衢州市中考数学第一轮总复习讲义：解直角三角形（一）
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
初三数学第一轮复习：解直角三角形浙江版
初三数学第一轮复习：解直角三角形某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一轮复习：解直角三角形二. 知识回顾：1、锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值。
2、解直角三角形中的重要关系式： Rt △ABC 中，∠C ＝90°，①三边的关系：222c b a =+；②锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；③边角之间的关系：ba A tan ,cb A cos ,c a A sin === 3、解直角三角形的应用中常用的几个概念①仰角与俯角：相对于视线与水平线的夹角而言； ②坡角：斜坡的坡面与水平面的夹角；③坡度：斜坡的铅直高度与水平宽度的比，用i 表示，与坡角的关系为α=tan i ； ④方位角：一般以北、南方向为基准。
4、本节的学习中，常常通过添加辅助线，构造直角三角形来转化求解。
【典型例题】例1. 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，方程0)x 1(a bx 2)x 1(c 22=+++-的两根相等，∠C 的正弦值为1312，求∠B 的四个三角函数值。
解析：方程可变形为0c a bx 2x )c a (2=+++- ∵方程的两个实根相等。
∴c a ≠且.c b a 0)c a (b ,0222222+=∴=--∴=∆ ∴△ABC 为Rt △。
∴∠A ＝90° 又1312C sin =，∴设AB ＝12k ，BC ＝13k （0k >） ∴由勾股定理，k 5AB BC AC 22=-=.512B cot ,1B tan B cot ,125AB AC B tan .1312BC AB B cos ,135BC AC B sin =∴=⋅======∴但例2. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为BC 边上一点，已知∠DAC ＝60°，DC ＝2，BD ＝1 求△ABC 的周长与面积。
解：设AE ＝x ，则x 3DE = 又DE //BA ,AC BA ∴⊥.x 2AE 2CE ,2BDCD AE CE .x 233DE 23AB ,32CB CD AB DE ==∴====∴==∴AC ＝AE ＋CE ＝3x 由勾股定理，()2222223x 3x 323,BC AC AB =+⎪⎭⎫ ⎝⎛∴=+ 解得772x =∴2173AB ,776x 3AC ===∴△ABC 的周长为3776213BC AC AB ++=++它的面积为379AC AB 21=⋅。
2023年九年级中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用(含解析)
2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。
若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。
2023年中考数学一轮复习考点过关 解直角三角形的应用
2023年中考数学一轮复习考点过关解直角三角形的应用1. 3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距离；（精确到1米）(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果≈）2 1.4147 2.6462. 如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．3. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：23）4. 如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60︒的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里．(1)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；(2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15︒的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C 处，请问补给船能否在83分钟之内到达C3 1.73≈）5. 为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30︒，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60︒，求体温检测有效识别区域CD 段的长（结果保留根号）6. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒=，tan340.67︒≈3 1.73）7. 如图1，和平大桥是徐州市地标建筑，也是国内跨铁路最多的大桥，某数学小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，如图2所示的测量示意图，测得如下数据；∠A ＝27°，∠B ＝31°，斜拉主跨度AB ＝368米．（1）过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，求CD 的长（结果精确到0.1）；（2）若主塔斜拉链条上的LED 节能灯带每米造价90元，求斜拉链条AC 上灯带的总造价是多少元？（参考数据tan27°≈0.5，sin27°≈0.45，cos27°≈0.9：tan31°≈0.6）8. 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速，如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的中点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度1:23i AB的长（结果保留根号）．9. 某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米．（1）应在地面上距点B多远的A处开始斜坡施工？（精确到0.1米）（2）如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）10. 如图，某城市的一座古塔CD 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔CD 的高度，在点A 处测得塔尖点D 的仰角∠DAC 为31°，沿射线AC 方向前进35米到达湖边点B 处，测得塔尖点D 在湖中的倒影E 的俯角∠CBE 为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD （结果精确到0.1）．参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60．（结果精确到0.1）11. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长AB =17cm ，支撑板长CD =16cm ，底座长DE =14cm ，托板AB 联结在支撑板顶端点C 处，且CB =7cm ，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．如图2，若70,60DCB CDE ∠=︒∠=︒，求点A 到直线DE 的距离（精确到0.1cm ）（参考数值sin 400.64,cos400.77,tan 403 1.73︒︒︒≈≈≈）12. 图①是某车站的一组智能通道闸机，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC 和DEF 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC 和EF 均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC ＝∠DEF ＝20°，半径BA ＝ED ＝60cm ，点A 与点D 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm ．求闸机通道的宽度，即BC 与EF 之间的距离（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．13. 如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90,m 楼间距为AB ．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3︒．1号楼在2号楼墙面上的影高为CA ，春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7︒，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA ．已知42CD m =．（1）求楼间距AB ；（2）若2号楼共30层，层高均为3,m 则点C 位于第几层？ ( 参考数据:32.30.53,sin ︒≈32.30.85cos ︒≈，32.30.6355.70.83tan sin ︒≈︒≈，，55.70.5655.7 1.47cos tan ︒≈︒≈，)14. 如图，小明站在江边某瞭望台DE 的顶端D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°．若瞭望台DE 垂直于江面，它的高度为3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE 的顶端D 到江面AB 的距离；（2）求渔船A 到迎水坡BC 的底端B 的距离．（结果保留一位小数）15. 如图，小锋将一-架4米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，使梯子与地面所成的锐角α为60°．（1）求梯子的顶端与地面的距离AC （结果保留根号）（2）为使梯子顶端靠墙的高度更高，小锋调整了梯子的位置使其与地面所成的锐角α为70°，则需将梯子底端点B 向内移动多少米（结果精确到0.1米）？参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈．。
浙江省衢州市中考数学复习专题之解直角三角形综合题
浙江省衢州市中考数学复习专题之解直角三角形综合题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、浙教版2019中考数学复习专题之解直角三角形综合题解答题 (共39题；共60分)1. （1分）(2017·平顶山模拟) 如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C 有13米的距离（B、F、C在一条直线上），求教学楼AB的高度（sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ）2. （1分）在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．3. （1分）(2017·宁城模拟) 某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）4. （1分） (2019九下·台州期中) 如图所示，小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现阳光下，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC＝20m，斜坡坡面上的影长CD＝8m，太阳光线AD与水平地面成锐角为26°，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度（精确到1m）.（参考数据：sin26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）5. （1分）(2017·无棣模拟) 小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．6. （1分）为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）7. （2分） (2017九上·宛城期中) 如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．8. （2分）(2011·扬州) 如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心O，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°．（1）求垂直支架CD的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.414，≈1.73）9. （1分）(2015·台州) 如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）10. （2分）(2017·通辽) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在OB的位置时俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．11. （2分）(2017·石城模拟) 图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．12. （2分） (2017九上·萍乡期末) 如图，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米，试求AD的长度．（结果带根号）13. （2分）(2017·个旧模拟) 为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离（结果保留整数）．14. （1分）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．15. （2分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O′C⊥OA于点C，O′C=12cm．（1）求∠CAO′的度数（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？16. （2分）(2016·江西) 如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）17. （2分）(2017·薛城模拟) 某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=________m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）18. （1分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示．其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m．请你根据以上数据计算GH的长．（≈1.73，要求结果精确到0.1m）19. （2分）(2018·嘉兴模拟) 有一只拉杆式旅行箱(图1)，其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50 cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮。
2025年中考数学一轮复习课件：第31讲解直角三角形
答案：解：由题意，得∠CHA＝∠CHB＝90°，CH＝60，所以∠A
＝60°，∠B＝45°.
