山东省威海市文登区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

山东省威海市文登区2019-2020学年九年级
上学期期末数学试题
一、选择题
1.函数3x y x =
-的自变量x 的取值范围是（ ） A. 3x ≠
B. 2x ≠
C. 2x ≤
D. 2x ≤且3x ≠
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，20x -≥且30x -≠，
解得：2x ≤．
故选：C ．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2.若sinA cosB =，下列结论正确的是（ ）
A. A B ∠=∠
B. 90A B ∠+∠=o
C. 180A B ∠+∠=o
D. 以上结论均不正确 【答案】B
【解析】
【分析】
利用互余两角的三角函数关系()90sinA cos A =︒-，得出90A B ∠∠=︒-．
【详解】∵()90sinA cos A sinA cosB =︒-=，，
∴90A B ∠∠︒-=，
∴90A B ∠∠+=︒，
故选：B ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握互为余角的正余弦关系：一个角的正弦值等于另一个锐角
的余角的余弦值则这两个锐角互余．
3.图1是一个底面为正方形的直棱柱，现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【详解】从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．V的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）
4.如图，已知ABC
【答案】D
【解析】
【分析】
过B 点作BD ⊥AC 于D ，求得AB 、AC 的长，利用面积法求得BD 的长，利用勾股定理求得AD 的长，利用锐角三角函数即可求得结果．
【详解】过B 点作BD ⊥AC 于D ，如图，
由勾股定理得，
AB =，AC ==
∵113
22
ABC S AC BD BC ==⨯n n ，即BD ==
在ABD n 中，AD 90B ∠=︒，AB =BD =，
AD ==
=
∴cos
5AD A AB ===． 故选：D ．
【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用，面积法求高的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．
5.在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（ ）
A. 线段
B. 与原三角形全等的三角形
C. 变形的三角形
D. 点
【答案】D
【解析】
【分析】
将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．
【详解】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，
故选D.
【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．
6.如图，小明想利用太阳光测量楼高，发现对面墙上有这栋楼的影子，小明边移动边观察，发现站在点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重合且高度恰好相同.此时测得墙上影子高1.2,0.6,30CD m DE m BD m ===(点,,B E D 在同一条直线上).已知小明身高EF 是1.6m ，则楼高AB 为（ ）
A. 20m
B. 21.2m
C. 31.2m
D. 31m
【答案】B
【解析】
【分析】 过点C 作CN ⊥AB ，可得四边形CDME 、ACDN 是矩形，即可证明CFM CAN V V ∽，从而得出AN ，进而求得AB 的长．
【详解】过点C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，交EF 于M 点，
∴四边形CDEM 、BDCN 是矩形，
∴ 1.2300.6BN ME CD m CN BD m CM DE m =======，，，
∴ 1.6 1.20.4MF EF ME m =-=-=，
依题意知，EF ∥AB ，
∴CFM CAN V V ∽， ∴CM FM CN AN =，即：0.60.430AN
=， ∴AN=20，
20 1.221.2AB AN BN =+=+=(米)，
答：楼高为21.2米．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
7.如图，小明将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．
【详解】设含有45︒角的直角三角板的直角边长为1，
将一个含有45︒角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，
此圆锥的底面周长为：22R ππ=，
圆锥的侧面展开图是扇形，
2180n r l ππ==扇形，即2180
n ππ=，
∴255n =≈︒，
∵180255270︒<︒<︒，
∴图C 符合题意，
故选：C ．
【点睛】本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角． 8.已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧）
，顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A. 221y x x =++
B. 221y x x =+-
C. 221y x x =-+
D. 221y x x =--
【答案】A
【解析】
【详解】解：当y =0，则2043x x =-+，，x ，1，，x ，3，=0，
解得：x 1=1，x 2=3，，A ，1，0，，B ，3，0，，
243y x x =-+=221x --（），，M 点坐标为：
（2，，1，， ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，
，抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，
，平移后的解析式为：21y x =+（）
=221x x ++， 故选A，
9.如图，在ABC V 中，,90AB AC CAB =∠=o
，已知()()2,0,0,1A B ，把ABC V 沿x 轴负方向向左平移到'''A B C V 的位置，此时','B C 在同一双曲线k y x
=上，则k 的值为（ ）
A. 2-
B. 4-
C. 6-
D. 8-
【答案】C
【解析】
【分析】 作CN ⊥x 轴于点N ，根据AAS 证明CAN ABO ≅V V ，求得点C 的坐标；设△ABC 沿x 轴的负方向平移c 个单位，用c 表示出C '和B '，根据两点都在反比例函数图象上，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式．
【详解】作CN ⊥x 轴于点N ，
∵A(2，0)、B(0，1)．
∴AO=2，OB=1，
∵90BAC CNA BAO ∠=∠=∠=︒，
∴CAN ABO ∠=∠，
在Rt CAN V 和Rt ABO V 中，90CNA BAO CAN ABO AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()Rt CAN Rt ABO AAS ≅V
V ， ∴123AN BO CN AO NO NA AO =====+=，，，
又∵点C 在第一象限，
∴C(3，2)；
设△ABC 沿x 轴的负方向平移c 个单位，
则() 32C c '-，
，则()1B c '-， ， 又点C '和B '在该比例函数图象上，
把点C '和B '的坐标分别代入k y x =
， 得()23k c c =-=-，
解得：6c =，
∴6k =-，
故选：C ．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质．
10.四位同学在研究函数y=x 2+bx+c(b，c 是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x 2+bx+c=0一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x=2时，y=4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】
假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b，c 的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）． 【详解】假设甲和丙的结论正确，则212434
b c b ⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝， 解得：24b c -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的解析式为y=x 2-2x+4，
当x=-1时，y=x 2-2x+4=7，
∴乙的结论不正确；
当x=2时，y=x 2-2x+4=4，
的
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选B，
【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b，c 值是解题的关键．
11.正五边形ABCDE 内接于圆，连接,,,AC AD BE BE 分别与,AC AD 交于点F ，G ，
连接.DF 若2AB =，
下列结论：①18FDG ∠=︒②1BF =③四边形CDEF 是菱形④2
CDEF ()9S =+四边形；其中正确的个数为（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】 ①先根据正五方形ABCDE 的性质求得∠ABC ，由等边对等角可求得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD ，求得∠CDF=∠CFD ，即可求得答案；
②证明△ABF ∽△ACB ，得AB BF AC BC
=，代入可得BF 的长； ③先证明CF ∥DE 且CF DE =，证明四边形CDEF 是平行四边形，再由 CF CD =证得答案； ④根据平行四边形的面积公式可得：222CDEF ()S EF DM =n 四边形，即可求得答案．
【详解】①∵五方形ABCDE 是正五边形，AB BC =， ∴3601801085
ABC BCD CDE ∠∠∠︒===︒-
=︒， ∴36BAC ACB ∠∠==︒，
∴1083672ACD BCD ACB ∠∠∠=-=︒-︒=︒，
同理得：36ADE ∠=︒，
