不定积分习题课64353

u vd xu vu vdx
udv u vvdu
分部积分公式
8.选择u的有效方法:LIATE选择法
L----对数函数； A----代数函数； E----指数函数；
I----反三角函数； T----三角函数； 哪个在前哪个选作u.
9、几种特殊类型函数的积分
（1）有理函数的积分
定义 两个多项式的商表示的函数称之.
(2)2 a 2 1x 2 d x 2 1 a ln a a x x C
(1)7 cx o d tls n xix n C
(2)3
1 d xarcx sC in
a2x2
a
( 1 )8 sx e c d ln x x (ts a x )e C n c
(24)
ddxf(x)dxf(x)
d[f(x)d]x f(x)dx
F (x)d x F (x)C d(F x)F (x)C
(3) 不定积分的性质
1 0 [f(x )g (x )d ] x f(x)d xg(x)dx 20 k(fx)dx k f(x)dx（ k是 常 数 ， k0)
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
2(l3 nln2)ln3x2x C.
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
例6 求 x arx c ln t 1 a x (2 )n d.x
解 xln1 ( x2)dx1ln1 (x2)d(1x2) 2
1(1x2)ln 1(x2)1x2C .
2
2
原 a 式 r x [ c 1 ( d 1 t `x 2 a ) l1 n n x 2 ) ( 1 x 2 ]
3、基本积分表
(1 )k d kx x C(k 是常数) (7) six ndx co x C s
(2)
xd x x 1 1C( 1)(8)
dx cos2 x
se2cxdxtax nC
(3) dxxlnxC
(9)
dx sin2 x

cs2cxdx co x C t
联立C 并 1C 令 ,
可C 2 得 1 2＋ C , C 31C .
第二类换元公式
其 中 (x ) 是 x ( t) 的 反 函 数 .
常用代换:
1 .x (a tb ), R .
2.三角函数代换 如 f(x) a2x2,令 xasitn.
3.双曲函数代换 如f(x) a2x2,令xash. t 4.倒置代 令 x 换 1.
t
7、分部积分法
d(x10) x10(2x10)
1[lx n 10 lnx1(0 2) ]C 20
1ln x1lnx1(0 2)C . 2 20
例8 求
dx .
3 (x1)2(x1)4
解 3(x 1 )2 (x 1 )4 3(x 1 )4(x 1 )2 . x 1
t
(倒代换)
1
原式
1 t(1)12 1(t12)dt
1t dt
1t2
t2 t
1 d t d(1t2) art c1 s ti2 n C 1t2 21t2
x21arc1siC n.
x
x
例5 求
dx
x
x
x.
1e2 e3 e6
1 (1 2x ) 1 , x1x2 21x2 1 x2
原 lx n 式 1 x 2 ( ) 5 d [x l 1 n x 2 ) 5 ( ]
2[lx n(1x2)5]2 3C . 3
例4 求 x1 1,
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型： R(x,nax b) R(x,n axb) cxe
解决方法：作代换去掉根号．
令 tna xb;
令t n axb; cxe
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解 原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1

1 ln 3

1 2
x2

C1 ,
x 1
F( x)


x C2,
1 x 1.

1 2
x2

C3 ,
x 1
又F(x)须处处连续，有
x l i1 (m x C 2)x l i1 (m 1 2x 2 C 1)
即 1C21 2C1, x l i1(m 1 2x2C 3)lx i1(m xC 2) 即12C31C2,
x
a

C
(14) shxdxchxC
(15) chxdxshxC
(1)6 ta xn d lx c nx o C s
(2)0 a2 1x2d xa 1arca x tC an (2)1 x 21 a 2 d x 2 1 a ln x x a a C
2
xta2 x nta2 xd n xta2 xd nx
xtanxC. 2
例10 求[f(x)f2(x)f(x)]d.x
f(x) f3(x)
解 原式 f(x)f2(x)f2(x)f(x)dx
f3(x)
f(x) f2(x)f(x)f(x)
f(x)
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间 I内， 函数f(x)的带 有任意 常数项 的 原函 数称 为f(x)在区间 I 内的 不定积 分， 记
为f(x)dx．
f(x)d xF (x)C
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 .
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
令t x1, x1
则有 dt(x21)2 dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3 (x1)4 (x1)2 2
x1


