考查向量的三角形法则、向量加法的运算律、向量减法的运算律及向量的模，考查学对这些知识的掌握能力，属于基础题. 4．A 【分析】利用二倍角公式将sin 2sin 0αα-=展开，即可求cos α的值，利用同角三角函数的基本关系求得sin α及tan α，然后利用二倍角公式求得tan2α. 【详解】由sin 2sin 0αα-=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得2sin cos sin sin (2cos 1)0ααααα-=-=， 所以12cos 10,cos 2αα-==，则sin 2α==-，所以sin tan cos ααα==所以22tan tan 21tan 13ααα-===--故选：A.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及二倍角公式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题. 5．D 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列 设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 6．D 【详解】当0x >时，()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增，则值域为(1,)+∞； 当0x ≤时，()3xf x a =-在(,0)-∞上单调递减，则值域为[1,)a a -；因为函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，所以函数()f x 有最小值时，需满足11a -≤，即2a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,2]-∞， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有指数函数的值域，以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目. 7．A 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果 【详解】因为102331a =>=，2211log log ,122b b =>=<<，3911log 2log 222c ==<所以a b c >>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用 8．D 【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1，∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+）， ∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题． 9．B 【分析】先利用函数图象交点、不等式恒成立判断p ，q 的真假，再利用复合命题的性质得到结论． 【详解】因为32,1y x y x ==-有交点，所以x R ∃∈，321x x =-，即p 为真命题， 又因为，当0a =时，210ax ax ++>也恒成立； 故q 为假命题；所以p q ∧、p q ⌝∧、p q ⌝∧⌝为假命题，p q ∨为真命题； 故选：B ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定以及一元二次不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．B 【分析】 由已知1122n n n a a a --=+两边取倒数，求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式即可.【详解】1122n n n a a a --=+， 11112n n a a -∴=+，1112=a所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12 为首项，公差为12的等差数列，112n n a = ，2na n = 故选:B 【点睛】当递推关系不能直接表达为等差或等比数列时，通过将所给递推关系变形，显现出一个相关数列为等差或等比数列，间接求出原数列得通项公式. 11．B 【解析】很明显函数1y x a =--和函数1y x =-在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.函数()f x 有意义，则：10x a -->恒成立，即：()min 1312a x <-=-=. 结合复合函数的单调性可得当01a <<时，函数()f x 在定义域内单调递减； 当12a <<时，函数()f x 在定义域内单调递增，即若()f x 在[)3,+∞上是单调函数，则01a <<或12a <<， “()f x 在[)3,+∞上是单调函数”是“12a <<”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称：同增异减．12．C 【分析】根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建()()f x g x - ①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确； ②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误； ③由构建关系，取特值()()1f e g e ->，不符合题意，错误； ④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确. 【详解】①由于()())1f x g x x x -==≥1x ≥，所以01<≤，所以①正确；②设()()113211F x x x x x x=+-+=+-，当2x =时，()21F >，不符合()1F x ≤，所以②错误；③设取特值()()=421g e e f e -->， 不符合，所以③错误；④设()1x x H x e =-，()1x x H x e ='-，当1≥x 时，()10xx H x e -'=≤，()1x xH x e=-在[)1+∞，上单调递减，所以()()111H x H e ≤=-；又1≥x 时，0x x e >，()11x xH x e=->-，即()1110H x e-<≤-<，所以()1H x <，④正确.综上，①④正确. 故选:C【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题. 13．11 【分析】由递推式可得数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得34a 的值，由等比数列的性质得37a ，代入即可得结果. 【详解】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，由2469a a a =得349a =，所以()3339211579743333a a a a a ===⨯=，即()1135793log log 311a a a ==，故答案为：11. 【点睛】本题主要考查了等比数列的判定与性质，对数的运算，属于基础题. 14．23【分析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点()1,b 的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为1-，求出a ，即可得解； 【详解】解：∵()1,b 是2ln y x x =+的点，则1b =，12y x x'=+，显然在点()1,b 处的斜率3k =， 则切线方程为32y x =-，∵直线32y x =-与直线1y ax =-垂直，则31a =-，显然13a =-， 则12133a b +=-=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是导数公式及导数的几何意义的应用，主要考查考生对相关概念、知识的掌握程度，属于基础题． 15．2 【分析】推导出()()12f x f x +-=，再由()10f a =求()f a -的值. 【详解】 ∵()()()()336,6xx x x f x xee f x x e e --=++-=-++ ，∴()()12f x f x +-=，∵()10f a =， ∴()()122f a f a -=-= 故填：2. 