07练习题解答：第七章 参数估计
概率论习题答案 第7章答案
p
X
(3)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf (x,θ )dx
=
∞
2xe−2(x−θ ) dx
=
1
+θ
−∞
θ
2
令 1 + θ = X ，解得θ 矩估计量为 2
θˆ = X − 1 2
∫ ∫ ∞
1
（4） E( X ) = xf (x,θ )dx = θ x θ dx =
θ ，令
θ =X，
−∞
0
θ +1
θ +1
n
令
∑ d ln L =
n
+
ln xi
i =1
= 0 ，解得θ 的极大似然估计值为
θˆ =
n2
dθ 2θ 2 θ
∑⎡ n
⎤2
⎣⎢ i=1 ln xi ⎦⎥
第 7 章习题答案 总 11 页第 3 页
θ 的极大似然估计量为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln X i ⎥⎦
(5) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
=
(θ1
+ θ2 )2
+
θ
2 2
令
∑ ⎧
⎪ ⎪⎩⎨(θ1
θ1 + θ2 = X
+ θ2 )2
+
θ
2 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数θ1,θ 2 的矩估计量为:
θˆ1 = X − θˆ2 ,
∑ θˆ2 =
1 n
第7章参数估计答案
·61·第7章 参数（点）估计系 班姓名 学号一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<<P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量=N ˆ )X /B 1/(X 2- ，=p ˆ XB 12- .2、设总体X 服从指数分布 )0(00)(>⎩⎨⎧≤>=-λλϕλx x e x x n X X X ,,21是来自X的样本，则未知参数λ的矩估计量是 X /1 ，极大似然估计量是 X /1 .3. 设 总 体)p ,1(B ~X ， 其 中 未 知 参 数 01<<p , X X X n 12,, 是 X的 子样， 则 p 的 矩 估 计 为_∑=n 1i i X n 1_， 子 样 的 似 然 函 数 为_ii X 1n 1i X )p 1(p -=-∏__。
(x x)p 1(p)p ;x (f -= 为 X 的 概 率 密 度 函 数 ).4、 总 体 X 服 从 密 度 函 数 为f x x x (;)[()],()θπθ=+--∞<<+∞112 的 哥 西分 布。
),,(1n X X 为 从 X 抽 得 的 样 本， 则 当 n =1时 θ有 极 大 似 然 估 计 为θ=_1X。
5. 设 X X X n 12,, 是 来 自 总 体),(N ~X 2σμ的 样 本， 则 有 关 于 μ及 σ2的似 然 函 数L X X X n (,,£;,)12 μσ=_2i )X (21n1i e21μ-σ-=∏σπ__。
二、选择题1、设n X X X ,,21是取自总体),0(2σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).A 、∑=n i i X n 121B 、∑=-n i i X n 1211C 、∑=ni i X n 11D 、∑=-ni i X n 1112、设罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中k 个白球，则罐子里黑球数与白球数之比R 的最大似然估计量为( B ).·62·A 、nk B 、1-knC 、1D 、kn三、计算和证明题1、设总体X 具有分布密度10,)1(),(<<+=x x x P ααα，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.解：因⎰⎰++=+=1011α1α1αdx x dx x x X E a)()()(2α1α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==ˆˆ)(X X EXX --=∴112αˆ为α的矩估计 因似然函数221211αα),()(),,(n n n X X X X X X L +=∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂ni i X nL 101ααln ln 得，α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从二项分布),(p k b ，k 是正整数，10<<p ，两者都是未知参数，n X X X 21,是一个样本，试求k 和p 的矩估计.解：由于)(~1P k b Xkp X =∈∴)( )1()(p kp X D -=于是令⎪⎩⎪⎨⎧--==∑=ni i X X n X D XX E 1)(11)()( 解之得XX X n X p ni i ∑=---=12)(11ˆ])(11[ˆ122∑=---=ni i X X n X Xk3、设n X X X ,,21为从一总体中抽出的一组样本，总体均值μ已知，用∑=--ni i X n 12)(11μ去估计总体方差2σ，它是否是2σ的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.·63·解：因∑∑==--=--n i n i ii X E n X n E 1122)(11])(11[μμ221σσ≠-=n n ∑=--∴ni i X n 12)(11μ不是2σ的无偏估计 但∑=-n i i X n 12)(1μ是2σ的无偏估计4、设一批产品中含有废品，从中随机抽取75件，其中有废品10件，试估计这批产品的废品率.解：设这批产品的废品率为p ，⎩⎨⎧=次抽到合格品第次抽到废品第i i X i 01于是p X P i ==)1(p X P i -==1)0(即ii x xi i ij p p x X P p x f --===1)1()()(72,11,0 ==i x i故极大似然函数∑-∑=-===--=751751751751)1()1(i ii iii x x x x i p pp p L π∑∑==--+=751751)1ln()75(ln ln i i i i p x p x p L令∑∑===---=7517510)75(111ln i i i i x p x p dp L d解之得p 的极大似然估计值 ∑====7511527510751ˆi i x p。
第七章 参数估计-含答案
答案：B
3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以0.9545的概率来确定估计精度为（）。
A.15和0.6B.5%和2%
C.95%和98% D.2.5%和1
答案：C
4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间（）。
C.总体参数取值的变动范围
D.抽样误差的最大可能范围
答案：A
11.无偏性是指（ ）。
A.抽样指标等于总体指标 B.样本平均数的平均数等于总体平均数
C.样本平均数等于总体平均数 D. 样本成数等于总体成数
答案：B
12.一致性是指当样本的单位数充分大时，抽样指标（ ）。
A.小于总体指标 B. 等于总体指标
答案：ABC
4.点估计（ ）。
A.考虑了抽样误差大小B.没有考虑抽样误差大小
C.能说明估计结果的把握程度D.是抽样估计的主要方法
E.不能说明估计结果的把握程度
答案：BE
5.在其它条件不变时，抽样推断的置信度１－α越大，则（ ）。
A.允许误差范围越大B.允许误差范围越小
C.抽样推断的精确度越高D.抽样推断的精确度越低
答案：D
18.设X~N（μ，σ2）σ为未知，从中抽取n=16的样本，其样本均值为 ，样本标准差为s，则总体均值的置信度为95%的置信区间为（）。
答案：C
二、多项选择题
1.在区间估计中，如果其他条件保持不变，置信度与精确度之间存在下列关系( )。
A.前者愈低，后者也愈低B. 前者愈高，后者也愈高
C. 前者愈低，后者愈高D.前者愈高，后者愈低
第七章参数估计参考答案
f ( xi ; )
.