在Rt△ACH中，AH＝
＝ ＝20
°
在Rt△BCH中，BH＝
＝ ＝60.
°
所以AB＝AH＋BH＝20 ＋60.
答：A，B之间的距离是(20 ＋60)米.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以AB＝BC·tan45°＝a m.
在Rt△ADB中，∠ADB＝42°，所以AB＝BD·tan42°≈0.9(22－a)m，
则a＝0.9(22－a)，解得a≈10.4，所以AB＝BC＝10.4 m，
即乌当惜字塔AB的高度约为10.4 m.
(2)由(1)得BC＝AB＝10.4 m，所以BD＝CD－BC＝22－10.4＝11.6(m).
×
＝15(米).
在Rt△CAD中，AD＝15 米，∠CAD＝60°.
因为tan∠CAD＝
，所以CD＝AD·tan∠CAD＝15
所以BC＝BD＋CD＝15＋45＝60(米).
答：这栋高楼的高BC为60 米.
× ＝45(米)，
12.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑
.
11.如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高
楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离AD为15 米，求这栋高楼的
高BC.
答案：解：在Rt△BAD中，AD＝15 米，∠DAB＝30°.
因为tan∠DAB＝
，所以BD＝AD·tan∠DAB＝15
九年级数学中考复习第一轮复习基础训练三角函数(一)三角函数与解直角三角形 课时作业同步练习含答案解析
微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED = .3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为 . 考点2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°= ; cos 60°= ;tan 45"= ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C = 度. 考点3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为 .7.如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量B ，C 两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为30°,则B,C 两地间的距离为 m .8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为 km.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°B CC A CAB AB 第6题图 第7题图 第8题图9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. :C BC微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点精练精练1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( A ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED =255. 3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为104.精练2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°=12; cos 60°=12;tan 45"= 1 ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= 32 .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C =105度. 精练3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为165.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°BC CACABAB第6题图第7题图第8题图7.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B，C两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地间的距离为.8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为(30+km.9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.解:设AD=x米,则BDx米.CD=AD=xx-x=100.解得：x=50.答:山高为（50）米.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. 解:(1)30°:(2)过点C作CD⊥AB于点D.则BD=CD=6.AD∴AB=AD-BD一6<8∴文化培PM不需要拆除．C B。
浙江省衢州市中考数学第一轮总复习讲义函数及其图像(无答案)
函数及其图像浙江考情分析典型考题考点一平面内点的坐标(2015·南京)在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2，－3)，作点A 关于x 轴的对称点得到点A′，再作点A′关于y 轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是变式1：(2015·天津)在平面直角坐标系中，把点P(－3,2)绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为( )A．(3,2) B．(2，－3) C．(－3，－2) D．(3，－2)变式2：如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1(0,1)，A2(1,1)，A3(1,0)，A4(2,0)，…，那么点A4n＋1(n 是自然数)的坐标为.考点二函数自变量的取值范围(2015·内江)函数y＝2－x＋1中自变量x 的取值范围是( )x－1A．x≤2 B．x≤2 且x≠1 C．x＜2 且x≠1 D．x≠1变式：在函数y＝x＋2中，自变量x 的取值范围是( )x－1A．x＞1 B．x≥1 C．x＞－2 D．x≥－2考点三函数的图象及应用(2015·济宁)匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示(图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )变式：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1 cm，BC＝2 cm，点P从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿折线AC→CB→BA 运动，最终回到A 点．设点P 的运动时间为x(s)，线段AP 的长度为y(cm)，则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是( )随堂巩固1．(2015·营口)函数y＝x＋3中自变量x 的取值范围是( )x－5A．x≥－3 B．x≠5 C．x≥－3 或x≠5 D．x≥－3 且x≠52．(2015·衢州实验中学调研)如图，在5×4 的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B 在方格线的交点(格点)上．在第四象限内的格点上找点C，使△ABC 的面积为3，则这样的点C 共有( )A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个 3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为(－6，0)，(0，8)．以点A 为圆心，以AB 长为半径画弧交x 轴正半轴于点C，则点C的坐标为( )4.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为( )5.小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00 小聪到达宾馆．图②中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段AB，GH 的交点B 的坐标，并说明它的实际意义．(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第13课解直角三角形)
第13课 解直角三角形=========⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=∠=∠=∠000000000000060tan ;45tan ;30tan 60cos ;45cos ;30cos 60sin ;45sin ;30sin :)900()900(tan ,cos ,sin 特殊三角函数值平方关系：正切：余弦：正弦：：取值范围越大，正切值正切：越大，余弦值余弦：越大，正弦值正弦：：增减性αααααA A A中考真题练习1.在Rt △ABC 中，∠C=900，若sinA=513,则cosA 的值为（ ） A.512B.813C.23D.12132.式子2000)160(tan 45tan 30cos 2---的值是（ ） A.232-B.0C.32D.23.在△ABC 中，若0)21(cos 21sin 2=-+-B A ,则∠C 的度数是（ ） A.30° B.45° C.60° D.90° 4.如图,在△ABC 中,∠C=900，AB=5,BC=3,则sinA 的值是（ ） A.34B.43C.35 D.455.如图,在直角坐标系中,P 是第一象限内的点,其坐标是（3,m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43,则sin α的值是( ) A.45 B.54 C.35 D.536.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） A.23B.32C.21313 D.31313第6题图 第7题图 第8题图7.如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l 为( )A.h sinaB.h tanaC.h cosaD.h ·sina 8.如图,在□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交成的锐角为α,若AC=a ，BD=b ，则□ABCD 的面积是（ ） A.αsin 21ab B.αsin ab C.αcos ab D.αcos 21ab9.在△ABC 中,AB=AC=5,sin ∠ABC=0.8，则BC=10.如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=300，则该山坡的高BC 的长为 米．第10题图 第11题图 第12题图11.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成750角的方向飞行,25分钟后到达C 处,此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为300，则小山东西两侧A 、B 两点间的距离为 米．12.如图,在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为300，底部D 处的俯角为何450，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号）13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=900，D 是AB 的中点,过D 点作AB 的垂线交AC 于点E,BC=6,sinA=35，则DE= ．第13题图 第14题图14.如图，点E （0,4），O （0,0），C （5,0）在⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦．则tan ∠OBE=________．16.某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为600，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为300，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为米．第16题图第17题图第18题图17.如图,某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD=300,∠ACD=600，则直径AD= 米.18.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且BD平分AC,若BD=8,AC=6,∠BOC=1200，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）19.如图,是一张宽m的矩形台球桌ABCD,一球从点M（点M在长边CD上）出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的P点.如果MC n=，CMNα∠=.那么P点与B点的距离为 .第19题图第20题图20.如图,正方向ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°，M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于cm．21.已知α是锐角,且sin(α+150)=32.计算1184cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.22.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=450，sinB=13,AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．23.