抽象函数的题型与解法

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抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]，再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}．四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。

抽象函数模型归纳总结(八大题型)(解析版)

抽象函数模型归纳总结目录01方法技巧与总结02题型归纳总结题型一：一次函数模型题型二：二次函数模型题型三：幂函数模型题型四：指数函数模型题型五：对数函数模型题型六：正弦函数模型题型七：余弦函数模型题型八：正切函数模型03过关测试20一次函数(1)对于正比例函数f x =kx k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ．(2)对于一次函数f x =kx+b k≠0，与其对应的抽象函数为f x±y=f x ±f y ∓b．二次函数(3)对于二次函数f x =ax2+bx+c a≠0，与其对应的抽象函数为f x+y=f x +f y +2axy-c幂函数(4)对于幂函数f x =x n，与其对应的抽象函数为f xy=f x f y ．(5)对于幂函数f x =x n，其抽象函数还可以是fxy=f x f y．指数函数(6)对于指数函数f x =a x，与其对应的抽象函数为f x+y=f x f y ．(7)对于指数函数f x =a x，其抽象函数还可以是f x -y =f xf y．其中(a >0,a ≠1)对数函数(8)对于对数函数f x =log a x ，与其对应的抽象函数为f xy =f x +f y ．(9)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是fxy=f x -f y ．(10)对于对数函数f x =log a x ，其抽象函数还可以是f x n=nf x ．其中(a >0,a ≠1)三角函数(11)对于正弦函数f x =sin x ，与其对应的抽象函数为f x +y f x -y =f 2x -f 2y 注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：sin 2α-sin 2β=sin α+β sin α-β(12)对于余弦函数f x =cos x ，与其对应的抽象函数为f x +f y =2fx +y 2 f x -y2注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：cos α+cos β=2cos α+β2cosα-β2(13)对于余弦函数f x =cos x ，其抽象函数还可以是f x f y =12f x +y +f x -y注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：cos αcos β=cos α+β +cos α-β2(14)对于正切函数f x =tan x ，与其对应的抽象函数为f x ±y =f x ±f y1∓f x f y注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan α±β =tan α±tan β1∓tan αtan β题型一：一次函数模型1已知f x +y =f x +f y -1且f 1 =2，则f 1 +f 2 +⋯+f n 不等于A.f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -12B.f n n +1 2+n -1C.n 2+3n2 D.n n +1【答案】D【解析】∵f x +y =f x +f y -1，∴f x +y -1=f x -1 +f y -1 ，构造函数g x =f x -1，则g x +y =g x +g y ，且g 1 =f 1 -1=1，令a n =g n =f n -1，则a 1=f 1 -1=1，令x =n ，y =1，得g n +1 =g n +g 1 ，∴a n +1=a n +a 1=a n +1，即a n +1-a n =1，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为1，∴a n =1+n -1 ×1=n ，∴f n -1=n ，则f n =n +1.f 1 +f 2 +⋯+f n =2+3+⋯+n +1 =n 2+n +1 2=n n +3 2=n 2+3n 2，f 1 +2f 1 +⋯+nf 1 -n n -1 2=n n +1 2f 1 -n n -1 2=n n +1 -n n -1 2=n 2+3n2，合乎题意；f n n +1 2 +n -1=n n +1 2+1+n -1=n 2+3n 2，合乎题意；故选D .2已知函数f x 的定义域为R ，且f 12≠0，若f (x +y )+f (x )f (y )=4xy ，则下列结论错误的是()A.f -12=0 B.f 12=-2C.函数f x -12是偶函数 D.函数f x +12是减函数【答案】C【解析】对于A ，令x =12、y =0，则有f 12 +f 12 ×f 0 =f 121+f 0 =0，又f 12≠0，故1+f 0 =0，即f 0 =-1，令x =12、y =-12，则有f 12-12 +f 12 f -12 =4×12×-12，即f 0 +f 12 f -12 =-1，由f 0 =-1，可得f 12 f -12 =0，又f 12 ≠0，故f -12=0，故A 正确；对于C ，令y =-12，则有f x -12 +f x f -12 =4x ×-12，则f x -12 =-2x ，故函数f x -12是奇函数，故C 错误；对于D ，有f x +1-12 =-2x +1 =-2x -2，即f x +12=-2x -2，则函数f x +12 是减函数，故D 正确；对于B ，由f x -12 =-2x ，令x =1，有f 12=-2×1=-2，故B 正确.故选：C 3(2024·河南新乡·一模)已知定义在R 上的函数f x 满足∀x ,y ∈R ，f 2xy -1 =f x ⋅f y +f y +2x -3，f 0 =-1，则不等式f x >3-2x 的解集为()A.1,+∞B.-1,+∞C.-∞,1D.-∞,-1【答案】A【解析】令x =y =0，得f (-1)=f (0)⋅f (0)+f (0)-3=-3.令y =0，得f (-1)=f (x )f (0)+f (0)+2x -3，解得f (x )=2x -1，则不等式f (x )>3-2x 转化为2x +2x -4>0，因为y =2x +2x -4是增函数，且2×1+21-4=0，所以不等式f (x )>3-2x 的解集为(1,+∞).故选：A4已知定义在R 上的单调函数f x ，其值域也是R ，并且对于任意的x ,y ∈R ，都有f xf y =xy ，则f 2022 等于()A.0B.1C.20222D.2022【答案】D【解析】由于f x 在R 上单调，且值域为R ，则必存在y 0∈R ，使得f y 0 =1，令y =y 0得，f xf y 0 =xy 0，即f x =y 0x ，于是∀x ,y ∈R ，f xf y =f xy 0y =y 0xy 0y =y 20xy =xy ，则y 0=±1，从而f x =±x ，有f 2022 =2022.故选：D题型二：二次函数模型1(2024·高三·河北保定·期末)已知函数f (x )满足：∀x ，y ∈Z ，f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy +1成立，且f (-2)=1，则f 2n n ∈N * =()A.4n +6B.8n -1C.4n 2+2n -1D.8n 2+2n -5【答案】C【解析】令x =y =0，则f 0 =f 0 +f 0 +1，所以f 0 =-1，令x =y =-1，则f -2 =f -1 +f -1 +2+1=2f -1 +3=1，所以f -1 =-1，令x =1,y =-1，则f 0 =f 1 +f -1 -2+1=f 1 -2=-1，所以f 1 =1，令x =n ,y =1,n ∈N *，则f n +1 =f n +f 1 +2n +1=f n +2n +2，所以f n +1 -f n =2n +2，则当n ≥2时，f n -f n -1 =2n ，则f n =f n -f n -1 +f n -1 -f n -2 +⋯+f 2 -f 1 +f 1=2n +2n -2 +⋯+4+1=2n +4 n -12+1=n 2+n -1，当n =1时，上式也成立，所以f n =n 2+n -1n ∈N * ，所以f 2n =4n 2+2n -1n ∈N * .故选：C .2(2024·山东济南·三模)已知函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，则下列结论一定成立的是()A.f 1 =1B.f x 为偶函数C.f x 有最小值D.f x 在0,1 上单调递增【答案】C【解析】由于函数f x 的定义域为R ，且yf x -xf y =xy x -y ，令y =1，则f x -xf 1 =x x -1 ，得f x =x 2+f 1 -1 x ，x =1时，f 1 =12+f 1 -1 恒成立，无法确定f 1 =1，A 不一定成立；由于f 1 =1不一定成立，故f x =x 2+f 1 -1 x 不一定为偶函数，B 不确定；由于f x =x 2+f 1 -1 x 的对称轴为x =-12⋅f 1 -1 与0,1 的位置关系不确定，故f x 在0,1 上不一定单调递增，D 也不确定，由于f x =x 2+f 1 -1 x 表示开口向上的抛物线，故函数f x 必有最小值，C 正确，故选：C3(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是()A.f (4)=12B.