第六章梁的位移及简单超静定梁-16页word资料
超静定梁
A
C
C. 既有弯矩又有剪力；
L2
L2
D. 既无弯矩又无剪力；
例题 6.13 等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结
构,则__A___.
A. 多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0; B. 多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0; C. 多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0; D. 多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;
q
A
C
L2
B
L2
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.同时把与之 相应的支座反力称为多余未知力。
F
A
RA
F RC
RB
BA
B
C
多余未知力个数与平衡方程数之差,称为 超静定次数或静不定次数
比如上面两个例子称为1次超静定，下面 就是2次超静定。
解：这是一次超静定问题
取支座 B 截面上的相对 转动约束为多余约束.
A
基本静定系为在 B 支座 截面上安置绞的静定梁， 如图 所示. 多余反力为分别作用于 简支梁AB 和 BC 的 B端 处的一对弯矩 MB.
变形相容条件为，简支梁 A AB的 B 截面转角和 BC 梁 B 截面的转角相等.
B B
RA RC F
RD
RB
A
B
C
D
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.
变形协调：由于杆件各部分的变形均与其所受的约束相适应，在这些变形之间必 定存在一定的制约，这种条件称为变形协调条件，它反应的是梁实际的变形情况。
4.简单超静定梁
6-简单超静定问题
FN 1l FN 3l cos EA cos EA FN 1 FN 3 cos 2
5、求解方程组得
FN 1 FN 2
F cos 2 1 2 cos 3
FN 3
F 1 2 cos 3
目 录
二、装配应力
构件的加工误差是难以避免的。对静定结构，加工误 差只是引起结构几何形状的微小变化，而不会在构件内引 起应力。但对静不定结构，加工误差就要在构件内引起应 力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。 装配应力是结构构件在载荷作用之前已具有的应力， 因而是一种初应力。
超静定结构中才有温度应力。
目 录
解题思路： 平衡方程:RA = RB 变形几何关系: 物理关系:
(t 时)
lT lF
lT l t
RB L
RB l lF EA
EA Lt
补充方程:
联立求解: RA RB EAt
EAt t Et A
目 录
一静定问题及超静定问题三基本静定系或相当系统是一个静定结构该结构上作用有荷载和多余约束力61超静定问题及其解法61超静定问题及其解法二多余约束及多余约束力在静定结构的基础上增加的约束
第六章
简单的超静定问题
§6–1 概述
§6–2 §6–3 §6–4 拉压超静定问题 扭转超静定问题 简单超静定梁
目的与要求：
M
max
WZ
32 M
d
max 3
76.4MPa
目 录
例题
结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同. 拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.
a
C
将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构， 杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1 D 次超静定。
第六章 位移法
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解
第六章 简单超静定问题 习题解[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。
设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：B BD R N = F R N B CD += F R N B AC 3+=变形谐调条件为：0=∆l02=⋅+⋅+⋅EA aN EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N03)(2=++++F R F R R B B B45FR B -=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45FN BD-= 445F F F N CD -=+-=47345FF F N AC=+-= 轴力图如图所示。
[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。
试求各杆的轴力。
解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。
∑=0X030cos 30cos 01032=-+-N N N0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)∑=0Y030sin 30sin 0103=-+F N N2013=+N N (2)变形谐调条件：设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：00130cos 30sin x y l δδ+=∆x l δ=∆200330cos 30sin x y l δδ-=∆03130cos 2x l l δ=∆-∆2313l l l ∆=∆-∆设l l l ==31，则l l 232=223311233EA l N EA lN EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 15023200100231⨯=-N N N23122N N N =-21322N N N -= (3)(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
材料力学第六章
弯曲变形
主要问题 1 挠曲线的近似微分方程 2 用积分法求弯曲变形 3 用叠加法求弯曲变形 3 简单超静定梁
目录
§6-1 工程中的弯曲变形问题
y
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
7-1
§6-1 工程中的弯曲变形问题
F
A
A
D
C
B
B x
FBy
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
a Fb M x1 FAy x1 x1 ,0 x1 a l CB 段： Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
