自动控制原理第八章习题答案

第八章 非线性控制系统分析

练习题及答案

8-2 设一阶非线性系统的微分方程为

3x x x

+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解 令 x

=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()

系统平衡状态

x e =-+011,,

其中：0=e x ：稳定的平衡状态；

1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。

可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-x 时，x t ()→∞。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~x

x 平面上任意分布。

8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1) x x

x ++=0 (5) ⎩⎨

⎧+=+=2122112x x x

x x x

解 （1） 系统方程为

x -2 -1 -1

3 0 13

1 2

x

-6 0 0.385 0 -0.385 0 6 x 11 2 0

1 0

2

11

图解8-1 系统相轨迹

⎩⎨

⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x

令0x x ==，得平衡点：0e x =。 系统特征方程及特征根：

2

1,2

21,21:10,()2:10, 1.618,0.618

()

s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩

稳定的焦点鞍点

(, ) , , x f x x x x dx

dx

x

x x dx dx x x x x x

==--=--==--=-+=αα

β11

1

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

<-=

>--=)

0(11

:II )

0(1

1:

I x x β

αβ

α

计算列表

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a ）所示。

图解8-2（a ）系统相平面图

（5） x

x x 112=+ ① 2122x x x

+= ② 由式①： x x

x 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x x

x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x

110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨

⎧-==--414

.0414

.20122

,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式

x x

dx

dx x x x 1111112===+α x

x 112=-α 计算列表

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（b ）所示。 8-4 若非线性系统的微分方程为

(1) ( .) x x x x x +-++=30502 (2) x xx

x ++=0 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得

(, )( .) . x f x x

x x x x x x x x ==----=-+--305305222 令 x x

110== 得 x x x x +=+=210() 解出奇点 x e =-01,

在奇点处线性化处理。

在x e =0处：

(, )(, ) ()( .) . x f x x x

x f x x

x

x

x x x

x x x x x

x x

x x x x =

⋅+

⋅=--⋅+-+⋅=-+========∂∂∂∂0000001260505

即

. x x x -+=050 特征方程及特征根

s j 12205054

2

0250984,....=±-=± （不稳定的焦点）

在x e =-1处 x x x

x

x x x

x

x x

x 5.0)5.06()21(01

01

+=⋅+-+⋅--==-==-= 即

. x x x --=050 特征根 ⎩⎨

⎧-=+±=718

.0218

.1245.05.022

,1s （鞍点） 概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4（1）所示：

（2） 由原方程

(, ) x f x x

xx x ==-- 令

x x ==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化

( ) x

f x

x f

x

x

x x x x x x

x x

x x x x =⋅+

⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂0000

1

得 x x =- 即

x x +=0 特征根 s j 12,=±。奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解8-4(2)所示。

8-5 非线性系统的结构图如图8-36所示。 系统开始是静止的，输入信号)(14)(t t r ⨯=，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。

解 由结构图，线性部分传递函数为

C s M s s

()()=1

2 得 ()()c

t m t = ① 由非线性环节有

⎪⎩

⎪

⎨⎧III -<+II

>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②

由综合点得