方程f (x )=x 有解C.f x +12 是偶函数D.f x -12是偶函数【答案】C【解析】对于A ，因为函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x )+f (y )=f (x +y )-2xy +2,f (1)=2，取x =y =1，得f (1)+f (1)=f (2)-2+2，则f (2)=4，取x =y =2，得f (2)+f (2)=f (4)-8+2，则f (4)=14，故A 错误；对于B ，取y =1，得f (x )+f (1)=f (x +1)-2x +2，则f (x +1)-f (x )=2x ，所以f (x )-f (x -1)=2(x -1),f (x -1)-f (x -2)=2(x -2),⋯,f (2)-f (1)=2，以上各式相加得f (x )-f (1)=2(x -1)+2 ⋅(x -1)2=x 2-x ，所以f (x )=x 2-x +2，令f (x )=x 2-x +2=x ，得x 2-2x +2=0，此方程无解，故B 错误.对于CD ，由B 知f (x )=x 2-x +2，所以f x +12 =x +12 2-x +12 +2=x 2+74是偶函数，f x -12 =x -12 2-x -12 +2=x 2-2x +114不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C .4(2024·河南·三模)已知函数f x 满足：f 1 ≥3，且∀x ,y ∈R ，f x +y =f x +f y +6xy ，则9i =1f i 的最小值是()A.135 B.395C.855D.990【答案】C【解析】由f x +y =f x +f y +6xy ，得f x +y -3x +y 2=f x -3x 2+f y -3y 2，令g x =f x -3x 2，得g x +y =g x +g y ，令x =n ,y =1，得g n +1 -g n =g 1 ，故g n =g n -g n -1 + g n -1 -g n -2 +⋅⋅⋅+ g 2 -g 1 +g 1 =ng 1 ，又g n =f n -3n 2，所以f n =g n +3n 2=3n 2+f 1 -3 n ，所以9i =1f i =39i =1i 2+f 1 -3 9i =1i =855+45f 1 -3 ，因为f 1 ≥3，当f 1 =3时，9i =1f i 的最小值为855．故选：C ．题型三：幂函数模型1已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，且xf x =y +1 f y +1 ，则()A.f x ≥0B.f 1 =1C.f x 是偶函数D.f x 没有极值点【答案】D【解析】令g x =xf x ，则g y +1 =y +1 f y +1 ，所以g x =g y +1 ，且x ,y +1为定义域内任意值，故g x 为常函数.令g x =k ，则f x =kx，为奇函数且没有极值点，C 错，D 对；所以f x ≥0不恒成立，f 1 =1不一定成立，A 、B 错.故选：D2(2024·河北·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x 满足f xy =f -x y +f -yx+1xy，则()A.f x 是奇函数且在0,+∞ 上单调递减B.f x 是奇函数且在-∞,0 上单调递增C.f x 是偶函数且在0,+∞ 上单调递减D.f x 是偶函数且在-∞,0 上单调递增【答案】A【解析】令x =y =-1，则f 1 =-2f 1 +1，所以f 1 =13，令x =y =1，则f 1 =2f -1 +1，所以f -1 =-13，令y =-1，则f -x =-f -x +f 1 x -1x =-f -x +13x -1x =-f -x -23x，所以f -x =-13x，令y =1，则f x =f -x +f -1 x +1x =-13x -13x +1x =13x ，所以f x =13x，因为f -x =-13x=-f x ，且定义域关于原点对称，所以函数f x 是奇函数，由反比例函数的单调性可得函数f x =13x在0,+∞ 上单调递减.故选：A .题型四：指数函数模型1(多选题)(2024·山西晋中·三模)已知函数f x 的定义域为R ，满足f x +y =f x f y +f x +f y ，且f 0 ≠-1，f 1 >-1，则下列说法正确的是()A.f 0 =0B.f x 为非奇非偶函数C.若f 1 =1，则f 4 =15D.f x >-1对任意x ∈N *恒成立【答案】ACD【解析】我们有恒等式：f x +y +1=f x f y +f x +f y +1=f x +1 f y +1 .对于A ，由恒等式可得f 0 +1=f 0 +1 f 0 +1 ，而f 0 ≠-1，故f 0 +1≠0，所以1=f 0 +1，即f 0 =0，故A 正确；对于B ，由于f x =0满足条件且是偶函数，所以f x 有可能是偶函数，故B 错误；对于C ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 ，故f 4 +1=f 3 +1 f 1 +1 =f 2 +1 f 1 +12=f 1 +1 4.若f 1 =1，则f 4 =f 1 +1 4-1=24-1=15，故C 正确；对于D ，由恒等式可得f x +1 +1=f x +1 f 1 +1 .而f 1 +1>0，故f x +1 +1和f x +1同号(同为正数，或同为负数，或同为0)，从而再由f 1 +1>0可知f x +1>0x ∈N * ，即f x >-1x ∈N * ，故D 正确.故选：ACD .2已知函数f x 满足，f p +q =f p ⋅f q ,f 1 =3，则f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4f 3+f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10f 9 的值为()A.15B.30C.60D.75【答案】B【解析】∵f p +q =f p ⋅f q ,∴f n +1 =f n ⋅f 1 ,∵f 1 =3∴f n +1 =3f n ∴f n =3×3n -1=3n因此f 21 +f 2 f 1 +f 22 +f 4 f 3 +f 23 +f 6 f 5 +f 24 +f 8 f 7 +f 25 +f 10 f 9=32+323+34+3433+36+3635+38+3837+310+31039=6+6+6+6+6=30故选：B3如果f a +b =f a f b 且f 1 =2，则f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6f 5=()A.125B.375C.6D.8【答案】C【解析】∵f 1 =2，f a +b =f a f b ，∴f 2 =f 1 f 1 ，f 4 =f 3 f 1 ，f 6 =f 5 f 1 ，∴f 2 f 1 =f 1 ，f 4 f 3 =f 1 ，f 6 f 5 =f 1 ，∴f 2 f 1 +f 4 f 3 +f 6 f 5 =3f 1 =6，故选：C ．4已知函数f x 对一切实数a ,b 满足f a +b =f a ⋅f b ，且f 1 =2，若a n =f n2+f 2n f 2n -1n ∈N *，则数列a n 的前n 项和为()A.nB.2nC.4nD.8n【答案】C【解析】∵函数f x 对一切实数a,b满足f a+b=f a ⋅f b ，且f1 =2∴f n+1=f n ⋅f1 =2f n∴数列f n是等比数列，首项为2，公比为2∴f n =2n，n∈N*所以a n=f n2+f2nf2n-1=22n+22n22n-1=4所以数列a n的前n项和为4n．故选：C．题型五：对数函数模型1(多选题)已知函数f x 的定义域为R，f xy=y2f x +x2f y ，则( )．A.f0 =0 B.f1 =0C.f x 是偶函数D.x=0为f x 的极小值点【答案】ABC【解析】方法一：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，不妨令f(x)=0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误.方法二：因为f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，对于A，令x=y=0，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，故A正确.对于B，令x=y=1，f(1)=1f(1)+1f(1)，则f(1)=0，故B正确.对于C，令x=y=-1，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，则f(-1)=0，令y=-1,f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确，对于D，当x2y2≠0时，对f(xy)=y2f(x)+x2f(y)两边同时除以x2y2，得到f(xy)x2y2=f(x)x2+f(y)y2，故可以设f(x)x2=ln x (x≠0)，则f(x)=x2ln x ,x≠00,x=0，当x>0肘，f(x)=x2ln x，则f x =2x ln x+x2⋅1x=x(2ln x+1)，令f x <0，得0<x<e-12；令f x >0，得x>e-12；故f(x)在0,e-1 2上单调递减，在e-12,+∞上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在-e-1 2,0上单调递增，在-∞,e-12上单调递减，显然，此时x =0是f (x )的极大值，故D 错误.故选：ABC .2.已知定义在0,+∞ 上的函数f x ，满足f xy +1=f x +f y ，且f 12=0，则f 211 =()A.1B.11C.12D.-1【答案】C【解析】令x =y =1，则f 1 +1=f 1 +f 1 ，解得f 1 =1，令x =2,y =12，则f 1 +1=f 2 +f 12，解得f 2 =2，令x =y =2，则f 22 +1=f 2 +f 2 ，解得f 22 =3，令x =22,y =2，则f 23 +1=f 22 +f 2 ，解得f 23 =4，⋯⋯，依次类推可得f 211 =12。