AC 段：
b
a x2 l
A
B
§6-5 简单超静定梁 C
a F
C a
F
F M AA y
2a
A
(a)
2a (a) (b)
B
4）由物理关系，列出补充方程
F ( 2a ) 2 14Fa3 ( wB ) F (9a 2a) 6 EI 3EI
FA y
A
B
C
MA
MA
A A
(b)
B B
F
C C
( wB ) FBy
8FBy a 3 3EI
C
解
B B
F
A A (b) (c)
MA
C C
FBy
1）判定超静定次数 2）解除多余约束，建立相当系统
A A A
B B B (c) (d) FBy
F F F
C C C
MA
材料力学-第六章 简单的超静定问题
变形协调条件：
l1 l 3 cos
F N1
F N3
F N2
l3
l1
A
A
l2
例2.图示AB为刚性梁，1、2两杆的抗拉（压）
刚度均为EA，制造时1杆比原长l短，将1杆装
到横梁后，求两杆内力。
解: 装配后各杆变形 1杆伸长 l1 2杆缩短 l 2 变形协调条件
A
1
l1
4、联解方程
FN 1 F E3 A3 2 cos 2 E1 A 1 cos
FN 3
F E1 A 3 1 1 2 cos E3 A3
●装配应力的计算
装配应力：超静定结构中由于加工误差， 装 配产生的应力。 平衡方程：
FN 1 FN 2
1
3 2
A
l
FN 3 ( FN1 FN 2 ) cos
2、AC和BC材料相同，面积不同，外力作用在 连接界面处，在外力不变的情况下，要使AC上 轴力增加，错误的方法有（ ）。 A、 增加AC的横截面积 B、 减小BC的横截面积 C、 增加AC的长度 D、 增加BC的长度
A l1 C F B l2
3、AB为等截面杆，横截面面积为A，外力F作 用在中间，则AC和BC上应力分别（ ）。
2
l 2
B
2( l1 ) l 2
解: 分析AB
A
aF 1 2aF 2 0
F1l 物理方程 l1 EA 变形协调条件
FA
F1
F2
B
F2 l l 2 (缩短) EA
2( l1 ) l 2
4EA 2EA F1 (拉力) F2 (压力) 5l 5l
材料力学(I)第六章
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
第六章 位移法
r11 Z1
EI
B
2EI iBC iCE 4
r EI 21 C
EI iBA iCD 4
E
M 0
2EI
A 0.5EI
D
M
图
1
r11 3EI
r12
r Z2 2EI 22
E
B
EI C
EI
1.5EI
r12 r21 EI r22 4.5EI
A
D 0.5EI M 2图
R R 30
Z1
R11
7EI l
Z1
实现位移状态可分两步完成：
1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作 用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一 致的结点位移。
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特 征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约 束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂 上的约束力矩应为零。即
R1F
ql2 8
7EI R11 l Z1
R11 R1F 0 R11 r11Z1
r11Z1 R1F 0 （a）
Z1
ql 3 56 EI
式（a）称为位移法方程。式
r 中由：项。11它称们为的系方数向；规R1定F称与为Z1自方
A 0.5EI
D
M1图
R R 30
10k1NF·m
26.67 26.67 20kN/m
2F
40kN E
B
C
25
r12 B EI
06 结构位移计算要点
第六章 结构位移计算§6-1 概述1. 位移种类图6.1(1) 线位移，∆C 、∆D 、∆K ；(2) 角位移，ϕA 、ϕB 、ϕK ；(3) 相对线位移，∆C =∆D =∆CD ； (4) 相对角位移，B A B A ϕϕϕ=+。
2. 计算位移的目的(1) 校核结构刚度，尤其是大型结构与高层建筑；(2) 施工控制与定位；(3) 解超静定结构的需要。
3. 产生位移的原因荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。
对于静定结构，只有荷载产生内力，但产生位移的原因有多种。
超静定结构，多种原因均产生内力与位移。
4. 位移计算原理 变形体虚功原理。
§6-2 变形体的虚功原理1. 实功与虚功实功：，W =F ⋅S 。
，W ≠F ⋅∆，**∆d F dW⋅=，∆∆∆⋅=⋅=⎰F d F W 210**。
虚功：，121∆F W =(实功，恒为正)；2*∆F W =，外力虚功，内力有M 与F S ，也作功，称为内力虚功，虚功可正可负。
虚功就是作功的力与位移没有关系。
2. 质点系虚功原理(虚位移原理)虚位移：一个体系发生约束条件许可的任何微小位移。
即(1) 是可能的位移状态；(2) 微小性。
质点系虚位移原理：具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要且充分条件是，对于任何虚位移，作用于质点系上的主动力所作虚总和为0.(1) 理想约束：约束反力在虚位移上的虚功恒为0称为理想约束。
(2) 主动力即作用荷载，不包括约束反力。
(3) 虚位移即可能的位移状态，即有可能。
刚体：任两点距离保持不变，可认为任两点之间有刚性链杆相连(理想约束)，即刚体是具有理想约束的质点系。
刚体体系：若干个刚体用理想约束连接起来的体系。
刚体虚位移原理：刚体体系处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任意虚位移，所有主动力所作虚功总和为0. (注意，此处包括所有外力，即荷载与约束反力) 3. 变形体虚功原理变形体处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于内力在其虚变形上所作的虚功总和。
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
第六章 简单的超静定问题
A
4m
F A
20kN m
ω1 =ω2 B B
A
M A
ω1 B
4m
B
F B ′ F 40kN B
L F 3q 5 P3 q 4 −FL =87 k L . 5N F B B ω1=2 8 − 4 = 8 B 8 IZ 3 IZ 3 E E 2 L L F 15 NP F F =q −F =7 .2 k L3 A FL B P2 2 L ω 2 = BL + + B q2 3 I 3 E E M = IZ −FE= 2 k2 IZ 2 L Z1 5 N m A B 2
EI1 P a A b
P3 a y= 1 3I E1
P P M A A y1 x y2
EI2 x y
(P ) ⋅a ab y = 2 E2 I
