大学物理第5章角动量守恒定律刚体的转动
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
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方向垂直于轴,其效果是改
变轴的方位,在定轴问题中,
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩,,其效表果为代是数改变量绕:轴M 转z 动 状r态,F
即: i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项:
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动,与参考点O的选择无关,
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio : : rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向,角速度 表示为代数量,则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为:
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体:
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解:以距中心 r,厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
5-刚体的定轴转动
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L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因,可能
1)F=0(不受外力) 2)外力作用于转轴上 3)外力作用线通过转轴
4)外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置,求它由此下摆角时的角速度。
解:如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为:
O
M = gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d= m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,(已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例:已知圆盘
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
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刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支,主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中,角动量的守恒定律是关键的一条定律,它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体,在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下,绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中,存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化,通常用符号θ表示;角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率,通常用符号ω表示;角加速度表示单位时间内角速度的变化率,通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用,这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量,它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离,用数学式表示为:τ = F × r其中τ表示力矩,F表示力的大小,r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度,它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质,它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度,用数学式表示为:L = I × ω其中L表示角动量,I表示转动惯量,ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律,它表明在没有外力矩作用的情况下,刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1,在末态时角动量为L2,且没有外力矩作用,则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律,对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中,例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
大学物理第5章刚体的定轴转动
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d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件, c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义,则任意 t 时刻的角速度可写为: d t 150
得到: 转子转数:
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法: 加
质点系运动定理 刚体特性 平动:动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动(平动加转动)
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系, 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下,组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如:车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度:3个
定点转动 刚体运动时,刚体上的一点固定不动,刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动,称作定点转动。
描述定点转动的自由度:3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量: 角坐标
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
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转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支,它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用,其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态,不受到外力的扰动,既不会产生角加速度,也不会改变角速度。
要实现转动平衡,必须满足以下条件:1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动,力矩平衡条件可以表示为:∑M = ∑(r × F) = 0其中,∑表示对刚体上所有力矩求和,r表示作用力的杠杆臂,F表示作用力。
根据力矩平衡条件,可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体,重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时,刚体会不稳定,并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时,稳定平衡会使刚体回复原位置,而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后,不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下,角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体,角动量可以表示为:L = Iω其中,L表示角动量,I表示转动惯量,ω表示角速度。
根据角动量守恒定律,在没有外部力矩作用下,刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘,圆盘质量为M,半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定,使其处于转动平衡状态。
此时,圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上,且没有施加外力矩,所以∑M=0,根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现,圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消,所以圆盘能够保持转动平衡。
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
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第5章 角动量守恒定律 刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么,质点动量与角动量能否同时守恒?試说明之。
答:质点的动量守恒的条件是:当0F =时,p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是:当0M =时,即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时,L =恒矢量。
