小题满分练3(解析版)-2021年高考数学二轮专题突破(新高考)

小题满分练3

一、单项选择题

1．若集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|x 2

>4}，则M ∩N 等于( ) A ．(－2,3) B ．(－∞，－2) C ．(2,3) D ．(－∞，－2)∪(2,3)

【答案】 D

【解析】 ∵N ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴M ∩N ＝(－∞，－2)∪(2,3)． 2．(2020·全国Ⅰ)若z ＝1＋2i ＋i 3，则|z|等于( ) A ．0 B ．1 C. 2 D ．2 【答案】 C

【解析】 ∵z ＝1＋2i ＋i 3

＝1＋2i －i ＝1＋i ， ∴|z|＝12

＋12

＝ 2.

3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|b ＋a |＝2，则向量a 与b 的夹角的余弦值为( ) A.

22 B.23 C.28 D.2

4

【答案】 D

【解析】 由题意可知，

|b ＋a |2

＝b 2

＋2a ·b ＋a 2

＝3＋2a ·b ＝4， 解得a ·b ＝12

，

∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝122＝2

4

.

4．(2020·全国Ⅰ)已知圆x 2

＋y 2

－6x ＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】 B

【解析】 圆的方程可化为(x －3)2

＋y 2

＝9， 故圆心的坐标为C(3,0)，半径r ＝3. 如图，记点M(1,2)，

则当MC 与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小， 此时|MC|＝22，

弦的长度l ＝2r 2

－|MC|2

＝29－8＝2.

5．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt

描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) ( )

A ．1.2天

B ．1.8天

C ．2.5天

D ．3.5天 【答案】 B

【解析】 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6， 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.

由题意，累计感染病例数增加1倍， 则I(t 2)＝2I(t 1)，即2

0.38e

t ＝1

0.382e

t ，

所以()

210.38e

t t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，

所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.69

0.38

≈1.8.

6．已知a>0，b>0，若不等式

m 3a ＋b －3a －1

b

≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3 【答案】 B

【解析】 因为a>0，b>0， 所以由m 3a ＋b －3a －1

b

≤0恒成立，

得m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b (3a ＋b)＝10＋3b a ＋3a b 恒成立， 因为3b a ＋3a

b

≥2

3b a ·3a

b

＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立， 所以10＋3b a ＋3a

b ≥16，所以m ≤16，

即m 的最大值为16.

7．已知双曲线C ：y 2

a 2－x

2

b 2＝1(a>0，b>0)，直线x ＝a 与C 的交点为A ，B(B 在A 的下方)，直

线x ＝a 与C 的一条渐近线的交点D 在第一象限，若|AB||BD|＝4

3，则C 的离心率为( )

A.32 B ．2 C.1＋174 D.7 【答案】 B

【解析】 将x ＝a 代入y 2

a 2－x 2

b 2＝1，得y 2

＝a 2c 2

b 2，

即y ＝±ac b ，则|AB|＝2ac

b

.

将x ＝a 代入y ＝a b x ，得y ＝a 2b ，则|BD|＝ac b ＋a

2

b .

因为|AB||BD|＝43，所以2ac ac ＋a 2＝4

3，

即

2e e ＋1＝4

3

，解得e ＝2. 8．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝x 3

－3x ＋1，若∀x 1∈[a ，b]，∃x 2∈[a ，b]，使得f(x 1)＝f(x 2)，且x 1≠x 2，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6

【答案】 C

【解析】 令f ′(x)＝3x 2

－3＝0，解得x ＝±1，

易得当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(－1,1)时，f ′(x)<0，f(x)在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝3，f(1)＝－1，作出函数f(x)的图象如图， 令f(x)＝3，解得x ＝－1或x ＝2， 令f(x)＝－1，解得x ＝1或x ＝－2， 由图象可知，b －a 的最大值为2－(－2)＝4. 二、多项选择题

9．空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[0,50)为优，[50,100)为良，[100,150)为轻度污染，[150,200)为中度污染，[200,250)为重度污染，[250,300]为严重污染．下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论正确的是( )