∵108BAE ∠=︒，AB AE =，
∴36ABE ∠=︒，
∵36ADE ABE ∠∠==︒，
∴1083672CBF ABC ABE ∠∠∠=-=︒-︒=︒，
∴180180723672CFB CBF ACB ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒， 则CBF CFB ∠=∠，
∴BC FC =，
∵BC CD =，
∴CD BC FC ==， ∴180180725422
ACD CDF CFD ∠∠∠︒-︒-︒====︒， ∴108543618FDG CDE CDF ADE ∠∠∠∠=--=︒-︒-︒=︒； 所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAF=∠CAB ，
∴△ABF ∽△ACB ， ∴AB BF AC BC
=， ∵36BAC ABE ∠∠==︒，
∴AF BF =，
∵2BC FC AB ===，
∴2AC AF FC BF BC BF =+=+=+， ∴222
BF BF =+，
解得：1BF =-(负值已舍)；
所以②正确；
③∵ACD ∠ 72=︒，108CDE ∠=︒，
∴ 180ACD CDE ∠∠+=︒，
∴CF ∥DE ，
∵2CF DE ==，
∴四边形CDEF 是平行四边形，
∵ 2CF CD ==，
∴四边形CDEF 是菱形，
所以③正确；
④如图，过D 作DM ⊥EG 于M ，
同①的方法可得2DG DE ==，51EG BF ==-，
∴115122EM MG EG BF -====， 2
22222DM DE EM =-=-=⎝⎭
∴222CDEF 10()4104
S EF DM +==⨯
=+n 四边形 所以④错误；
综上，①②③正确，共3个，
故选：B
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆内接正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握圆内接正五边形的性质是解题的关键．
12.如图，y 轴右侧一组平行于y 轴的直线12345,,,,l l l l l ···，两条相邻平行线之间的距离均为1，以点O 为圆心，分别以1,2,3,4,5,6···为半径画弧，分别交y 轴， 12345,,,,l l l l l ···于点12345,,,,,P P P P P P ···则点2019P 的坐标为（ ）
A. (
B. (
C. (
D. ( 【答案】C
【解析】
【分析】 根据题意，利用勾股定理求出1P ，2P ，3P ，L ，n
P 纵坐标，得到各点坐标，找到规律即可解答．
【详解】如图，连接1OP 、2OP 、3OP ， 点1P
=
1P 的坐标为( ， 点2
P
=
，点2P 的坐标为(2 ， 点3P
=
，点3P 的坐标为(3 ，
L 点n
P
==
点
n P 的坐标为(n ，
∴点
2019P 的坐标为(2019 ，
故选：C
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用勾股定理是解题的关键． 二、填空题
13.从实数
2,,603
sin πo 中，任取两个数，正好都是无理数的概率为________． 【答案】13 【解析】
【分析】
画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
则共有6种等可能的结果，
其中两次选到数都是无理数有(,60sin πo )和(60,sin πo
)2种， 所以两次选到的数都是无理数的概率2163
=
=． 故答案为：13
． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.如图，在ABC V 中，90,30,C A EF ∠=︒∠=︒是斜边AB 的垂直平分线，分别交,AB AC 于点,E F ，
若BC =CF =______．
【答案】2
【解析】
【分析】 连接BF ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF ，
再根据等边对等角的性质求出的
∠ABF=∠A ，然后根据三角形的内角和定理求出∠CBF ，再根据三角函数的定义即可求出CF ．
【详解】如图，连接BF ，
∵EF 是AB 的垂直平分线，
∴AF=BF ，
∴30ABF A ∠∠==︒，
18018030309030CBF A ABF C ∠∠∠∠=︒---=︒-︒-︒-︒=︒，
在△BCF 中，
∴tan CBF tan 30
CF BC ∠=︒=
== ∴2CF =．
故答案为：2． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角函数的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
15.抛物线2
y x mx n =-++的对称轴过点()1,5A -，点A 与抛物线的顶点B 之间的距离为4，抛物线的表达式为______．
【答案】y=-x 2-2x 或y=-x 2-2x+8
【解析】
【分析】
根据题意确定出抛物线顶点坐标，进而确定出m 与n 的值，即可确定出抛物线解析式．
【详解】∵抛物线2
y x mx n =-++的对称轴过点()1,5A -， ∴设顶点坐标为：()1k -，， 根据题意得：54k -=，
解得：9k =或1k =
抛物线2y x mx n =-++的顶点坐标为(-1，1)或(-1，9)， 可得：122b m a -==-，2244144ac b n m a ---==-或2
494
