高中数学必修5新教学案：3.1不等关系与不等式(1)

必修5 3.1不等关系与不等式（学案）
（第1课时）
【知识要点】
1.不等关系与不等式；
2.用不等式表示实际问题中的不等关系. 【学习要求】
1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；
2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；
3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 72 页～第73页性质1前的内容）
1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？
2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？
3.不等式的定义.
用不等号 表示不等关系的式子叫不等式. 4.不等式a b ≥的含义.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.
6.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果a b -是正数，那么 ；如果a b -等于零，那么 ；如果a b -是负数，那么 .反之也成立，就是 .
（2）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差 的符号，至于差的值是什么，无关紧要. 【基础练习】
1.用不等式表示下面的不等关系： （1）a 与b 的和是非负数；
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”； 2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
3.2003年10月15日9时，我国“神州五号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，实现了中华民族千年的飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家.
“东方红一号”与“神舟五号”部分参数的对比见下表.请把表格补充完整.
4.比较（+3）（-5）与（+2）（-4）的大小.
【典型例题】
例1 如图，()y f x =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系，
()y g x =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.
试问：（1）当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于成本）； （2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）.
例2 比较2
3x +与3x 的大小，其中x ∈R .
例 3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
变式： b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了.
请依据此事实，提炼一个不等式.
1.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设 他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x ，y ，则x ，y 应满足关系式 .
2.205国道临沂段有限速60km/h 的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过60km/h ，写成不等式为 .
3.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是（ ）.
(A)2h >1h >4h (B) 1h >2h >3h (C) 3h >2h >4h (D) 2h >4h >1h
4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C
的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BC
CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则20，30；35，30；55，50
（A ）123x x x >> (B)1x >3x >2x （C ）231x x x >> （C ）231x x x >>
5.一个盒中红、白、黑三种球分别有x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的
1
3
，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（,,x y z ∈N *
）.
6．有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a 、b 的不等式表示出来.
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g 、4g 、3g ，乙种饮料用用奶粉、咖啡、糖分别为4g 、5g 、5g ，已知每天使用原料为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g .写出满足上述所有不等关系的不等式.
8.比较()()15x x ++与()2
3x +
9. 已知0x ≠，比较()
2
2
1x +与421x x ++的大小.
10.已知x >1，比较36x x +与2
6x +的大小.
1.某厂使用两种零件A 、B ，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2500件，月产乙最多1200件，而组装一件甲需要4个A 、2个B ；组装一件乙需要6个A 、8个B .某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个.用不等式将甲、乙两种产品产量的关系表示出来.
必修5 3.1 不等关系与不等式（教案）
（第1课时）
【教学目标】
1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；
2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；
3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.
【重点】 ：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 【难点】 ：使用不等式（组）正确表示出不等关系.
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第 72 页～第73页性质1前的内容）
1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？ (大于、等于、小于)
2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）
3.不等式的定义.
用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 4.不等式a b ≥的含义.
不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确.
5.能否正确对“问题2”和“问题3”列式.（见课本）
6.实数比较大小的依据与方法.
（1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是.（a b ->0⇔a >b ；a b -=0⇔a =b ；
a b -<0⇔a <b ）.
（2）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差a b -的符号，至于差的值是什么，无关紧要. 【基础练习】
1.用不等式表示下面的不等关系： （1）a 与b 的和是非负数；
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”； 解：（1）0a b +≥；（2）4h ≤. 2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用不等式表示上述关系（用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.
解：由题意知501060,501060,
50112602,2,
a b a b a b a b a <+<<+<⎧⎧⇒⇒<+<⎨
⎨-==+⎩⎩
43
4811584
51111
a a ⇒<<⇒<<. 3.2003年10月15日9时，我国“神州五号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，
实现了中华民族千年的飞天梦想，这是自1970年4月4日成功发射“东方红一号”人造卫星以来，我国航天史上又一座新的里程碑，我国已成为继俄、美之后，世界上第三个掌握载人航天技术、成功发射载人飞船的国家.
“东方红一号”与“神舟五号”部分参数的对比见下表.请把表格补充完整.
4.比较（+3）（-5）与（+2）（-4）的大小.
解：（a +3）（a -5）-（a +2）（a -4）=（2215a a --）-()
226a a --=-7<0,
∴（a +3）（a -5）<（a +2）（a -4）. 【典型例题】
例1 如图，
()y f x =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系，()y g x =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系.