【点睛】本题考查了已知函数解析式求函数值，关键是发现()()f x f x -与的关系.16 【分析】设,AB AC m n ==，由1sin 2BA AB A C C ⋅⋅∠=，可得：6mn = 再由1233t AC AB t AC A AP D =++=，可得：13t =，则211AP AC AB ⎛⎫=+= ⎪222m n mn +≥可得解.【详解】设,AB AC m n ==ABC 的面积为2，1sin 2AB AC S BAC =⋅⋅∠1222mn =⋅= 6mn ∴=D 为AB 中点，2AB AD ∴=1233t AC AB t AC AD AP +==+∴又C 、P 、Q 三点共线，213t ∴+=，即13t = 1133AP AC AB ∴=+ 则()2222911112=3399APAC AB AC AB AC AB ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭22112=cos 999AC AB AC AB BAC ++⋅⋅∠ 222211212=992993m n m n m n +++⋅⋅=+m AP ∴=≥=当且仅当m n ==时取得最小值. 【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.17．(1)2n a n =；（2）2(2)n nT n =+．【解析】试题分析：（1）利用等差等比基本公式，计算数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和. 试题解析：(1)设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等数列，所以2214a a a =，即()()22223d d +=+，解得2d =，或0d =(舍去)， 所以()2212n a n n =+-=. (2)由(1)知()()2212n n n S nn +==+，所以()()111111212n n b S n n n n +===-++++， 111111233412n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()112222n nT n n =-=++. 18．（1）3A π=；（2【分析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角A 的大小； （2）根据三角形面积公式先求得c ，再代入余弦定理即可求得a 的值． 【详解】（1）∵()co 2cos s 0c b A a B --=，由正弦定理代入化简可得()cos 2sin sin sin cos 0A C B A B --=， 即2cos sin cos sin sin cos 0A C A B A B --=，()2cos sin cos sin sin cos sin A C A B A B A B ∴=+=+，即2cos sin sin A C C =，sin 0C ≠，2cos 1A ∴=，即1cos 2A =，又0A π<<，3A π∴=，（2） 3b =，由（1）知3A π=，结合三角形面积公式可知11sin 3222ABCSbc A c ==⨯⨯= 4c ∴=，由余弦定理有22212cos 916234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，a ∴=本题考查了正弦定理边角转化的应用，三角形面积公式的简单应用，余弦定理解三角形的应用，属于基础题. 19．（1）2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最小值为2-，最大值为1-. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式进行化简函数解析式，然后根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据函数平移求出函数()g x 的解析式，然后根据正弦型函数的单调性求出()g x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值. 【详解】（1）()21cos 2sin 2cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+⎪⎝⎭， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈， 得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 又0x π≤≤，263x ππ∴≤≤可得函数()f x 的单调减区间为2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 把()f x 向右平移6π个单位，图像上各点的横坐标缩短为原来的一半， 得到()2sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦54,666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦ ，所以11sin 462x π⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭ 故()g x 的最小值为2-，最大值为1-.本题考查了正弦型函数的单调性及最值，考查了两角和正弦公式、二倍角公式，考查了数学运算能力.20．（1）答案见解析；（2）01k <<． 【分析】（1）求出导函数()'f x ，然后按0a ≥和0a <分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；（2）问题变形为方程ln 52x x k x ++=+有两解，【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞'11()ax f x a x x+=+= 当0a ≥时，'()0f x >恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，由'()0f x >得：10x a<<-，由'()0f x <得：1x a >-()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 综上可知：当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增 当0a <时，()f x 在1(0,)a -单调递增，在1(,)a-+∞单调递减 （2）函数()g x 在区间0,)+∞（上有两个零点，等价于方程ln 52x x k x ++=+有两解令ln 5()2x x p x x ++=+，22ln 2()(2)x x p x x --+'= 令2()ln 2h x x x =--，221()0h x x x'=--<在(0,)+∞上恒成立 ()h x 在(0,)+∞单调递减又(1)0h =，则()0p x '>，01x <<，()0p x '<，1x > 所以()p x 在(0,1)单增，在(1,)+∞单减，max ()(1)2p x p ==，1x >时，ln 3()112x p x x +=+>+，即x →+∞时，()1p x →，当30x e -<<时，()1p x <， ∴ln 5()2x x p x x ++=+的图象与直线y k =有两个交点，则01k <<．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的零点个数．零点个数总是常常转化为方程解的个数，又可转化为直线与函数图象交点个数．本题中在确定出函数的单调性与极值（最值）后还必须确定函数值的变化趋势才可得出正确答案，否则易出现扩大了的范围． 21．（1）最小值为0，无最大值；（2）证明见解析. 【分析】（1）对函数进行求导得到函数的单调区间，进而可得最值；（2）由题意可得得到2121lnx x a x x =-，把要证明的结论转化为证2221112ln 2x x xx x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，不妨令211x t x =>，构造函数21()ln 2g t t t t=--+，利用导数证明()g t 在()1,+∞上为减函数，可得()()10g t g <=，则结论得证. 【详解】（1）依题意，2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==， 故当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '> ， ∴()f x 单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞， 故最小值等于()10f =，无最大值.