可见,当0F =时,质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质?答:质点在有心力场中运动时,0,0F M ≠=,则角动量守恒,即:当0M =时,L =恒矢量。
又因为有心力是保守力,则机械能守恒,即:当0ex in nc A A +=时,K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的,地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗?卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系?答:卫星经过近地点和远地点时的速率不一样,由角动量守恒定律得:a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见,速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量是否守恒?对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量是否守恒?对于哪一个定点,它的角动量守恒?答:作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量不守恒;对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量不守恒;对于圆心定点,它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛,抛射角为θ,小球运动过程中,相对于抛射点的角动量如何变化?小球运动到轨道最高点时,相对于抛射点的角动量为多少?答:取抛射点为坐标原点,取平面直角坐标系Oxy ,y 轴正方向向上,则质点的运动方程和速度表达式为:020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ , 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量:()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得:201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时,时刻为:0sin v t gθ=,代入上式得: 小球相对于抛射点的角动量为:320sin cos 2mv L k gθθ=-。
5_5角动量 角动量守恒定律
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第五章 刚体的转动 二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
5 – 5 角动量守恒
L=
∑ m i ri v i
i
= ( ∑ m i ri )ω
2 i
ω
v ri
mi
z
L = Jω
2 刚体定轴转动的角动量定理 d L d ( Jω ) M = = dt dt
O
v vi
∫t1
t2
M d t = Jω 2 − Jω1
非刚体定轴转动的角动量定理
∫
t2
t1
Mdt = J 2ω 2 − J1ω1
5 – 5 角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定理
第五章 刚体的转动
∫
t2
t1
Mdt = Jω2 − Jω1
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M = 0 ,则 L = Jω = 常量 讨论 不变, 不变; 不变. 若 J 不变, 不变;若 J 变, 也变,但 L = Jω 不变 ω ω 也变, 内力矩不改变系统的角动量. 内力矩不改变系统的角动量 在冲击等问题中 冲击等问题中 守 恒条件
5 – 5 角动量守恒
第五章 刚体的转动
冲量、动量、动量定理. 力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理 冲量矩、角动量、 力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、 角动量定理. 角动量定理
v v 2 质点运动状态的描述 质点运动状态的描述 p = m v E k = m v 2 v v 刚体定轴转动运动状态的描述 刚体定轴转动运动状态的描述 L = Jω Ek = Jω 2 2 v v v v ω ≠ 0, p = 0 ω = 0, p = 0
vM = (2 gh)
l u= ω 2
5.5 定轴转动刚体的角动量守恒
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解:1)杆 + 子弹:竖直位置,外力(轴 O 处的 力和重力)均不产生力矩,
故碰撞过程中角动量守恒:
O
2l 1 2l 2 2 mo [ M l m ( ) ] 3 3 3
2l 3
6m o 解得: l (3 M 4m )
系统的动量守恒吗?
mo A
18
5.5 角动量守恒定律
同高从静止 开始往上爬
28
5.5 角动量守恒定律
讨 论 : 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o'
T
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 动量守恒; 动量不守恒; 角动量守恒; 角动量守恒; 机械能不守恒。 机械能不守恒。
圆锥摆系统 动量不守恒; 角动量守恒; 29 机械能守恒。
2)杆在转动过程,机械能守恒:
1 1 2l 2 2 l 2l 2 [ M l m ( ) ] Mg mg 2 3 2 3 3 O l 2l 零势面 M g co s - m g co s 2l 2 3 3 6m o 由前: mo A l(3 M 4m ) 2l 2 ( mo ) 3 cos 1 1 2l 2 l 2l 2 2 [ Ml m ( ) ]( Mg mg ) 19 3 3 2 3
考虑到
7lg 12v0 dr g cost cos( t) dt 2 24v0 7l
t
27
5.5 角动量守恒定律
讨论
质点系 忽略轮、绳质量及轴摩擦。
,系统受合外 若 力矩为零,角动量守恒。
刚体的转动定律
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6
例2、求质量为 , 、求质量为m, 长度为l的均匀细棒 的均匀细棒, 长度为 的均匀细棒, l/2 h 对下列转轴C、 、 对下列转轴 、G、H H G C 的转动惯量。 的转动惯量。 设棒的线密度为λ, 解:设棒的线密度为 ,由转动惯量的定义式 2 J = ∫ x λdx 对C点: 点
1 3 2λ l 3 ml 2 J C = x λdx = λx = ( ) = 3 3 2 12 −l / 2 −l / 2
θ
dω dω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ
得
两边乘以dθ后积分得: 两边乘以 后积分得: 后积分得
1 2 3g cosθ 3g sin θ ∫ ωdω = 2 ω = ∫ 2l dθ = 2l 0 0
ω=
3g sin θ l
用能量守恒原理也可以解出ω 用能量守恒原理也可以解出 下降时重力做的功为: 由于均匀细棒的质心在 l/2 处,下降时重力做的功为: 下降时重力做的功为
在机械能守恒定律中, 在机械能守恒定律中,刚体定轴转动的动能由上式 12 计算。 计算。
的均匀细直棒, 例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒,其一端有一固定的光 滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。 滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 角时的角加速度和角速度。 置,求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 解:棒下摆为加速过程,外力 棒下摆为加速过程, 矩为重力对O的力矩。 矩为重力对O的力矩。 在棒上 取质元dm,当棒处在下摆θ角时, dm,当棒处在下摆 取质元dm,当棒处在下摆θ角时, 质元的重力为: 质元的重力为: dM=ldm g sin(900-θ) =λgldlcos(θ)
dt
角加速度 切向加速度为
大学物理第五章刚体力学1
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机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一,对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用,则其动能和势能之和保持不变。这意味着,如果刚体的动
能增加,则其势能必定减少,反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ),其中A为振幅,ω为角频率,φ为初相角。
THANK YOU
感谢聆听
转动惯量的计算
对于细长均匀杆,转动惯量I=mr^2/2;对于质量均匀分布的圆盘, I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体, 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型, 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述,其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度,用矢 量表示,单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外,刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ,刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能
大学物理力学第五章2刚体功和能、角动量
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J12
Ek 2
Ek1
A Ek2 Ek1
M、ω1、 ω2是对于同一转轴的!