P2 a b a y=y +y = ( + ) 1 2 E 3 1 I2 I
(P ) 2 ab x= 2 I2 E
轴向拉压
对称弯曲
扭 转
内力分量 轴力F 轴力FN 应力分布规律 正应力均匀分布
A. 若取支反力 B为多余约束力，则变形协调条件是截面 的挠度 B=0; 若取支反力F 为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度 的挠度ω B. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1=0; 面的铅垂线位移∆C C. 若取支承面 1对弹簧底面的作用力 c1为多余约束力，则变形协调条件为 若取支承面C 对弹簧底面的作用力F 为多余约束力， C1面的铅垂线位移 1等于弹簧的变形 面的铅垂线位移∆C 等于弹簧的变形; D. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在 截面的挠 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠 等于弹簧的变形。 度ωc等于弹簧的变形。
第六章 梁弯变形
(
)
q B q B1 q B 2
ql 3 ql 3 7ql 3 48 EI 384 EI 384 EI
(
)
第五节
静不定梁的解法
一.基本概念
1.超静定梁 单凭静力平衡方程 不能求出全部支反力的 梁 , 称为超静定梁
A
F
B
RA
A
F
RC
C
B
RB
MA FAx A
FAy MA FAx A FAy MA FAx
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件
x l ,时 w 0
A
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 分别为:
q q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
qA
x
qB
l
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
q l B
静定梁
q l B FB q A FAy l B FBx
超静定梁，超静定次数1
超静定梁，超静定次数2
FBy
q MB FBx FBy
MA
FAx
A FAy
l
B
超静定梁，超静定次数3
例1：如图所示之三支承梁，A处为固定绞链支座，B，C二处为
辊轴支座。梁作用有均布载荷。试求最大弯矩。 q
A
l 2
B
wqC
5qa 4 24 EI
(3)叠加
q
A B
q A q PA q qA
a2 (3 F 4qa ) 12 EI
5qa 4 Fa 3 w C ( ) 24 EI 6 EI
+
第六章梁的位移及简单超静定梁-16页word资料
第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。
2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为()()1zM x x EI ρ=-(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。
(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。
横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。
Ⅱ、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。
表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。
2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。
在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。
(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。
在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。
梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。
二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，()211w x '+≈，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为()()M x w x EI''=-()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。
工程力学第六章答案 梁的变形
第五章 梁的变形测试练习1. 判断改错题5—1—1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大，弯矩为零的截面，转角亦为零。
（ ）5-1—2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关. ( ） 5—1-3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移，则A 截面的转角及挠度都不变。
( ）5-1-4 图示均质等直杆(总重量为W ）,放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起,C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零.( ）5—1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移. （ ） 5—1—6 等截面直梁在弯曲变形时,挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（ ） 5-1—7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的. （ ） 5-1—8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角,若在跨中截面C 又加上一个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变，而转角不变. （ )5—1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ） 5—1-10 图示变截面梁,当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。
( ）题5-1-3图题5-1-4图题5-1-8图题5-1-7图题5-1-9图2．填空题5-2—1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在和。
