托马斯微积分习题答案
托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录
结束
外摆线 (圆外旋轮线) 族
x
(a
b)
cos
t
b
cos
ab b
t
y
(a
b)
sin
t
b
sin
ab b
t
center of the stationary circle (0,0), radius radius of the moving circle b,
a,
m ba
m = 1cardห้องสมุดไป่ตู้oid
m2
播点
• 轨迹:
放击 开图
M 是半径为 a 的母圆上的动点 ,
始片 或任
满足 OM = PQ 之点 P 的轨迹即为
暂意
蔓叶线
停处
• 渐近线:
• 曲线与渐近线之间的面积:
结束
folium笛卡儿叶形线
x
3at 1 t3
y
3at 2 1 t3
t 1
动点 画击 开图 始中 或任 暂意 停点
动画走向: －∞→－1 －1→+∞
Mo
x
2 a
•弧 长:
LOM
a 2
(
2 1 arsh )
其中arsh ln( 1 2 )
3
• 曲率半径 :
R
a
( 2 1)2 22
• 扇形 M 1OM 2 的面积 :
S
1 6
a
2
(
2 1
2 2
)
结束
Logarithmic
curve 对数螺线
(等角螺线) r ea
• 等角性 : 曲线与所有过极点的射线
(9) cardioid心形线
托马斯微积分第13版第七章答案
(b)
(c)
df dx x 1
2, dx
df 1 x 1
1 2
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CHAPTER 7 TRANSCENDENTAL FUNCTIONS
7.1 INVERSE FUNCTIONS AND THEIR DERIVATIVES 1. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 2. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 3. Not one-to-one since (for example) the horizontal line y 2 intersects the graph twice. 4. Not one-to-one, the graph fails the horizontal line test. 5. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 6. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 7. Not one-to one since the horizontal line y 3 intersects the graph an infinite number of times. 8. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 9. Yes one-to-one, the graph passes the horizontal line test. 10. Not one-to one since (for example) the horizontal line y 1 intersects the graph twice. 11. Domain: 0 x 1, Range: 0 y 12. Domain: x 1, Range: y 0
托马斯微积分
Figure 2.43: The balloon in Example 3.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 7
Figure 2.31: sin (x°) oscillates only /180 times as often as sin x oscillates. Its maximum slope is /180. (Example 9)
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 16
托马斯微积分-Thomas` CALCULUS 课后习题答案附录1
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
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伯努利(1654 – 1705)
( 雅各布第一 ·伯努利 ) 瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
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洛必达(1661 – 1704)
法国数学家, 他著有《无穷小分析》 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 则 ”他. 在15岁时就解决了帕斯卡提出 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 在, 他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 .
an cos(bn x)
(0
a
1,
ab
1
3 2
,
b为奇数
)
n0
为分析学的算术化作出了重要贡献 .
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华罗庚(1910 – 1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方 程, 高维数值积分等广泛的数学领域中, 都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇.
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分习题集带参考答案(2)
微积分习题集带参考答案一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ． ⒋=+⎰e 12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-．23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ． 24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln 1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程．A ．x y y x y xln e sin ='-''B ．xxy y y e 2=+'C ．yy x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +118.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x y+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x xy += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e 1-=x yC. 1e 1+=x yD. 1e e1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d x f x x f =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x 29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+=' x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ． 6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ． 解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e1+=+，求y '． 解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：c x x x x x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24x h = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(x x x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2r Vh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4rV r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y于是 y =3x x x x 43232162+=+ 24323xy -='令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。
微积分习题集带参考答案(3)
微积分习题集带参考答案一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录共23页
题答案附录
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
Hale Waihona Puke 66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
托马斯微积分ThomasCALCULUS课后习题答案附录
参数的几何意义: t tan
图形在第四象限
t (1, 0] (34 , ]
图形在第二象限
t
[0
,
)
[0
,
2
)
图形在第一象限
结束
笛卡儿叶形线(续)
x
3at 1t 3
y
3at 2 1t 3
t 1
y A
a o
x
a
• 结点: 在该点与 x 轴 y 轴相切, 曲率半径为
• 顶点:
a
a
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
Special plane curves
(1) Cubic parabola 三次抛物线
(3) Probability curve 概率曲线
(2) Root cubic parabola 半立方抛物线
(4) Witch 箕舌线 (5) Cissoid 蔓叶线
(6) folium笛卡儿叶形线
(7) Star curve星形线 (8) cycloid摆线
(9) cardioid心形线
(10) Hyperbolic spiral 双曲螺线
(11) Logarithmic curve 对数螺线
(12) Archimedes spiral 阿基米德螺线
(13) Lemniscate of Bernoulli 伯努利双纽线
(14) Three-leaved rose 三叶玫瑰线
结束
Witch 箕舌线
或
y a
• 轨迹 : M是直径为a 的圆上的动点, Q是射线OM与 y = a 的交点, QP⊥x 轴 , MP∥x 轴
P点轨迹即为箕舌线 .