定义: 设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设 ( x , x
1 2
, , x n )
为总体 X 的一个样本观察值，若似
1 2
然函数 L ( ) 在 ˆ ˆ ( x , x
, , xn )
处取到最大值，则称
ˆ ( x1 , x 2 , , x n ) 为θ的极大似然估计值.
f ( xi ; 1 , 2 , , k )
将其取对数,然后对 1 , 2 , , k 求偏导数,得
ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 1 ln L ( 1 , 2 , , k ) 0 k
1 2 n i i 1
(2) 设连续型总体 X 的概率密度函数为 f ( x ; ) ， 则样本
( X 1 , X 2 , , X n ) 的联合概率密度函数
f ( x1 ; ) f ( x 2 ; ) f ( x n ; )
n
i 1
f ( x i ; )
n
仍称为似然函数，并记之为 L ( ) L ( x , x , , x ; )
用上面的解来估计参数θi就是矩法估计.
例: 设总体 X 服从泊松分布 ( ) ，参数λ 未知，
( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自总体的一个样本，求参数λ
的矩
估计量.
解 总体X的期望为 E ( X ) 从而得到方程
1
X n
i 1
n
i
所以λ的矩估计量为
ˆ
得到含有未知参数(θ1,…,θk)的k个方程.解这k 个联立方程组就可以得到(θ1,…,θk)的一组解:
概率论与数理统计第七章练习题与答案详解
概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。
概率论与数理统计第四版课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第七章 参数估计1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计）求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。
解：μ，σ2的矩估计是6122106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑ni i x X n X σμ621086.6-⨯=S 。
2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。
求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。
（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(cx x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-.,010,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。
（5）()p p m x p p x X P xm x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。
解：（1）Xθcθθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθcθθ=--=-===+-∞+-∞+∞-⎰⎰1,11)()(1令，得cX X θ-=（2）,1)()(10+===⎰⎰∞+∞-θθdx xθdx x xf X E θ2)1(,1X X θX θθ-==+得令（5）E (X ) = mp 令mp =X， 解得mX p=ˆ3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。
解：（1）似然函数1211)()()(+-===∏θn θn n ni ix x x cθx f θL0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 11=-+=-++=∑∑==ni ini i xc n n θθd θL d x θc θn θn θL∑=-=ni icn xnθ1ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）（2）∑∏=--=-+-===ni iθn nni ix θθnθL x x x θx f θL 112121ln )1()ln(2)(ln ,)()()(∑∑====+⋅-=ni ini ix n θxθθn θd θL d 121)ln (ˆ,0ln 2112)(ln 。
07章 抽样和参数估计习题及答案
第七章 抽样调查1、 抽样调查的目的在于用抽样指标去推断总体指标。
（ ）2、 不论总体单位数多少都适用抽样调查方法。
（ ）3、 古典概率是指每次试验中事件等可能出现的条件下，试验前就可计算出来的比率。
（ ）4、 股票指数在未来的一周内上升可能性的大小指的是主观概率。
（ ）5、对一个有限总体进行重复抽样，各次抽取的结果是相互独立的。
（ ）6、对一个无限总体进行不重复抽样，各次抽取的结果是相互独立的。
（ ）7、抽样极限误差可以大于抽样平均误差，可以小于抽样平均误差，当然也可以等于抽样平均误差。
（ ）8、对于重复简单随机抽样，若其它条件不变，样本单位数目增加3倍，则样本平均数抽样平均误差将必须减少30%。
（ ）9、对于重复简单随机抽样，若其它条件不变，要使抽样平均误差减少一半，则抽样单位数目将必须增加1倍。
（ ）10、抽样误差产生的原因是抽样调查时违反了随机原则。
（ ） 11、抽样误差是抽样调查所固有的、无法消除的误差。
（ ）12、在确定样本单位数目时，若总体成数方差未知，则P 可取0.5。
（ ）1、 若某一事件出现的概率为1/6，当试验6次时，该事件出现的次数将是（）。
1次 大于1次小于1次上述结果均有可能2、 已知一批计算机元件的正品率为80%，现随机抽取n 个样本，其中x 个为正品，则x 的分布服从（）。
正态分布二项分布泊松分布超几何分布3、某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件分为合格与不合格两类，合格率约为99%，设每盒中的不合格数为X ，则X 通常服从（ ）。
正态分布二项分布泊松分布超几何分布4、 若一个系的学生中有65%是男生，40%是高年级学生。
若随机抽选一人，该学生或是男生或是高年级学生的概率最可能是（ ）。
0.350.600.80 1.055、 有为朋友从远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1和0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1/4、1/3和1/12，而乘飞机则不会迟到，试求他迟到的概率为（ ）。
(完整版)第七章参数估计练习题
第七章参数估计练习题一．选择题1.估计量的含义是指（）A.用来估计总体参数的统计量的名称B.用来估计总体参数的统计量的具体数值C．总体参数的名称D．总体参数的具体取值2．一个95%的置信区间是指（）A.总体参数有95%的概率落在这一区间内B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。
D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。
3.95%的置信水平是指（）A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95%B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95%C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5%D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5%4.根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（）A．以95%的概率包含总体均值B．有5%的可能性包含总体均值C.一定包含总体均值D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（）A.随着置信水平的增大而减小B. .随着置信水平的增大而增大C．与置信水平的大小无关D。