如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向,办公楼B 位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C 处,此时测得教学楼A 恰好位于正北方向,办公楼B 正好位于正南方向.求教学楼A 与办公楼B 之间的距离.24.中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直,测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=300，∠CBD=600． （1）求AB 的长； （2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．25.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为600．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为450，已知山坡AB 的坡度3:1=i ，AB=10米,AE=15米．（3:1=i 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH 的比） （1）求点B距水平面AE的高度BH ；（2）求广告牌CD的高度．26.如图,湖中的小岛上有一标志性建筑物,其底部为A,某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上,然后沿岸边直行4公里到达C处,再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．27.如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为530,老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米？28.如图,AC为⊙O的直径且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,23 DB DCDP DO==．（1）求证:直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．29.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速公路l1成300角,长为20km；BC段与AB、CD段都垂直,长为10km，CD段长为30km,求两高速公路间的距离．30.图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为120，支架AC长为0.8m，∠ACD为800，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin120=cos780≈0.21，sin680=cos220≈0.93，tan680≈2.48）31.解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（1）如图①,已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启,则AC开启至A/C/的位置时,A/C/的长为m；（2）如图②,某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ,在观景平台M处测得∠PMQ=540，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=730，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．32.如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD，斜坡AB的长为22 m,坡角∠BAD=680，为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造，经地质人员勘测,当坡角不超过500时,可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离；(2)为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到F点处,则BF至少是多少米?(保留一位小数,参考数据:sin680≈0.9272,cos 680≈0.3746,tan 680≈2.4751,sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1918)第13课 解直角三角形测试题日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分：1.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A.1,2,3B.1,1,2C.1,1,3D.1,2,32.在Rt △ACB 中,∠C=900，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC 的长为（ ） A.6 B.7.5 C.8D.12.53.点M （-sin600，cosn600）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（32，12） B ．（32-，12-） C ．（32-，12） D ．（12-，32-） 4.如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ） A.513B.1213C.512D.125第4题图 第5题图 第6题图5.如图,在△ABC 中,∠C=900，AD 是BC 边上的中线,BD=4,52=AD ,则tan ∠CAD 的值是（ ） A.2 B.2 C.3 D.56.如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC /B /，则tanB /的值为（ ） A.12B.13C.14D.247.如图是拦水坝的横断面,斜坡AB 的水平宽度为12米,斜面坡度为1:2,则斜坡AB 的长为（ ） A.34米 B.56米 C.512米 D.24米8.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB=4，BC=5,则tan ∠AFE 的值为（ ） A.43 B.35C.34D.45 9.△ABC 中,∠C=900，AB=8,cosA=43,则BC 的长 10.若a=3-tan600，则196)121(2-+-÷--a a a a = 11.如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,∠B=370，BC=32,则AC= ．（sin370≈0.60，cos370≈0.80,tan370≈0.75）第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=_____13.如图,在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度,AC=7米,则树高BC为米（用含α的代数式表示）．2,则AB的长为．14.如图,在△ABC中,∠A=300,∠B=450,AC=315.如图,从A地到B地的公路需经过C地,图中AC=10km,∠CAB=250,∠CBA=370,因城市规划的需要,将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin250≈0.42,cos250≈0.91,sin370≈0.60,tan370≈0.75）16.如图,在Rt△ABC中,∠C=900，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．17.如图,某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度,他们先在点A处测得树顶C的仰角为300,然后沿AD 方向前行10m,到达B点,在B处测得树顶C的仰角高度为600（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．。
中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用 (1)
中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用一、单选题1．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）A．511αsin米B．511αcos米C．115αsin米D．115αcos米2．如图,在△ABC中,△A=45°,△C=90°,点D在线段AC上,△BDC=60°,AD=1,则BD等于()A3B3+1C3-1D．3 33．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则△O的半径为（）A．3B．3C．4D．3二、填空题4．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．5．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ACB ＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ADB ＝30°，若两次测得的影长之差CD 长为 3m ，则树的高度为 m ．6．如图，在平行四边形 ABCD 中， 12sin ,13,2413A BC CD === ，点E 在边CD 上，将 BCE 沿直线BE 翻折，点C 落在点F 处，且 AF BF = ，则CE 的长为 ．三、综合题7．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长20AB cm =，点O 为摄像机旋转轴心，O 为AB 的中点，显示屏的上沿CD 与AB 平行，15CD cm =，AB 与CD 连接杆OE AB ⊥，10OE cm =，2CE ED =，点C 到地面的距离为60cm ．若AB 与水平地面所成的角的度数为35︒．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A 到地面的距离．（参考数据：350.574sin ︒≈，350.819cos ︒≈，350.700tan ︒≈，结果保留一位小数）8．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度，离地面CD 的距离BC ＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，且花洒臂长AB ＝30cm.假设水柱AE 垂直AB 直线喷射，小华在离墙面距离CD ＝120cm 处淋浴.（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. （2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE ，使点E 与点D 重合①其他条件不变，只要把活动调节点B 向下移动即可，移动的距离BF 与小华的身高DE 有什么数量关系？直接写出你的结论； ②活动调节点B 不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.（参考数据：3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）9．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC （BC 伸出部分不计），A 、C 、D 在同一直线上.量得△ACB ＝90°，△A ＝60°，AB ＝16cm ，△ADE ＝150°，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为16cm.（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离）.10．如图①是钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳光，钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是钓鱼伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB，AC与水平方向的夹角△ABC＝△ACB＝30°，伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点M，撑杆AN＝2.2m，固定点O到地面的距离ON＝1.6m．（1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离．（2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将钓鱼伞倾斜与铅垂线HN成30°夹角，如图③．①求此时点B到地面的距离；②若斜射阳光与BC所在直线垂直时，求BC在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：3≈1.732，结果精确到0.1m）11．湖州西山漾湿地公园一休闲草坪上有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为37°，若秋千的长OA=2m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求'A到地面的距离；（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰三角形帐篷，已知BC=0.6m，CD=2m，帐篷的高为1.8m，当人站立在秋千上，请问摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？12．为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图， 隧道 AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 450 米的高度上水平飞行，到达点 P 处测得点 A 的俯角为 30, 继续飞行 1500 米到达点 Q 处，测得点 B 的俯角为 45︒ .（1）填空： A ∠= 度， B ∠= 度； （2）求隧道 AB 的长度(结果精确到 1 米).(参考数据：23 1.732≈≈ )13．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上， 24cm OA OB == ， BC AC ⊥ ， 30OAC ∠=︒ ．