二次曲线的性质及应用

二次曲线的性质及应用

----研究性学习报告

山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖

指导教师：王学红

摘要

二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。

Abstract

Conics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.

二次曲线的性质及应用

----研究性学习报告

山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖

指导教师：王学红

一、绪论

在我们的生活中，二次曲线无处不在。

车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。这些都给我们留下圆的形象。构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2

从椭圆方程说起

当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任

意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=

,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。因此： 222222222,b a a y b x b a c =+-=

+ =1，当a=b 时方程为圆方程。 类似的，我们也有双曲线——就是到间距为2c 的两交点距离之差为定值2a

的点构成的曲线方程为 ，如图 2l 224c l -22)(c x y ++a

c x y 2)(22=-++22a

x 22

b y 122

22=-b

y a x

这里

是双曲线的虚轴长。我们不难发现，椭圆和双曲线的方程都能写成 的形式（A 、C 至少有一个为正）。

以前我们所熟悉的抛物线 y=kx 2，也是一种二次曲线，它们都是开口向上或

开口向下的，这里我们把它踢倒，让它歪90°，就得到开口向左或向右的抛物

线—— y 2=2px （如图就是一个开口向右的抛物线，但它不是一个函数图像）。

二、二次曲线与二元二次方程

2.1 二次曲线与二元二次方程的关系

二元一次方程表示一次曲线——直线，那么二元二次方程表示什么呢？

有人会说，一定表示二次曲线喽！我们不妨试一试。

我们把圆M ： 经过平移，得到 把它展开后，与一般二元二次方程：

Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0

进行对照，会发现它的限制条件太多了：

首先B 必须为0，而且A 和C 必须相等，且不为0，因为原方程展开后无

xy 项，且x 2和以y 2项系数都为1，无论乘以几都相等，满足这些还不行，D 2+E 2-4AF

必须是正的，否则方程会无解或有唯一解，也就是说方程不表示任何图形，或只

表示一个点（当然“点圆”模型在处理实际问题时也是有用的）……因此，一般二

元二次方程绝不可能只表示圆。

22a c b -=122=+Cy Ax 222r y x =+2

22)()(r n y m x =-+-

我们把刚才得到的二次曲线表达式进行平移改写，椭圆、双曲线

变成 ；抛物线 变成 、

y=kx 2变成 ，把它们展开得到一些方程，都是二元二次方程，

但不是xy 项系数B 等于0，就是x 2 项系数A 或 y 2项系数C 为0，因此一般二

元二次方程也不是只表示上述二次曲线平移后所得的图形。

二元二次方程还有一个重要的东西——准线。

对于椭圆 和双曲线 ，我们作直线l 1：c a x 2=, l 2：c

a x 2

-= ，不难发现椭圆和双曲线上任意一点到焦点的距离与到所作的与焦点同侧的直线距离之比e 都相等，且都等于 ，这时 l 1 和l 2 就是

椭圆和双曲线的准线，e 成为离心率。对于抛物线 也易证抛物线上任意一点到焦点 F 的距离和准线 l ： 的距离相等，即e=1。

这样就有了准线和离心率的定义。这样所有的二次曲线都能表示成为到定点

F 和定直线 距离之比等于e 的所有点构成的曲线。对于椭圆，0

圆就越扁；对于抛物线e=1；对于双曲线e>1。焦点、准线和离心率都确定了，

二次曲线就确定了（圆除外，规定圆e=0,无准线，焦点位于圆心）。

再去看讨论过的二次曲线，不难发现它们的准线都与坐标轴垂直，这就限制

了二次方程系数的取值。我们将二次曲线的准线，焦点和离心率都取任意值，再

试着去求二次曲线的方程：

设二次曲线准线l ：px+qy+s=0，焦点F （m ，n ），离心率为e 。对于二次曲

线上的任意一点P （x ，y ），PF 的长与P 到直线l 的距离之比都是e 。因此：

122=+Cy Ax 1)()(22=-+-n y C m x A px y 22=2)(m x k n y -=-12222=+b y a x 122

22=-b

y a x a c px

y 22=)0,2(p 2p x -=22

2222)()()(e q p s qy px n y m x =+++-+-