n m --=-， 解得：2m =-，0n =或8n =，
则该抛物线解析式为：22y x x =--或228y x x =--+，
故答案为：22y x x =--或228y x x =--+．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16.如图，平行四边形,ABCD O e 分别切,,CD AD BC 于点,,E F G ，连接CO 并延长交AD 于点H ，连接,AG AG 与HC 刚好平行，若4,5AB AD ==，则O e 的直径为______．
【答案】【解析】
【分析】
先证得四边形AGCH 是平行四边形，则AH CG =，再证得DH DC =，求得1AH =， 3DE ＝，证得DO ⊥HC ，根据~Rt OCE Rt DOE n n ，即可求得半径，从而求得结论．
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∵AG ∥HC ，
∴四边形AGCH 是平行四边形，
∴AH CG =，
∵CG CE 、是，O 的切线，且切点为G 、E ，
∴CG CE AH ==，∠GCH =∠HCD ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DHC =∠GCH ，
∴∠DHC =∠HCD ，
∴三角形DHC 为等腰三角形，
∴4DH DC AB ===，
∴541AH AD DH =-=-=，
∴1CE AH ==，413DE DC CE =-=-=，
连接OD 、OE ，如图，
∵DE DF 、是，O 的切线，且切点为E 、F ，
∴DO 是∠FDE 的平分线，
又∵DH DC =，
∴DO ⊥HC,
∴∠DOC =90︒，
∵CD 切，O 于E ，
∴OE ⊥CD,
∵∠OCE +∠COE=90︒，∠DOE +∠COE=90︒，
∴∠OCE=∠DOE ，
∴~Rt OCE Rt DOE n n ， ∴OE CE DE OE =，即13OE OE
=，
∴OE =
∴，O 的直径为：
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得DHC n 为等腰三角形是解题的关键．
17.如图，点A 是反比例函数()40y x x
=>的图象上一点，直线y kx b =+过点A 与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C .过点A 做AD x ⊥轴于点D ，连接BD ，若BOC V 的面积为3，则BOD V 的面积为_______．
【答案】32
-+ 【解析】
【分析】
先由△BOC 的面积得出2
6
b k =①，再判断出△BOC ∽△ADC ，得出24a k ab +=②，联立①②求出ab ，即可得出结论．
【详解】设点A 的坐标为4(0)a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，， ∴4AD OD a a
==，， ∵直线y kx b =+过点A 并且与两坐标轴分别交于点B ，C ，
∴()00b B b C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，
， ∴ BO b =，b OC k
=， ∵△BOC 的面积是3， ∴BOC 11322b S OB OC b k
==⨯⨯=V n ， ∴26b k =， ∴2
6
b k =① ∵AD ⊥x 轴，
∴OB ∥AD ，
∴△BOC ∽△ADC ， ∴
OC OB CD AD
=， ∴4b
b k b a k a =+， ∴24a k ab +=②，
联立①②解得，3ab =-舍)
或3ab =-+
∴BOD 11 22S OD OB ab ===V n
． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出24a k ab +=是解本题的关键．
18.把两块同样大小的含60︒角的三角板的直角重合并按图1方式放置，点P 是两块三角板的边DE 与AC 的交点，将三角板CDE 绕点C 按顺时针方向旋转45︒到图2的位置，若BC a =，则点P 所走过的路程是_________．
【答案】(
1)2
a 【解析】
【分析】 两块三角板的边DE 与AC 的交点P 所走过的路程，需分类讨论，由图①的点P 运动到图②的点F ，由图②的点F 运动到图③的点G ，总路程为PF FG +，分别求解即可．
【详解】如图，两块三角板的边DE 与AC 的交点P 所走过的路程，分两步走：
(1)由图①的点P 运动到图②的点F ，
此时：AC ⊥DE ，点C 到直线DE 的距离最短，所以CF 最短，则PF 最长，
根据题意，CD BC a =＝，C C 60DE BA ∠∠==︒，
在Rt CDF n 中，
∴sin sin 60CF CD D CD ∠==︒=；
(2)由图②的点F 运动到图③的点G ，
过G 作GH ⊥DC 于H ，如下图，
∵45DCG ∠=︒，且GH ⊥DC ，
∴CHG n 是等腰直角三角形，
∴HG HC =，
设CG x =，则sin 45HG HC CG x ==︒=，
∴2
DH CD HC a x =-=-，
∴tan tan 602
x GH D DH ∠=︒===
解得：2
x =，
即CG =， 点P 所走过的路程：2PF FG PC CF CG CF PC CG CF +=-+-=+-，
2a =-
12a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