（1）求 OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB ' 与水平线的夹角仍保持120°，求点 B ' 到 AC 的距离．（结果保留根号）14．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点 B E D ，， 均为可转动点，现测得 20cm AB BE ED CD ==== ，经多次调试发现当点 B E ， 都在 CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座 DC 与灯杆 DE 的夹角的大小；（2）当A 点到水平桌面（ CD 所在直线）的距离为 42cm 43cm - 时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将 ABE ∠ 调节到 105︒ ，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据： sin150.26cos150.97tan150.273 1.73︒=︒=︒==，，， ）15．如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角△BAC.当伞收紧时，点D 与点M 重合，且点A ，E （F ），D 在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm ）：DE=DF=AE=AF=40.（1）求AM 的长.（2）当伞撑开时，量得△BAC=110°，求AD 的长.（结果精确到1cm ） 参考数据：550.8192550.573655 1.4281sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.16．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图.汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽 AO 为1.2米.（参考数据：sin 400.6428,cos 400.7660︒≈︒≈ ， sin 410.6561,cos 410.7547,sin 420.6691,cos 420.7431︒≈︒≈︒≈︒≈ ）（1）当车门打开角度 AOB ∠ 为 40︒ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由. （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？17．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB ， P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 PDE ∆ ， F 为 PD 中点， 2.8AC m = ， 2PD m = ， 1CF m = ， 20DPE ∠= .当点 P 位于初始位置 0P 时，点 D 与 C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳效果最佳.（参考数据： sin700.94≈ ， cos700.34≈ ， tan70 2.75≈ ， 2 1.41≈ ， 3 1.73≈ ）（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为 65 （图3），为使遮阳效果最佳，点 P 需从 0P 上调多少距离？（结果精确到 0.1m ） （2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m ）18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1：2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C 、D两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m ） 求：（1）观众区的水平宽度AB ； （2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．19．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （﹣1，0），B （32，0），且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式； （2）求△ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE△AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．20．平面内，如图，在△ABCD 中，AB=10，AD=15， 4tan 3A =，点P 为AD 边上任意点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转 90 得到线段PQ.（1）当△DPQ= 10 时，求△APB 的大小；（2）当 tan tan 32ABP A ∠=：： 时，求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号)；（3）若点Q 恰好落在△ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积.(结果保留 π )21．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△BAC ＝30°，点D 与点C 重合，点E 在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则 EFAD＝ ，sin△ADE ＝ ，（2）在（1）中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝ 13AC ，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由． 拓展延伸（3）如图3，在△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB ＝a ，点D 在边AC 的延长线上，E 是AB 上任意一点，连接DE ．ED ＝nAE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转90°至点F ，连接EF ．求 EFAD和sin△ADE 的值分别是多少？（请用含有n ，a 的式子表示）22．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得CQA ABQ ∠=∠（此时也有DQB QAB ∠=∠）时，恰好能使球门AB 的张角AQB ∠达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点.（1）如图2所示，AB 为球门，当运动员带球沿CD 行进时，1Q ，2Q ，3Q 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点 ； （2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB 为球门，CD AB ⊥于点D ，3AB a =，BD a =.某球员沿CD 向球门AB 进攻，设最佳射门点为点Q. ①用含a 的代数式表示DQ 的长度并求出tan AQB ∠的值； ②5，若此时守门员站在张角AQB ∠内，双臂张开MN 垂直于AQ 进行防守，求MN 中点与AB 的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a 的代数式表示）答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】如图，过点A 作AH△BC 于H ．由题意AB ＝AC ，BC ＝4+0.2+0.2＝4.4（m ）， ∵AH△BC ，∴BH ＝CH ＝2.2（m ）， ∴AC ＝AB ＝αBH cos ＝2.2αcos ＝115αcos （m ）， 故答案为：D ．【分析】过点A 作AH△BC 于H ，先求出CH 的长，再利用解直角三角形的方法可得AC ＝AB ＝αBH cos ＝ 2.2αcos ＝115αcos 。
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形
2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念；2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；考点1：直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（3）勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1：直角三角形的性质与判定】【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。
c b a 222=+面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B【题型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【答案】50．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：503．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【答案】10．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【题型3：勾股定理与弦图、拼图】【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．一．选择题（共7小题）1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝2 6°，则∠CDE的度数为（）A．52°B．71°C．72°D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝90°﹣26°＝64°，根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，∴∠CDE＝∠ADC＝71°，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则A D长是（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BD＝2BC＝4，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，故选：B．5．下列各组数据是勾股数的是（）A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．故选：D．6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．二．填空题（共6小题）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为12尺．【答案】见试题解答内容【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺．故答案为：12．10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，∴AC2＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），故答案为：5．13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【答案】5．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt △BDE≌Rt△CDF．【答案】见解析．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC 是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝82+62＝100，∴AC ＝10（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝102+242＝676，AB 2＝262＝676，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD ＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送6m （水平距离BC ＝6m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝CE ＝3m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度？【答案】10m ．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】D【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠A'BC＝20°，∴∠ABA'＝80°，∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．3B．2C．1D．无法确定【答案】B【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，而AC＝6，∴（2BC）2﹣BC2＝62，解得：BC2＝12，同理可得：BG＝2GC，∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，∴GC＝2，当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，故选：B．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．4．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，则OP3的长为（）A．1B．C．D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2，＝+＝3，OP3＝＝2．故选：D．