带通抽样定理带通抽样定理
通信原理第5章
(2)
三、实际抽样 ------自然抽样
自然抽样的特点
平顶抽样：
5.2 脉冲编码调制（PCM）
脉冲编码调制(PCM)简称脉码调制，它是一种用一组二进 制数字代码来代替连续信号的抽样值，从而实现通信的方式。 由于这种通信方式抗干扰能力强，它在光纤通信、数字微波通 信、卫星通信中均获得了极为广泛的应用。 PCM是一种最典型的语音信号数字化的波形编码方式。首 先，在发送端进行波形编码(主要包括抽样、量化和编码三个过 程)，把模拟信号变换为二进制码组。编码后的PCM码组的数 字传输方式可以是直接的基带传输，也可以是对微波、光波等 载波调制后的调制传输。在接收端，二进制码组经译码后还原 为量化后的样值脉冲序列，然后经低通滤波器滤除高频分量， 便可得到重建信号 x(t ) 。
1 Ts= 是最大允许抽样间隔，它被称为奈奎斯特间隔，相对 2 fH 应的最低抽样速率fs=2fH称为奈奎斯特速率。
混叠现象
信号的重建
该式是重建信号的时域表达式， 称为内插公式。 它说 明以奈奎斯特速率抽样的带限信号x(t)可以由其样值利用内
插公式重建。这等效为将抽样后信号通过一个冲激响应为
际标准中取μ=255。另外，需要指出的是μ律压缩特性曲线 是以原点奇对称的， 图中只画出了正向部分。
2、A律压扩特性
Ax 1 ln A ,0 x 1 / A z 1 ln( Ax) ,1 / A x 1 1 ln A
• • •
x——压缩器归一化输入电压 z——压缩器归一化输出电压 μ ——压缩器参数
量化的物理过程
q7
x q x q x (t)
q
信号的实际值
6
量化误差
6
信号的量化值
通信原理-调制解调
×
1 2
(1 -
cos
2w0t
)
=
K3 A03 2
sinw0t
-
K 3 A03 4
[sin
3w0t
-
sinw0t]
=
3K3 A03 4
sinw0t
-
K3 A03 4
sin
3w0t
11
总得来说，对单音输入，输出为：
(即傅立叶级数展开形式）
定义全部谐波失真（THD）为：
THD(%) =
¥
åVn2
n=2 ´100 V1
t
27
频谱图m t
由频谱可以看出，AM信号的频谱由
载频分量
t
上A0 边m带t
下边带
三部分组成。
t
上边带载的波频谱结构与原调制
信号的频谱结构相同，下边 t 带是上边带的镜像。
sAM t
H
载频分量
c
上边带
t
下边带
M
H
SAM 载频分量
0
下边带
c
上边带
28
AM信号的特性
带宽：它是带有载波分量的双边带信号，带宽是基带信号带宽 fH 的 两倍： BAM 2 f H
代入上式，得到
h AM
=
< m2(t) > A02 + < m2(t) >
=
Am2 2 A02 +
Am2
当|m(t)|max = A0时（100％调制），调制效率最高，这时
ηmax ＝ 1/3
30
双边带调制（DSB）
时域表示式：无直流分量A0
sDSB (t) m(t) cosct
几种采样方法
带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。
实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。
降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。
在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。
从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。
这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。
这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。
过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。
过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。
设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。
若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。
带通抽样定理教学提纲
带通抽样定理《信号与系统A（2）》课程自学报告实施报告题目：带通采样定理与软件无线电带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率s f 满足条件，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足）3.1-11）综合式（3.1-103.1-12） 这里mH s f f 2≥（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是m 有一个上限，因为mff L s 2≤，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。
因此3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数为1-N ，故有10-≤≤N m综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足mff m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
数字化的重要理论：带通采样定理
数字化的重要理论：带通采样定理
奈奎斯特采样定理
以不低于信号最高频率2倍的采样速率对带限信号进行等间隔采样，得到的时间离散的采样信号能准确的确定原信号。
数学上已证明奈奎斯特采样定理，这里不再详细给出。
这里给出一张图简单说明。
带通采样定理基础
奈奎斯特采样定理讨论的是频谱分布在(0,fH)上的基带信号的采样问题，但是，对于雷达接收机，接收信号大多为调制的射频信号，射频信号的频率上限远高于基带信号的频率上限，但是分布在有限的(fL,fH)范围内。