4、刚体对地面的重力势能:
Ep
mi ghi g
mi hi
Δmi C×
质心高度:
hc
mi hi m
EP mghC
hC
hi
Ep= 0 视为质量集中到质心上
5. 机械能守恒
Aex Ain,nco 0
E E0
M rmg sin rmg R L sin L
Ωdt
Mdt
R
L
θ
Ω 1
摩擦 倒下
Jω
o mg
1、已知m1,m2 ,M1,M2,R1,R2 且m1> m2 试由牛顿运动
定律和转动定律写出系统的运动方程,求m2 的加速度和
张力T1 ,T2 , T3 。 解:设m2的加速度大小为a,方向向上,
M
l / 2 l / 2
dM
20l /2 gxdx
1 mgl
4
始末两态的角动量为: L0 J 0 , L 0
由角动量定理:
t
t0
Mdt L L0
0t
1 mgldt
4
0 J 0
1 mglt
4
1 12
ml
20
0 m ,l o dm l / 2
t l0 3 g
l/2
x dx x
当系统中只有保守力作功,其它力与力矩不 作功时,物体系的机械能守恒。
例1:一均匀细杆质量为m,长度为l,一端固定在
光滑水平轴上,由静止从水平位置摆下,求细杆摆
到铅直位置时的角速度。 棒上重力矩之和等于全部重
解(一):应用动能定理 力集中于质心对轴的力矩
大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011
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vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
P 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同; 方位不变,故 , 只 有沿轴的正负两个方向, 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmj
质元
Δmi
r ij
2. 刚体的运动形式: ⑴平动: 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表,通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位:rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
5.当角加速度是常量时: 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
大学物理角动量守恒与刚体的定轴转动
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可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)
(4)以上结果都不对。
小议分析
质点系 若 T1 T2
系统的末 态角动量 忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零,角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱,两人等速上升。
得
若 同高从静态开始 往上爬
系统受合外力矩不为零,角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。
某过程角动量守恒要求整个过程的每个瞬间的系统角动量 保持不变。 角动量守恒条件是合外力矩始终为零,而非冲量矩为零
(只要初末状态角动量相等)
O
m
t2
b
O
t1
M dt L2 L1
以O’为参考点,球运动一周,始末状态角动量 相等,但是这个过程角动量不守恒。
L mvb
π (b与v夹角为 ) 2
( e)
( e)
外力矩:系统所受外力对质点i 的
力矩
量定理
对其中的一个质点i而言:
Li ri Fi ri (Fi (i ) Fi (e) ) Mi (i ) Mi (e)
对整个质点系而言:
(i ) (e) dLi dL (i ) (e) ri ( Fi Fi ) M i M i dt dt i i i i
质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量. 这是质点角动量定理的积分形式
大学物理力学第五章1刚体、转动定律
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(12)
例1、如图所示,A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑
轮.A滑轮挂一质量为M的物体,B滑轮受拉力F,而且
F=Mg.设A、B两滑轮的角加速度分别为βA和β B,
不计滑轮轴的摩擦,则有
(A) β A= β B. (B) β A> β B. (C) β A< β B. (D) 开始时β A= β B,以后β A< β B.