5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．二．填空题（共3小题）6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，＝BC•AC＝×3×4＝6，∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，∵S1＝π•（BC）2＝BC2，S2＝π•（AC）2＝AC2，S3＝π•（AB）2＝AB2，＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，∴S阴影故答案为：6．7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米．【答案】见试题解答内容【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝1 0米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，∴AC＝＝2（米），故答案为：2．8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．（1）求证：CD＝AC+ED．（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE，BD＝AC，∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，＝，∴S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE＝ab++＝ab+，∴，∴a2+b2＝c2．11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，C B＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？（2）判定三角形DEC的形状．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A 为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【答案】+1．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．【答案】96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96．10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC。
浙江省衢州市中考数学第一轮总复习讲义 全等三角形(无答案)
全等三角形典型考题(2015·温州)如图，点C，E，F，B 在同一直线上，点A，D 在BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.(1)求证：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝30°，求∠D 的度数．变式：如图，点M，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC，CD 上的点，且BM＝CN，AM 交BN 于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN 的度数．(2015·茂名)如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上一点，PD⊥OA 于点D，PD＝6，则点P 到边OB 的距离为( )A．6 B．5 C．4 D．3变式：在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC 的面积是.如图，已知点A，F，E，C 在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．变式：(2015·黔东南)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，连结BD.请添加一个适当的条件使△ABD≌△CDB(只需写一个)．随堂巩固1．(2015·随州)如图，△ABC 中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D，则△BDC 的周长是( C )A．8 B．9 C．10 D．112．(2015·金华外国语学校检测)如图，点E 是矩形AB CD 的边AD 延长线上的一点，且AD＝DE，连结BE 交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是( )A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC3．如图，△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( C )A．AC∥DF B．∠A＝∠DC．AC＝D F D．∠ACB＝∠F4.(2015·达州)如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交BC 于点E，交BD 于点F，连结CF.若∠A＝60°，∠AB D＝24°，则∠ACF 的度数为( )A．48°B．36°C．30°D．24°5.(2015·衢州华茂外国语学校调研)课间，小明拿着老师的等腰三角尺玩，不小心掉到两墙之间，如图．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)从三角板的刻度可知A C＝25 cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小(每块砖的厚度相等)．。
衢州市2019中考数学第一轮总复习讲义：解直角三角形(二)
解直角三角形（二）课前预习(2019·嘉兴、舟山)如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为α度，AC ＝7 米，则树高 BC 为 米(用含α的代数式表示)．浙江考情分析典型例题：例 1.(2019·乐山)如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上， 则 cos A 的值为()A.3 3B.5 5C. 2 33 D. 2 55变式：1.(2019·兰州)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则 cos A ＝()A.52 B. 1 2C. 2 55D. 5 52.(2019·庆阳)在△ABC 中，若∠A ，∠B 满足|cos A － 2 |－tan B )2＝0，则∠C 的大小是()A ． 45°B ． 60°C ． 75°D ．105°例 2.(2019·武威) 如图①所示，将直尺摆放在三角尺 ABC 上， 使直尺与三角尺的边分别交于点 D ，E ，F ，G ，量得∠CGD ＝42°.(1)求∠CEF 的度数； (2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角尺的顶点 B ，交 AC 边于点 H ，如图②所示，点 H ，B 在直尺上的读数分别 为 4,13.4，求 BC 的长(结果保留两位小数)．(参考数据：sin 42° ≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)变式：3 1.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，cos A ＝ ，则 BC 的 4长是.2.如图，已知在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AE ⊥CD ，AE 分别与 CD ，CB 相交于点 H ，E ，AH ＝2CH .(1)求 sin B 的值；(2)如果 CD ＝ 5，求 BE 的值．例 3.(2019·天水)2019 年 4 月 25 日 14 时 11 分，尼泊尔发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米．中国救援队火速赶往灾区救 援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象．在废墟一 侧某面上选两探测点 A ，B ，AB 相距 2 米，探测线与该面的 夹角分别是 30°和 45°(如图)．试确定生命所在点 C 与探测面 的距离．(参考数据 2≈1.41， 3≈1.73)变式：1.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6 米，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB 的长为( )A．12 米B．4 3米C．5 3米D．6 3米2.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE，CF 固定电线杆．拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6 米处安置测角仪AB，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪AB 的高为1.5 米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)随堂巩固 1．(2019·温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC＝3，则 cos A 的值是( )A. 3 4B. 4 3C. 3 5D. 4 52．(2019·丽水)如图，点 A 为∠α边上的任意一点，作 AC ⊥ BC 于点 C ，CD ⊥AB 于点 D ，下列用线段比表示 cos α的 值，错误的是( )A.B D BCB. BCC. AD ACD. CD3．(2019·衢州、丽水)如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比 1∶ 3(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，坝高 BC ＝3 m ，则坡面 AB 的长度是()A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．33 m4．(2019·宁波)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB 的高度是(结果保留根号)．5．(2019·宁波)如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC＝10 千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因城市规划的需要，将在A，B 两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直后的公路AB 的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91，sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75)2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．对于不为零的两个实数m，n，我们定义：m⊗n＝()()m n m nnm nm-⎧⎪⎨-<⎪⎩…，那么函数y＝x⊗3的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（）A．a2＝4b﹣4 B．a2＝4b+4 C．a＝2b﹣1 D．a＝2b+13．已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a-b=0，a-b+c>0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（）A.abc > 0B.c < 3aC.4a > cD.a+b+c > 04．抛物线y＝x2向下平移一个单位，向左平移两个单位，得到的抛物线关系式为（）A．y＝x2+4x+3 B．y＝x2+2x﹣1 C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣4x+35．如图，三角形OAB和三角形BCD是等腰直角三角形，点B、D在x轴上，∠ABO＝∠CDB＝90°，点A 在双曲线y=上，若△OAC 的面积为，则k的值为（）A. B.- C.﹣9 D.﹣126．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（O，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0．则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y＞0；②若点是函数图象上一点，则y＞0；③（a+c）2＜b2．其中正确的是（）A.①B.①②C.①③D.②③7．一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．下列选项中，描述准确的是（）A.①②正确，③错误B.①③正确，②错误C.②③正确，①错误D.①②③都正确8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.49．计算2|＝（）A． 1 B．1﹣C．﹣1 D．310．下列二次根式中是最简二次根式的是（）A B C D11．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A.4条B.3条C.2条D.1条12．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°二、填空题13．如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，随机地向△ABC中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．14．已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，∠A比∠C的2倍小30°，则∠C的度数是______15x的取值范围是_____．16．一组数据2，2，3，4，4的方差是_____．17．