虽然可以按高于最高频率的2倍进行奈奎斯特采样。
但是，很快就会发现当最高频率远远大于信号带宽B时，如果按照奈奎斯特采样率来采样，则其采样率会非常高，但是其信号带宽并不一定很宽，现实中的A/D难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求，从而催生了带通采样的应用。
带通采样的限制条件
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。
如下图所示，为满足这一条件，可采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
带通采样理论的应用大大降低了所需的采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。
所以，在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。
带通抽样定理
《信号与系统A（2）》课程自学报告实施报告题目：带通采样定理与软件无线电带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率f，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延） 3.1-11）综合式（3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是m 有一个上限，因为mf f Ls 2≤，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。
因此3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数为1-N ，故有10-≤≤N m综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足mff m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
低通与带通抽样定理验证
低通与带通抽样定理验证【分析内容】按照低通抽样定理与带通抽样定理，分别对构造的低通型信号和带通型信号、两种抽样后的信号及滤波重建信号进行时域和频域观察，形象地给出低通抽样定理与带通抽样定理（带通部分选做）。
【分析目的】通过分析验证低通抽样定理与带通抽样定理。
【系统组成】抽样定理实质上研究的是随时间连续变化的模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。
对于低通型和带通型模拟信号，分别对应不同的抽样定理，抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。
对上限频率为f H 的低通型信号，低通抽样定理要求抽样频率应满足： 对下限频率为f L 、上限频率为f H 的带通型信号，带通抽样定理要求抽样频率满足：其中， 为信号带宽，n 为正整数， 。
应该注意的是，当 时，无论带通型信号的f L 和f H 为何值，只需将抽样频率设定在2B ，理论上就不会发生抽样后的频谱重叠，而不像低通抽样定理要求的必须为上限频率的2倍以上。
仿真分析系统将按照图1所示结构创建。
其中，对于恒定频谱的冲激函数，通过低通滤波产生低通型信号，再进行低通抽样；通过带通滤波产生带通型信号，再进行带通滤波产生带通抽样，最后分别滤波重建原始信号。
仿真分析时，设低通滤波器的上限频率为10Hz ，带通滤波器下限频率为100Hz 、上限频率为120Hz ，低通抽样频率选为30Hz ；带通型信号上限频率f H = 6×20=120Hz （B=20Hz ，n=6），带通抽样频率至少应取40Hz ，现取60 Hz的带通抽样频率。
【创建分析】第1步：进入SystemView 系统视窗，设置“时间窗”参数如下：① 运行时间：Start Time: 0秒；StopTime: 0.4秒；② 采样频率：Sample Rate= 10000Hz 。
第2步：在SystemView 系统窗下，创Hs f f 2≥]1[2nk B f s +⋅≥L H f f B -=10<≤k nBf H =冲激函数 发生器 低通 滤波 低通抽样带通 滤波 带通 抽样 低通 重建 带通 重建 图1 仿真分析系统结构图2 SystemView 仿真分析系统建的仿真分析系统如图2所示。
带通采样定理知识讲解
带通采样定理3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+- （3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+ （3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数。
如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥ （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
第3讲信源编码PCM(抽样与标量量化)
x(kTs
)
sin2 fH (t kTs 2 fH (t kTs)
)
重建信号的 内插公式
带通抽样定理：一个受限于
（ fL ，fH）的带通模拟信号，其
带宽为B
=
(
fH
-
fL
)，则f H ： R
B
其中R必为一个正实数，则其可
被表示为R = m + k，fH 其 中R B k为 ( 一m k )B m B k B 个不大于R的最大整数，则m必
fs 2fH
低通抽样定理：一个频带限定在
（0，fHT）s 内12的fH连续模拟信号x(t)，
如果以
秒的间隔对其进
行等间隔抽样，Ts (则t ) x(t)将被所得 到的抽样值完全确定
脉冲序列信 号 ：间隔为Ts的
一串Ts脉(t)冲 ，即(t为kT一s)个周期信号 k
Ts
(f)1
(f
Ts k
kfs)
带在通频抽率样轴定上理延拓