5—2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同,若使二者自由端的挠度相等，则=21P P 。
5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。
5-2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。
5—2-5 用积分法求图示的外伸梁(B D 为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是.5—2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，连续条件是。
第六章 梁的位移
可解出
Fa 2 c2 , 2
如图6.1所示，取梁在变形前的轴线为x轴，与轴线垂直的轴为y轴，且 xy平面为梁的主形心惯性平面之一。梁变形后，其轴线将在xy面内弯成 一曲线即挠曲线，如图6.1所示。度量梁的位移所用的两个基本量是： 轴线上的点(即横截面形心)在y方向上的线位移v，称为该点的挠度 (deflection)；横截面绕其中性轴转动的角度 ,称为该截面的转角 (slope)。 由图6.1可见，某一截面转角同时也是挠曲线在该点的切线与x轴间的夹 角。
1 v
1 v
2
(d)
3 2
根据小变形假设，梁挠曲线非常平缓，与1相比是一个微量，其平 方是高阶微量，所以可以略去，于是式(d)可改写为
2.7
第6章
1
梁的位移
v
(e)
6.1 梁的挠曲线微分方程
显然，由式(5.1)和式(e)我们可以建立表示挠度v与弯矩M关系的微分方 程。 但是，为了与选用的坐标系相适应，要先协调好弯矩与曲率的正负号问 题。在我们所取的坐标系下，梁的挠曲线的曲率是以上凸为正的，而挠 曲线上凸意味着梁的上部纤维受拉，对应负弯矩如图6.2(a)所示。 相反，挠曲线的曲率以下凹为负，对应正弯矩如图6.2(b)所示。考虑到 这种正负号的关系，我们把式(5.1)右边加上一个负号，即
(3)
(4)
EI z v2 c2 EI z v2 c2 x d 2
(5) (6)
2.26
第6章
梁的位移
6.2 用积分法求梁的位移
首先，将两个边界条件代入式(3)和式(4)，可解得
c1 0
d1 0
再利用2个连续条件，得到2个方程：
1 Fa a Fa 2 c2 2 1 1 Fa a 2 Fa3 c2 a d 2 2 6
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第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。
2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为()()1zM x x EI ρ=-(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。
(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。
横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。
Ⅱ、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。
表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。
2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。
在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。
(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。
在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。
梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。
二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，()211w x '+≈，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为()()M x w x EI''=-()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。
当梁上的弯矩需要分段列出时，挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积分常数除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。
为了简化计算，在运算中需要采取一些技巧(见教材例7-2)。
三、用叠加法计算梁的位移Ⅰ、叠加原理 在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。
Ⅱ、要求 利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。
叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。
四、梁的刚度条件 提高梁刚度的措施Ⅰ、刚度条件梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截面的转角不得超过规定的许可值，即max w w L L ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，[]max θθ≤ (6—3) Ⅱ、提高梁刚度的措施1. 增大梁的弯曲刚度EI 。
选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。
2 . 减小梁的跨度或增加支承。
五、弯曲应变能等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲和横力弯曲时的应变能分别为2 M LV EI ε=，()2l zM x V dx EI ε=⎰ (6—4)本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方法一章中。
六、超静定梁Ⅰ、超静定的概念梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为超静定梁。
多于维持平衡所必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力数目为超静定次数。
Ⅱ、超静定梁的解法解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统 (或称为静定基)。
基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。