3
t
1 3
C
33
x1C.
2
2 x1
例9 求1xcsoinxxsdx.
xx
x2sin cos
解 原式
2 2dx 2cos2 x
2
2cox2sxdxtan2xdx
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
1. x A adx Aln xaC;2. (x A a)d nx (1n)A x (a)n1C ;
3. x2M pxN xqdxM 2lnx2pxq
NM2parctx anp2 C;
qp24
x
解 令e6 t,
x6ln t, dx 6 dt,
t
原 式 1t3 1t2t6 tdt
6 dt
t(1t)(1t2)
设 t(1t)6 1 (t2)A ttB 1C 1 tD t2
6 A ( 1 t ) 1 t ( 2 ) B ( 1 t 2 ) t ( C D ) t ( t t 1 )
f2(x)
dx

f(x)d[ f(x)] f(x) f(x)
1[ f(x)]2 C. 2 f(x)
例11 求 ma1,x x}{d.x
解 设 f(x)m1 a ,xx },{
x, x1 则f(x) 1, 1x1,
x, x1
f(x)在 (, ) 上连 , 则续 必存在原函F数 (x).
qp24
4 .( x 2 M p N q x ) x n d M x 2( x ( 2 2 x p p ) d q x ) n x ( x 2 N p M 2 q x ) n p d
此两积分都可积,后者有递推公式
（2） 三角函数有理式的积分
解得 A 6 ,B 3 ,C 3 ,D 3 .
原式 (6 t1 3t3 1t t3 2)dt
6 ln t 3 ln 1 t( ) 3 ln 1 t( 2 ) 3 artc C tan 2
x 3 ln 1 e (6 x) 3 ln 1 e (3 x) 3 are c 6 x C t.an 2
( 1 )9 cx s c d ln x x (cc x o ) s C tc
1 dx
x2 a2 ln(x x2 a2)C
4、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
5、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sx i,n cox)s
令u tan x 2
sinx12uu2
x2arcutan
cosx11uu22 dx12u2 du
R (sx i,cno x)d s x R1 2uu2,1 1 u u2 212u2du
(4) 11x2dxarcx tC an(1)0sextcaxnds xex cC (5) 11x2dxarc x sC in (1)1csxco xtdx cs x c C
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
(1)3axdx lan
7.f(tax)nse2cxd;x8.
f(arctxa)n 1x2 dx;
6、第二类换元法
定理 设x(t)是单调的、可导的函数，并 且(t)0，又设f[(t)] (t)具有原函数，
则有换元公式
f ( x ) d x f [( t ) ( ] t ) d t ( x ) t
Q P ( (x x ) )b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
其中m、n都是非负整数；a0,a1,,an及 b0,b1,,bm都是实数， 并且 a00， b00.
2
2
1[1 ( `x2)ln 1 (x2)x2]arcxtan 2
1
2
[ln 1(x2)1 x2 x2]dx
1arctxa[(n1`x2)ln1(x2)x23] 2
xln1(x2)xC.
2
2
例7
求
dx x(2 x10).
解
原式
x9dx 1 x10(2x10) 10
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
1、原函数
定义 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为 f(x) ，即xI ，都有F(x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)dx在区间I内原函数. 原函数存在定理 如 果 函 数 f(x)在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x)， 使 x I， 都 有 F (x)f(x).
ex(12sinxcosx)
解 原式
2 2 dx 2co2sx
2
(ex 1 extanx)dx
2co2sx
2
2
[e(xd(ta x) ntaxn dxe ] d(ex
22
tanx) 2
ex tanxC. 2
例3
求
lnx(
1x2)5 d.x
1x2
解 [lx n 1 (x 2) 5 ]
则 有 换 元 公 式
f[(x)](x)d x[f(u)d]u u(x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1.f(xn1)xnd;x 3. f(lnx)dx;
x
2. f ( x)dx; x
f (1)
4.
x x2
dx ;
5.f(sx i)n co xsd ; x6.f(ax)axdx;