fL、3 fffsfHHs 与2f2(s(m1之fs间mk))B的Bfs关k2系：X0( f
k
)fH
k f2s
fs
2 ffsLm 当当 k2mm3f==sf01s时时B取取2m 的得最最小大值值，，24BB
fs2B2(1k)B2BkB
fHffsLm in f2 s k fH X s2 ((fm ) kk)B fs 2 f(L1 fHm k)B
它的平均功率：
其中p(x)为输入信N 号q的E 概 率eq 2 密 度k M 1x x kk 1(xyk)2p(x)dx
函数，将积分区域分为M个量化
区间：
Sq Eyk2
M k1
xk xk1
带通采样定理和频谱混叠关系
带通采样定理和频谱混叠关系【引言】在数字信号处理领域，通采样定理和频谱混叠关系是两个重要的概念。
通采样定理指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构恢复原始信号。
而频谱混叠则是在采样时没有满足通采样条件导致出现的混叠，即被采样信号的频谱被复制到了不同的频率位置上，影响了信号的恢复。
本文将详细介绍通采样定理和频谱混叠关系，并给出相关例子分析。
【正文】在信号处理中，我们经常会遇到连续时间信号采样的问题。
连续时间信号是一种在每个时间点都有定义的信号，而数字信号是在有限的时间范围内离散的信号。
为了将连续时间信号转换成数字信号，我们需要对其进行采样。
通采样定理是由萨奇-托洛茨基（Shannon-Tellegen）在1949年提出的，它指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构来准确地恢复原始信号。
通采样定理的证明思路如下：在连续时间信号中，将其分解成一系列不同频率的正弦波，然后对每一个正弦波进行采样。
根据采样频率和采样周期的关系，可以用离散时间的正弦波去逼近连续时间的正弦波。
这样，我们就可以通过对每一个频率成分都进行采样和重构，来重建原始信号。
然而，在实际应用中，往往无法满足通采样定理的条件，即采样频率必须大于信号频率的两倍，否则就会出现频谱混叠的问题。
频谱混叠是由于原始信号频谱被复制到了不同的频率位置上而产生的，这会导致重构的信号不再准确。
具体来说，当采样频率小于信号频率的两倍时，原始信号的高频部分会被复制到低频部分的位置上，从而导致低频成分在频谱中出现了多余的能量。
为了更好地理解频谱混叠的问题，我们可以通过一个简单的例子进行分析。
假设原始信号的频率为10Hz，采样频率为15Hz。
根据通采样定理，我们应该至少以20Hz的频率进行采样。
然而，由于采样频率小于信号频率的两倍，就会出现频谱混叠。
首先，我们可以将原始信号表示为一个简单的正弦波：x(t) = sin(2π10t)。
带通采样定理 matlab
带通采样定理一、引言1.1 背景在数字信号处理和通信系统中，采样是将连续时间信号转化为离散时间信号的过程，是数字信号处理中的重要环节。
然而，采样过程中可能会出现混叠现象，即高频信号被混叠到了低频信号中，影响了采样信号的质量。
1.2 问题为了消除混叠现象，需要理解并正确应用带通采样定理。
带通采样定理是说当信号的带宽小于采样频率的一半时，能够完美重构原始信号。
在本文中，我们将介绍带通采样定理以及如何在Matlab中使用它。
二、带通采样定理概述2.1 什么是带通采样定理带通采样定理，也称为奈奎斯特采样定理，是Shannon在1949年提出的一个重要定理。
它指出，对于连续时间信号，如果信号的带宽不超过采样频率的一半，那么我们可以通过离散时间采样来完美重构原始信号。
2.2 带通采样定理的数学表示数学上，带通采样定理可以用下面的公式表示： [f_s 2f_m] 其中，(f_s) 是采样频率，(f_m) 是信号的最高频率成分。
2.3 带通采样定理的原理带通采样定理的基本原理是通过进行足够高的采样频率，能够保留原始信号的重要信息，从而恢复原始信号。
当信号的带宽超过采样频率的一半时，采样结果会发生混叠，导致原始信号无法完美重构。
三、Matlab中的带通采样定理实现3.1 生成信号首先，我们需要生成一个连续时间信号。
在Matlab中，我们可以使用sin函数来生成一个正弦信号。
例如，我们生成一个频率为5Hz的正弦信号，并设定采样频率为20Hz。
fs = 20; % 采样频率fm = 5; % 信号频率t = 0:1/fs:1; % 时间段x = sin(2*pi*fm*t); % 生成正弦信号3.2 进行带通采样接下来，我们可以使用Matlab中的resample函数来进行带通采样。
resample函数可以将信号的采样频率转变为我们需要的频率，同时进行插值和抽样操作。
我们可以将采样频率设置为满足带通采样定理的条件。
fs_new = 2*fm; % 新的采样频率t_new = 0:1/fs_new:1; % 新的时间段x_new = resample(x, fs_new, fs); % 带通采样3.3 重构信号最后，我们可以使用插值方法来重构信号。
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在0,H f 的基带信号的采样问题;作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号;射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限;这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率这是现实中的A/D 难以实现的;这时,低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求;带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础,下面给出定理; 带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内,如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ 2-1 