t
o
[托马斯微积分.第11版.(附带习题答案)].review1
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tan x
(d)
dx
(ln cos x)2
√
3
2
(e)
arctan 2t dt
0
3 dx (f )
0 x−1
x
(g)
dx
(x − 3)2
ln(ln 3)
(h)
eexex dx
ln(ln 2)
1 + 4x
(i) √
dx
1 + x + 2x2
4
1 (j) x2 − 4x + 8 dx
0
1
√ x
(k)
√ dx
∞1 (u) −∞ ex + e−x dx
4
1
(v) 1 x2 − 5x + 6 dx
dx (w)
x(ln x)2
π
2
sin x
(x)
dx
1 + cos x
0
sin(e−2x)
(y)
e2x dx
4
√
ex
(z) √
√ dx
x(1 + e x)
1
Math 222—Exam 1 Review
2
2. Determine whether the following integrals converge or diverge.
5. A chemical manufacturing company has a 1000-gallon holding tank which it uses to control the release of pollutants into a sewage system. Initially the tank has 360 gallons of fluid containing 2 pounds of pollutant per gallon. Fluid containing 3 pounds of pollutant per gallon enters the tank at the rate of 80 gallons per hour and is uniformly mixed with the fluid already in the tank. Simultaneously, fluid is released from the tank at the rate of 40 gallons per hour. Determine how many pounds of pollutant is present in the tank after one hour.
托马斯微积分第13版第三章答案
lim
2
( x3 3 x 2 h 3 xh 2 h3 3 x 3h ) ( x3 3 x ) h h 0
2 2 h 3 3h lim 3 x h 3 xh h
h 0
lim (3x 3xh h 3) 3 x 3; 3x 3 0 x 1 or x 1. Then f (1) 2 and f (1) 2 (1, 2)
h 0
x 2. Then f (2) 4 8 1 5 (2, 5) is the point on the graph where there is a horizontal tangent.
26. 0 m lim
2 h 0
[( x h )3 3( x h )]( x3 3 x ) h h 0
1 1 ( x h ) 1 x 1
( x 1) ( x h 1)
( x h) x x x h m lim x h lim x h x h x lim lim 1 . 28. 1 4 h h 2 x x h x h 0 h x h x h 0 h x h x h 0 h 0 x 1 1 1 x 2 x 4 y 2. The tangent line is y 2 4 ( x 4) 4 1. Thus, 4 2 x f (2 h ) f (2) h h 0
P (5) lim
h 0
24. (a) From t 0 to t 3, the derivative is positive. (b) At t 3, the derivative appears to be 0. From t 2 to t 3, the derivative is positive but decreasing. 25. At a horizontal tangent the slope m 0 0 m lim
微积分课后习题答案
微积分课后习题答案微积分课后习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
在学习微积分的过程中，课后习题是非常重要的一环。
通过做习题，我们可以巩固课堂上所学的知识，提高自己的解题能力。
然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法找到正确的解答。
因此，本文将为大家提供一些微积分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解微积分的知识。
一、函数的极限1. 求函数f(x) = (3x^2 + 2x + 1)/(2x^2 + x - 3)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (3(2)^2 + 2(2) + 1)/(2(2)^2 +2 - 3) = 13/9。
因此，当x趋近于2时，函数f(x)的极限为13/9。
2. 求函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)当x趋近于2时的极限。
解答：将x代入函数f(x)的表达式中，得到f(2) = (2^2 - 4)/(2 - 2) = 0/0。
此时，函数f(x)的极限不存在。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x的导数。
解答：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x))/h]。
将函数f(x)代入该定义中，得到f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 - 4(x + h) - (3x^2 - 4x))/h]。