抽象函数解题题型大全(例题含标准答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。

学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是［0，1］，求()x f 的定义域。

解：()12-x f 的定义域是［0，1］，是指10≤≤x ，所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是：[]11,-.评析：一般地，已知函数()()x g f 的定义域是A ，求()x f 的定义域问题，相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ，据此求()x g 的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-，求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。

解：)(x f 的定义域是[]11,-，意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中，由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数()()x g f 的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

中学数学中常见抽象函数题型及其解法

文/刘兵抽象函数是相对于具体的函数而言，是指没有给出函数解析式或对应法则，只是给出函数所满足的一些性质，抽象函数一般是指满足这些性质的一类函数．求解抽象函数问题，要有扎实的知识基础和较强的抽象思维和逻辑推理能力。

随着高考“多考点想，少考点算”精神的突显，抽象函数问题在高考命中呈现逐渐加强的趋势．常见函数的抽象函数形式指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)，三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)，幂函数：f(xy)=f(x)f(y)，对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)。

周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的其它性质，如单调性、奇偶性、周期性及函数变换与图象的对称性之间的关系，或是求函数值、解析式等．抽象函数问题的解法，主要是“赋值法”、“穿脱法”和“定义法”。

一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点,从而使问题得以解决。

这类问题经常出现,要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y)=f(x)+f(y)+x对任意自然数x,y恒成立，且f(1)=1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时,可得f(x＋1)=f(x)＋x＋1,这相似于数列中的递推关系,再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y=1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1)=1f(2)=f(1)+2f(3)=f(2)+3…f(n)=f(n-1)+n各式相加得：f(n)=1+2+3+…+n =∴ f(x) =例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x-y)=2 f(x)·f(y)，x∈R,y∈R,且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令x=y=0时,可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x=y=0∴ f(0)+f(0)=2f 2(0)∵ f(0)≠0, ∴f(0)=1令 x=0, 则f(y)+f(－y) =2f(0)·f(y)∴ f(－y)=f(y),∵y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x>0,y>0恒有f(xy)=f(x)+f(y)求证：当x>0时, f( ) =－f(x)分析:当令x=y=1时,可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x·)可求得。

归纳抽象函数常见题型及解法

5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是般向特殊转化的必要手段.式.解：在设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。

抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

高中常见抽象函数题型归纳

3•利用约分化简求值
如果f(x y)
f(x)f(y),且f(1)
2,则f(2)f(4)
f(6)
f(2000)
的值是
f⑴f⑶
f(5)
f(2001)
.2000
f2(1) f(2)
f2(2) f⑷
f2(3)f⑹
f2(4) f (8)
f (1)
f(3)
f (5)
f (7)
.(
f(n)
2，原式=16)
(三)值域问题
4
0,—, 3,8
值域为•答案：3
(二)函数值问题
1.赋特殊值法求值
例1•已知f(x)的定义域为R，且f(xy)f(x)f(y)对一切正实数x，y都成立，若f(8)4，则
f(2)
分析：在条件f(xy) f(x) f(y)中，令xy4，得
f (8)f(4) f⑷2f⑷4f(4)2
又令x y 2，得f⑷f(2)f(2)2，f( 2)1
例5.对任意实数
分析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手:
f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2
令
2
f(n) 2[f(1)],
令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,
令x=y=0,得：f(0)=0, •••
1in200
即f(n 1)-f( n)-,故f(n) —, f(2001)一f(1)=2,222
2
f (x)f (-)0
此，2，又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)丰0矛盾，所以f(x)>0. 3.
例2•若函数h(x),g(x)均为奇函数，f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0,+^)上有最大值5,求f(x)在(—^,0)

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳

高一数学必修1抽象函数常见题型解法归纳一、直接法从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

四、等价转化法将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

问题1：我的基础还可以，上课老师讲的也都能听懂，但是一到自己做就做不出来了，帮忙分析一下原因。

答：数学这个东西是靠着逻辑吃饭的，是靠着逻辑演绎向前推进和发展的。

当一个老师把你抱到了逻辑的起点上，告诉你这个逻辑关系是怎样的，比如说饿了就应该找饭吃，下雨了就应该找伞来打，告诉你了这个逻辑规则，你自己肯定会按照逻辑的顺序往前跑，这就叫为什么上课听得懂。

为什么课下自己不会做了呢?是因为课下你找不到逻辑的起点，就像一个运动员空有一身本领，跑得飞快，没有找到起点，没有到起点做好认真的准备，结果人家一发令，你没反应。

有两种学习的模式，一种是靠效仿，老师给我变一个数，出两道类似的练习题，照老师的模子描下来，结果做对了，好象我学会了，这就是效仿的方式来学数学，这种方式在小学是主要手段，在初中，这种手段还占着百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分数也就是五六十分，其他的分数都要靠你的理解。

问题2：我有时候看基础知识的时候定义都没有问题，但是一做题的时候，就转不过来了，耗的时间比较多，怎么办?答：那你就看看定理、定义、公式都是怎么使用，除了背下它们之外，关键是要把握住这些数学的定义、定理、公式、法则，在解题中是如何运用的，建议你好好从课本出发，如何利用刚才讲的这个定理或者定义去解题的，把它先搞清楚，适当的时候自己做做笔记，问问自己，这个定义是怎么使用的，在这个定理里怎么用的，你自己在旁边注上一两句话。

