大学物理习题解答8第八章振动与波动(1)

第八章 振动与波动
本章提要
1. 简谐振动
· 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。

· 简谐振动运动方程
()cos x A t ωϕ=+
其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+ϕ）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位ϕ 称为初相位。

· 简谐振动速度方程
d ()d sin x
v A t t
ωωϕ=
=-+ · 简谐振动加速度方程
222d ()d cos x
a A t t
ωωϕ==-+
· 简谐振动可用旋转矢量法表示。

2. 简谐振动的能量
· 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为
212
k E mv =
· 弹簧的势能为
212
p E kx =
· 振子总能量为
P
22222211
()+()221=2sin cos k E E E m A t kA t kA ωωϕωϕ=+=
++
3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。

· 阻尼振动的动力学方程为
22
2d d 20d d x x x t t
βω++= 其中，γ是阻尼系数，2m
γ
β=。

（1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。

（2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。

（3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。

4. 受迫振动
· 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为
22
P 2d d 2d d cos x x F x t t t m
βωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。

· 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。

5. 简谐振动的合成与分解
（1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为
111()cos x A t ωϕ=+ 222()cos x A t ωϕ=+
合振动方程可表示为
()cos x A t ωϕ=+
其中，A 和ϕ 分别为合振动的振幅与初相位
221112212()cos A A A A A ϕϕ=++-
1122
1122
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=
+
（2） 二维同频率的简谐振动的合成
若一个质点同时参与两个同频率的简谐振动，且此两个简谐振动分别在x 轴和y 轴上进行，运动方程分别为
11()cos x A t ωϕ=+ 22()cos y A t ωϕ=+
其合振动方程为
2222121221212
2()()cos sin x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 该为一个椭圆方程，椭圆形状由振幅A 1、A 2及相位差21()ϕϕ-决定。

（3） 二维不同频率的简谐振动的合成
如果两个相互垂直的简谐振动的周期成简单的整数比，合运动的轨迹也是稳定的闭合曲线，这样合成振动的轨迹图形称为李萨如图形。

6. 简谐波
· 若波源作简谐振动，那么当这种振动在介质中传播时，介质中的各点也作与此频率相同的简谐振动，这样形成的波动称为简谐波。

· 简谐波的波动方程
()cos x
y A t u
ω=-
或
2(
)cos t x y A T πλ
=- 或
2()cos x
y A t πνλ
=-
7. 简谐波的能量密度
· 单位体积的介质中波的能量称能量密度，用w 表示，其描述了介质中各处能量的分布情况
222sin E x w A t V u ρω∆∆⎛
⎫=
=- ⎪⎝⎭
· 平均能量密度表示一个周期内能量密度的平均值
0222022
1d 1d 1
2
sin T
T w w t
T x A t t T u A ρωρω=⎛
⎫=- ⎪⎝⎭=⎰⎰ · 波动的能流密度
221
2
I w u u A ρω=⋅=
8. 多普勒效应
· 当观察者或波源相对于传播的介质运动时，观察者接受到的波的频率与波源的频率不同，这种现象称为多普勒效应。

（1） 波源静止，观察者相对于介质运动 观察者接收到的频率为
0011v u v u u vT v ννλ
++⎛⎫
=
=
=+ ⎪⎝
⎭ （2） 观察者静止，波源相对于介质运动
观察者接收到的频率为
11
s s s
v
v v v
u T vT u T v u ννλλ=
=
==---
（3） 波源和观察者同时相对于介质运动 观察者接收到的频率为
00
1s s
v u v u u T v u ννλ++=
=--
思考题
8-1 什么是简谐振动？下列运动哪个是简谐振动？（1）拍皮球时球的运动；（2）人的脉搏运动；（3）一个小球在球形碗底部的微小摆动。

答：简谐振动是物体在回复力（弹性力或准弹性力）作用下的运动。

在运动过程中，平衡位置两侧的回复力方向不同；运动轨迹是正弦曲线
（1） 该现象好象是往复运动，实际上由于在运动过程中重力的方向始终不变，因而不是简谐振动
（2） 运动轨迹不是正弦曲线，不是简谐振动。