这样的静定梁称为原超静梁的相当系统，求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。
例6-1 用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。
解：图a 分AC 、CB 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。
位移边界条件为位移连续条件为2x l =时，12C C w w =，12C C θθ=图b 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。
位移边界条件为 位移连续条件为x l =时，12B B w w =，12B B θθ=图c 只需列AB 段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。
位移边界条件为图d 分AB 、BC 两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。
位移边界条件为0x =时，0A w =，0A θ=位移连续条件为2x l =时，12B B w w =，12B B θθ=图e 分AB 、BC 和CD 三段列挠曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。
位移边界条件为0x =时，0A w =，0A θ=位移连续条件为2x l =时，23C C w w =，23C C θθ=中间铰B 处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等()12B B θθ≠。
例6-2 试绘出图示各梁挠曲线的大致形状。
解：绘制挠曲线大致形状的步骤为：首先绘制弯矩图，弯矩为正的区段，挠曲线为下凸曲线；弯矩为负的区段挠曲为上凸曲线，弯矩等于零的区段，挠曲线为直线段。
弯矩等于零的点处，且其左右两侧的弯矩异号，或弯矩有突变的点处，且其左右两侧的弯矩异号，挠曲线上有拐点。
弯矩值大的地方挠曲线的曲率就大些，弯矩值小的地方挠曲的曲率小些。
再根据固定端处的挠度和转角均等于零；铰支座处挠度等于零，转角不等于零；中间铰两侧面处挠度连续，转角不连续，挠曲线上出现折角。
以及位移连续条件可绘出挠曲的大致形状。
各梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状分别如各图中所示。
例6-3 简支梁的荷载如图所示，弯曲刚度为EI 。
试用积分法求A θ、B θ和max w 。
解：方法1梁的挠曲线如图a 所示，由对称性知，A B θθ=-，0C θ=，max C w w =。
梁的支反力14A B o F F q l ==。
可取AC 部分进行分析。
图b ()2o qq x x l=()42213122o q EIw x x l x C l ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(1) ()52312111252o q EIw x x l x C x C l ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭(2) 由 2l x = 0w '= ，得 315192q l C =0x = 0w = ，得 20C =转角方程和挠曲线方程分别为方法2 取图c 为研究对象。
分AC 、CB 两段列挠曲线的近似微分方程，积分后共有4个积分常数，确定积分常数的位移连续条件为2x l =，12w w ''=，12w w =；位移边界条件为 0x =，10w =；x l =，20w =。
读者可自行完成其具体计算。
例6-4 梁的弯曲刚度为EI ，已知其挠曲线方程为试求：1. 梁的最大弯矩及最大剪力；2. 梁的荷载及支承情况。
解：1. 求()M x 、()s F x 和()q x 。
由()()M x EIw x ''=-，得()()2306q M x l x x l =- (1) ()()()22036s dM x q F x l x dx l==- (2)()()0 s dF x xq x q dx l==- (3) 2. 求max M 。
max M 可能发生在0x =、x l =处，以及()()0s dM x F x dx==处。
由(2)式， ()()200030 6s q F x l x l=-= 得0x = 由(1)式，得 故max M发生在3x =处。
3. 求,max s F 。
,max s F 可能发生0x =、x l =处，以及()()0dF x q x dx==处。
由(3)式可见 ()0q x =时 0x =，该处s F 有极值。
由(2)式，得 故maxsF 发生在x l =的边界处。
4. 梁的荷载及支座情况。
由()o xq x q l=-，知荷载为沿梁的长度线性分布，其方向向下。
0x =，()00q =；x l =，()o q l q =-。
由 0x =，()06s q l F x =，()00M =；x l =，()03s q lF l =-，()0M l = 故 0x = 和 x l =均为铰支座。
梁的荷载及支座情况如图a 所示，s F 图和M 图分别如图(b)和图(c)所示。
例6-5 等截面悬臂梁下面有3y Ax =-的曲面。
欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力)，试求梁上的荷载，梁的弯曲刚度为EI 。
解：在图示坐标系中，()3w x y Ax ==-，挠曲线的近似微分方程为 ()()EIw x M x ''=，梁的弯矩方程为()()6M x EIw x AEIx ''==- (1)剪力方程为()()6s dM x F x AEI dx==- (2) 当在梁的自由端加向上的集中6F AEI =，满足剪力方程(2)，要满足弯矩方程(1)，梁上还应加集中力偶e M 作用，使得 6e M AEIl =-即在梁的自由端加一顺时针转的力偶6e M AEIl =。
故梁的荷载有，在自由端有向上的集中力6F AEI =和顺时转的力偶6e M AEIl =，如图b 所示。
例6-6 图a 所示悬臂梁，其弯曲刚度为EI 。
试用叠加法分别求B 、C 截面的转角和挠度。
解：1. 用图b 所示的分解图式求B 、C 截面的位移。
B 截面的位移是由AB 的变形产生的，与变形无关，将BC 段的荷载向B 截面简化如图b 该梁AB 段的受力情况和原梁相同，故有 C 截面的位移是由AB 段B 截面的位移和变形共同产生的，由AB 段B 面的位移为 由于BC 段的变形产生的C 截面的位移为故 333766C qa qa qa EI EI EI θ=+=()↓ 2. 用图c 所示分解图式求C 截面的位移图c 中梁的受力情况和原梁相同，故有 讨论：当不能直接利用教材中表7-1的结果计算梁的位移时，首先对梁的位移进行分段分析，利用相当力系代替原力系，保持受力情况(包括约束反力)与原梁相同，把原梁分解成可利用表7-1进行计算的几种形式，再利用叠加法。
例6-7 求图a 所示外伸梁C 截面的挠度和D 截面的转角和挠度，梁的弯曲刚度为EI 。