转动惯量的计算
1)定义 J miri2
J r 2dm
i
m
2) 对称的 简单的 查表
3) 平行轴定理
典型的几种刚体的转动惯量
m
m
l
细棒转轴通过中 心与棒垂直
J ml 2 12
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
J ml 2 3
M,R
M,R
o
圆环转轴通过环心与环面垂直
J MR2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
以 m1 为研究对象 m1g T1 m1a 以 m 2 为研究对象 T2 m2a 以 M 为研究对象
(T1 T2 )R J J 1 MR 2 2
m 2 T2 M , R
(1) T1
T1
(2)
m1
m1
M ,R
m1g (3)
T2
m2
T2
T1
补充方程:
a R
(4)
联立方程(1)---(4)求解得
J 1 MR 2 2
m 2r
r l
球体转轴沿直径
J 2mr 2 5
圆柱体转轴沿几何轴
J 1 mr 2 2
转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体;
3. 分析力和力矩;
大学物理第5章角动量守恒定律
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1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自(2) 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
《大学物理》第五章刚体的定轴转动
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偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。
o
解: 角动量守恒:
30°
mva 1 Ml 2 ma 2
la
3
v
机械能守恒:
1 1 Ml 2 ma 2 2 mga1 cos 30 Mg l 1 cos 30
23
2
v 1 g 2 3 Ml 2ma Ml 2 3ma 2 ma 6
刚体可以看成是很多质元组成的质点系,且在外力 作用下,各个质元的相对位置保持不变。 因此,刚体的运动规律,可通过把牛顿运动定律应 用到这种特殊的质点系上得到。
3
2.刚体的运动
平动:刚体在运动过程中,其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体的平动可看做刚体质心 的运动。
转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
r2dm
L
r2 dl
L
(线质量分布)
12
3 平行轴定理
如果刚体的一个轴与过质 心轴平行并相距d,则质量 为 m 的刚体绕该轴的转动 惯量,等于刚体绕过质心 轴的转动惯量与 md2 之和:
J z Jc md 2
请同学们自己证明平行轴定理的。
提示:利用余弦定理 ri2 ri '2 d 2 2dxi 13
hc hi
若A外+ A内非=0
Ep=0
则Ek +Ep =常量。
例13 一均质细杆可绕一水平轴旋转,开始时处于 水平位置,然后让它自由下落。求: ( )
解 方法一 动能定理
M mg L cos
2
W
Md
mg
L cosd
0
0
2
mg L sin
2
θ
5 刚体的角动量定理和角动量守恒定律
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角动量守恒定律
一.刚体的角动量定理
dL 刚体转动定理的 M dt 可以改写为 Mdt dL
对上式积分,得 式中 t
t2
1
t2
t1
t2 Mdt dL L2 L1
t1
Mdt
叫做合外力矩在
t 2 t1
时间内的冲量矩。上式表明:刚体所受合外力矩 的冲量矩,等于刚体在这段时间内刚体的角动量 的增量,这就是刚体的角动量定理。 在SI制中,冲量矩的单位式 N m s
I1 2kg m2 。 在外力推动后, 此系统开始以 n1 15 转/分转动, 转动中摩擦力矩忽略不计。
2 I 0 . 80 kg m 当人的两臂收回, 使系统的转动惯量就为 2 时, 它的转速 n2
。
光滑的水平桌面上有一长 2l、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中心、垂直于杆的竖直轴自 由转动。开始杆静止在桌面上。有一质量为 m 的小球沿桌面以速度 v 垂直射向杆一端,与 杆发生完全非弹性碰撞后,粘在杆端与杆一起转动。求碰撞后系统的角速度。
2 rel dt
0 T T 0
M 2m M
2M 因此,在此时间内,人相对ห้องสมุดไป่ตู้地面转过的角度为0 d t M 2m
T
M 2m M 2m T dt dt 0 M M
转台相对于地面转动的角度为
T
0
2m T 4m dt dt M 0 M 2m
2
二.角动量守恒定律 由刚体的角动量定理可见,当刚体所受的合外 力矩为零,则
L I 常量
3
上式说明,当刚体所受的合外力矩为零,或者不受外 力距的作用时,刚体的角动量保持不变,这就是角动量 守恒定律。 必须指出,这个定律不仅对一个刚体有效,对转动 惯量I会变化的物体,或者绕定轴转动的力学系统仍然 成立。如果转动过程中,转动惯量保持不变,则物体 以恒定的角速度转动;如果转动惯量发生改变,则物 体的角速度也随之改变,但两者之积保持恒定。 应用角动量守恒定律时,还应该注意的是,一个系 统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固 定轴说的。
第五章刚体定轴转动
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(1
cos
)
1
JHale Waihona Puke 2232arc cos(1
3 4m2l 2
)
例 题 14
14、如图所示,滑轮转动惯量为0.5kg·m2,半径为0.3m,
物体质量为60kg,由绳与倔强系数k=2000N/m的弹簧相
连,若绳与滑轮间无相对滑动, 滑轮轴上的摩擦忽略不计,假设 开始使物体静止而弹簧无伸长。 求:物体下落h=0.4m时的速率 是多大。
v
2
mgl sin 30
0
2 2 2 r
解得: v 2.15m / s
(2)当物体沿斜面下滑到最大距离时,系统静止
kL2 mgL sin 30 2
解得: L 3.16m
Mr ]
R
T
T
a
mg
例题6
6、如图所示,轻绳跨过半径为R具有水平光滑轴、质量 为M的定滑轮;绳的两端分别悬有质量为m1和m2物体 (m1<m2),绳与轮之间无相对滑动,滑轮轴处的摩擦不 计;设开始时系统静止,求滑轮的角加速度α及物体的
加速度a ?
