典型概率题及其解法

典型概率题

例1 同时掷四枚均匀硬币，求：

（1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率．

分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上．

解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：162222=⨯⨯⨯（种）

（1）恰有两枚正面向上的结果总数为6C 24=，所以恰有两枚正面向上的概率为83166=

÷． （2）至少有两枚正面向上的结果总数为：11C C C 443424=++种 所以至少两枚正面向上的概率为16

111611=÷． 说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m 枚正面向上的概率以及至少有m 枚正面向上的概率，设两

个事件分别为A 、B ，可以求到：n m n n n n n m n B P A P 2

C C C )(,2C )(10-+++== ． 例3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率．

（1）事件A ：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B ：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C ：指定的某个房间中有两人；（4）事件D ：第1号房间有1人，第2号房间有3人． 分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为46．事件A 中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有44A 种不同结果；事件B 中恰有4个房间，每间1人与事件A 的区别在于哪4间房不空；事件C 中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D 可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人

解：4个人住进6个房间，所有可能的住房结果总数为：466666=⨯⨯⨯（种）

（1）指定的4个房间每间1人共有44A 种不同住法．∴5416A )(444=

÷=A P ． （2）恰有4个房间每间1人共有46A 种不同住法．∴1856A )(446=

÷=B P ． （3）指定的某个房间两个人的不同的住法总数为：

55C 24⨯⨯（种），∴216

256)5C ()(4224=÷⨯=C P ． （4）第一号房间1人，第二号房间3人的不同住法总数为：

4C C 3314=（种），∴324

164)(4=÷=D P ． 说明：“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系，比如，前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作，几列火车停在哪个站道，若干个同学各自在哪一天生日等等．我们可以看例子：某班有50名同学，一年按365天计算，至少有两名同学在同一天生日的概率是多少？50名同学相当于上述例题中的旅游者，每一天相当于“房间”，50名同学所有生日的不同结果总数为：50365，至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算，总数为5036550A 365-，则至少有两人在同一天生日的概率为50

50

365505036550365A 1365A 365-=-，利用工具计算后将会发现，这是一个很接近1的结果，即50个人的一个班级中，有两个人在同一天生日的概率很大，高达0.97，几乎是令人惊讶的结果．

例4 某人有5把钥匙，其中有一把是打开房门的钥匙，但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙，于是他逐把不重复地试开，问：

（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开房门锁的概率是多少？ 分析：某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列，由于他每次拿哪一把是任意的，所以不同的拿钥匙的结果的可能性相同，本题是等可能事件的概率问题．恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙，或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙，三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中，开房门钥匙出现在前3个．

解：本题是等可能事件的概率问题，某人5次拿钥匙的所有不同的结果是55A ．

（1）恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为：4

4A ．

所以恰好第3次打开房门的概率为：2.0A A 5544=÷ （2）前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为：34

4A ．

所以前3次打开房门的概率为：6.0A 3A 5544=÷ 说明：如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙，则在前3次内打开房门的概率是多少？三次内找开房门说明在前三次中至少有1次取出开房门钥匙，我们可以通过分类讨论，恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为：33121312A C C C ，恰有两把开房门钥匙在前3次拿

出的结果总数为3323A A ，这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为

108A A A C C C 33233312131

2=+，从而前3次内打开房门的概率为：10

9A 10855=÷． 例5 抽签口语测试，共有a ＋b 张不同的考签，每个考生抽1张考签，抽过的考签不再放回，某考生只会考其中的a 张，他是第k 个抽签的，求该考生抽到会考考签的概率．

分析：因为每个人抽哪一张考签是随意的，所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列，而且各种不同的排列结果出现的可能性相同，本题是求等可能事件的概率问题．由于某考生是第是次抽签，他能抽到会考考签相当于全排列中第k 个元素，是某人会考

的a 个考签中的一个，我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数，然后用等可能事件的概率公式求解．

解：本题是等可能事件的概率问题．a ＋b 个考生的所有不同的抽签结果的总数为b a b a ++A ， 某个考生第k 次抽签，他正好抽到会考的a 张考签的一个，相当于所有抽签的结果中第k 张考签是a 张考签中的1张，我们可以得到所有这种抽签结果的总数为：111A C -+-+b a b a a ． 所以某个考生抽到会考考签的概率为：b

a a

b a b a b a b a a +=÷++-+-+A A C 111． 说明：从计算结果看，第几次抽签对该考生抽到会考考签的概率并没有影响，也就是说，无论他是第几个抽签，都不会影响他抽到会考考签的可能性．在日常生活中有这样的问题：10张彩票中有1张是中奖彩票，现在10个人去摸彩，先模后摸对中奖的可能性有无影响？现在我们可以来计算这个问题的结果，现在假定你是第m 个去摸奖，为了计算中奖的概率，先算出10个人摸彩的所有可能结果是10！，而中奖彩票正好出现在第m 个的所有可能结果为9！，这样可以得出你中奖的概率为1.0!10!9=÷，结果与m 并无关系，根本无须担心中奖彩票被别人抓去．

例6 已知10只晶体管中有8只正品，2只次品，每次任抽取1只测试，测试后放回，求下列事件的概率．

（1）抽3次，第3只是正品；（2）直到第6只时，才把2只次品都捡到了．

分析：每次从10件晶体管中任取1件，经过若干次，各种结果的可能性是一样的，抽 3次，所有可能抽出的结果总数为10×10×10，抽6次，所有可能抽出的结果总数为6

10，到第6次时正好第2只次品也抽到了，说明前5次抽检中出现过另一只次品，当然这只次品也可能出现过几次．我们可以用间接法来求出符合这个要求的所有可能结果的总数为

)89(C )8888899999(C 551212-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯，这个式子的含义是先走下第6次抽出的次品是哪一个，然后用前5次抽检的所有结果总数（前5次未出现第6次抽检的次品）减去前5次全是正品的所有结果总数．

解：本题是等可能事件的概率问题．（1）抽检3次所有可能的抽检结果总数为310，

第三只是正品的所有可能的抽检结果总数为10×10×8．

所以第三只是正品的概率为：5410)8810(3=

÷⨯⨯． （2）抽检6次所有可能的抽检结果总数为610．∵ 第6只时才能把第2只次品抽检到，

∴ 前5次抽检未出现第6次抽到的次品，但是至少出现一次另一只次品． ∴ 第6只时才把第2只次品抽检到的所有可能的抽检结果总数为 )8-(9C 5512．

此事件发生的概率为：052562.010)8-(9C 6

5512=÷．

说明：如果每次抽检的结果不再放回去，直到第6只时才把2只次品都找出来的概率是多少？这个问题仍然是等可能事件的概率问题，因为抽出的产品不再拿回，所以前6次抽出的不同结果相当于从10件产品中抽出6件的一个排列，所有可能的结果总数为610A ，第6