抽象函数题型汇编

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域．解法：若()f x 的定义域为[]a b ，，则(())f g x 中()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为(())f g x 的定义域．例1 设函数()f x 的定义域为[01]，，则(1)函数2()f x 的定义域为；(2)函数2)f 的定义域为．解析：(1)由已知有201x ≤≤，解得11x -≤≤，故2()f x 的定义域为[11]-，；(2)由已知，得021≤，解得49x ≤≤，故2)f 的定义域为[49]，． (二)已知(())f g x 的定义域，求()f x 的定义域．解法：若(())f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 函数[lg(1)]y f x =+的定义域为09x ≤≤，则()y f x =的定义域为．解析：由09x ≤≤，得1110x +≤≤，所以0lg(1)1x +≤≤，故填[01]， (三)已知(())f g x 的定义域，求(())f h x 的定义域．解法：先由(())f g x 定义域求()f x 定义域，再由()f x 定义域求得(())f h x 定义域．例3 函数(1)y f x =+定义域是[23]-，，则(21)y f x =-的定义域是．解析：先求()f x 的定义域，∵(1)f x +的定义域是[23]-，，∴23x -≤≤ ∴114x +≤≤，即()f x 的定义域是[14]-，再求[()]f h x 的定义域，∵1214x --≤≤，∴502x ≤≤∴(21)f x -的定义域是502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 函数()f x 的定义域是(01]，，求()1()()()02g x f x a f x a a =+⋅--<≤的定义域．解析：∵由已知，有0101x a x a <+⎧⎨<-⎩≤，≤，即11a x a a x a -<-⎧⎨<+⎩≤，≤，∴函数的定义域由(1)(1]a a a a --+I ，，确定 ∵102a -<≤∴11a a a a -<+-≤≤∴函数()g x 的定义域是(1]a a -+，．【巩固1】已知函数2()f x 的定义域是12［，］，求()f x 的定义域．解析：2()f x 的定义域是12［，］，是指12x ≤≤，所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数()f x 的定义域是[14]，．【巩固2】已知函数()f x 的定义域是[12]-，，求函数()12log (3)f x -的定义域．解析：()f x 的定义域是[12]-，，意思是凡被f 作用的对象都在[12]-，中，由此可得 ()()211211111log (3)231224x x x ---⇒-⇒≤≤≤≤≤≤所以函数()12log (3)f x -的定义域是1114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【巩固3】()f x 定义域为(01)，，则()1()()||2y f x a f x a a =++-≤定义域是．解析：因为x a +及x a -均相当于()f x 中的x ，所以011011x a a x a x a a x a <+<-<<-⎧⎧⇒⎨⎨<-<<<+⎩⎩，，，，(1)当102a -≤≤时，则(1)x a a ∈-+，； (2)当102a <≤时，则(1)x a a ∈-，．二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力．例5 已知 ()211x fx x =++，求()f x ．解析：设1x u x =+，则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-．2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x ．此解法简洁，还能进一步复习代换法．例6 已知()3311f x x x x +=+，求()f x解析：∵()()()()()()2221111113f x x x x x x xx xx+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)(||)13f x x x x x x =-=-≥，3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数．例7 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4，求()f x ．解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ 22222()24ax bx a c x x =+++=++比较系数得2()4132112222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩，，，，，∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式．例8 已知()y f x =为奇函数，当0x >时，()lg(1)f x x =+，求()f x ．解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求0x <时的表达式． ∵0x ->，∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-， ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当0x <时()lg(1)f x x =--∴lg(1)0()lg(1)0x x f x x x +⎧=⎨--<⎩，≥，例9 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有1()()1f x g x x +=-，求()f x ，()g x ．解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-，不妨用x -代换1()()1f x g x x +=- ………①中的x ，∴1()()1f x g x x -+-=--即1()()1f xg x x -=-+……② 显见①+②即可消去()g x ，求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例10 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++，及(1)1f =，求()f x 解析：∵()f x 的定义域为N ，取1y =，则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)1f =，∴(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有(1)()1232n n f n n +=++++=L ，∴1()(1)2f x x x x =+∈N ，【巩固4】设函数()f x 存在反函数，1()()()g x f xh x -=，与()g x 的图象关于直线0x y +=对称，则函数 ()h x =（）A ．()f x -B ．()f x --C ．1()f x --D ．1()f x ---解析：要求()y h x =的解析式，实质上就是求()y h x =图象上任一点00()P x y ，的横、纵坐标之间的关系．点00()P x y ，关于直线y x =-的对称点00()y x --，适合1()y f x -=，即00()x g y -=-．又1()()g x f x -=，1000000()()()x f y y f x y f x -∴-=-⇒-=-⇒=--，即()()h x f x =--，选B ．【巩固5】设对满足01x x ≠≠，的所有实数x ，函数()f x 满足()1()1x f x f x x -+=+，求()f x 的解析式．解析：在()1()1x f x f x x -+=+（1）中以1x x-代换其中x ，得：()()11211x x f f x x x --+-=-(2)再在(1)中以11x --代换x ，得()12()11x f f x x x --+=--(3)(1)-(2)+(3)化简得：321()2(1)x x f x x x --=- 评析：如果把x 和1x x -分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略．三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化．或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．例11 已知定义域为+R 的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1(6)5f f ==，；②()f x y ⋅=()()f x f y +，求(3)(9)f f ，的值．解析：取23x y ==，，得(6)(2)(3)f f f =+ 因为1(2)1(6)5f f ==，，所以4(3)5f =- 又取3x y ==，得8(9)(3)(3)5f f f =+=-例12 定义在R 上的函数()f x 满足：()(4)f x f x =-且(2)(2)0f x f x -+-=，求(2000)f 的值．解析：由(2)(2)0f x f x -+-=，以2t x =-代入，有()()f t f t -=， ∴()f x 为奇函数且有(0)0f =，又由(4)[4()]f x f x +=--()()f x f x =-=-，∴(8)(4)()f x f x f x +=-+= ()f x 是周期为8的周期函数，∴(2000)(0)0f f ==【巩固6】已知()f x 的定义域为+R ，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数x y ，都成立，若(8)4f =，则(2)f =_______．解析：在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得 (8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，∴(4)2f =又令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=，∴(2)1f =【巩固7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：(2)[1()]1()f x f x f x +-=+，(1)1997f =，求(2001)f 的值．解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现()f x 是周期函数，显然()1f x ≠，于是 1()(2)1()f x f x f x ++=-，1()11(2)1()1(4)1(2)1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++++-+===--++--所以1(8)()(4)f x f x f x +=-=+，故()f x 是以8为周期的周期函数，从而(2001)(82501)(1)1997f f f =⨯+== 四、值域问题例13 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y ，，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域．解析：令0x y ==，得2(0)[(0)]f f =，即有(0)0f =或(0)1f =．若(0)0f =，则()(0)()(0)0f x f x f x f =+==，对任意x ∈R 均成立，这与存在实数12x x ≠，使得12()()f x f x ≠成立矛盾，故(0)0f ≠，必有(0)1f =．由于()()()f x y f x f y +=对任意x y ∈R ，均成立，因此，对任意x ∈R ，有 ()()()()2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦≥下面来证明，对任意()0x f x ∈≠R ，设存在0x ∈R ，使得0()0f x =，则0000)(0)(()()0f f x x f x f x =-=-= 这与上面已证的(0)0f ≠矛盾，因此，对任意()0x f x ∈≠R ，所以()0f x >评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．【巩固8】已知函数()f x 对任意实数x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[21]-，上的值域．解析：设12x x <，且12x x ∈R ，，则210x x ->，由条件当0x >时，()0f x > ，21()0f x x ∴->又2211()[()]f x f x x x =-+2111()()()f x x f x f x =-+>，∴()f x 为增函数，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-又令0x y == ，得(0)0f = ，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数， (1)(1)2f f ∴=-=，(2)2(1)4f f -=-=-所以()f x 在[21]-，上的值域为[42]-，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用．例4 已知()f x 是定义在(11)-，上的偶函数，且在(01)，上为增函数，满足(2)f a -- 2(4)0f a -<，试确定a 的取值范围．解析：∵()f x 是偶函数，且在(01)，上是增函数，∴()f x 在(10)-，上是减函数，由2121141a a -<-<⎧⎨-<-<⎩a < (1)当2a =时，2(2)(4)(0)f a f a f -=-=，不等式不成立． (2)2a <<时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩(3)当2a <2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a的取值范围是2)(2U ．