故答案为：12a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【点睛】本题是一道需要把旋转角的概念和解直角三角形相结合求解的综合题，考查学生综合运用数学知识的能力．正确确定点P 所走过的路程是解答本题的关键．
三、解答题
19.（1
）计算：1
21260453045(2tan tan cos sin --︒-⎛⎫ ⎝⎭-⎪o o o o ． （2）如图，正方形纸板ABCD 在投影面a 上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD 、与投影面平行，,AD BC 与投影面不平行.若正方形ABCD 的边长为5厘米，145BCC ∠=o ，求其投影1111D C B A 的面积．
【答案】（1）5（2． 【解析】 【分析】
(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；
(2) 作BE ⊥CC 1于点E ，利用等腰直角三角形的性质求得BE 的长即可求得BC 的正投影11B C 的长，即可求得答案．
【详解】(1) 1
21260453045(2tan tan cos sin --︒+⎛⎫ ⎝⎭
-⎪o o
o o
2
1=2
1(4
--+
--
2
=2
1-+-
=52
； (2)过点B 作BE ⊥CC 1于点E ，
在Rt BCE n 中，45BCE ∠=︒，5BC =，
∴sin 45BE BC =︒=
， ∵1BB ⊥11B C ，1CC ⊥11B C ，且BE ⊥CC 1， ∴四边形11BB C E 为矩形，
∴11B C BE ==
， ∵115C D CD ==，
∴1111
1111522
A B C D S B C C D ==
=
n 四边形． 【点睛】本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．
20.一个可以自由转动的转盘，
其盘面分为3等份，分别标上数字3,4,5.小颖准备转动转盘5次，现已转动3次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下：
小颖继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．) 【答案】能，5
=9
P ．
【解析】 【分析】
根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率． 详解】能
设第4次、第5次转出的数字分别为a 和b ， 根据题意得：()1
3.6433 3.85
a b ≤
++++≤， 解得：89a b ≤+≤， 所以后两次数字之和为8或9； 画出树状图：
共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种， 所以()5 3.6 3.85
9
P =
这次指针所指数字的平均数不小于且不大于． 【
【点睛】本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
21.随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡AB 的坡角为20︒，水平线
12,, 1.5AC m CD AC CD m =⊥=.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所
驾车辆能否安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到 0.1m ，参考数据：200.34sin ≈o ，
200.94cos ≈o ，200.36tan ≈o )．
【答案】2.6米． 【解析】 【分析】
根据锐角三角函数关系得出CF 以及DF 的长，进而得出DE 的长即可得出答案． 【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长CD 交AB 于点F ．
在△ACF 中，∠ACF=90°，∠CAF=20°，AC=12， ∴CF
tan CAF AC
∠=
， ∴tan 20120.36 4.32CF AC =︒≈⨯=n (m)， ∴ 4.32 1.5 2.82DF CF CD =-=-=(m)，
在△DFE 中，90902070DFE CAF ∠∠=︒-=︒-︒=︒， 又∵DE ⊥AB ，
∴907020FDE ∠=︒-︒=︒， ∴DE
cos FDE DF
∠=
， ∴ 2.8220 2.820.94 2.65 2.6DE DF cos FDE cos ∠==⨯︒≈⨯=≈n (m)， 答: 地下停车库坡道入口限制高度约为2.6m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
22.如图，
在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的顶点C 在y 轴上，B 在x 轴上，把矩形ABOC 沿对角线BC 所在的直线对折，点A 恰好落在反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象上点D 处，BD 与y 轴交于点E ，
延长CD 交x 轴于点F ，点D 刚好是CF 的中点.已知B 的坐标为()2,0-．
（1）求反比例函数()0k
y k x
=
≠的函数表达式； （2）若Q 是反比例函数()0k
y k x
=≠图象上的一点，P 点在x 轴上，若以,,,P Q B E 为顶点的四边形是平
行四边形，请直接写出P 点的坐标_________.