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C＇处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC F 的周长之和是____________．18．启明中学周末有20人去万达看电影，20张票分别为A区第6排1号到20号，分票采取随机抽取的办法，小亮第一个抽取，他抽取的座位号是10号，接着小颖从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小亮邻座的概率是______．三、解答题19．已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？20．如图，等边△ABC中，P是AB上一点，过点P作PD⊥AC于点D，作PE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接ME，MD．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BE，AD与AB的数量关系，并加以证明；(3)求证：MD＝ME．21．3x＝12，0.2y＝12，0.1z＝0，∴对虾400亩，大黄鱼600亩，蛏子0亩；养植对虾的劳动力是12人，养殖大黄鱼的劳动力是12人，养殖蛏子的劳动力是0人．【点睛】（1）解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解；（2）利用函数的单调性来解决实际问题．22．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（bak+，ka b+）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．（1）点P（﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________;（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，9），请直接．．写出k的值及点P的坐标；（3）如图，点Q的坐标为（0，2 ），点A在函数(0)y xx=-<的图象上运动，且点A是点B的“﹣关联点”，求线段BQ的最小值．23．（1）计算：113tan30(12-︒⎛⎫--++⎪⎝⎭（2）先化简，再求值221122121x x x xx x x x---⎛⎫-÷⎪+++⎝⎭，其中，x满足x2﹣x＝1．24．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+k的图象与反比例函数y=-4x的图象交于点A（-4，n）和点B．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若P是x轴上一点，且AP=AB，直接写出点P的坐标．25．“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（1）本次一共抽取了几名九年级学生？（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是几度？（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？【参考答案】***一、选择题13．1 414．70°15．x≥﹣1 16．8 17．618．2 19三、解答题19．k＝8或10【解析】【分析】因为方程有两个实根，所以△＞0，从而用k的式子表示方程的解，根据△ABC是等腰三角形，分AB＝AC ，BC ＝AC ，两种情况讨论，得出k 的值． 【详解】∵△＝[﹣(2k+2)]2﹣4(k 2+2k)＝4k 2+8k+4﹣4k 2﹣8k=4>0，∴x ＝()222k --+⎡⎤⎣⎦，∴x 1＝k+2，x 2＝k ，设AB ＝k+2，BC ＝k ，显然AB≠BC， 而△ABC 的第三边长AC 为10，(1)若AB ＝AC ，则k+2＝10，得k ＝8，即k ＝8时，△ABC 为等腰三角形； (2)若BC ＝AC ，则k ＝10，即k ＝10时．△ABC 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，公式法，解本题要充分利用条件，选择适当的方法求解k 的值，从而证得△ABC 为等腰三角形． 20．(1)见解析；(2)AD+BE ＝12AB ，理由见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题目要求，依据垂线和中点的概念作图即可得；（2）由△ABC 是等边三角形知∠A=∠B=60°．结合PD ⊥AC ，PE ⊥BC 得∠APD=∠BPE=30°，据此知AD=12AP ，AD=12AP ，再根据AD+BE=12（AP+BP ）可得答案； （3）取BC 中点F ，连接MF ．知MF=12AC ，MF ∥12AC ．据此得∠MFB=∠ACB=∠A=∠MFE=60°．从而知AM=12AB ，AB=AC ，MF=MA ．根据EF+BE=12BC 得AD+BE=12AB ．据此知EF=AD ．即可证△MAD ≌△MFE 得出答案． 【详解】(1)补全图形如图：(2)线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+BE ＝12AB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ， ∴∠APD ＝∠BPE ＝30°， ∴AD ＝12AP ，AD ＝12AP ．∴AD+BE ＝12(AP+BP)＝12AB ； (3)取BC 中点F ，连接MF ． ∴MF ＝12AC ．MF ∥12AC ， ∴∠MFB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠A ＝∠MFE ＝60°， ∵AM ＝12AB ，AB ＝AC ， ∴MF ＝MA ， ∵EF+BE ＝12BC ， ∴AD+BE ＝12AB ， ∴EF ＝AD ，∴△MAD ≌△MFE(SAS)， ∴MD ＝ME ． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形和直角三角形的性质、中位线定理及全等三角形的判定与性质等知识点． 21．无22．（1）(-1,-2)； （2）3k =， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义求出点P （-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可； （2）根据题中的新定义求出a 与b 的关系式即可； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），从而表示出点A 的坐标（m+n ），由点A在函数(0)y x x=-<的图象上可得到m 、n 之间的关系m ．然后将BQ 2用m 的代数式表示，根据二次函数的最值性，求出BQ 最小值． 【详解】 （1）∵x=-3+42=-1，y=2×（-3）+4=-2， ∴P′（-1，-2）；（2）设P （a ，b ），则P′（ba k+，ka+b ） ∴39b a k ka b ⎧+⎪⎨⎪+⎩＝＝， ∴k=3， ∴3a+b=9． ∵a 、b 为正整数∴P′（1，6）、（2，3）； （3）设点B 的坐标为（m ，n ），∵点A 是点B∴点A 的坐标为（，m+n ），∵点A 在函数0)y x =<的图象上，∴（（m+n ），且0．整理得：（）2=8．∵0，∴．∴m ．∴点B 的坐标为（m ，m ）． 过点B 作BH ⊥OQ ，垂足为H ，如图所示．∵点Q 的坐标为（0，2），∴QH 2=（m ）2=（m ）2，BH 2=m 2． ∴BQ 2=BH 2+QH 2=m 2+（m ）2=3m 2m+4=3（2+43∵3＞0，∴当BQ 2最小，即BQ 2 =43．∴． 【点睛】本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了新定义下的阅读理解能力，有一定的综合性．23．（1）1-+（2）12. 【解析】 【分析】（1）按顺序先分别进行负整数指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值、零指数幂的运算、二次根式的化简，然后再按运算顺序进行计算即可；（2）括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后由x 2﹣x ＝1，得x 2＝x+1，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1）1013tan30(12-︒⎛⎫--+- ⎪⎝⎭＝（﹣2）﹣3×3＝（﹣2＝﹣（2）221122121x x x xx x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭＝()()()()()()21111121x x x x x x x x x -+--++-＝()()()211121x x x x x x +-+-＝212x x +， ∵x 2﹣x ＝1， ∴x 2＝x+1， ∴原式＝12. 【点睛】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．24．（1）点B 的坐标是（1，-4）．（2）点P 的是坐标（3，0）或（-11，0）． 【解析】 【分析】（1）将点A 的坐标带入反比例函数解析式中，求出n 值，再将A 点的坐标带入一次函数解析式中即可求出k 值，联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组，解方程组即可得出结论；（2）设出点P 的坐标为（m ，0）．根据两点间的距离公式表示出线段AP 和AB 的长度，根据AP=AB 得出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：（1）把A （-4，n ）代入4y x=-中， 得：n=-44-=1，把A （-4，1）代入y=-x+k 中， 得：1=-（-4）+k ，解得：k=-3．解方程组34.y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得{41.x y =-=或{14.x y ==-．∴点B 的坐标是（1，-4）． （2）设点P 的坐标为（m ，0）．则：， ∵AP=AB，∴m 2+8m-33=0， 解得：m 1=-11，m 2=3．答：点P 的是坐标（3，0）或（-11，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）联立两函数解析式成方程组；（2）找出关于m 的一元二次方程．本题属于基础题，难道不大，解决该题型题目时，结合数量关系找出方程（或方程组）是关键． 25．（1）40；（2）补图见解析；（3）117；（4）30人 【解析】 【分析】（1）先根据B 等级人数及其百分比求得总人数； （2）求出C 组人数即可补全图形；（3）总人数减去其他等级人数求得C 等级人数，继而用360°乘以C 等级人数所占比例即可得； （4）总人数乘以样本中A 等级人数所占比例可得． 【详解】解：（1）总人数为18÷45%＝40人， 故答案为40．（2）C 等级人数为40﹣（4+18+5）＝13人， 补全条形图如下：（3）则C 对应的扇形的圆心角是360°×1340＝117°， 故答案为：117；（4）估计足球运球测试成绩达到A 级的学生有300×1340＝30人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如果解关于x的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m的值为A．-2 B．2 C．4 D．-42．如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC=4，则S△ADE=（）A.1B.2C.3D.43．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a12 >；④b＞1，其中正确的结论个数是（）A.1个B.2 个C.3 个D.4 个4．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（）A．4.5112y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩B．4.5112y xy x=+⎧⎪⎨=-⎪⎩C．4.5112y xy x=-⎧⎪⎨=+⎪⎩D．4.5112y xy x=-⎧⎪⎨=-⎪⎩5．在一次数学测试后，随机抽取八(1)班5名学生的成绩(单位：分)如下：80,98，98,83,91，关于这组数据的说法错误．．的是( )A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是566．在数列3、12、30、60……中，请你观察数列的排列规律，则第5个数是( )A．75 B．90 C．105 D．1207．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2008．用简便方法计算，将98×102变形正确的是（ ） A ．98×102＝1002+22B ．98×102＝（100﹣2）2C ．98×102＝1002﹣22D ．98×102＝（100+2）29．如图，反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-10．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出两个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．1211．抛物线y ＝（x+3）2﹣4的对称轴为（ ） A ．直线x ＝3B ．直线x ＝﹣3C ．直线x ＝4D ．直线x ＝﹣412．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为（ ）A B ．C ．D ．二、填空题 13．如图，直线y ＝15x ﹣1与x ，y 轴交于B 、A ，点M 为双曲线y k x=上的一点，若△MAB 为等腰直角三角形，则k ＝_____．14．已知关于x 的不等式2x+m ＞3的解如图所示，则m 的值为_____．15．为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小文同学做了如下的探索：根据物理学中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在合适的位置，刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小文与平面镜的水平距离为2.0米，树的底部与平面镜的水平距离为8.0米，若小文的眼睛与地面的距离为1.6米，则树的高度约为________米．