与置信水平的平方成反比6.当置信水平一定时，置信区间的宽度（）A.随着样本量的增大而减小B. .随着样本量的增大而增大C．与样本量的大小无关D。
与样本量的平方根成正比7.在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。
这种评价标准称为（）A．无偏性 B.有效性 C. 一致性D. 充分性8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（）A．准确性 B. 精确性 C. 显著性D. 可靠性9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（）A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定C. 置信水平和统计量的抽样标准差D. 统计量的抽样方差确定10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（）A.正态分布B. t分布C.χ2分布D. F分布11. 当正态总体的方差未知，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（）A.正态分布 B . t 分布 C.χ2 分布 D. F 分布12. 当正态总体的方差已知时，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布 B . t 分布 C.χ2 分布 D. F 分布13. 当正态总体的方差已知时，且为大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布 B . t 分布 C.χ2 分布 D. F 分布14. 对于非正态总体，在大样本条件下，估计总体均值使用的分布是（ ）A.正态分布 B . t 分布 C.χ2 分布 D. F 分布15.对于非正态总体，在大样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. n z x 22/σα± B. n z x 22/σα± C . n z x σα2/± D. ns z x 22/α± 16.正态总体方差已知时，在小样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. n z x 22/σα± B. n s t x 2/α± C . n z x σα2/± D. ns z x 22/α± 17.正态总体方差未知时，在小样本条件下，总体均值在（1-α）置信水平下的置信区间可以写为（ ） A. n z x 22/σα± B . n s t x 2/α± C. n z x σα2/± D. ns z x 22/α± 18. 在进行区间估计时，若要求的置信水平为90%，则其相应的临界值为（ ）A .1.65 B.1.96 C.2.58 D. 1.519.在其他条件相同的条件下，95%的置信区间比90%的置信区间（ ）A .要宽 B.要窄 C.相同 D. 可能宽也可能窄20.指出下面的说法哪一个是正确的（ ）A .置信水平越大，估计的可靠性越大 B. 置信水平越大，估计的可靠性越小C. 置信水平越小，估计的可靠性越大D. 置信水平的大小与估计的可靠性无关21. 指出下面的说法哪一个是正确的（ ）A .样本量越大，样本均值的抽样标准误差就越小B. 样本量越大，样本均值的抽样标准误差就越大C. 样本量越小，样本均值的抽样标准误差就越小D.样本均值的抽样标准误差与样本量无关22. 一项调查表明，有33%的被调查者认为她们所在的公司十分适合女性工作。
浙大版概率论与数理统计答案---第七章
第七章 参数估计注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。
3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。
建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。
极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。
5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^394(3)34322X X p -----==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂pp L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰， 由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。
概率论与数理统计（第三版）课后答案习题7
第七章 参数估计1. 解 )1()(,)(),,(~p np X D np X E p n B X -==∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==22)1(,)()(B p np X np B X D X X E 即由解之，得n,p 的矩估计量为XB p B X X n 2221,-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∧∧注：“[ ]”表示取整。
2. 解 因为：220)(22)(1)1()(1)()(λλθλλθλθλθλ++=⋅=+=⋅==⎰⎰⎰∞+--∞+--∞+∞-dx e x x E dx e x dx x xf x E x x所以，由矩估计法得方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2221)1(1λλθλθA X 解得λθ,的矩估计量为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=∧∧221B B X λθ3. 解 (1) 由于 222)]([)()(X E X E X D -==σ令 ∑===n i iX n A X E 12221)( 又已知 μ=)(X E故 2σ的矩估计值为 ∑∑==∧-=-=-=n i i n i i X n X n A 12122222)(11μμμσ(2) μ已知时，似然函数为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅=∑=-ni in x L 122222)(21exp )2()(μσπσσ因此∑=---=ni ixn L 12222)(21)2ln(2)(ln μσπσσ令 0)(2112)(ln 124222=-+-=∑=ni ixn L d dμσσσσ解得2σ的极大似然估计为: ∑=∧-=n i i X n 122)(1μσ4. 解 矩估计：λλ=∴=)()(X E X E 令X X E =)(故X =∧λ为所求矩估计量。