【答案】（1）y =；（2）1(,0)2-，1(,0)2，（72-，0）．
【解析】 【分析】
(1)证得BD 是CF 的垂直平分线，求得30CBD DBF CBA ∠=∠=∠=︒，作DG ⊥BF 于G ，求得点D 的
坐标为(1
，从而求得反比例函数的解析式； (2)分3种情形，分别画出图形即可解决问题．
【详解】(1) ∵四边形ABOC 是矩形， ∴AB=OC ，AC=OB ， 90CAB ∠=︒， 根据对折的性质知，ABC DBC ≅n n ，
∴90CDB CAB ∠=∠=︒，CBD CBA ∠=∠，AB=DB ， 又∵D 是CF 的中点， ∴BD 是CF 的垂直平分线， ∴BC=BF ，CBD DBF ∠=∠， ∴CBD DBF CBA ∠=∠=∠， ∵90ABO ∠=︒，
∴30CBD DBF CBA ∠=∠=∠=︒，
∵点B 的坐标为()20-，
， ∴2AC OB ==，
在Rt ABC n 中，30CBA ∠=︒，2AC =，90CAB ∠=︒，
∴AB =
过D 作DG ⊥BF 于G ，如图，
在Rt BDG n 中，30DBG ∠=︒，BD AB ==，90BGD ∠=︒，
∴1
2
DG BD =
=3BG ==， ∴321OG BG BO =-=-=，
∴点D 的坐标为( ，
代入反比例函数的解析式k
y x
=
得：1k xy ===
∴反比例函数的解析式y =
；
(2) 如图①、②中，作EQ ∥x 轴交反比例函数的图象于点Q ，
在Rt BEO n 中， 2OB =，30EBO ∠=︒，
∴tan 302EO OB =︒==
n
∴点E 的坐标为0⎛ ⎝⎭
，
点Q 纵坐标与点E y =得：
=
， 解得：3
2
x =
，
∴点Q 的坐标为323⎛ ⎝⎭
， ， ∴3
2
EQ =
， ∵P B E Q 、、、四点构成平行四边形，
∴1
3
2
PB PB EQ === ∴点1P P 、的坐标分别为102
P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，1702
P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ； 如图③中，2P EBQ 构成平行四边形，作QM ∥y 轴交x 轴于点M ，
∵四边形2P EBQ 为平行四边形， ∴2EB P Q =，2EBP ∠ 2QP B =∠， ∴2Rt EOB Rt QMP ≅n n ，
∴QM EO ==
，22
MP OB ==，
∴点Q 的坐标为32⎛- ⎝⎭
，
∴32
MO =
， ∴2231222
P O MP MO =-=-
=， ∴点2P 的坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
， 综上，符合条件点P 的坐标有：1
02
⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，702
⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ，102
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，； 【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、直角三角形中30度角的性质、平行四边形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23.某商场销售一种电子产品，
进价为20元/件.根据以往经验:当销售单价为25元时，每天的销售量是250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
（1）销售该电子产品时每天的销售量y (件)与销售单价x (元)之间的函数关系式为______；
（2）商场决定每销售1件该产品，就捐赠()06a a <≤元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为
1440元，求a 的值．
【答案】（1）10500y x =-+；（2）a=6． 【解析】 【分析】
(1)利用“实际销售量=原销售量-10×上涨的钱数”可得；
(2) 根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解． 【详解】(1) 由题意得，()250102510500y x x =--=-+， ∴函数关系式为：10500y x =-+
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元， 依题意得： (20)(10500)w x a x =---+ ()2107001050010000x a x a =-++--
∵-10＜0，且抛物线的对称轴为直线352
a
x =+， ∴当352
a x =+
，y 的最大值是1440， ∴35201035500144022a a a ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫+---⨯++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 化简得：()2
30576a -=，
解得：154a =(不合题意，舍去)，26a = ． 答：a 的值为6．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
24.如图，AB 是O e 的直径，点C 在»AB
上，»»BC 2AC =，FD 切O e 于点B ，连接AC 并延长交FD 于点D ，点E 为OB 中点，连接CE 并延长交FD 于点F ，连接AF ，交O e 于点G ，连接BG ．
（1）求证：3CD AC =；
（2）若O e 的半径为2，求BG 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BG = 【解析】 【分析】
(1)利用圆周角定理及¶¶2BC AC =，求得∠ABC=30°，利用切线的性质求得∠D=30°，根据直角三角形
30度角的性质从而证出3CD AC =；
(2)先证得△OAC 为等边三角形，求得CM 的长，过点C 作CM ⊥AO 于点M ，证出△CME ∽△FBE ，求出
BF =
，利用勾股定理求出AF =BG
【详解】(1) 连接BC ，
∵AB 是⊙O 的直径，¶¶2BC AC =，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠BAC=60°， ∴1
2
AC AB =
， ∵BD 切O e 于点B ， ∴AB ⊥DB ，
