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第六章 梁的位移及简单超静定梁

内容提要

一、平面弯曲时梁的变形与位移

Ⅰ、梁的变形

1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。

2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为

()()1

z

M x x EI ρ=-

(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。

(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。 Ⅱ、梁的位移

1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。

2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移

变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。

二、挠曲线的近似微分方程及其积分

Ⅰ、挠曲线的近似微分方程

平面曲线在直角坐标系中曲率公式为

在小变形时，()2

11w x '+≈，于是

将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为

()()

M x w x EI

''=-

()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移

等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得

式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。当梁上的弯矩需要分段列出时，挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积分常数除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。为了简化计算，在运算中需要采取一些技巧(见教材例7-2)。

三、用叠加法计算梁的位移

Ⅰ、叠加原理 在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。

Ⅱ、要求 利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。

四、梁的刚度条件 提高梁刚度的措施

Ⅰ、刚度条件

梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截面的转角不得超过规定的许可值，即

max w w L L ⎡⎤

≤⎢⎥⎣⎦

，[]max θθ≤ (6—3) Ⅱ、提高梁刚度的措施

1. 增大梁的弯曲刚度EI 。选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。

2 . 减小梁的跨度或增加支承。

五、弯曲应变能

等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲和横力弯曲时的应变能分别为

2 M L

V EI ε=，()2l z

M x V dx EI ε=⎰ (6—4)

本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方法一章中。

六、超静定梁

Ⅰ、超静定的概念

梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为超静定梁。多于维持平衡所必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力数目为超静定次数。 Ⅱ、超静定梁的解法

解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统 (或称为静定基)。基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。这样的静定梁称为原超静梁的相当系统，求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。

例6-1 用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。

解：图a 分AC 、CB 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为

位移连续条件为

2x l =时，12C C w w =，12C C θθ=

图b 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为 位移连续条件为

x l =时，12B B w w =，12B B θθ=

图c 只需列AB 段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。位移边界条件为

图d 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为

0x =时，0A w =，0A θ=

位移连续条件为

2x l =时，12B B w w =，12B B θθ=

图e 分AB 、BC 和CD 三段列挠曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。位移边界条件为

0x =时，0A w =，0A θ=

位移连续条件为

2x l =时，23C C w w =，23C C θθ=

中间铰B 处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等

()

1

2B B θ

θ≠。

例6-2 试绘出图

示各梁挠曲线的大致形状。

解：绘制挠曲线大致形状的步骤为：

首先绘制弯矩图，弯矩为正的区段，挠曲线为下凸曲线；弯矩为

负的区段挠曲为上凸曲线，弯矩等于零的区段，挠曲线为直线段。弯矩等于零的点处，且其左

右两侧的弯矩异号，或弯矩有突变的点处，且其左右两侧的弯矩异

号，挠曲线上有拐点。弯矩值大的地方挠曲线

的曲率就大些，弯矩值小的地方挠曲的曲率小些。

再根据固定端处的挠度和转角均等于零；铰支座处挠度等于零，转角不等于零；中间铰两侧面处挠度连续，转角不连续，挠曲线上出现折角。以及位移连续条件可绘出挠曲的大致形状。