注意到 λ=)(X D 若令 2)(B X D =, 可得: 2B =∧λ似然估计：因为λλ-==e k k X P k!)(所以，λ的似然函数为∏=-=ni i xe x L i1!)(λλλ取对数λλλn x x L ni i ni i --=∑∑==11)!ln(ln )(ln令ln 1=-=∑=n xd d ni iλλλ, 解得∑=∧=ni ix n 11λ故,λ极大似然估计量为 X =∧λ5. 解 矩估计：21)1()()(11++=+==⎰⎰+∞+∞-θθθθdx x dx x xf X E令 X X E =)(, 即 X=++21θθ; 解之X X --=∧112θ 似然估计: 似然函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=⎪⎩⎪⎨⎧<<+=∏∏==其它其它,010,)()1(,010,)1()(11i ni i ni n i i x x x x L θθθθθ 只需求10,)()1()(11<<+=∏=i ni i nx x L θθθ的驻点即可.又∑=++=ni ix n L 11ln )1ln()(ln θθθ令∑=++=ni ix n L d d 11ln 1)(ln θθθ; 解之∑=∧--=ni ixn1ln 1θ6. 解：似然函数为∑===---=-=---∏∏ni i i xn i i n ni x i ex ex L 12222)(l n 21112212)(l n 12)()2(21),(μσσμπσσπσμ取对数得 ∑----===∏n i ini i x x n L 122122)(l n 21)l n ()2l n (2),(ln μσπσσμ由 0)(l n 2112),(ln 0)1()(ln 221),(ln 124222122=∑-+⋅-=∂∂=∑-⋅--=∂∂==n i i n i i x n L x L μσσσμσμσσμμ联立解之，2,σμ的极大似然估计值为 ∑∑-=∑===∧=∧n i n i i in i i x n x n x n 12121)ln 1(ln 1,ln 1σμ7. 解：似然函数为 n i x x e ax L i i n i x a i ai ,,2,1;0,00,)(11 =⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∏=--λλλ只需求∑⋅===--==--∏∏ni ai ai x a n i n n ni x a i ex a eax L 111111)()(λλλλλ的最值点。
概率论与数理统计+第七章+参数估计+练习题
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第七章 参数估计一、填空题1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则对于任意实数α，[]2)1(S X αα-+E = ．2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则概率{}1≥X P 的最大似然估计量为 ．3．设总体X 的概率密度为： ⎩⎨⎧<≥=--；，，，若若θθθθx x x f x 0e );()(，()n X X X ,,,1 是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的最大似然估计量θˆ= ．4．设来自总体X 的简单随机样本()n X ,,X 1，总体X 的概率分布⎪⎪⎭⎫⎝⎛--θθθ312201~X ，其中0<θ<1/3，未知参数θ的矩估计量θˆ= ．5．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-，，若不然，，若0 10 );(1x x x f θθθ，其中未知参数θ>0，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为 ．6．设正态总体X 的标准差为1，由来自X 的简单随机样本建立的数学期望μ的0.95置信区间，则当样本容量为25时置信区间的长度L = ；为使置信区间的长度不大于0.5，应取样本容量≥n ．7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布；),,,(21n X X X 是来自X 的简单随机样本，则2λ的无偏估计量为 ． 二、选择题1．设σ是总体X 的标准差，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则样本标准差S 是总体标准差σ的（ ）．(A) 矩估计量； (B) 最大似然估计量；(C) 无偏估计量； (D) 相合估计量．2．设),(~),,(~22σσb N Y a N X ，并且相互独立；基于分别来自总体X 和Y 容量相应为9和11的简单随机样本，得样本均值X 和Y ，样本方差22yx S S 和；记)(2122212y x S S S +=，)108(181 222y x xy S S S +=，由熟知的事实“服从自由度为ν的2χ分布的随机变量的方差等于2ν”，可见2σ的4个无偏估计量221222,,,xy y x S S S S 中方差最小者是（ ）． (A) 2x S ； (B) 2y S ； (C) 212S ； (D) 2xy S ．3．设()n X X X ,,,21 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，为使()∑-=+-=1121n i i i X X k D 成为总体方差2σ的无偏估计量，应选k=（ ）．(A)11-n ； (B) n 1； (C) ()121-n ； (D) n 21． 三、解答题1．假设随机变量X 在区间],[b a 上均匀分布，试求区间端点a 和b 最大似然估计量． 2．假设随机变量X 在数集{0,1,2,…,N }上等可能分布，求N 的最大似然估计量． 3．设来自总体X 的简单随机样本()n X X X ,,,21 ，总体X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22)1()1(2321~θθθθX ，其中0<θ<1．分别以221,νν表示()n X X X ,,,21 中1，2出现的次数，试求(1) 未知参数θ的最大似然估计量； (2) 未知参数θ的矩估计量；(3) 当样本值为（1,1,2,1,3,2）时的最大似然估计值和矩估计值．4．假设一批产品的不合格品数与合格品数之比R （未知常数）．现在按还原抽样方式随意抽取的n 件中发现k 件不合格品．试求R 的最大似然估计值．5．假设总体X 在区间[]θ,0上服从均匀分布，n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，试求(1) 端点θ的最大似然估计量； (2) 端点θ的0.95置信区间．6．为观察某药对高胆固醇血症的疗效，测定了五名患者服药前和服药一个疗程后的血清胆固醇含量，得如下数据：假设化验结果服从正态分布律．试建立服药前后血清胆固醇含量的均值差的0.95置信区间，并对所得结果作出解释．7．假设随机变量X 在区间]1,[+θθ上均匀分布，其中θ未知；),,,(21n X X X 是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，而{}n X X X X ,,,min 21)1( =是最小观测值；记11ˆ21ˆ)1(21+-=-=n X X θθ， (1) 证明1ˆθ和2ˆθ都是θ的无偏估计量； (2) 证明2ˆθ比1ˆθ更有效，即12ˆˆθθD D ≤． 8．设总体X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--θθθθθ21)1(23210~22X其中)210(<<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3， 求θ的矩估计值和最大似然估计值． 9．设总体X 的分布律为N k N k X P ,,1,0,11)( =+==，其中N 为未知的正整数，又n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本，试求N 的最大似然估计．10．设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其他10)(1x xx f θθ，其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本, 试求(1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量．11．设),(~ln 2σμN X Z =, 试证22σμ+=eEX , 若从上述总体X (参数2,σμ均未知)中取一个随机样本n X X X ,,,21 , 试求EX 的极大似然估计．12．为了估计湖中有多少条鱼，从湖中捞出1000条鱼，标上记号后又放回湖中，过一段时间后，再捞出150条鱼，发现其中有10条带有标记，估计湖中鱼的总数为多少是使上述事件的概率最大． 13．12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的简单随机样本，μ，2σ为未知参数，求)2(>X P 的极大似然估计．14．