一个不等式的推广0305

2 m + 1
m
2 + m m + r n
m
m + r n
+
m 4 1 n 第 5 期
314
1
( p + r - p ) n
=
21
-
m .
≥4
2
12
V 3 = 9 (3 V ) 3 ,
笔者将此命题再作如下推广 :
2
2
2
2
4 1
即 S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥9 (3 V ) 3 .
当且仅当 a = b = c = d = e = f 时等号成立.
1. 对于任何自然数 n ,存在自然数 m ,使
得
命题 4
设四面体的四个侧面面积为
( - 1) - n
=
+ m .
S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ,体积为 V , t ∈R 且 t ≥2. 则
2. 对于任何自然数 p 、n ,存在自然数 m ,
t t t t 2 - t
7 t
2 t
使得
S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥2 ×3 6 V 3 . ④
证明 :据文[ 1 ]引理 2 及不等式 ③,得
( p + 1 - p )
- n
= m + 1 + m .
t
+ S t
2 + S t
4
2
+ S t
2
1
t
2 1 3. 对于任何自然数 n 、p 、r ,存在自然数
m ,使得
n
≥ S 1 + S 2 + S 3 + S
4 2
4
( p + r -
p )
- n
= m + r r
n
1 1 9 (3 V )
3 2
1
7
2
下面证明推广 3. ≥
4
= 2
×3 6 V 3 . 证明 : 因为 (
p + r -
) n
(
t t t t 1
7 2 t - n
故 S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ≥4 2
×3 6 V
3
p )
= 1 ,而由文[ 1 ]知
2 - t
7 t 2 t
( p + r -
p ) n
=
- m .
= 2
×3 6 V 3 .
当且仅当 a = b = c = d = e = f 时等号成立.
注 :命题 1 由李永利先生给出 ,命题 2～
4 由庞耀辉先生给出.
参考文献 :
[1]
] 冀金梁. Weisenb öck 不等式的三维推广[J ] . 中等数学 , 2001 (1) .
[2 ] 王卓琦. 关于四面体的一个不等式[J ] . 福建中学数
所以 , (
p + r -
p )
- n
=
1 =
.
-
r
由推广 3 易得如下推论 :
对于任何自然数 n 、p 、r , 存在自然数
m ,使得
学 ,1990 (1) .
( p + r + p ) n
=
参考文献 :
+ m .
一个命题的再推广
曾 令 辉
(湖南省醴陵市渌江中学 ,412205)
文[ 1 ]将命题 :
对任何自然数 n ,存在自然数 m ,使得(
- 1) n
=
-
作如下推广 :
1. 对任何自然数 p 、n ,存在自然数 m ,使
1 4 8 3 m + r n
m + 1
p p + r -
m + r n
m + r n
S 2 3 4
p + 1 [ 1 ] 刘国斌. 一个命题的推广[J ] . 中等数学 ,2001 (4) .
一个不等式的推广
张 树 生
(江西省宁都县固厚中学 ,342814)
文[ 1 ]给出了下面一个三角形不等式 : 设 △ABC 的三边长分别为 a 、b 、c ,则
1 ≤ a
2 + b 2 + c 2
1
得
3
( a + b + c )
2
< 2
,
①
( -
p ) n
=
-
m . 当且仅当 a = b = c 时等号成立.
2. 对任何自然数 n 、p 、r ,存在自然数 m ,
使得
本文将不等式 ①推广为 :
设 △ABC 的三边长分别为 a 、b 、c . 对于
m + 1
a a 2 2 3
( ) 22
任意正整数 n , n > 1 ,有
2000 (1) .
中 等 数 学
1 ≤ a n + b n + c n
1
[3 ] 杨开清 ,胡兆祥. 一个充要条件及其应用[J ] . 数学通
3
n - 1
( a + b + c )
n
< 2
n - 1 , ②
报 ,1995 (9) .
当且仅当 a = b = c 时等号成立.
证明 :根据文[ 2 ] ,有
1
a n
+ b n
+ c n
≥ a + b + c
n
∑ 2 的下界估计
a
3 3
,
当且仅当 a = b = c 时等号成立. 由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立.
唐 新 来
(安徽省巢湖市炯炀中学 ,238072)
下面证明第二个不等式 ,这等价于 1
文[ 1 ] 1
给出 ∑a 2 的上界估计 ,即设 a 、b 、
a n +
b +
c n
<
2
n - 1
( a + b + c ) n
.
③
c 为 △ABC 的三边长 , R 、r 分别表示 △ABC
用数学归纳法.
当 n = 2 时 ,由式 ①知式 ③成立. 设 n =
k , k ∈N , k > 1 时 ,不等式 ③成立 ,有
a k
+ b k
+ c k
<
1 ( a + b + c ) k
. 2
k - 1 的外接圆、内切圆半径 ,则有
1
( R 2 + r 2 ) 2 + Rr (2 R - 3 r ) 2
∑ 2 ≤ . ①
a R r 16 R - 5 r 文[ 2 ]将 ①式加强为 1 1
则 a k + 1 + b k + 1 + c k + 1
< a k
( b + c ) + b k
( c + a ) + c k
( a + b ) ∑ 2 ≤ 2 .
②
a
4 r
1 k
k
本文给出 ∑ 2 的下界估计
= a [ ( a + b + c ) - a ] + b [ ( a + b + c ) - b ] + c k
[ ( a + b + c ) - c ] = ( a + b + c ) ( a k
+ b k
+ c k
)
a
1
1
∑ 2 ≥2 Rr . ③
2 2
2 2
2 2
- ( a k + 1 + b k + 1 + c k + 1 ) .
故 a k + 1 + b k + 1 + c k + 1
证明 : ∑1
= b c + a c + a b
a 2
b 2 c
2
<
1 ( a + b + c ) ( a k + b k + c k
) 2 ( bc ) ( ac ) + ( ac ) ( ab ) + ( bc ) ( ab )
≥
a 2
b 2 c
2 < 1 ( 2
k a + b + c ) k + 1 . =
c + a + b .
abc
这说明 n = k + 1 时 ,不等式 ③也成立. 因此 , ②中第二个不等式也成立. 注 :文[ 3 ] 中证明了 : 使不等式 ( a + b +
c ) 3
≥k ( a 3 + b 3 + c 3 ) 对任意三角形都成立的
由三角形中的恒等式 a + b + c = 2 p (其中 p 为半周长) , abc = 4 Rrp 代入上式即得 ③.
有趣的是由 ②和 ③可得
k 的取值范围是 k ≤4 ,且原不等式中等号不
2 r ≤ 1
≤R .
成立. 显然 , ②中第二个不等式也是这一结果
2 r ∑1 a
2
的推广.
参考文献:
[ 1] O. Bottema 等著. 几何不等式[ M] . 单译. 北京:北这里又出现了欧拉不等式的一个隔离. 参考文献:
1 ( )
京大学出版社,1991.
[2 ] 张建群. 一个不等式的推广及应用[ J ] . 数学通报, [ 1] 张. ∑
a2
的上界估计[J ] . 中等数学,2000 2 . [ 2 ] 庞如兰. 一个不等式的加强[J ] . 中等数学,2003 (1) .。