（注：反射角等于入射角）16．如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A 、B ，若其对称轴为直线x=2，则OB –OA 的值为_______．17．命题“若a ＝b ，则a 3＝b 3．”是真命题．它的逆命题“若a 3＝b 3，则a ＝b”是_____（填真或假）命题．18．如图，在三角板ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝6，将三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，当起始位置时的点B 恰好落在边A 1B 1上时，A 1B 的长为___．三、解答题19．吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y ＝2545x x --+的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x 的取值范围是 ． （2）列表：＝ ，＝ ．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x 为横坐标，y 为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．20．如图，点A、B、C、D依次在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）填空：若AD＝7，AB＝2.5，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，菱形BFCE的面积是．21．某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝20(05) 10100(520) x xx x⎧⎨+<⎩剟…（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？22．如图，工人师傅用一块长为10分米，宽为6分米的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形；（厚度不计）（1）当长方体底面面积为12平方分米时，裁掉的正方形边长为______分米；（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，且将容器的外表面进行防锈处理，其侧面处理费用为0.5元/平方分米，底面处理费用为2元/平方分米；求：裁掉的正方形边长为多大时，防锈处理总费用最低，最低为多少？23．已知点A(﹣1，4)在反比例函数y＝kx的图象上，B(﹣4，n)在正比例函数y＝12x的图象上(1)写出反比例函数y＝kx的解析式；(2)求出点B的坐标．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠OCD＝90°，点D在第一象限，OC ＝6，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．25．为了庆祝“五四”青年节，我市某中学举行了书法比赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）这次随机抽查了名学生；表中的数m＝，n＝；（2）请在图中补全频数分布直方图；（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是；（4）全校共有600名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？【参考答案】***一、选择题13．414．515．416．417．真18．三、解答题19．（1）一切实数（2）-12，-52 （3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称【解析】【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把自变量的值代入即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）由y ＝2545x x --+知，x 2﹣4x+5≠0，所以变量x 的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数；（2）m ＝251(1)452-=--++，n ＝25531252-=--+， 故答案为：-12，-52； （3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x ＝2对称．故答案为：该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x ＝2对称【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）【解析】【分析】(1)证明△ABE ≌△DCF ，继而得到BE ＝CF ，再结合BE//CF 即可解决问题．(2)利用全等三角形的性质证明AB ＝CD ，由菱形的性质求出EF 的长，即可解决问题．【详解】(1)∵BE ∥CF ，∴∠EBC ＝∠FCB ，∴∠EBA ＝∠FCD ，在△ABE 和△DCF 中，A D EBA FCD AE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DCF(AAS)，∴BE ＝CF ，又∵BE//CF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；(2)连接EF 交BC 于O ，如图所示：∵△ABE ≌△DCF ，∴AB ＝CD ，∵AD ＝7，AB ＝DC ＝2.5，∴BC ＝AD ﹣AB ﹣DC ＝2，∵四边形BFCE 是菱形，∠EBD ＝60°，EF ⊥BC ，OB ＝12BC ＝1，OE ＝OF ， ∴△CBE 是等边三角形，∠BEO ＝30°，∴BE=BC ＝2，∴OE =∴EF ＝∴菱形BFCE 的面积＝12BC×EF＝12故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．21．（1）小华第12天生产的帽子数量为220顶；（2）当x ＝14时，w 有最大值，最大值为576元；（3）第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【解析】【分析】（1）把220y =代入10100y x =+，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p 与x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W 与x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出115m +=，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a 与利润w 的关系式，再根据题意列出不等式求解即可【详解】解：（1）若20220x =，则11x =，与05x ≤≤不符，∴10100220x +=，解得:12x =，故第12天生产了220顶帽子；（2）由图象得，当010x ≤≤时， 5.2P =；当1020x ≤＜时，设0p kx b k =+≠（），把105.2206.2（，）,(，）代入上式，得10 5.220 6.2k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得，0.14.2k b =⎧⎨=⎩， ∴0.1 4.2p x =+①05x ≤≤时，(8)20(8 5.2)56w y p x x =-=-=当5x =时，w 有最大值为280w =（元）②510x ≤＜时，(8)1010085.2)28280w y p x x =-=+⨯=+（）（﹣，当10x =时，w 有最大值，最大值为560（元）；③1020x ≤＜时，2(8)1010080.1 4.2[]28380w y p x x x x =-=+=--+++（）（） 当14x =时，w 有最大值，最大值为576（元）．综上，当14x =时，w 有最大值，最大值为576元．（3）由（2）小题可知，14115m m =+=，，设第15天提价a 元，由题意得 (8)1010080.1 4.22502.[]3w y a p x a x a ==+-=++-++（）（）（）∴2502.3)57649a +-≥（ ∴0.2a ≥答：第15天每顶帽子至少应提价0.2元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．22．（1）裁掉的正方形的边长为2dm ；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【解析】【分析】(1)由设裁掉的正方形的边长为xdm ，用x 的代数式表示长方体底面的长与宽，再根据矩形的面积公式列出方程，可求得答案；(2)由条件“制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍“列出不等式，可求得x 的取值范围，用x 可表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．【详解】(1)设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ；(2)设总费用为y 元，则y=2(10-2x)(6-2x )+0.5×[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4x 2-60x+192=4(x-7.5)2-33，又∵12-2x≤5(8-2x)，∴x≤3.5，∵a=4＞0，∴当x ＜7.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=3.5时，y 取得最小值，最小值为31，答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，矩形的面积计算，列代数式．正确列代数式和找出等量关系列方程，求二次函数的最值的方法是本题的关键．23．(1)4yx=；(2)点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．【解析】【分析】(1)把A(﹣1，4)代入反比例函数y＝kx即可求解；(2) 把B(﹣4，n)代入正比例函数y＝12x即可求解.【详解】解：(1)∵点A(﹣1，4)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝(﹣1)×4＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：4yx =．(2)∵B(﹣4，n)在正比例函数y＝12x的图象上，∴12×(-4)=n，∴n＝﹣2，即点B的坐标为：(﹣4，﹣2)．【点睛】本题考查的是反比例函数和正比例函数，熟练掌握两者是解题的关键.24．（1）6yx=；（2）133=-+y x.【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得．【详解】解：（1）∵∠OCD＝90°，点D在第一象限，OC＝6，DC＝4，∴D（6，4），∵OD的中点为点A，∴A（3，2）；设反比例函数解析式为kyx =，那么k＝3×2＝6，∴该反比例函数的解析式为6yx =；（2）在6yx=中，当x＝6时，y＝1，则点B（6，1），设直线AB解析式为y＝mx+n，（m≠0）,代入A,B坐标得,则32 61 m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得133mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB解析式为y＝﹣13x+3．【点睛】本题主要考查用待定系数法求反比例函数解析式，中等难度,解题的关键是掌握待定系数法求解析式的方法．25．（1）200；90，0.3；（2）补图见解析；（3）54°；（4）240人【解析】【分析】（1）根据60≤x＜70的频数及其频率求得总人数，进而计算可得m、n的值；（2）根据（1）的结果，可以补全直方图；（3）用360°乘以样本中分数段60≤x＜70的频率即可得；（4）总人数乘以样本中成绩80≤x＜100范围内的学生人数所占比例．【详解】解：（1）本次调查的总人数为30÷0.15＝200人，则m＝200×0.45＝90，n＝60÷200＝0.3，故答案为：200、90、0.3；（2）补全频数分布直方图如下：（3）若绘制扇形统计图，分数段60≤x＜70所对应扇形的圆心角的度数是360°×0.15＝54°，故答案为：54°；（4）600×6020200+＝240，答：估计该校成绩不低于80分的学生有240人．【点睛】本题考查条形统计图、图表等知识．结合生活实际，绘制条形统计图或从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难度不大．。
衢州市五中九年级数学上册 第23章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形
∴
S△ABC
=
1 2
AB ·CD =1
2
bc sin A.
当∠A = 55° , b = 20 cm , c = 30 cm 时 , 有
S△ABC
=
1 2
bc sin A
C
= 1 ×20×30 sin 55°
b
2
=1
2
×20×30 ×0.819 2A
55°
c
B
≈ 245.8〔cm2〕
练习
在四边形 ABCD 中 , AB∥CD , AB = 4 , CD = 8 , AD = 6 , ∠D = 43° , 求四边形的面积〔精确到 0.01〕.
练习
根据以下条件 , 解直角三角形. 在 Rt△ABC 中 , ∠C = 90° , a = 30 , ∠B = 80°.
解 由 cos B =a c
a ，得c = cos B =
30 0.173 6
≈ 172.8
由 tan B = b ，得 b = a tan B = 30×5.671 3 ≈ 170.1 a
等式 kx＋b>mx 的解集是_－__6_<_x_<_0_或__x_>_2__．
6．(2019·铜仁)如图，一次函数 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)的图象
与反比例函数 y＝－1x2 的图象交于 A，B 两点，且与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，A 点的横坐标与 B 点的纵坐标都是 3.