∴∠D=90︒-∠BAD=90︒-60°=30°， ∴AD=2AB ， ∴AD=4AC ， ∴3CD AC =；
(2) 连接OC ，过点C 作CM ⊥AO 于点M ，
∵∠BAC=60°，OA=OC ， ∴△OAC 为等边三角形， ∴AC=OA=OC=2，OM=MA=1， ∵CM ⊥AO ， ∴OM=MA=
1
OA 2
=1， 在Rt ACM n 中， 2AC =，EAC 60∠=︒，
∴sin EAC 2sin 6022
CM AC ∠==︒=⨯=， ∵点E 为OB 中点， ∴1BE EO ==， ∴OM 2EM EO =+=， ∵BF 切O e 于点B ， ∴AB ⊥FB ， ∴∠FBE=90︒， ∵∠FEB=∠CEM ， ∴Rt FBE Rt CME V V ∽， ∴
FB BE
CM ME
=12=，
∴FB =
在Rt ABF n 中，FB =
4AB =，90ABF ∠=︒，
∴2AF ===， ∵AB 是⊙O 的直径
∴∠AGB=90°，
∴BG ⊥AF ， ∵1122ABF S BF AB AF BG =
=n n n ，
4BG =，
∴BG =
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理以及三角形面积的计算，学会添加常用辅助线，熟练掌握圆周角定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 25.如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()2,0,8,0A B -，与y 轴交于点()0,4C ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点N ，使90MNB ∠=︒？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l 沿x 轴正方向从O 运动到B (不含O 点和B 点)，分别与抛物线、直线BC 以及x 轴交于点,,P E F ，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，求面积PQE V 的最大值．
【答案】（1）213442y x x =-
++；（2）不存在，理由见解析；（3）PQE S V 最大值为165
． 【解析】
【分析】 (1)利用待定系数法求出解析式；
(2) 设点N 的坐标为(0，m )，过点M 做MH ⊥y 轴于点H ，证得△MHN ∽△NOB ，利用对应边成比例，得到2425960m m -+=，方程无实数解，所以假设错误，不存在；
(3) △PQE ∽△BOC ，得22PQE
BOC S PE S BC =V V ，得到215
PQE S PE =V ，当PE 最大时，PQE S V 最大，求得直线BC 的解析式，设点P 的坐标为 213442n n n ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，，则E 142n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，，再求得PE 的最大值，从而求得答案． 【详解】(1) 把点A （-2，0）、B （8，0）、C （0，4）分别代入2y ax bx c =++，得：
42064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩
， 解得14324a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩
， 则该抛物线的解析式为：213442
y x x =-
++； (2)不存在
∵抛物线经过A （-2，0）、B （8，0），
∴抛物线的对称轴为()8232x +-=
=， 将3x =代入213442y x x =-++得：254
y =， ∴抛物线的顶点坐标为：2534M ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ，
假设在y 轴上存在点N ，使∠MNB =90︒，
设点N 的坐标为(0，m )，过顶点M 做MH ⊥y 轴于点H ，
∴∠MNH +∠ONB =90︒，∠MNH +∠HMN =90︒，
∴∠HMN=∠ONB ，
∴△MHN ∽△NOB ， ∴MH HN NO OB
=， ∵B （8，0），N (0，m )，2534M ⎛
⎫ ⎪⎝⎭， ， ∴25834
OB NO m HM HN m ====-，，，， ∴25348
m m -=， 整理得：2425960m m -+=，
∵()2
242544969110b ac =-=--⨯⨯=-<⊿，
∴方程无实数解，所以假设错误， y 轴上不存在点N ，使∠MNB =90︒；
(3) ∵PQ ⊥BC ，PF ⊥OB ，
∴90PQE BFE BOC ∠=∠=∠=︒，
∴EF ∥OC ，
∴PEQ BEF BCO ∠=∠=∠，
∴△PQE ∽△BOC ， 得22
PQE
BOC S PE S BC =V V ， ∵B （8，0）、C （0，4），
∴8OB =，4OC =，222228480BC OB OC =+=+=， ∴BOC 11841622S OB OC =
=⨯⨯=V n ， ∴2222116805
PQE BOC PE PE S S PE BC ==⨯=V V ， ∴当PE 最大时，PQE S V 最大，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
将B （8，0）、C （0，4）代入得804k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：124
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为142
y x =-+， 设点P 的坐标为 213442n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，
， 则点E 的坐标为142n n ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，，
∴()222131114424442244PE n n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭
， ∵104
-<， ∴当4n =时，PE 有最大值为4， ∴PQE S V 最大值为
2211164555PE =⨯=． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，点坐标，相似三角形的判定与性质和三角形的面积求法，特别注意利用数形结合思想的应用．。