M
R
m2 m1
解:受力分析如图, m1、m2利用牛顿第二定律:
m2 )r2 2
例题9
9、如图所示,质量为m,长为l的均匀细杆,可绕一端 光滑的水平轴在竖直面内转动( J 1 ml 2),求(1)杆
从水平位置摆下角 ( < 90 o ) 时的角速3 度(分别用转动
定律和机械能守恒定律求解)?(2)细杆的长度缩小 一半时,角速度的大小如何变化?
0
解:(1)方法一:杆、地球组成的系统在下落过程机
第五章 刚体定轴转动 教学基本要求 基本概念 例题分析
5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律
![5.5 刚体定轴转动的角动量守恒定律](https://img.taocdn.com/s3/m/22ac110fc5da50e2534d7f0e.png)
周期约1.19 s
脉冲星的精确周期性信号
J z const .
星体不被惯性离心力甩散,必须满足条件:
GM 4 2 3 R , ( M R ) 2 3 R
3 2 3 11 3 10 kg / m 4 G GT 2 3 3
恒星 红巨星 中子星 脉冲星是高速旋转的中子星。
5.5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一、角动量定 理 质点系 对点 对轴 刚体
M外
dL dt
Lz J z
M 外z dLz dt
d ( J z ) Mz dt
刚体的角动量定理
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
d ( J z ) Mz dt
M 外z 0
J z
t2 M 外z t1
d t J z 2 J z 1
——刚体定轴转动的角动量定理
【例题】一质量为 m 的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失 3/4,求子弹穿出后棒的角速度 解:棒对子弹的阻力为 f
M
l
对子弹 fdt m( 0 ) m0 4
Fe 7.8 10 kg / m 白矮星 黑洞
三、角动量定理的另一形式 对点
M外
冲量矩
t2 M外 t1
dL dt
M外 d t d L
d t L2 L1
t2
t1
M 外 d t 力矩对时间的积累效应
刚体定轴转动
d ( J z ) Mz dt
子弹对棒的反作用力
m
f3Leabharlann 对棒的冲量矩0
3 f ldt l f dt l fdt lm0 J 4 9m0 3 lm0 4J 4Ml
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大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动
5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么,质点动量与角动量能否同时守恒?試说明之。
答:质点的动量守恒的条件是:
当0F =时,p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是:
当0M =时,即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
时,L =恒矢量。
可见,当0F =时,质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质?
答:质点在有心力场中运动时,0,0F M ≠=,则角动量守恒,即:
当0M =时,L =恒矢量。
又因为有心力是保守力,则机械能守恒,即:
当0ex in nc
A A +=时,K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的,地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗?卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系?
答:卫星经过近地点和远地点时的速率不一样,由角动量守恒定律得:
a a
b b r mv r mv = a b b a
v r v r ∴= 可见,速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量是否守恒?对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量是否守恒?对于哪一个定点,它的角动量守恒?
答:作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量不守恒;对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量不守恒;对于圆心定
点,它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛,抛射角为θ,小球运动过程中,相对于抛射点的角动量如何变化?小球运动到轨道最高点时,相对于抛射点的角动量为多少?
答:取抛射点为坐标原点,取平面直角坐标系Oxy ,y 轴正方向向上,则质点的运动方程和速度表达式为:
020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭
, 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量:
()()
x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得:
201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时,时刻为:0sin v t g
θ=,代入上式得: 小球相对于抛射点的角动量为:320sin cos 2mv L k g
θθ=-。
5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究?