已知11(,),,(,)n n X Y X Y 是独立地取自二元正态22(0,0,,,)N σσρ的样本，求2σ和ρ的极大似然估计．15．设总体X 的k 阶矩1,E ≥=k X k k μ存在. 又设n X X X ,,,21 是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本（原点）矩∑==n i ki k X n M 11一定是k 阶总体（原点）矩μk 的无偏估计．16．设总体X 的均值为μ，方差为2σ，从中分别抽取容量为21,n n 的两个独立样本，21,X X 分别是两个样本的均值，试证明，对于满足1=+b a 的任何常数a 及b ， 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计，并确定常数a 及b ，使Y 的方差达到最小．17．设X ~],0[θU ，参数θ 未知，n X X X ,,,21 是其大小为n 的样本. 则（1） 矩估计量 X M2ˆ=θ是无偏的； （2） 似然估计},,,max{ˆ21)(nn L X X X X ==θ，不是参数θ 的无偏估计， 但 )(1ˆ1n L X nn n n +=+θ是比X M 2ˆ=θ有效的估计量． 18．设总体X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=--μμλμλx x e x f x ，，0)()( ，这里μ 和λ)0(>都是参数. 又设n 21,,,X X X 为该总体的简单样本；（1）设λ已知，求μ的极大似然估计量L μˆ ； （2）设μ已知，求λ的矩估计量M λˆ．（3）μ的极大似然估计L μˆ是μ的无偏估计吗？为什么？ 19．设n X X X 221,,, 是来自方差有限的总体X 的大小为2n 的简单随机样本，令∑∑=====ni i n i i X n T X n X T 1222111,21. 则（1）对总体期望作估计时1T 和2T 是否无偏? 1T 是否比2T 有效? 请说明上述结论的理由； （2）证明2T 是总体期望的一致估计 (即相合估计)． 20．随机从一批零件中抽取16件，测得长度（单位：cm ）为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设零件长度的分布是正态的，试求总体均值μ的95%置信区间． （1）01.0=σ；（2）σ未知．21．对方差2σ为已知的正态总体，要使均值μ的α-1置信区间长度不大于δ2，抽取的样本容量n 至少为多大？22．假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体X 的简单样本值. 已知X Y ln =服从正态分布N (,)μ1．(1) 求X 的数学期望EX ；(2) 求μ的置信度为0.95的置信区间；(3) 利用上面结果求b 的置信度为0.95的置信区间．。
概率论与数理统计练习题第七章答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第七章 参数估计（一）一、选择题：1矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）122433X X +（B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2290.98S =，则μ的极大似然估计值为 [ A ]（A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：1．如果1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计量，称1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差一定满足 1212ˆˆˆˆ,E E D D θθθθ=< 2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1~(,)X f x x θθθ-=，用最大似然法估计参数θ时，似然函数为()L θ= 31(0.05)θθ- 3．假设总体X 服从正态分布212(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，12211()n i i i C X X σ-+==-∑是2σ的一个无偏估计，则C =12(1)n -三、计算题：1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ456()2(1)22.5')1(0.6L L θθθθθθθθ=⋅-=-==解：该样本的似然函数.为令得三 、2．设12,,,n X X X 是来自于总体10~()0x X f x θθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它(0)θ>的样本,试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ3．设总体X 的概率密度为(1)01()0x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
概率与数理统计第7章参数估计习题与答案
第7章参数估计----点估计一、填空题1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0P1，X1,X2X n是其一个样本，那么矩估计量p?XN.2、设总体X~B(1,p)，其中未知参数0p1,X1,X2,X n是X的样本，则p的矩估计为_ 1n in1X i _，样本的似然函数为_in1X i(1p)1Xp__。
i3、设X1,X2,,X n是来自总体X~N(,2)的样本，则有关于及2的似然函数2L(X,X,X n;,)_12 in112e12(X) i22__。
二、计算题1、设总体X具有分布密度f(x;)(1)x,0x1，其中1是未知参数，X1,X2,X为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.n解：因E(X ) 1x1a()α1(α1)xdx1x dxαα112a2|xααα12令E(X)X?α?α122X1α?为的矩估计1Xn因似然函数L(x1,x2,x;)(1)(x1x2x)nnnlnLnln(α1)lnX，由αii1 l nLαnα 1inlnX0得，i1n ?的极大似量估计量为(1)αnln Xii12、设总体X服从指数分布f(x)xe,x00,其他，X1,X2,X n是来自X的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.56解：（1）由于1 E(X)，令11 X X，故的矩估计为? 1 X（2）似然函数nL(x,x,,x )e12ni nx i 1nlnLnlnxii1 ndlnLnnx0 indi1x ii1故的极大似然估计仍为1 X 。
3、设总体 2 X~N0,， X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本，求 2 的极大似然估计；[解](1)似然函数n1 Le i122 x i 2 22n 22en 2x i 2 i 12于是n2nnx2i lnLln2ln2222i1 dlnLn1d224 22n i1 2x i，令 d lnL 2d 2 0，得的极大似然估计：n 122X ini1. 4、设总体X 服从泊松分布P(),X 1,X 2,,X n 为取自X 的一组简单随机样本,（1）求 未知参数估计；（2）求大似然估计. 解：（1）令E(X )X?X ，此为估计。
概率论与数理统计第七章参数估计习题答案
3028701.设总体X 服从二项分布B(n,p),n已知,X1,X 2,L,X n为来自X的样本 求参数p的矩法估计. 解：E( X ) = np, E( X ) = A1 = X ,\ np = X . \ p的矩估计量 pˆ = X n
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3028702.设总体X的密度函数（f x,q）= ìïíq22 (q - x), 0 < x < q ,
n
-q
-q xi
i=1
i =1
i =1
0 < x < 1, 其他.