（3） 一个小球在球形碗底部的微小摆动时，重力的切向分力起着回复力的作
用是简谐振动。

8-2 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、最大加速度和振动能量都将如何变化？
答：若弹簧振子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变，最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。

8-3 如果不忽略弹簧的质量，一个弹簧振子的振动周期比忽略弹簧的质量时的振动周期是变大还是变小？
答：若不忽略弹簧的质量，弹簧振子的振动周期相对于忽略质量时的周期较大。

8-4 设向右的方向为正方向，试指出在怎样的位置时简谐振动的质点 （1）位移为零；（2）位移最大；（3）速度为零；（4）速度为负最大值；（5）加速度为零；（6）加速度为正最大。

答：（1）考虑简谐振动质点位移表达式
()cos x A t ωϕ=+
可得2
t π
ωϕ+=
时，位移为零。

这时质点在平衡位置。

（2） 同理，当0t ωϕ+=时，位移最大。

这时质点在两侧的端点。

（3） 考虑简谐振动质点速度表达式
()sin v A t ωωϕ=-+
可得0t ωϕ+=时，速度为零。

这时质点在两侧的端点。

（4） 同理，当2
t π
ωϕ+=
时，速度为负最大值。

这时质点从右侧经平衡位
置向左运动。

（5） 考虑简谐振动质点加速度表达式
2()cos a A t ωωϕ=-+
当2
t π
ωϕ+=
时，加速度为零。

这时质点在平衡位置。

（6） 同理，当t ωϕπ+=时，加速度为正最大。

这时质点左侧端点（位移最大）位置。

8-5 弹簧振子的简谐振动方程为)cos(
ϕω+=t A x ，指出振动物体在下列位置时的位移、速度、加速度和所受弹性力的大小和方向：（1）正方向端点；
（2）平衡位置且向负方向运动；（3）平衡位置且向正方向运动；（4）负方向端点。

答：（1）振动物体位于正方向端点的状态如下：
位移最大，方向指向正方向，速度为零，加速度最大、方向指向负方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。

（2）振动物体在平衡位置且向负方向运动的状态如下：
位移为零，速度最大、方向指向负方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。

（3）振动物体在平衡位置且向正方向运动的状态如下：
位移为零，速度最大、方向指向正方向，加速度为零，所受弹性力的大小为零。

（4）振动物体位于负方向端点的运动状态如下：
位移最大、方向指向负方向，速度为零，加速度最大、方向指向正方向，所受弹性力的大小最大、方向指向平衡位置。

8-6 要测定一个未知振动的频率，你有何办法？
答：利用李萨如图形方法：用一个已知频率的振动与未知频率进行合成，只要合成的结果是一个闭合稳定的图形，便可以测定未知振动的频率。

8-7 在波的表达式中，坐标原点是否一定要设在波源的位置？在简谐振动的表达式中有几个独立变量？简谐波的表达式中有几个独立变量？比较两个表达式的意义。

答：在波的表达式中，坐标原点不一定要设在波源的位置。

在简谐振动的表达式中有两个独立变量：x和t。

简谐波的表达式中有三个独立变量：x、y和t。

简谐振动的表达式是描写某一个固定点的振动规律，简谐波的表达式是描写在波转播的介质空间中任意点的振动规律及这些振动之间的相互联系。

8-8 当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u的介质进入波速为3/u的介质后，波的频率和波长如何变化？
答：当频率为ν，波长为λ的一列波由波速为u的介质进入波速为3/u的介质后，波的频率不变，波长为原波长的三分之一。

8-9 弦乐器上的一根弦的音调是靠什么调节的？演奏时一根弦发出不同的音调又是靠什么调节的？
答：弦乐器上的一根弦振动时形成驻波，不同长度，驻波频率不一样，因而发出不同音调。

弦乐器上的一根弦的音调是靠弦的长度来调节，演奏时一根弦发出不同的音调又是靠弦的不同长度来调节。

8-10 在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，接收器接收到的声波是否相同？
答：在声源运动、接收器不动和声源不动、接收器运动两种情况下，如果使运动速度一样，根据多普勒效应公式可知，接收器相当于观察者，所以接受器所接收到的声波的频率是不相同的。

