2021届湖南师大附中高三月考四文科数学试卷

2021年湖南师大附中高三月考四文科数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．

已知集合{}A x x R ==∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2

D ．2

2．已知角α的终边上有一点P (1,3)，则

sin (π−α)−sin(π2+α)

2cos (α−2π)的值为 ( ) A ．1 B ．－45 C ．－1 D ．－4 3．已知命题:2p m =-；命题:q 直线1:2(1)(3)750l m x m y m ++-+-=与直线2:(3)250l m x y -+-=垂直．则命题p 是命题q 成立的（ ）

A ．充要条件

B ．既非充分又非必要条件

C ．必要不充分条件

D ．充分不必要条件

4．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）

A ．4y x x

=+ B

．2y = C ．4x x y e e -=+ D ．4sin (0)sin y x x x

π=+<< 5．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则2811b b b ⋅⋅等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

6．设集合1{|216}4

x A x =<<，2{|ln(3)}B x y x x ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ）

A ．16

B ．13

C ．12

D ．23

7．对满足不等式组10400x x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩

的任意实数,x y ，224z x y x =+-的最小值是（ ）

A ．2-

B ．0

C ．1

D ．6

8．若长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11,B C C D 分别与底面ABCD 所成的角为45，60，则长方体1111ABCD A B C D -的外接球的体积为（ ）

A

C

D

9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

，若

22,sin a b C B -==，则角A 为（ ）

A ．30

B ．60

C ．

120 D ．

150

10．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2−|x −4|，则下列不

等式成立的是（ ）

A ．f(sin π6)

B ．f(sin1)>f(cos1)

C ．f(sin 2π3)

D ．f(sin2)>f(cos2)

11．已知函数()()sin 1,02log 0,1,0a

x x f x x a a x π⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>≠>⎩且的图象上关于y 轴对称的点至少

有3对，则实数a 的取值范围是（ ）

A

．0,3⎛

⎝⎭ B

．,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C

．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D

．0,5⎛

⎫ ⎪⎝⎭

二、填空题

12．将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．

13．过点（2，1）且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为______． 14．如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3AC AE =，P 为BE 上一点，且满足

(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则133n m

++的最小值为______．

15．已知函数()f x =21,0,21,0,x x x x x +≤⎧

⎨-+>⎩若关于x 的方程()()20f x af x -=恰有5个

不同的实数解,则实数a 的取值范围是______________．

三、解答题

16．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．

（1）计算甲班7位学生成绩的方差；

（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率．

17．如图，PA ⊥平面ABCD ，矩形ABCD 的边长AB =1，BC =2,E 为BC 的中点.

（1）证明：PE ⊥DE ；

（2）如果异面直线AE 与PD 所成的角的大小为π3，求PA 的长及点A 到平面PED 的距离. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=()n N *

∈．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a ma m -=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由．

19．如下图所示，点1(0,F ，2F ，

动点M 到点2F 的距离是4，线段1MF 的

中垂线交2MF 于点P ．

（1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；

（2）

l 与轨迹G 相交于A 、B

两点，(1Q 为定点，

求QAB ∆面积的最大值．

20．设()3211232

f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2,3⎛⎫+∞

⎪⎝⎭存在单调增区间，求a 的取值范围； （2）若()f x 在[]14，上最小值为16-3

，求()f x 在[]14，上的最大值. 21．选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 的极坐标方程式2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴

的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L

的参数方程是12

x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．

（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；

（2）设点(,0)P m ，若直线L 与曲线C 交于两点,A B ，且||||1PA PB ⋅=，求实数m 的值．

22．选修4—5：不等式选讲 设()221f x x x m =++--．

（1）当5m =时，解不等式()0f x ≥；

（2）若3()2

f x ≥对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围．

x