n
g = ln L = n lnq -q å xi
i =1
由 dg
å å dq
=
d ln L dq
=n q
-
n i =1
xi
= 0知qˆ
=
n
n
xi
所以q的极大似然估计量为qˆ = 1 . i=1
X
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3028703.设总体X
（2）求s 2的置信概率为0.95的置信区间.
解：x = 76.6, s = 18.14,a = 1- 0.95 = 0.05, n = 20,
ta
/2
(n
-1)
=
t0.025
(19)
=
2.093,
c2 a /2
(n
-1)
=
c2 0.025
(19)
=
32.852,
c2 0.975
(19)
=
8.907
i =1
n
ln L = n lnq + (q -1) ln Õ xi
i =1
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
第7章参数估计 ----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量pX N.2、设总体)p ,1(B ~X ，其中未知参数01p, X X X n 12,,是X 的样本，则p 的矩估计为_n1i iX n1_，样本的似然函数为_iiX 1n1i X )p 1(p __。
3、设12,,,n X X X 是来自总体),(N ~X 2的样本，则有关于及2的似然函数212(,,;,)n L X X X _2i2)X (21n1i e21__。
二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ，其中1是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.解：因10101α1α1αdxxdxx x X E a)()()(2α1α2α1α12|a x令2α1α)(XX E XX112α为的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()nn n L x x x x x x ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由ni iX n L 101ααln ln 得，的极大似量估计量为)ln (ni iX n11α2、设总体X 服从指数分布,0()0,xe xf x 其他，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）由于1()E X ，令11XX，故的矩估计为1X（2）似然函数112(,,,)nii x nn L x x x e111ln lnln 0nii nini ii L n x d Lnnx dx 故的极大似然估计仍为1X。
3、设总体2~0,X N ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2的极大似然估计；[解] (1)似然函数222112i x ni Le2212222ni i x ne于是2221ln ln 2ln222ni i x n n L22241ln 122n ii d L n x d，令2ln 0d L d，得2的极大似然估计：2211nii X n.4、设总体X 服从泊松分布()P , 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数的矩估计；（2）求的极大似然估计.解：（1）令()E X XX ，此为的矩估计。
统计学课后题答案
统计学复习笔记第七章参数估计一、思考题1.解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2.简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）—致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3.怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。
在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4.解释95%勺置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95% （的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。
5.简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1.估计总体均值时样本量n为（z 2）2 2 E zn P—其中：E z2*2.样本量n与置信水平1- a、总体方差工、估计误差E之间的关系为与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、练习题1.从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
第7章参数估计习题答案
第7章 参数估计习题参考答案7.1 参数的点估计习题答案1 解 （1）总体X 的期望 ()E X mp =, 从而得到方程 11ˆni i m p X n==∑所以p 的矩估计量为 111ˆni i p X X m nm===∑.（2）总体X 服从二项分布，则有 ()(1),0,1,..x xm xmP X x C p p x m-==-= 从而似然函数为11121()(1) (1)nniiiiin i i nx m n x x x m x x x x mm mmi L p Cpp C CCpp ==--=∑∑=-=-∏取对数 1211ln ()ln(...)ln ()ln(1)n nnx x x m m mi i i i L p C C C x p m n x p ===++--∑∑，令1111ln ()()01nnii i i d L p x m n x dppp===--=-∑∑，解得p 的极大似然估计值为 111ˆni i px x m nm===∑，故极大似然估计量为 111ˆni i pX X m nm===∑.2. 解（1）11()1E X x xdx θθθθ-==+⎰，从而得到方程1ˆ1ˆ1nii xx nθθ===+∑所以θ的矩估计值为 ˆ1xxθ=-.（2）似然函数为1121()(,)(...)nni n i L f x x x x θθθθ-===∏取对数 1l n ()l n (1)l n nii L nx θθθ==+-∑，令1ln ()ln 0nii d nL xd θθθ==+=∑,得θ的极大似然估计值为1ˆln nii nxθ==-∑7.2估计量的评选标准习题答案1．解 （1） 1123123111111ˆ()442442E E X X X E X E X E X μμ=++=++=2123123111111ˆ()623623E E X X X E X E X E X μμ=++=++= 3123123111111ˆ()333333E E X X X E X E X E X μμ=++=++=， 123ˆˆˆ,,μμμ∴均为μ的无偏估计量。