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数0,1,2…,则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t ;带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号,而不允许在不同的频带同时存在信号,否则将会引起信号混叠1;如图所示,为满足这一条件的一种方案,采用跟踪滤波器的办法来解决,即在采样前先进行滤波1 ,也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时,就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上,滤出所感兴趣的带通信号()n x t ,然后再进行采样,以防止信号混叠;这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器;图 带通信号采样式2-1用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式2-2表示： 0214s n f f +=2-2 式中,()0L H f f f =+,n 取能满足2s f B ≥B 为频带宽度的最大正整数;当频带宽带B 一定时,为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率2s f B =,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=;也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍; 带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率,为后面的实时处理奠定了基础;但是从软件无线电的要求来看,带通采样的带宽应是越宽越好,这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性,在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少,有利于简化系统设计;另外,当对于一个频率很高的射频信号采样时,如果采样频率设的太低,对提高采样量化的信噪比是不利的;所以在可能的情况下,带通采样频率应该尽可能选的高一些,使瞬时采样带宽尽可能宽;但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高;因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹;实际对单信号采样时采样率是不高的;所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的;多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据;二、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz,带宽为2MHz 的带通信号：fc0=100e6; //中频频率fc1=99e6; //信号一的频率fc2=101e6; //信号二的频率fs1=3e6; //欠采样的采样频率fs2=4e6; //临界采样采样频率fs3=6e6; //大于2倍带宽的采样速率f0=250e6 //用以模拟连续信号的离散信号采样速率远大于nyquist率t=0:1/f0:1e-6;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;待采样信号的波形和频谱如图所示：图1 原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样,得到的三个信号及其幅度谱如图所示：1）欠采样条件下得到的采样信号：图2 欠采样信号的波形及幅度谱2 临界采样：图3 临界采样信号的波形及幅度谱3）满足采样条件的采样信号图4 正常采样信号的波形及幅度谱三、信号重建1设计通带为99～101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器,滤波器的设计过程及幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';图1 滤波器的幅度响应2将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器,即上述的巴特沃兹一型滤波器,得到的结果如下：图2欠采样恢复图3 临界采样恢复图3 正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时,从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同,缺少了原信号的部分信息;而临界采样信号的恢复,在信号周期上有一定的变化,比原信号的信息有所丢失;正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱;但由于所选取信号长度的问题,没能恢复全部信号,但这已经能够证明带通采样定理的正确性,即采样后的信号没有丢失原信号的信息;附:%′í¨2éù¨àíμé%%′í¨DDμêafc=100MHz,Doμêaf1=99MHzoíf2=101MHz%%2éùùê·±ea3MHz4MHz6M Hz%%%%% B=2MHz,àíéμ±2éùμê′μt±′íê±￡oDoμμ×2áìμt￡%%%%clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %Do1μμêfc2=101e6; %Do2μμêfs1=3e6; %μíóút±′íμ2éùμêfs2=4e6; %áù2éùμêfs3=6e6; %′óóút±′μ2éùμê