练习题
8-1 如图8-1所示，两个完全相同的弹簧振子，如将一个拉长10cm ，另一个压缩5cm ，然后放手，试问两物体在何处相遇。

解：依题意得两弹簧振子的振动方程
11()cos x A t ωϕ=+ 22()cos x A t ωϕ=+
当
12
x x =时，得
,2,1,0,)21
(=+=+k k t πϕω，两物体在平衡
位置处相遇。

8-2 经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1m/s 2，乘客不会有不舒服的感觉。

若车辆竖直振动频率为每分钟90次，为保证乘客没有不舒服的感觉，车辆允许振动的最大振幅为多少？
解：由已知可得
9023(rad/s)60
π
ωπ⨯=
= 当()ϕω+=t A x cos 时，加速度方程为
()22d cos d 2x
a A t t
ωωϕ==-+
根据题意知，车辆允许振动的最大振幅为A m ，且21m A ω≤ ，则
2
2
11
0011(m)9314m A ω≤
=
=⋅⨯⋅
取等号时是最大振幅。

8-3 放置在水平桌面上的弹簧振子，其简谐振动的振幅A =m 100.22-⨯，周期T = 0.5s ，求起始状态为下列情况的简谐振动方程： （1） 振动物体在正方向端点 （2） 振动物体在负方向端点
（3） 振动物体在平衡位置，向负方向运动 （4） 振动物体在平衡位置，向正方向运动
（5） 振动物体在m 100.12-⨯=x 处，向负方向运动 （6） 振动物体在m 100.12-⨯-=x 处，向正方向运动
解：由于T = 0.5s ，故ππω4/2==T 。

则振动方程为
10cm
5cm m
m
图8-1
002(4).cos x t πϕ=+
由题意得，起始状态为0t =时
（1）002002..cos x ϕ==，即0ϕ=，该状态下的振动方程为
0024.cos x t π=
（2）002002..cos x ϕ=-=，即ϕπ=，该状态下的振动方程为
002(4).cos x t ππ=+
（3）0002.cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=-<，即2
π
ϕ=，该状态下的振动
方程为
002(4)2
.cos x t π
π=+
（4）0002.cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=->，即32
π
ϕ=，该状态下的振动方程为
3002(4)2
.cos x t ππ=+
（5）001002..cos x ϕ==，0080.sin v πϕ=-<，即3
π
ϕ=，该状态下的振
动方程为
002(4)3
.cos x t π
π=+
（6）001002..cos x ϕ=-=，0080.sin v πϕ=->，即43
π
ϕ=，该状态下的振动方程为
4002(4)3
.cos x t ππ=+
8-4 如图8-2所示，一个立方形木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a ，用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分的高度为b ，然后放手让其运动。

试证明，若不计水对木块的粘滞阻力，木块的运动是简谐振动，并求出振动的周期和振幅。

解：取静止木块上端点O 作为坐标原点，向上的方向作为坐标轴正方向，木块以O 中心上下振动，某时刻向下位移为x ，则木块所受合力（即重力与浮力之差）为
F xs g ρ=-
负号表示合力与位移方向相反。

由牛顿第二定律得
g xs t
x
m F ρ-==22d d
由题意知
ρas m =
则
22d x
as xs g dt
ρρ=-
联立①②③得
22d x g
x dt a
=- 因此，由④可得木块的运动为简谐振动，且振动周期为
2a
T g
π
= 振幅为
A b a =-
8-5 一个质量为5g 的物体作简谐振动，其振动方程为
3654cos x t π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
求：（1）振动的周期和振幅；（2）起始时刻的位置；（3）在1s 末的位置；（4）振动的总能量。

解：（1）由已知振动方程可得振动振幅为
6(cm)A =
振动周期为
22
04(πs)5
T π
πω=
==⋅ （2） 振动起始时刻即0t =时的位置为
)cm (24.4)4
3
cos(6-==πx
（3） 在1s 末的位置，即1t s =时的位置为
a
b
图8-2
① ②
③
④
3
6(51)285(cm)4
cos .x π
=⨯+=
（4） 振动总能量为
22411
22510(J)22
max E KA mv -=
==⋅⨯
8-6 一个简谐波的波形曲线如图8-3所示。