第七章_参数估计_含答案
第七章参数估计一、单项选择题1.区间X2.58S的含义是〔〕。
xA. 99%的总体均数在此围B. 样本均数的99%可信区间C. 99%的样本均数在此围D. 总体均数的99%可信区间答案：D2.以下关于参数估计的说确的是〔〕。
A. 区间估计优于点估计B. 样本含量越大，参数估计准确的可能性越大C. 样本含量越大，参数估计越准确D. 对于一个参数只能有一个估计值答案：B3.假定抽样单位数为400，抽样平均数为300和30，相应的变异系数为50%和20%，试以0.9545的概率来确定估计精度为〔〕。
A.15和0.6B.5%和2%答案：C4.根据10%抽样调查资料，甲企业工人生产定额完成百分比方差为25，乙企业为49。
乙企业工人数四倍于甲企业，工人总体生产定额平均完成率的区间〔〕。
A.甲企业较大B.乙企业较大C.两企业一样D.无法预期两者的差异答案：A5.对某轻工企业抽样调查的资料，优质品比重40%，抽样误差为4%，用多大的概率才能确信全及总体的这个指标不小于32%〔〕。
A.0.6827B.0.9545C.0.9973D.2.00答案：B6.根据抽样调查的资料，某城市人均日摄入热量2500千卡，抽样平均误差150千卡，该市人均摄入热量在2350千卡至2650千卡之间的置信度为〔〕。
A.0.9545B. 0.6827C.1D. 0.90答案：B7.对进口的一批服装取25件作抽样检验,发现有一件不合格。
概率为0.9545时计算服装不合格率的抽样误差为7.3%。
要使抽样误差减少一半,必须抽〔〕件服装做检验。
A.50B.100C.625D.25答案：B8.根据以往调查的资料，某城市职工平均每户拥有国库券和国债的方差为1600，为使极限抽样误差在概率保证程度为0.9545时不超过4元，应抽取〔〕户来进展调查。
A.I600B.400C.10D.200答案：B9.一般情况下，总体平均数的无偏、有效、一致的估计量是〔〕。
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第七章参数估计练习题：1．假设一个总体有3、6、9、12、15共5个元素，抽取样本容量为2的样本，绘制总体分布与样本均值的抽样分布，并比较两个分布的异同？解：○1总体分布：总体中5个元素3、6、9、12和15在总体中都各自仅仅出现一次，其分布为均匀分布，如下图所示：○2若重复抽取（抽取后放回）样本容量为2的样本，则可以抽取的样本有52=25个，样本以及样本的均值如下表所示：根据上表可以绘制出25个样本均值的相对频数分布，如下图所示：样本均值的抽样分布2．某报刊为了对某市交通的便利情况进行调查，在全市随机抽取了56名市民，调查其每天上下班大约在公交车上花费的时间，下表是56名市民做出的回答：（单位：分钟）80 80 68 48 60 50 110 50 85 9575 70 210 60 50 60 200 70 40 35120 90 60 80 70 80 190 45 60 120100 40 78 50 80 50 30 55 80 11050 70 90 40 60 30 60 60 70 6060 80 50 60 80 120（1）请计算这56名市民上下班在公交车上花费的时间的平均数x和标准差S。
（2）求该市市民上下班在公交车上花费的平均时间的置信区间，置信度为95%。
解：（1）均值：1808068422475.435656niiXxn=+++====∑…+120标准差：=37.11S===（2）大样本单总体均值的区间估计：在1α-的置信度下，总体均值μ的置信区间为22x Z x Z αα⎛⎫-+ ⎝，该题目中：=0.05α，75.43x =，=37.11σ，0.0522==1.96 Z Z α，56n =则：21.969.72Z α==可得：275.439.7265.71x Z α-=-=275.439.7285.15x Z α+=+=可得总体均值μ的置信区间为()65.71,85.15。
3．某大学为了了解本校学生每天上网的时间，在全校6000名学生中随机抽取了20 名学生进行调查，得到下面的数据：（单位：小时）2.5 3 4 2 1.6 2.5 4 2 3 1 2.83.5624123.815（1）请计算这20学生每天上网的时间的平均数x 和方差S 。
（2）求该校20名学生每天上网的平均时间的置信区间，置信度为99%。
解：（1）均值：12.53456.72.842020nii Xx n=+++====∑…+5标准差：=1.35s ===（2）小样本单总体均值的区间估计：在1α-的置信度下，总体均值μ的置信区间为22x t x t αα⎛⎫-+ ⎝，该题 目中：=0.05α， 2.84x =，s=1.35，0.05222.093t t α==（自由度为19），20n =则：22.0930.63t α==可得：22.840.63 2.21x t α-=-=22.840.633.47x t α+=+= 可得总体均值μ的置信区间为()2.21,3.47。
4．中华人民共和国建国60周年阅兵式通过电视和网络直播传递到了世界的每一个 角落，阅兵式结束的当天下午，某国的中文报纸随机抽取了200名华人对之进行电话调查，结果显示有180名华人对阅兵式印象深刻，请计算该国对于阅兵式印象深刻的华侨的比例的置信区间，置信度为95%。
解：大样本单总体比例的区间估计：样本中对阅兵式印象深刻的华侨占200名华人的比例：180=0.9200p = 在置信度为1α-下P的置信区间为//(p Z p Z αα-+，本题目中：0.05α=，0.0522==1.96 Z Z α，0.9p =，200n =则：/ 1.960.0416Z α=可得：/0.90.04160.8584p Z α--=/0.90.04160.9416p Z α+=+= 可得总体比例P 的置信区间为()85.84%,94.16%。