（2）因为1x ，2x 是方程2()ax f x x x +=-的两个不同的实数根，∴1122ln 0ln 0ax x ax x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()2121ln0x a x x x -+=，解得2121ln x x a x x =- ， 要证：12ln ln 2ln 0x x a ++<，即证：1221x x a <，即证：2211221ln x x x x x x ⎛⎫ ⎪- ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭，即证()222122111212ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，不妨设12x x <，令211x t x =>，只需证21ln 2t t t <-+， 设21()ln 2g t t t t=--+， ∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭， 令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，∴()h t 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)0h t h <=，∴()0g t '<，∴()g t 在(1,)+∞为减函数， ∴()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(1,)+∞恒成立， ∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a ++<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，训练了利用构造函数法证明恒成立问题，属于难题. 22．（1）2y x ，10x y +-=；（2）2.【分析】（1）给曲线1C 的极坐标方程2sin cos θρθ=两边同乘ρ，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩进行转化.曲线2C 的参数方程两式相加消去t ，得直角方程；（2）将曲线2C 的参数方程代入曲线1C 的普通方程，然后利用直线参数方程中t 的几何意义求解. 【详解】（1）由曲线1C 的极坐标方程可得曲线1C 的直角坐标方程为2y x ,由曲线2C 的参数方程可得曲线2C 的普通方程为10x y +-=,（2）将曲线2C的参数方程1222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入曲线1C的普通方程得：220t -=, 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，∴12t t +=, 122t t ⋅=-， 可得122MA MB t t ⋅=⋅=. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的应用，难度一般. 23．（1）(][),04,-∞+∞；（2）13a >-. 【分析】（1）先通过分类讨论去掉绝对值符号，再分段求出()0f x <的解，从而得到原不等式的解. （2）根据给定的范围可把()3f x x <+转化为10ax a --<在[]2,1-上恒成立，令()1g x ax a =--，[]2,1x ∈-，可得关于a 的不等式组，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()4,22213,214,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+≥⎩，不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得0x ≤或4x ≥，不等式解集为(][),04,-∞+∞.（2）当[]2,1x ∈-时，不等式()3f x x <+等价于()213x a x x ++-<+，整理得10ax a --<，记()1g x ax a =--，则()()2010g g ⎧-<⎪⎨<⎪⎩，解得13a >-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，一般有零点分段讨论法、数形结合法、平方法等，对于不等式的恒成立问题，应该根据不等式的特点合理构建新函数，得到关于参数的不等式或不等式组，本题属于中档题.。
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2022年10月绵阳南山中学2022年秋季高2021届10月月考 数 学 试 题 （理工类）1、试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.第II 卷的22、23、24小题是选考内容，务必先选后做.考试范围：绵阳一诊考试内容. 2、命题人：张家寿，审题人：蔡晓军.第Ⅰ卷（选择题，共60分）留意事项：必需使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}Z x x y y M ∈==,|2，{}R x x x N ∈≥-=,63|，全集R U =，P 是N 的补集，则PM 的真子集个数是( ).A 15 .B 7.C 16 .D 82.已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,),()02p x f x π∀∈<，则( ).A p 是假命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈≥ .B p 是真命题; 00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥.C p 是真命题;:(0,),()02p x f x π⌝∀∈> .D p 是假命题; 00:(0,),()02p x f x π⌝∃∈≥ 3.“0>x ” 是“111<+x ”的( )条件 .A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要4. ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，1,2a b ==，则AD ＝( )11.33A a b - 22.33B a b - 33.55C a b - 44.55D a b -5.函数2||()2x f x x =-的图像为( )6.函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如下图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图像，可以将)(x f 的图像( ).A 向右平移12π个单位长度 .B 向右平移125π个单位长度 .C 向左平移12π个单位长度 .D 向左平移125π个单位长度 7.设121333211(),(),(),,,333a b c a b c===则的大小关系( ).A a c b >> .B a b c >> .C c a b >> .D b c a >>8.若函数2()(1)2f x x m x m =--+在[]0,1上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( ) .A (]2,0- .B ()1,0- .C []2,0- .D ()2,1-- 9.定义在R 上的奇函数f x ()，0)3(=f ，且对任意不等的正实数1x ，2x 都满足：[])()(21x f x f -0)(12<-x x ，则不等式0)(3>-⋅x f x 的解集为( ).A )30()03(，，⋃- .B )3()3(∞+⋃--∞，， .(,3)(0,3)C -∞-⋃ .D )3()03(∞+⋃-，，10.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2 kg 、B 原料4 kg ，生产乙产品每件需用A 原料3 kg 、B 原料2 kg.A 原料每日供应量限额为60 kg ，B 原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理支配生产可使每日获得的利润最大为( ).500A 元 .B 700元 .C 400元 .D 650元11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，则函数1)()(-=x xf x g 在[)+∞-,6上的全部零点之和等于( ).7A .B 8 .C 9 .D 1012.定义在R 上的函数()f x 满足)(2)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，且当1201x x ≤≤≤时，12()()f x f x ≤，则)121(f 等于( ) 1.2A .B 14 .C 18 .D 116第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）留意事项：必需使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图时可先用铅笔会出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需作答。