f0=250e6;%±íê-Doμ2éùμê￡±è2éùμêòêyá%%%μíí¨2éù¨àíμ2éù×÷a-￡aDo%%%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6f0;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure1;subplot2,1,1;plott,xt0;title'′y2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjw0=fftxt0,N;absy0=absyjw0;f=0:N-1f0/N;subplot2,1,2;plotf,absy0;title'′y2éùDoμ×'xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíμ·2éù2¨D°μ×%%%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5fs1;xts1=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure2;subplot2,1,1;plott,xts1;title'·2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws1=fftxts1,N;absys1=absyjws1;f=0:N-1fs1/N;subplot2,1,2;plotf,absys1;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'·2éùDoμ×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíáù2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5fs2;xts2=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure3;subplot2,1,1;plott,xts2;title'áù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws2=fftxts2,N;absys2=absyjws2;f=0:N-1fs2/N;subplot2,1,2;plotf,absys2;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'áù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′óóúáù2éùμêμ′í¨2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5fs3;xts3=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure4;subplot2,1,1;plott,xts3;title'′óóúáù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws3=fftxts3,N;absys3=absyjws3;f=0:N-1fs3/N;subplot2,1,2;plotf,absys3;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'′óóúáù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';%%%·2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure7;yrets1=filterb,a,xts1;plotyrets1;title'·2éù′'%%%%%áù2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure8;yrets2=filterb,a,xts2;plotyrets2;xlabel't';ylabel'xt_rebuild';title'áù2éù′'%%%%%%ú×2éù¨àíDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure9;yrets3=filterb,a,xts3;plotyrets3;xlabel't';ylabel'xt_rebuild'; title'y3￡2éù′'。
抽样定理简介
出在一根模拟传输线上传输信号时，当抽样率大于一定值后， 可以近乎无失真地还原信号。
Kotelnikov（科捷利尼科夫）第一个证明了低通信号和带通信 号的抽样定理。
H.Raabe在博士论文中阐述了抽样定理，后被Bennet引用
1948年
Shanno（香农）引用了Bennet论文，并总结，从而被广泛接 受。同期的Someya（日本人）在《信号传输》中阐述了抽样 定理，所有也叫Someya抽样定理。
物联网技术基础知识系列 ——抽样定理简介
Dr. SHEN
连续信号的抽样定理
模拟 信号
A/D D/A
数字 信号
问题1
采样(抽样)：将连续信号转换为离散信号，便于采 用数字系统进行处理.连续信号被取样后，是否保 留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从 取样的信号还原出原始信号？
函数插值重建
采样信号
冲激函数序列在实际中无法取得，实际中，采用周期 脉冲抽样，其抽样结果为
fs (t) f (t) PTs (t)
下面分析 fs (t) 中是否包含 f (t) 的全部信息
PTs
(t)
2
Ts
n
Sa
ns
2
(
ns )
F[
fs (t)]
1
2
F
f
(t) F PTs
(t)
F[
fs (t)]
1
2
F (
域
域
抽
周
样
Ts
相
s
卷
s
期 重
复
乘
积
信号恢复
fs (t)
fs (t) 理想低通 f (t)
滤波器h(t)
f (t)