5．某购物中心准备在甲乙两个城区选出一个建立一个新的购物中心，策划人员分别在甲城区随机抽取了200名居民，在乙城区随机抽取了240名居民，对其月消费额度进行了调查，下表是调查的结果：（单位：元）来自甲城区的样本来自乙城区的样本1n =2002n =2401x =720 2x =640 1s =1202s =88（1）求12μμ-的95%的置信区间。
（2）求12μμ-的99%的置信区间。
解：（1）大样本两总体均值差的区间估计：在置信度为1α-下两总体均值差12μμ-的置信区间为()()12/12/x x Z x x Z αα⎛---+ ⎝1272064080x x -=-=，1n =200，2n =240，1s =120，2s =88，0.05/2 1.96Z =/ 1.9620.01Z α== 可得：()12/8020.0159.99x x Z α--=-= ()12/8020.01100.01x x Z α-+=+= 可得12μμ-的95%的置信区间为(59.99,100.01)。
（2）0.01/2 2.58Z =/ 2.5826.34Z α== 可得：()12/8026.3453.66x x Z α--=-= ()12/8026.34106.34x x Z α-+=+= 可得12μμ-的99%的置信区间为(53.66,106.34)。
6．在旅游开发过程中将旅游地社区居民的意见考虑进来已经是一种比较通行的做 法，某地要新开发一个旅游项目，在附近的甲社区随机抽取60名居民，在乙社区随 机抽取了64名居民，调查其是否同意该旅游项目开工建设，表示同意开工建设的居 民的百分比如下表所示：来自甲社区的样本来自乙社区的样本1n =602n =641p =86%2p =72%（1）构造12P P -的90%的置信区间。
（2）构造12P P -的95%的置信区间。
解：（1）在置信度为1α-下两总体比例差12P P -的置信区间为：()()12/12/p p Z p p Z αα⎛---+ ⎝该题目中：120.14p p -=，1n =60，2n =64，/2 1.65Z α=/ 1.650.1185Z α== 可得：()12/0.140.1185=0.0215p p Z α--=-()12/0.140.1185=0.2585p p Z α-+=+ 12P P -的90%的置信区间为(0.0215,0.2585)。
（2）/2 1.96Z α=/ 1.960.1407Z α= 可得：()12/0.140.1407=-0.0007p p Z α--=-()12/0.140.1407=0.2807p p Z α-+=+ 12P P -的95%的置信区间为(-0.0007,0.2807)。
7．现今有大量的中小学生参加各种培优项目，某教育研究机构在某中学初二年级中随机抽取了30名学生，上一学期参加过培优的有12名学生，没有参加过培优的1x 2x 12（2）求12μμ-的95%的置信区间。
解：（1）119078103486.171212nii xx n=++====∑…+82128087148582.501818nii xx n=++====∑…+871 5.36S ===2 8.51S ==（2）小样本总体均值差12μμ-的区间估计，21σ≠22σ且1n ≠2n ：在置信度为1α-下两总体均值差12μμ-的置信区间为：()()1212x x x x ⎛---+ ⎝其中t 分布的自由度df ：()()22212122222112212//11S S n n df Sn S n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+--该题目中，1286.1782.50 3.67x x -=-=()()()()222121222221122122222222//115.368.511218 =5.36/128.51/1812118141.178=1.473 =27.96 28S S n n df S n S n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+--⎛⎫+ ⎪⎝⎭+--≈则在自由度为28，置信度为10.05-时0.05222.048t t α==，可得：2.048 2.048 5.19=== 可得：()12 3.67 5.19-1.52x x --=-= ()12 3.67 5.198.86x x -+=+= 可得12μμ-的95%的置信区间为(-1.52,8.86)。
8．根据武汉市初中生日常行为状况调查的数据（data9），试以95%的置信度求武 汉市初中生平时一天睡觉时间(C11)的置信区间？解：《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》：C11 请你根据自己的实际情况，估算一天内在下面列出的日常课外活动上所花的时间大约为（请填写具体时间，没有则填“0”） 平时（非节假日）：8)睡觉_______小时SPSS 的操作步骤如下：○1选择“Aanalyze → Descriptive Statistics → Explore ”,打开如图7-1（练习）所示的对话框。
图7-1（练习） Explore的对话框○2将变量“初中生平时一天睡觉时间（c11a8）”放在Dependent List栏中，Display选项中选择Both。
○3点击Statitics按钮，出现如图7-2（练习）所示的对话框。
设置置信水平为95%，点击Continue按钮，返回到上一级对话框。
图7-2（练习） Explore：Statistics分析对话框○4点击OK按钮，输出如表7-1（练习）所示的结果。
从表7-1（练习）可以看出，初中生平时每天睡觉的平均时间为7.772小时，我们有95%的把握认为初中生平时每天平均睡觉时间在7.626-7.918小时之间。
9．根据武汉市初中生日常行为状况调查的数据（data9），试以95%的置信度求武汉市不与父母双亲住在一起(A7)的初中生的比例的置信区间?解：《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》：A7 你的居住情形是1)与父母亲住在一起 2)仅与其他亲戚住 3)只与父亲住在一起4)只与母亲住在一起 5)单独居住 6)和父母及其他亲戚一起居住SPSS的操作步骤如下：○1《武汉市初中生日常行为状况调查问卷》“A7你的居住情形”这个题目有1）到6）六个选项，其中只有1）和6）是与父母亲双亲住在一起，其余的2）到5）都不是与双亲住在一起。
○2将变量“居住情形（a7）”进行变换，生成新变量“是否与父母双亲住在一起（a7fz）”，其中1）与父母双亲住在一起，2）不与父母双亲住在一起。
该步骤的操作步骤如下:A. 依次点击Transform→Recode→Into Different Variables，打开如图7-3（练习）所示的对话框。