答:由于刚体平动时,各点的运动状态相同,则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动,所以刚体的平动可用质点运动来描述。
5-7如果刚体所受的合外力为零,其合外力矩是否也一定为零?如果刚体所受合外力矩为零,其合外力是否一定为零?
答:如果0i i F =∑,但力不共轴,则力矩不为零0i i M ≠∑。
如果0i i M =∑,但力方向相同,则力不为零0i i
F ≠∑。
5-8 在某一瞬时,如果刚体受到的合外力矩不为零,其角加速度可以为零吗?其角速度可以为零吗?
答:由刚体的转动定理:M J β=
当0,0M J ≠≠时,则0M J
β=≠ 可见,力矩与角加速度有关,力矩与角速度无关,所以角速度可以为零。
5-9 两个同样大小的轮子,质量也相同。
一个轮子的质量主要集中在轮緣,另一个轮子的质量主要集中在轮轴附近。
问:
(1)如果它们的角速度相同,哪一个飞轮的动能较大?
(2)如果它们的角加速度相等,作用在哪一个飞轮上的力矩较大?
(3)如果它们的角动量相等,哪一个飞轮转得快?
答:质量主要集中在轮緣的轮子的转动惯量用J A 表示,质量主要集中在轮
轴附近的轮子的转动惯量用J B 表示。
由∑=i
i i r m J 2
Δ可知,J A >J B 。
βJ M =
A 轮相当于圆环,转动惯量 2A J mR =
B 轮相当于圆盘, 转动惯量 212
B J mR = (1)当ω一定时,转动动能 2221122
KA A E J mR ωω== 2221124
KB B E J mR ωω== 所以 kB kA E E >
(2)当β一定时,转动定理 2A A M J mR ββ== 212
B B M J mR ββ== 所以 B A M M >
(3)当L 一定时,角动量 2A A A L J mR ωω==
212
B B B L J mR ωω== 2A A L L J mR ω== , 22B B L L J mR
ω== 所以 B A ωω<
5-10 将一个生鸡蛋和一个熟鸡蛋放在桌子上使其转动,如何判断哪一个是
生的?哪一个是熟的?为什么?
答:转动时,生、熟鸡蛋所受阻力矩相同。
根据角动量定理
00t
Mdt J J ωω=-⎰
停止时,0ω=,则 0J t M
ω∆= 因为熟鸡蛋内部凝固,而生鸡蛋内部不固定,转动惯量随转动而增大,即J J >生熟,
所以t t ∆>∆生熟
生鸡蛋转动时间较长,熟鸡蛋转动时间较短。
5-11 一半径为r 的均质小球,沿两个高度相同,倾角不同的斜面无滑动地滚下,在这两种情况下,小球到达斜面下端的速率是否相同?
答:因为小球只作滚动,没有滑动,故摩擦力不作功,机械能守恒。
221122c c mgh mv J ω=
+ 其中:小球的转动惯量225
c J mr =,质心的速度c v r ω=,代入上式得:
c v ∴= 可见,只要小球从同一高度滚下,与斜面的夹角无关,则小球到达斜面下端时的速率是相同的。
5-12 一个人将两臂伸平,两手各拿一只重量相等的哑铃坐在角速度为ω的转台上(ω为人与转台共同角速度),突然,他将哑铃丢下,但两臂不动,问角动量是否守恒?它们的角速度是否改变?
答:因为0i i
M =∑,所以角动量守恒。
设人和转台的转动惯量为J ,哑铃的质量为m ,手臂的长为l ,开始时角速度为ω,丢掉哑铃时角速度为ω',由角动量守恒得:
()2
2J ml J ωω'+= 221ml J ωωω⎛⎫'∴=+> ⎪⎝⎭
可见,丢掉哑铃后,角速度变大。
5-13 你骑自行车前进时,车轮的角动量指向什么方向?当你的身体向左侧倾
斜时,对车轮加了什么方向的力矩?试根据进动原理说明这时你的自行车为什么要向左转弯。
答:当车轮前进时,角动量L方向与角速度ω方向一致,即:L Jω
=。
当你的身体向左侧倾斜时,对车轮施加了一个进动方向的力矩,即:
c d L
M r mg
dt
=⨯=
力矩改变了角动量的方向,所以自行车就向左转弯。