数学人教版七年级下册一元二次方程

21.1 一元二次方程(1)

昆明市禄劝县皎平渡中学张明斌

教学目标

1．了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．2．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

3．一元二次方程的一般形式及其有关概念，判定一个数是否是方程的根．

4．解决一些概念性的题目．

5．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

教学重点

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

教学难点

1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

2. 判定一个数是否是方程的根．

教学过程一、

导入新课

黄金分割：

在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与

下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）

的高度比，可以增加视觉美感，这就是黄金分割．

按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部

应设计为多高？

如右图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：

AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC．

设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2―x)，整理得

x2＋2x―4＝0．

这个方程中有一个未知数x，x的最高次数是2．

二、新课教学

问题1：如下图，有一块矩形铁皮．长100 cm．宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100―2x)

cm ，宽为(50―2x ) cm ．根据方盒的底面积为3 600 cm 2，得

(100―2x )(50―2x )＝3 600．

整理，得

4x 2―300x ＋1 400＝0.

化简，得

x 2―75x ＋350＝0．

由这个方程可以得出所切正方形的具体尺寸．

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 全部比赛的场数为4×7＝28．

设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x －1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共21x (x －1)场．

列方程

21

x (x －1)＝28．

整理，得

21

x 2－2

1

x ＝28． 化简，得

x2－x＝56．

由这个方程可以得出参赛队数．

思考：方程x2＋6.8 x―26.88＝0、和x2－x＝56有什么共同点？

教师引导学生思考、讨论．经过思考、讨论可以发现，这两个方程的两边都是整式，方程中只含一个未知数x；未知数的最高次数都是2．

归纳：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式是

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

据此，在问题1中，可解方程得x1＝2.8，x2＝―9.6（不合题意，舍去）．

在问题2中，可解方程得x1＝8，x2＝―7（不合题意，舍去）．

学生活动：口答下面问题．

（1）上面这两个方程含有几个未知数？

（2）它们的最高次数是几？

（3）式子中有等号吗？还是与多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．

像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

三、巩固练习

1．将方程3x(x―1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．因此，方程3x(x―1)＝5(x＋2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略．

注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号．

2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？

―4，―3，―2，―1，0，1，2，3，4．

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

解：将上面的这些数代入后，只有―2和―3满足方程的等式，所以x＝―2或x＝―3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．三、巩固练习

1．教材第4页练习第1、2题．

2．求证：关于x的方程(m2―8m＋17)x2＋2m x＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2―8m＋17≠0即可．

证明：m2―8m＋17＝(m―4)2＋1

∵(m―4)2≥0

∴(m―4)2＋1＞0，即(m―4)2＋1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2―64＝0 （2）3x2―6＝0 （3）x2―3x＝0 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．

四、课堂小结

本节课要掌握：

1．一元二次方程的概念．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

3．一元二次方程的根．

五、布置作业

习题21.1第1、2、3题