初中数学湘教版九年级上册第3章 图形的相似3.5 相似三角形的应用-章节测试习题(1)

章节测试题
1.【题文】如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】48 mm．
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解答】∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x mm，AK＝(80﹣x) mm，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴，
∴，解得x＝48．
答：正方形零件的边长为48 mm．
2.【答题】如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是（）
A. 32米
B. 米
C. 36米
D. 米
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C＝∠MNA＝90°，∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA. ∴，即，∴MN＝32（m），∴楼房MN的高度为32m．选A.
3.【答题】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆
BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）
A. 17.5m
B. 17m
C. 16.5m
D. 18m
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝
1.5m，AB＝1.2m，BC＝1
2.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝
17.5，即建筑物CD的高是17.5m，选A.
4.【答题】如图为一座房屋屋架结构示意图，已知屋檐AB＝BC，横梁EF∥AC，点E
为AB的中点，且BD⊥EF，屋架高BD＝4m，横梁AC＝12m，则支架DF长为（）m.
A. 2
B. 2
C.
D. 2
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵AB＝BC，BD⊥EF，∴AD＝DC＝6 m，
∴AB（m），∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，
∴，∵点E为AB的中点，∴F是BC的中点，∴FD是△ABC的中位线，
∴DF AB（m）．选C．
5.【答题】如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14cm的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为70cm，则电线杆的高是（）
A. 5m
B. 6m
C. 125m
D. 4m
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，∴，∵AM＝0.7 m，AN＝25 m，BC＝0.14 m，
∴EF5（m）．选A．
6.【答题】如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是（）
A. 5cm
B. 10cm
C. 15cm
D. 20cm
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】连接AD、BC，∵，∠AOD＝∠BOC，∴△AOD∽△BOC，
∴，∵A，D两个端点之间的距离为10 cm，∴BC＝15 cm，选C．
7.【答题】如图，A，B两点被一河隔开，为了测量A，B两点间的距离，小明过点B作BF⊥AB，在BF上取两点C，D，使BC＝2CD，过点D作DE⊥BF且使点A，C，E在同一条直线上，测得DE＝20m，则A，B两点间的距离是（）
A. 60m
B. 50m
C. 40m
D. 30m
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵AB⊥BF，ED⊥BF，∴AB∥DE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，解得：AB＝40，选C．
8.【答题】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为______米．
【答案】7
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，
∴，∴AC＝7（米），故答案为7．
9.【答题】如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE10米远的A处观察广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为______米．
【答案】2.5
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】作BF⊥OE于点F交CD于点G，根据题意得：AB＝CG＝OF＝1.5米，BF＝10米，BG＝5米，DG＝CD﹣CG＝2﹣1.5＝0.5米，∵DG∥EF，∴，
∴，解得EF＝1，∴EO＝EF+OF＝1+1.5＝2.5（米），故答案为2.5．
10.【答题】如图，小亮要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同一水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B、E、D在同一直线上，小亮的眼睛离地面的高度AB＝1.6 m，BE＝1.4 m，DE＝14.7 m，则钟塔的高度CD为______m．
【答案】16.8
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝90°，∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝16.8 m，故答案为16.8．
11.【答题】如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是______米．
【答案】8
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】如图，∠CPD＝90°，QC＝4 m，QD＝16 m，∵PQ⊥CD，∴∠PQC＝90°，
∴∠C+∠QPC＝90°，而∠C+∠D＝90°，∴∠QPC＝∠D，∴Rt△PCQ∽Rt△DPQ，∴，即，∴PQ＝8，即旗杆的高度为8 m．故答案为8．
12.【题文】某班在学习《利用相似三角形测高》时开展了“测量学校操场上旗杆的高度”的活动．小明将镜子放在离旗杆32 m的点C处（即AC＝32 m），然后沿直线AC 后退，在点D处恰好看到旗杆顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图），根据物理学知识可知：法线l⊥AD，∠1＝∠2．若小明的眼睛离地面的高度DE为1.5 m，CD＝3 m，求旗杆AB的高度．（要有证明过程，再求值）
【答案】16 m．
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵法线l⊥AD，∠1＝∠2，∴∠ECD＝∠BCA，
又∵∠EDC＝∠BAC＝90°，∴△ECD∽△BCA，∴，
∵DE＝1.5 m，CD＝3 m，AC＝32 m，∴，解得AB＝16，
答：旗杆AB的高度为16 m．
13.【题文】“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设
计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【答案】9.6米．
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，∴．
同理，△EMF∽△AMB，∴．
∵EF＝CD，∴，即，解得x＝6.6.
∵，∴．解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
14.【答题】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反
射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝
3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）
A. 1.2m
B. 1.3m
C. 1.4m
D. 1.5m
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，
故，即，解得BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，
∴，∴，解得AG＝1.2（m），选A．
15.【答题】如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）
A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 8cm
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，
则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，
∴，即，∴CD＝6cm．选C．
16.【答题】如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC•AB•BC•AC•BP，∴BP．
∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，∴．
设DE＝x，则，解得x，选D．
17.【答题】《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C 往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）
A. 360步
B. 270步
C. 180步
D. 90步
【答案】A
【解答】如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE x，
∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，
∴Rt△BEA∽Rt△EDC，∴，即，∴x＝360，
即正方形城池的边长为360步．选A．
18.【答题】如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB是（）
A. 4米
B. 4.5米
C. 5米
D. 5.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，∴，即，解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．选D．
19.【答题】如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）
A. 4m
B. m
C. 5m
D. m
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，
∴（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，
∴，∴，解得MH．选B．
20.【答题】用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压______cm．
【答案】32
【分析】本题考查相似三角形的应用.
【解答】如图，AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知△APM∽△BPN；
∴，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，
∴，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压32cm．故答案为32．。