试问：（1）当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于成本）；
（2）当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）.
【审题要津】公司的盈亏问题，实质是销售收入与销售成本的问题，找出销售量为多少时，该公司的销售收入与销售成本相等.依据图象容易得到.
解：（1）当销售量大于a 吨时，即x a >时，公司盈利，即()()f x g x >； （2）当销售量小于a 吨时，即0x a ≤<，公司亏损，即()()f x g x <. 【方法总结】正确理解图象所表达的意思是解决该问题的关键. 例2 比较2
3x +与3x 的大小，其中x ∈R .
【审题要津】比较2
3x +与3x 的大小，只要作差后判出差的符号即可.
解：()222
2
2
23333333333322244x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=-+=-+-+=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
0>，233x x ∴+>.
【方法总结】两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：
第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
例 3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由.
【审题要津】可先设住宅窗户、地板面积分别为a 、b ，根据问题要求.a b <且
10a
b
≥%， 然后同时增加的面积为m ，得到a m b m +<+，用比较法判断
a m
b m ++与a
b
的大小即可. 解：设住宅窗户、地板面积分别为a 、b ，同时增加的面积为m ，根据问题要求a b
<且
10a b ≥%，由于()()
0,m b a a m a b m b b b m -+-=>++于是,a m a a b m b b +>≥+又10%， 因此
a m a
b m b
+>≥+10%，所以同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了.
【方法总结】解决实际问题的关键，首先要把文字语言转化成数学语言，即将不等关系写成不等式的形式，然后在比较大小.
变式：b 克糖水中有a 克糖（0b a >>），若在添上m 克糖()0m >，问：糖水是否变甜了.
请依据此事实，提炼一个不等式. 解：糖水是变甜了.
若0b a >>，0m >，则a m a
b m b
+>+.
1.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设
他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x ，y ，则x ，y 应满足关系式2520,,.x y x N y N +≤⎧⎪
∈⎨⎪∈⎩
2.205国道临沂段有限速60km/h 的路标，指示司机在此路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过60km/h ，写成不等式为 .（60v ≤km/h ）
3.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.
设剩余酒的
高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是（ A ）
.
(A)2h >1h >4h (B) 1h >2h >3h (C) 3h >2h >4h (D) 2h >4h >1h
4. 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C
的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BC
CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则 ( C )
（A ）123x x x >> (B)1x >3x >2x （C ）231x x x >> （C ）231x x x >>
解：由已知图形知：1321325055,2030.3530
x x x x x x =+-=-+=-+，由此得：23131235,5,x x x x x x x =+=-<<故.
5.一个盒中红、白、黑三种球分别有x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的
1
3
，白球与黑球的个数之和至少为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（,,x y z ∈N *
）.
解：,3255.
x
y z y z ⎧≥≥⎪⎨⎪+≥⎩
6．有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）
是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a 、b 的不等式表示出来.
解：
22
1122
a b ab +>. 7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9g 、4g 、3g ，乙种饮
料用用奶粉、咖啡、糖分别为4g 、5g 、5g ，已知每天使用原料为奶粉3600g 、咖啡2000g 、糖3000g .写出满足上述所有不等关系的不等式.
解：设配制甲种饮料xg ，配制乙种饮料yg .
则943600,452000,353000,0,0.
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ 8.比较()()15x x ++与()2
3x +.
解：()()15x x ++-()2
3x +=()()
22
656940x x x x ++-++=-<.
∴()()15x x ++<()2
3x +.
9. 已知0x ≠，比较()
2
2
1x +与421x x ++的大小.
解：(
)
2
2
1x +-（42
1x x ++）=22
,0,0x x x ≠∴> .
∴(
)
2
2
1
x +>421x x ++.
10.已知x >1，比较3
6x x +与2
6x +的大小.
解：36x x +-（26x +）=()()322
66161x x x x x x -+-=-+-=()()
216x x -+，
()()2321,160,66x x x x x x >∴-+>∴+>+ .
1.某厂使用两种零件A 、B ，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2500件，月产乙最多1200件，而组装一件甲需要4个A 、2个B ；组装一件乙需要6个A 、
8
个B .某个月，该厂能用的A 最多有14000个，B 最多有12000个.用不等式将甲、乙两种产品产量的关系表示出来.
解：设甲、乙两种产品产量分别为x 、y 件，则
02500,01200,4614000,2812000,x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩ 即02500,01200,237000,46000.
x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪
⎨
+≤⎪⎪+≤⎩。