例15 ()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，若22(sin )(1cos )f m x f m x -++≤对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：：2222sin 31cos 3sin 1cos m x m x m x m x ⎧-⎪++⎨⎪-++⎩Q ≤，≤，≥，对x ∈R 恒成立222sin 3sin 1cos m x m x m x ⎧-⎪⇔⎨-++⎪⎩≤，≥，对x ∈R 恒成立⇔22223sin 151sin cos (sin )24m x m m x x x ⎧-⎪⎨--+=--+⎪⎩≤，≥，对x ∈R 恒成立， 2231514m m m ⎧-⎪∴⎨--⎪⎩≤，≥，所以m 为所求【巩固9】已知函数()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，且对一切实数x ，不等式(sin )f k x -≥ 22(sin )f k x -恒成立，求k 的值．解析：由单调性，脱去函数记号，得222222221sin 1sin 111(sin )2sin sin 42k x k x k k x k x k x ⎧+⎧-⎪⎪⇔⎨⎨-+---⎪⎪⎩⎩≤，()≤，≥，()≤ 由题意知(1)(2)两式对一切x ∈R 恒成立，则有22min 22max (1sin )11119(sin )424k x k k k x ⎧⎫+=⎪⎪⇒=-⎨⎬-+-=⎪⎪⎩⎭≤≥ 【巩固10】已知函数()f x 对任意x y ∈R ，有()()2()f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，(3)5f =，求不等式2(22)3f a a --<的解集．解析：设12x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->， 21()2f x x ∴->，即21()20f x x -->22112111()[()]()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+=-+->，21()()f x f x ∴>故()f x 为增函数，又(3)(21)(2)(1)23(1)45f f f f f =+=+-=-=，(1)3f ∴=，2(22)3(1)f a a f ∴--<=，即2221a a --<，13a ∴-<<因此不等式2(22)3f a a --<的解集为{}|13a a -<<．六、单调性问题例16 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x y ，，有()f x y +=()()f x f y ，求证：()f x 在R 上为增函数．证明：在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f = 若(0)0f =，令00x y >=，，则()0f x =，与()1f x >矛盾所以(0)0f ≠，即有(0)1f =当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0()10x f x ->->>，而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()0()f x f x =>-又当0x =时，(0)10f =>，所以对任意x ∈R ，恒有()0f x > 设12x x <，则21210()1x x f x x ->->，∴21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->，∴()y f x =在R 上为增函数例17 已知偶函数()f x 在(0)+∞，上是减函数，问()f x 在(0)-∞，上是增函是减函数，并证明你的结论．证明：如图所示，易知()f x 在(0)-∞，上是增函数，证明如下：任取121200x x x x <<⇒->->因为()f x 在(0)+∞，上是减函数，所以12()()f x f x -<-．又()f x 是偶函数，所以1122()()()()f x f x f x f x -=-=，，从而12()()f x f x <，故()f x 在(0)-∞，上是增函数．【巩固11】如果奇函数()f x 在区间[37]，上是增函数且有最小值为5，那么()f x 在区间[73]--，上是( ) A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5-解析：画出满足题意的示意图1，易知选B ．七、奇偶性问题例18 已知函数()(0)f x x x ∈≠R ，对任意不等于零的实数12x x ，都有121()()f x x f x ⋅=2()f x +，试判断函数()f x 的奇偶性．解析：取1211x x =-=，得：(1)(1)(1)f f f -=-+，所以(1)0f = 又取121x x ==-得：(1)(1)(1)f f f =-+-，所以(1)0f -= 再取121x x x ==-，，则()(1)()f x f f x -=-+，即()()f x f x -= 因为()f x 为非零函数，所以()f x 为偶函数．【巩固12】若函数()(()0)y f x f x =≠与()y f x =-的图象关于原点对称，求证：函数()y f x =是偶函数．证明：设()y f x =图象上任意一点为00()P x y ， ()y f x =Q 与()y f x =-的图象关于原点对称，00()P x y ∴，关于原点的对称点00()x y --，在()y f x =-的图象上，00()y f x ∴-=--，00()y f x ∴=-又00()y f x =，00()()f x f x ∴-=即对于函数定义域上的任意x 都有()()f x f x -=，所以()y f x =是偶函数．八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x (其中a 为常数)， 1．()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2．()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 3．1()()f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；4．()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 5．1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．6．1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．7．1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．8．函数()y f x =满足()()(0)f x a f a x a +=->，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．9．函数()()y f x x =∈R 的图象关于直线x a =和()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；10．函数()()y f x x =∈R 的图象关于两点00()()()A a y B b y a b <，，，都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；11．函数()()y f x x =∈R 的图象关于0()A a y ，和直线()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以4()b a -为周期的周期函数；例19 设()f x 定义在R 上且对任意的x 有()(1)(2)f x f x f x =+-+，求证：()f x 是周期函数，并找出它的一个周期．解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出()()f x T f x +=(T 为非零常数)则()f x 为周期函数，且周期为T ．证明：()(1)(2)f x f x f x =+-+Q (1) (1)(2)(3)f x f x f x ∴+=+-+ (2)(1)+(2)得()(3)f x f x =-+(3) 由(3)得(3)(6)f x f x +=-+(4) 由(3)和(4)得()(6)f x f x =+．上式对任意x ∈R 都成立，因此()f x 是周期函数，且周期为6．例20 设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的x y ，()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，并存在正实数c ，使()02c f =．试问()f x 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：cos y x =满足题设条件，且cos 02π=，猜测()f x 是以2c 为周期的周期函数．()()()()20222222()()(2)()()c c c c c c f x f x f x f f x c f x f x c f x c f x ⎡⎤⎡⎤++++-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+=-∴+=-+=Q 故()f x 是周期函数，2c 是它的一个周期．【巩固13】设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．对任意12x x ∈，102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅．证明()f x 是周期函数．证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(2)f x f x x =-∈R ，又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，()(2)f x f x x ∴-=-∈R ，，将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f x x =+∈R ，这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 ()f x 是偶函数的实质是()f x 的图象关于直线0x =对称又()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 是周期函数，且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线(0)x a a =≠对称，证明()f x 是周期函数，且2a 是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =对称．()(2)f x f a x x ∴=-∈R ，又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，，()(2)f x f a x x ∴-=-∈R ，将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f a x x =+∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2a 是它的一个周期思考二：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和()x b a b =≠对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =和x b =对称()(2)f x f a x x ∴=-∈R ，，()(2)f x f b x x =-∈R ，，(2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ，将上式的x -以x 代换得(2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，[2()][(2)2][(2)2]()f x b a f x a b f x a a f x x ∴+-=-+=-+=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，()f x 还是不是周期函数？我们得到思考三：设()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称．证明()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．，证明：()f x Q 关于1x =对称，()(2)f x f x x ∴=-∈R ，又由()f x 是奇函数知()()f x f x x -=-∈R ，，(2)()f x f x x ∴-=--∈R ，将上式的x -以x 代换，得(2)()f x f x x +=-∈R ，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x ∴+=++=-+=--=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4是它的一个周期()f x 是奇函数的实质是()f x 的图象关于原点(00)，中心对称，又()f x 的图象关于直线1x =对称，可得()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．由此进行一般化推广，我们得到思考四：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，中心对称，且其图象关于直线()x b b a =≠对称．