第22题～24题为选考题，考生依据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若向量(2cos ,1),(sin ,1)a b αα==，且//a b ，则sin 2α等于 .14.已知幂函数223*()()m m f x x m N --=∈的图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上是减函数， 则m 的值为________．15.已知数列{}n a 的通项公式是22n a n kn =++，若对全部的*n N ∈，都有1n n a a +>成立，则实数k的取值范围是________． 16.下列命题中：(1)若1x 满足522=+xx ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则421=+x x ；(2)函数)10(1)3(log 3≠>-+=a a x y 且的图象恒过定点A ，若A 在02=++ny mx 上，其中0>mn ,则n m 11+的最小值是2223+；(3)设)(x g 是定义在R 上，以１为周期的函数，若)(2)(x g x x f +=在[]1,0上的值域为[]3,1-，则)(x f 在区间[]3,0上的值域为[]7,1-；(4)函数x xy -=42log 2图象的对称中心为()1,2；其中真命题序号为 ．三、解答题：本大题共6小题，前5个题每个12分，选做题10分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．前五题各12分. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin ,1(x a =，)sin ),32(cos(x x b π+=，函数x b a x f 2cos 21)(-⋅=(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)当]3,0[π∈x 时，求函数)(x f 的值域.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S，11a =，且1323n n a S ++= (n 为正整数)．(Ⅰ)求数列{}n a的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n ，32nk S ≤恒成立，求实数k 的最大值．19．（本小题满分12分）已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+(1)a ≥，2()1x g x x =+． （Ⅰ）求函数()y f x =的最小值()m a ；（Ⅱ）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=. (Ⅰ)若7,13b a c =+=，求此三角形的面积；(Ⅱ)求)6sin(sin 3π-+C A 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知函数1()1lna f x x x =-+（a 为实常数）。
（Ⅰ）当1a =时，求函数()()2g x f x x =-的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在区间(0,2)上无极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）已知n N *∈且3n ≥，求证:n+11111ln<++++3345n ⋅⋅⋅.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。
22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆中，AB AC =，O 经过点A ，与BC 相切于B ，与AC 相交于D ，若1AD CD ==，求O 的半径r .23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线11cos :()sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数，圆2cos :()sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数．(1)当=3πα时，求12C C 与的交点的直角坐标；(2)过坐标原点O 作1C的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24.( 本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数.3)(,212)(+=++-=x x g a x x x f（1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）设1->a ，且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,2a x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围. 2021届10月月考参考答案16BBADCB - 712ACADBB - 13.5414.1 15.(－3，＋∞) 16.(2)(3)(4) 17.（1）x x x b a x f 2cos 21sin )32cos()(2-++=⋅=π)62sin(21π+-=x 由2326222πππππ+≤+≤+k x k 得326ππππ+≤≤+k x k 单调递增区间为]32,6[ππππ++k k ，Z k ∈（2）当]3,0[π∈x 时，则]65,6[62πππ∈+x ，]1,21[)62sin(∈+πx 故)(x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2118. (1)a n ＝a 1q n －1＝(13)n －1(n ∈N *)；（2）由(1)知，S n ＝a 11－qn1－q＝1－13n1－13＝32[1－(13)n ]． 又对∀n ∈N *恒有32k ≤32 [1－(13)n ]得k ≤1－(13)n .∵数列{1－(13)n}单调递增，∴当n ＝1时，数列中的最小项为23，∴必有k ≤23，即实数k 的最大值为23.19.（1）2412,()84 2.a a m a a a ⎧-<=⎨-⎩≤≥ （2）1()(1)21g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]x +∈，又()g x 在区间[0,2]上单调递增（证明略），故4()0,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 由题设，得2min 1max ()()f x g x >，故212,443a a <⎧⎪⎨->⎪⎩≤或2,484,3a a ⎧⎪⎨->⎪⎩≥ 解得261a <≤为所求的范围．20.解：(1)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝10 3.(2)3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(]1，2. 21（Ⅰ）()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时递增；在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时递减。