在该时刻波形曲线上各质点的振动方向如何？经过1/4周期后，该波形曲线形状如何？
解：将0t =时的波形图向x 正向平移4T x u
∆=，则得到4
T
t =时的波形曲线。

8-7 波源作简谐振动，其振动方程为3410240(m)cos y t π-=⨯，它所形成的波以30m/s 的速度沿一条直线传播。

（1）求波的周期和波长；（2）写出波动方程。

解：根据题意得该简谐波方程为
3334102404102403041021
11204cos ()cos ()cos x y t u x
t t x πππ---=⨯-=⨯-⎛⎫ ⎪
=⨯- ⎪
⎪⎝⎭
（1） 该简谐波的周期为
1
00083(s)120
T =
=⋅ 波长为
1
025(m)4
λ=
=⋅ 图8-3
（2） 3410240()30
cos x y t π-=⨯-
8-8 有一个沿x 轴正方向传播的平面波，波速1m/s u =，波长004m .λ=，振幅003m .A =。

若以坐标原点O 处的质点恰在平衡位置且向负方向运动为计时起点，试求：（1）此平面波的波动方程；（2）距原点1005m .x =处质点的振动方程和该点的初相位；（3）在3s t =时，距原点20045m .x =处的质点的位移和速度。

解：依题意得，此平面波的周期为
004(s)T u
λ
=
=⋅
角频率为
-1250(rad s T
π
ωπ=
=⋅） （1） 由于坐标原点O 处的质点恰在平衡位置且向负方向运动为计时起点，则初相位为2/πϕ=，故平面波的波动方程为
()cos 0035022cos x y A t t x u ππωπ⎡⎤⎛⎫⎡
⎤=-+=⋅-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
（2） 求距原点1005m .x =的质点振动方程，可把1005m .x =代入波动方程得
()003500052003(502)
00350cos cos cos y t t t
πππππ⎡
⎤=⋅-⋅+⎢⎥
⎣
⎦=⋅-=⋅ 该点的初相位为0ϕ=
（3） 当3s t =时，距原点20045m .x =处的质点的位移为
7
003(503)00212(m)4
cos y ππ=⋅⨯-=⋅
该质点的速度为
-17003505034333(m s )
sin y v t
πππ∂=
∂⎡
⎤=-⋅⨯⨯-⎢⎥⎣
⎦=-⋅⋅
8-9 有一个波在介质中传播，其波速210m/s u =，振幅41010m .A -=⨯，频率310Hz ν=。

若介质密度为3kg/m 800=ρ，求：（1）波的能流密度；(2) 1min 内垂直通过截面42410m S -=⨯的总能量。

解：（1）依题意得，波在介质中传播的能流密度为
2222228264-211
4221
800101104314102
15810(w m )
I uA uA ρωρπυ-=
==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=⋅⨯⋅ （2）1min 内垂直通过截面42410m S -=⨯的总能量为
442158104106037910(J)E ISt -==⋅⨯⨯⨯⨯=⋅⨯
8-10 人耳能分辨的声强级差别是1dB ，声强级有此差别的两声波的振幅之比是多少？
解： 已知波在介质中传播的能流密度为
221
2
I uA ρω=
又由声强级定义有
10lg
I L I = 人耳能分辨的声强级差别是1dB ，即
211(dB)L L -=
则由②得
2100
10101lg
lg I I
I I -= 可得
012110I I ⋅=
又由①得
①
②
20122110A A ⋅=
则
21112A A =⋅
8-11 一只唢呐演奏的平均声强级为70dB ，五只同样的唢呐同时演奏的声强级有多大？
解：设一只唢呐演奏时声波的能流密度为I 1，五只同样的唢呐能流密度为I 2，则
215I I =
由声强级定义得
1
1010lg
I L I = 2
20
10lg
I L I = 则
2
211
10lg
I L L I -= 21105701057698(dB)lg lg .L L =+=+=。