证明()f x 是周期函数，且4()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于点(0)M a ，对称，(2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， ()f x Q 关于直线x b =对称，()(2)f x f b x x ∴=-∈R ，，(2)(2)f b x f a x x ∴-=--∈R ，将上式中的x -以x 代换，得(2)(2)f b x f a x x +=-+∈R ， [4()][2(24)][2(24)]f x b a f b x b a f a x b a ∴+-=++-=-++-[2(2)][2(2)]()f b x a f a x a f x x =-+-=+-=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数()f x ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则()f x 是R 上的周期函数．进一步我们想到，定义在R 上的函数()f x ，其图象如果有两个对称中心，那么()f x 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，和(0)()N b a b ≠，对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于(0)(0)M a N b ，，，对称 (2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， (2)()f b x f x x -=-∈R ， (2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ，将上式中的x -以x 代换，得 (2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，，[2()][2(2)][2(2)]()f x b a f b x a f a x a f x x ∴+-=+-=+-=∈R ， ()f x ∴是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性 1．对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴．②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心．2．常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)①常函数；②一次函数；③二次函数；④反比例函数；⑤指数函数；⑥对数函数；⑦幂函数；⑧正弦函数；⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称；⑩余弦函数；○13正切函数；○12耐克函数；○13三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异；○14绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类．前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称．○15形如(0)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+，的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零确定)和直线a y c=(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点()d a c b -，． (2)抽像函数的对称性1．函数()y f x =图像本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称①()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()(2)f a x f a x f x f a x ⇔+=-⇔=- ()(2)f x f a x ⇔-=+②()()()f a x f b x y f x +=-⇔=的图像关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．特别地，函数()y f x =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-． (2)中心对称①()y f x =的图像关于点()a b ，对称()()2()(2)2f a x f a x b f x f a x b ⇔++-=⇔+-= ()(2)2f x f a x b ⇔-++=．②()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图像关于点()2a b c +，对称．特别地，函数()y f x =的图像关于原点(00)，对称的充要条件是()()0f x f x +-=． (3)对称性与周期性之间的联系①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；特别地：若()y f x =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2||a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(0)a ，对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为||b a -，相邻对称轴或中心的距离为2||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4||T b a =-．特别地：若()y f x =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4||a 的周期函数． 2．两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数()y f a x =+与()y f a x =-图像关于直线0x =对称． (2)函数()y f x =与(2)y f a x =-图像关于直线x a =对称 (3)函数()y f x =-与(2)y f a x =+图像关于直线a x -=对称(4)函数()y f a x =+与()y f b x =-图像关于直线()()0a x b x +--=对称即直线2b a x -=对称(5)函数()y f x =与()y f x =-图像关于x 轴对称．(6)函数()y f x =与()y f x =-图像关于y 轴对称．(7)函数()y f x =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称． (8)函数()y f x =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称． (9)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． (10)函数()y f x =与1()y f x -=--的图像关于直线y x =-对称．(11)函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和1()y f a x -=+的图像关于直线y x a =+对称．(12)函数()y f x =与2(2)y b f a x =--的图像关于点()a b ，成中心对称．特别地，函数()y f x =与()y f x =--图像关于原点对称．例21 函数()y f x =满足()()2002f x f x +-=，求11()(2002)f x f x --+-值．解析：已知式即在对称关系式()()2f a x f a x b ++-=中取02002a b ==，，所以函数()y f x =的图象关于点(02002)，对称．根据原函数与其反函数的关系，知函数1()y f x -=的图象关于点(20020)，对称．所以11(1001)(1001)0f x f x --++-=将上式中的x 用1001x -代换，得11()(2002)0f x f x --+-=评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a b ，均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称图形．十、综合问题 (1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解．例22 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，0x <时，()f x 是增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则12()()f x f x --，的大小关系是_______．解析：1200x x <>Q ，且12||||x x <，122100x x x x ∴<-<⇒-<< 又0x <时，()f x 是增函数，21()()f x f x ∴-<()f x Q 是偶函数，11()()f x f x ∴-=，故12()()f x f x ->-(2)讨论方程根的问题例23 已知函数()f x 对一切实数x 都满足(1)(1)f x f x +=-，并且()0f x =有三个实根，则这三个实根之和是．分析：由(1)(1)f x f x +=-知直线1x =是函数()f x 图象的对称轴．又()0f x =有三个实根，由对称性知11x =必是方程的一个根，其余两根23x x ，关于直线1x =对称，所以23212x x +=⨯=，故1233x x x ++=． (3)研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解．例24 若函数(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线对称.解析：()y f x =的图象22垐垐垐?噲垐垐?左移个单位右移个单位(2)y f x =+的图象，而(2)y f x =+是偶函数，对称轴是0x =，故()y f x =的对称轴是2x =．例25 若函数()f x 的图象过点(01)，，则(4)f x +的反函数图象必过定点 .解析：()f x 的图象过点(01)，，从而(4)f x +的图象过点(41)-，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，(4)f x +的反函数的图象必过定点(14)-，．【巩固14】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m n ，，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<．(1)判断()f x 的单调性；(2)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅>，，{()|(1}B x y f ax y a =-=∈R ，，，若A B =∅I ，试确定a 的取值范围．解析：(1)在()()()f m n f m f n +=⋅中，令10m n ==，，得(1)(1)(0)f f f =⋅，因为(1)0f ≠，所以(0)1f =．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x n x ==-，因为当0x >时，0()1f x <<，所以当0x <时00()1x f x -><-<，而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()10()f x f x =>>-又当0x =时，(0)10f =>，所以，综上可知，对于任意x ∈R ，均有()0f x >．设12x x <，则2121)00(1x x f x x -><-<，所以[]21211211((((()))))f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，∴在R 上为减函数． (2)由于函数()y f x =在R 上为减函数，所以2222()())((1)f x f y f x y f ⋅=+>即有221x y +<，又(1(0)f ax y f -==，由单调性，有0ax y -由A B =∅I ，所以直线0ax y -+与圆面221x y +<无公共点．1，解得11a -≤≤．【巩固15】设函数()y f x =定义在R 上，当0x >时，()1f x >，且对任意m n ，，有 ()()()f m n f m f n +=⋅，当m n ≠时()()f m f n ≠．(1)证明(0)1f =；(2)证明：()f x 在R 上是增函数； (3)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅<，，{()|()10}B x y f ax by c a b c a =++=∈≠R ，，，，，，若A B =∅I ，求a b c ，，满足的条件．解析：(1)令0m n ==得(0)(0)(0)f f f =⋅，(0)0f ∴=或(0)1f =．若(0)0f =，当0m ≠时，有(0)()(0)f m f m f +=⋅，与当m n ≠时，()()f m f n ≠矛盾，(0)1f ∴=． (2)设12x x <，则210x x ->，由已知得21()1f x x ->，因为10x ≥，1()1f x >，若10x <时，110()1x f x ->->，，由11(0)()()f f x f x =⋅- 12211111()0()()()()()f x f x f x x f x f x f x ∴=>=-⋅>-，()f x ∴在R 上为增函数.(3)由22()()(1)f x f y f ⋅<得221x y +< (1) 由()1f ax by c ++=得0ax by c ++= (2)从(1)、(2)中消去y 得22222()20a b x acx c b +++-<，因为A B =∅I 22222(2)4()()0ac a b c b ∴∆=-+-<，即222a b c +<．。