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++（2-1） 式中,n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1]，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2） 式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
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第五章 模拟信号的数字化传输
• 模拟信号的数字传输简介
– 抽样、量化、编码
• • • • •
模拟信号的抽样 模拟信号的量化 脉冲编码调制PCM DPCM与DM调制* 时分复用TDM原理*
抽样定理
抽样定理：
fs 2 fH
一个频带限制在(0, fH)赫内的时间连续信号m(t)， 如果以 Ts≤1/2fH秒的间隔对它进行等间隔（均匀）抽 样，则m(t)将被所得到的抽样值完全确定。
~ (t ) m S
低通滤 波器
~ (t ) m
1 M ( ) * T ( ) M s ( ) 2 1 1 M ( ) M ( 2n s ) T T n
n 0
T (t )
恢复
m(t)
t
M ( )
H
H
2 T
(t )
T
如果：
0 T ( )
抽样定理适用随机信号
随机基带信号若为广义平稳的，若 其功率谱密度函数限带于fH内，可以证 明，若抽样间隔不大于1/2fH秒，则可通 过一截止频率为fH的理想低通滤波器， 输出的信号与原广义平稳的随机基带信 号均方误差为0。
实际抽样中的抽样保持
ms ( t )
t
m( t )
T
ms( t )
(t )
t
ωs 2ωH
fs 2 fH
m s (t )
t
M S ( )
若fS<2fH（T>1/2fH）会产生混 叠失真。 T=1/2fH是的最大间 隔，被称为奈奎斯特间隔。
H H
2 T
抽样定理（频谱混叠）
抽样定理
m( t )
fs 2 fH
重建原始信号：
抽样
T (t )
mS (t )
能否降低抽 样频率？
-fH
fH fs2fH
带通抽样定理
模拟 m(t) 信号是最高频率为 fH ，带宽为 B的带通型信 号时，可表示为：
f H nB kB
0 k 1
能恢复出带通信号m(t)的最小抽样频率为：
k f s 2 B(1 ) n
2B f s 4B
带通抽 样定理
模拟信号m(t)是窄带信号，即fH>>B时，能恢复出 窄带信号的最小抽样频率为：
M ( )
H ( )
脉冲形 成电路
M ( )
H
平顶抽样信号产生
M ( )
H
1/H ( )
M ( )
S
低通滤 波器
平顶抽样信号恢复
m S ( t ) m( t ) T （t） m( t ) ( t nT )
n
m( t )
mS (t )
~ (t ) m S
低通滤 波器
~ (t ) m
抽样
T (t )
恢复
抽样定理
m( t )
fs 2 fH
抽样定理：
抽样
mS (t )
~ (t ) m S
低通滤 波器
~ (t ) m
ms (t ) m(t ) T (t )
2 T (t ) T ( ) T ( n S ) T n 1 M ( ) * T ( ) M s ( ) 2 1 1 M ( ) M ( 2n s ) T T n
模拟信号的数字化传输
抽样与量化
通信原理第十三讲
第五章 模拟信号的数字化传输
• 模拟信号的数字传输简介
– 抽样、量化、编码
• • • • •
Hale Waihona Puke 模拟信号的抽样 模拟信号的量化 脉冲编码调制PCM DPCM与DM调制* 时分复用TDM原理*
模拟信号的数字化传输
信息源 调制器 信道 解调器 信宿
模拟 信息源 m(t)
抽样、量化 和编码
数字 通信系统
译码和低 通滤波 m(t) 模拟随机信号
模拟随机信号
{sk} 数字随机序列
{sk} 数字随机序列
数字通信
模拟信号的数字化
抽样： 量化： 编码：
7 6 5 4 3 2 1 0 000 011 011 011 100 101 110 111 111 111 111 110 101 011 010
~ (t ) m S
低通滤 波器
~ (t ) m
恢复
信号通过理想低通滤波器
ˆ ( ) 1 M ( ) H ( ) M S T
H
1, H H ( ) 0, H
1 sin H t ˆ ( t ) h( t ) m S ( t ) m m( nT ) ( t nT ) T H t n 1 sin H ( t nT ) m( nT ) T n H ( t nT )
n 0
T (t )
恢复
m(t)
t
M ( )
H
H
2 T
(t )
T
0 T ( )
t
m s (t )
t
M S ( )
s 2 H
fs 2 fH
H H
2 T
抽样定理
fs 2 fH
抽样定理
m( t )
fs 2 fH
频谱混叠的发生
抽样
mS (t )
m(t )
t
抽样函 数
带通抽样
• 实际中遇到的许多信号是带通型信号。如果采用低通 抽样定理的抽样速率 fs≥2fH ，对频率限制在 fL 与 fH 之 间的带通型信号抽样，肯定能满足频谱不混叠的要求。 但这样选择 fs 太高了，它会使 0~fL 一大段频谱空隙得 不到利用，抽样后的信号速率很高，降低了信道的利 用率。
2.1 0 0 f S 2 .1 1 1 2.3 3 3 f S 2 .3 7 5 2.6 2 5 f S 2 .7 1 4 2.8 5 7 f S 3 .1 6 7 3.5 0 0 f S 3 .8 0 0
-fH fH -fH fH
2 fH 2 fL fL fS 1 n n1 n B
f s 2B
带通抽样定理
fS
4B
k 1 n
k 1 n 2
3B
k 1 n 3
k 1 n 4
k 1 n 5
k 1 n 7
2B 窄带高频信号fS 2B
B
0 B
B 2B
2B 3B
3B 4B
4B 5B
5B 6B
6B 7B
fL fH
-fH
fH
带通抽样定理例题
例题：有一带通信号，其频谱在9.5k~10.5k， 试问，在 4kHz范围内，可以使用哪些采样频 率而不引起频谱混叠，最低采样频率是多少， 规律是什么？