D．(12 ，－1)
类型二 判断函数图象的位置 2．(2019·贺州)已知 ab＜0，一次函数 y＝ax－b 与反比例函数 y ＝xa 在同一直角坐标系中的图象可能是( A )
3．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，那么正比例函数 y ＝kx 和反比例函数 y＝bx 在同一直角坐标系中的图象可能是( D )
中考数学第一轮总复习精品教案十解直角三角形
解直角三角形教学目标：1．立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握本部分的基本知识、基本方法和基本技能.2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：将本部分的知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，．难点：把数学知识转化为自身素质. 增强用数学的意识．教学时间：5课时【课时分布】解直角三角形部分在第一轮复习时大约需要3课时，其中包括单元测试，下表为课时安排．课时数内容1直角三角形边角关系、锐角三角函数、简单的解直角三角形2 解直角三角形的应用解直角三角形单元测试及评析教学过程：【知识回顾】1．知识脉络已知一边一锐已知斜边一锐角解直角三角2．基础知识直角三角形的特征⑴直角三角形两个锐角互余；⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⑶直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2=c2；AD⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，则这个三角形是直角三角形，即：在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则∠C ＝90°； ⑹射影定理：AC 2=AD AB ,BC 2=BD AB ,CD 2=DA DB ． 锐角三角函数的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c , 则sinA =ac ,cosA =b c ,tanA =a b,特殊角的三角函数值：（并会观察其三角函数值随α的变化情况） 1．解直角三角形（Rt △ABC ,∠C ＝90°） ⑴三边之间的关系：a 2+b 2=c 2．⑵两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°．．α sin α cos α tan α30° 1232 3345° 22 22 160°32123A BC acb⑶边角之间的关系：sinA =A a c ∠的对边＝斜边,cosA = A bc ∠的邻边＝斜边．tanA =A aA b∠∠的对边＝的邻边,⑷解直角三角形中常见类型： ①已知一边一锐角． ②已知两边．③解直角三角形的应用． 2．能力要求例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的三个三角函数值．【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案． 【解】 在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ＝22AC BC +＝10， ∴sin ∠BCD =sinA =BCAB =45 ,cos ∠BCD =cosA =AC AB =35 ,tan ∠BCD =tanA =BCAC =43【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，教师应强调转化的思想，即本题中角的转换．（或可利用射影定理，求出BD 、DC ，从而利用三DBCA角函数定义直接求出）例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪离AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）【分析】求CE 的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A 作AG ⊥CD ，垂足为G ，在Rt △ACG 中，可求出CG ，从而求得CD ，在Rt △CED 中，即可求出CE 的长．【解】 过点A 作AG ⊥CD ，垂足为点G ， 在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝30°，BD ＝6， ∴tan 30°=CGAG ，∴CG =6×33 =23∴CD =23 + 1.5,在Rt △CED 中，sin 60°=CD EC ，∴EC =CD sin60°=23+1.532=4+ 3 ．答：拉线CE 的长为4+ 3 米．【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键．老师在复习过程中应加以引导和总结． 例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？30°ABEDFCG60°【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM 的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA 与AB 的坡度均为1∶0.5． 【解】 ⑴∵i =tanB ,即tanB =10.5=2，∴∠B =63.43°．⑵过点M 、N 分别作ME ⊥AD ，NF ⊥AD ， 垂足分别为E 、F ．由题意可知：ME ＝NF ＝5，∴ME AE ＝10.5 ，∴AE ＝DF ＝2.5，∵AD =4， ∴MN =EF =1.5， ∴S 梯形ADNM ＝12 (1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m 3) ．【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度水平距离＝坡角的正切值，虽然2007年中考时计算器不能带进考场，但学生应会使用计算器，所以建议老师还是要复习一下计算器的使用方法．例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A ,其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.5299,cos 32°≈0.8480,tan s 32°≈0.6249,cot 32°≈1.600）【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt △ADC 和Rt △BDC 即可．A BCDMN EFAB北Dβα【解】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ． 由题知：∠α=45°，∠β=32°．在Rt △BDC 中，sin 32°=BDBC ，∴BD ＝100sin 32°≈52.99．cos 32°=CDBC ，∴CD =100 cos 32°≈84.80．在Rt △ADC 中，∵∠ACD =45°，∴AD =DC =84.80． ∴AB =AD +BD ≈138米． 答：AB 间距离约为138米．【说明】本题中涉及到方位角的问题，引导学生画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，教师在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．例5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米． (2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2 1.41≈，3 1.73≈)．【分析】⑴由题意易知． ⑵先要计算出OH 和PH 的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可． 【解】⑴100； (6010)t +． ⑵作OH ⊥PQ 于点H ，可算得1002141OH =≈（千米），设经过t 小时时，台风中心从P 移动到H ，则201002PH t ==，算得52t =（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5+⨯≈（千米）＜141（千米）．∴城市O 不会受到侵袭．【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．例6 如图所示：如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60° ，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的仰角为45° ，已知OA =100米，山坡坡度为 12 ，（即tan ∠PAB = 12 ）且O 、A 、B 在同一条直线上。
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浙江考情分析
解直角三角形（一）
典型考题
考点一成比例线段与比例的基本性质
若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则a＋b
的值是( ) c－2b
A．2 B．－2 C．3 D．－3
变式：(2015·乐山)如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平
行线分别交于点A，B，C 和D，E，F.已知AB
＝
3
，则
DE
的
值为( )
BC 2 DF
A.
3
2B.
2
3
C.
2
5
D.
3
5
考点二 相似多边形的性质
如果两个相似多边形面积的比为 1∶5，则它们的相
似比为(
)
A ．1∶25
B ．1∶5
C ．1∶2.5
D ．1∶ 5
变式 1： 如图 1 所示的两个四边形相似，则∠α的度数是
(
)
A ．87°
B ．60°
C ．75°
D ．120°
图 1
图 2
变式 2：如图 2，四边形 ABCD 与四边形 A 1B 1C 1D 1 相似， AB ＝12，CD ＝15，A 1B 1＝9，则边 C 1D 1 的长是(
) A ．10
B ．12
C.
45
4
考点三 相似三角形的性质与判定
D. 36
5
(·庆阳)如图，在△ABC 中，两条中线 BE ，CD
相交于点 O ，则 S △DOE ∶S △COB ＝(
)
A ．1∶4
B ．2∶3
C ．1∶3
D ．1∶2
变式 1： (2015·重庆)已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与 △DEF 的相似比为 2∶3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中 线的比为
.
变式2：(·南京)如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高
，且CD2＝AD·DB.
(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠
ACB 的大小.
考点四相似图形的应用
(·菏泽)如图，M，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N 两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C 分别在AM，AN 上，
现测得AM＝1 千米、AN＝1.8 千米、AB＝54 米、BC＝45 米、AC＝30 米，求M，N 两点之间的直线距离．
变式1：如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M 处的运动员林丹把球从N 点击到了对方内的B 点，已知网高OA ＝1.52 米，OB＝4 米，OM＝5 米，则林丹起跳后击球点N 离地面的距离NM＝米．
变式2：有一支夹子如图所示，AB＝2BC，BD＝2BE，在夹子前面有一个长方体硬物，厚PQ 为6 cm，如果想用夹子的尖端A，D 两点夹住P，Q 两点，那么手握的地方EC 至少要张开cm.
随堂巩固
1．(·安顺)如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC交对角线BD 于点F，则EF∶FC 等于( )
A．3∶2 B．3∶1
C．1∶1 D．1∶2
第1 题第2 题2．如图，等边三角形ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP＝1，D 为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD 的长为.
3．如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为( ) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
第3 题第4 题
4．(2015·南通)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC，交BC 于点E，AB＝6，AD＝5，则AE 的长为( )
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
5．如图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上的一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2 6，则MF 的长是( )
A. 15
B.
15
10
C．1 D.
15
15
第5 题第6 题
6．(2015·金华外国语学校模拟)如图，已知矩形ABCD 中，AB＝1，在BC 上取一点E，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD＝.
7．(·绍兴鲁迅中学模拟)如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 于点E，点F，M 分别是AB，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.
(1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．
8．(·安徽)如图①，在四边形ABCD 中，点E，F 分别是AB ，CD 的中点．过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G，连结GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD
＝∠BGC.
(1)求证：AD＝BC；(2)求
证：△AGD∽△EGF；
AD
(3)如图②，若AD，BC 所在的直线互相垂直，求
的值．
EF。