抽象函数常见题型解法

教学实践2014-05不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。

一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。

由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x-1）的定义域为［0，3］，求f［log12（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x-1）中x-1∈［-1，2］，所以log12（3-x）∈［-1，2］，所求定义域为［1，114］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x>4时，f（x）=（12）x，当x<4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x<4时，f（x）=f（x+ 1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（12）3+log23=124。

题型三：求抽象函数的解析式例3.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）。

解析：用-x代换x得：f（-x）+g（-x）=1-x-1，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以-f（x）+g（x）=1-x-1，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式.题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例4.已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

抽象函数常见题型和解法

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

抽象函数问题常见题型及解法

抽象函数问题常见题型及解法江苏省赣榆县海头高级中学 222111 胡继缙抽象函数是指仅给出函数的某些性质，而不给出函数解析式的函数，解题时可以根据已有的性质，如：周期性、奇偶性、单调性、图象对称性等，采用灵活的方法，如：换元法、赋值法、等价转化法、构造方程（组）或不等式（组）等方法。

本文就这类题型及解法作一简单介绍。

一、求函数解析式求解此类问题，通常利用换元法或利用函数的周期性，构造方程组.例1 已知对非零实数x ，恒有x xf x f 3)1(2)(=-，求)(x f . 解由题意得，用x 1代换x ，可得xx f x f 3)(2)1(=- 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x x f xf x x f x f 3)(2)1(3)1(2)( 将)(x f 视作为未知数，解之得xx x f 2)(--=. 例2 已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且满足11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.解由题意得，用x -代换x ，得11)()(--=-+-x x g x f ∵)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f将)(x f 视作为未知数，解之得11)(2-=x x f ，1)(2-=x x x g . 二、求函数定义域例3 已知函数)23(+x f 的定义域为（-2，1），求函数)3()(2+-x f x f 的定义域.求解此类问题，通常利用换元法.解令23+=x t ，由)1,2(-∈x ，可得54<<-t∴函数)(x f 的定义域为（-4，5）又由⎩⎨⎧<+<-<<-534542x x ，得25<<-x∴函数)3()(2+-x f x f 的定义域为)2,5(-.三、求函数值求解此类问题，通常利用函数的周期性，将自变量的值化归到给定的区间上.例4 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时， x x f =)(，则)5.7(f 等于（）.（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）1.5 （D ）-1.5解由 )()2(x f x f -=+，可得)()4(x f x f =+∴函数)(x f 是周期函数，且函数最小正周期4=T结合函数是奇函数，则)5.0()5.0()85.0()5.7(f f f f -=-=+-= 又∵10≤≤x 时，x x f =)(∴5.0)5.0(=f ， ∴5.0)5.7(-=f ，故选（B ）.四、求函数最值问题求解此类问题，通常要确定函数在给定的区间上的单调性，利用单调性求最值.例5 设函数)(x f 为奇函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，求)(x f 在[-3，3]的最大值和最小值.解设3321≤<≤-x x ，则012>-x x∵)(x f 为奇函数，且当0>x 时，0)(<x f∴0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f∴)()(12x f x f <，∴)(x f 在[-3，3]上是减函数故6)]1()1()1([)]2()1([)3()3(max =++-=+-=-=-=f f f f f f f y 6)3()3(min -=--==f f y .五、求解函数不等式求解此类不等式，通常利用函数的单调性将抽象的函数不等式等价的转化成一般的不等式（组），有时也可借助数形结合的方法.例 6 若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=.)1(求)1(f 的值. )2(若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<-+af a f . 解 )1(令x y =，则0)()()()1(=-==x f x f xx f f . )2(∵对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=，且1)6(=f ∴2)1()3(<-+af a f )6(2)()3(f a f a f <++⇔ )6()63()()6()6()3(af a f a f f f a f <+⇔-<-+⇔ 2173300663+-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+⇔a a a a . 例7 若)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)3(=-f ，则不等式 0)(<⋅x f x 的解集是 .解根据题意，可以作出函数)(x f 的大致图象，如图1. ∵)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数 ∴)3(0)3(f f -==-，∴0)3(=f∴0)(<⋅x f x 03300)(00)(0<<-<<⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇔x x x f x x f x 或或 ∴不等式0)(<⋅x f x 的解集为），（），（3003⋃-.。

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述一、定义域问题例已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞二、求值问题例. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f 四、解析式问题例：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 例：设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

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二、求值问丿抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。

木文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1・已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。

解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54从而函数f (x)的定义域是［1,4］评析：一般地，已知函数.f(0(劝的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。

例2・己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。

解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得一1 Slog】(3—兀)W 2 => (-)2 <3-x< (-)■' =>l<x< —3 2 2 4所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］T 4评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知0(兀)的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

例3・已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②f(x-y) = / W + /(y),求f (3) , f(9)的值。

解：取% = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3)1 4因为/(2) = 1, /(6)=-,所以/(3)=--又取x = y = 3Q得/(9) = /(3) + /(3)=--评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2, y = 3,这样便把己知条件/(2) = 1, /(6)=-与欲求的f (3)沟通了起來。

抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+目录：一、定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

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抽象函数
1具有抽象函数关系式特点的具体函数叫抽象函数的特征函数。

分析下列抽象关系式的特点，填出其特征函数：
2已知函数f(2x-1)的定义域是【0,2】，则函数f(2x-2x)的定义域是_____________________
3 已知定义域是R+的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，
（1）求f(1)的值
（2）证：f(1
x
)=-f(x)
(3)若x>1，f(x)<0,判断函数的单调性并证明。

4已知R+上恒有f(xy)=f(x)f(y)，当x>1时f(x)<1，且f(2)=1 4
(1)求证：f(x)>0
(2)求证：f(1
x
)=
1
()
f x
(3)求证：f(x)在R+上是减函数
(4)若f(k)=4,求k的值
5已知 f(x)在R上是减函数，且满足f(x+y)=f(x)f(y)，f(2)=1 9
求使f(x)f(3x-1)<1
27
成立的x的范围
6 f(x)在R+上是增函数，且f(x
y
)=f(x)-f(y)
（1）求f(1)的值
（2）若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1
x
)<2
7已知f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数，且f(1)=1
若a,b属于【-1,1】，a+b≠0时
()()
f a f b
a b
+
+
>0
（1）判断函数的单调性
（2）解不等式f(x+1
2
)<f(
1
1
x-
)。