化简后可得f'(x) = 6x - 4。
2. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的微分。
解答：微分df(x) = f'(x)dx。
将函数f(x)的导数f'(x)代入该定义中，得到df(x) =(3x^2 - 4x)dx。
三、定积分1. 求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。
解答：根据定积分的定义，定积分∫[1, 3] f(x)dx = lim(n→∞) Σ[i=1到n] f(xi)Δx，其中Δx = (b - a)/n，xi为区间[a, b]上的任意一点。
托马斯微积分 Double integrals
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
2
f ( x, y )d y
0 y D1 : 0 x2
D
1 x2 2 ,
0 y 8 x D2 : 2 x2 2
y
x2 y2 8
I f ( x, y ) d x d y
1 ( y ) x 2 ( y ) D: c yd
y x 2 ( y) d
c O
x 1 ( y)
x
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Examples
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Example 4 Reverse the order of integration
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12.1
Double integrals
(二重积分)
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1. Definition 2. Properties 3. Calculations 4. Examples
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1. Definition
How to calculate the volume of a solid?
2 0
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托马斯微积分习题答案
托马斯微积分习题答案
微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律以及求解曲线下
的面积、体积等问题。
而托马斯微积分是学习微积分的经典教材之一，其中的
习题是帮助学生巩固知识、提高解题能力的重要工具。
本文将为大家提供一些
托马斯微积分习题的答案，并对其中一些典型问题进行详细解析。
1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解答：根据导数的定义，导数表示函数在某一点上的变化率。
对于多项式函数，可以直接应用求导法则进行计算。
对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，我们可以分别对
每一项进行求导。
首先，对于常数项1，其导数为0；对于一次项-2x，其导数
为-2；对于二次项3x^2，其导数为6x。
因此，函数f(x)的导数为f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = ∫(0 to x) e^t dt的值。
解答：这是一个定积分的求解问题。
根据定积分的定义，我们需要计算被积函
数在积分区间上的面积。
对于给定的函数f(x) = ∫(0 to x) e^t dt，我们可以将
其转化为不定积分的形式，即F(x) = ∫e^t dt。
然后，我们再对F(x)求导，得到
f(x) = dF(x)/dx。
根据指数函数的求导法则，e^t的导数仍然是e^t。
因此，f(x)
= e^x - e^0 = e^x - 1。
3. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的切线方程。
解答：对于给定的函数f(x) = x^2，我们需要求解其在点x = 2处的切线方程。
切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m表示切线的斜率，b表示切线与坐
标轴的交点。
首先，我们需要求解函数f(x)在点x = 2处的导数，即f'(x)。
根据
导数的定义，我们可以计算出f'(x) = 2x。
然后，将x = 2代入f'(x)，得到切线的
斜率m = 2 * 2 = 4。
接下来，我们需要确定切线与坐标轴的交点。
由于切线过
点(2, f(2))，即点(2, 4)，所以b = f(2) = 2^2 = 4。
因此，切线方程为y = 4x + 4。
通过以上三个例子，我们可以看到托马斯微积分习题的答案并不复杂，但需要
对微积分的基本概念和求解方法有一定的理解和掌握。
在学习微积分的过程中，不仅要掌握习题的答案，更重要的是理解问题的求解思路和方法。
只有通过深
入思考和练习，才能真正掌握微积分的核心概念和技巧。
除了以上的例子，托马斯微积分习题还涵盖了很多其他的内容，如曲线的切线
与法线、函数的极值与最值、定积分的应用等等。
每一个习题都是对知识点的
巩固和应用，可以帮助学生更好地理解微积分的概念和原理。
因此，在学习托
马斯微积分时，除了课本中的理论知识，习题的练习也是非常重要的一部分。
总结起来，托马斯微积分习题的答案并不是简单的数字或公式，而是需要通过
对微积分概念的理解和运用来得出。
通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提
高解题的能力，深入理解微积分的原理和应用。
希望以上的解答和解析能够对
大家在学习微积分时有所帮助。