2013版高中全程复习方略配套课件：3.3三角函数的图像与性质(北师大版·数学理)

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f(x)=sin(2x+ )，当x= 时，sin(2x+ )=sinπ=0，∴f(x)
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3
3
的图像关于( ,0)成中心对称；又f(x)在[ 5 , ]上是增函
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数，∴在[ ,0 )上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的
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分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.
三角函数的奇偶性和周期性 【方法点睛】 1.三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三 角函数的奇偶性；也可以根据图像判断.
2.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式:y=Asin(ω x+φ)和y=Acos(ω x+φ)的最小正周期
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kπ+ 3 ](k∈Z)，单调递减区间为[kπ－ ，kπ+ ](k∈Z).
4
4
4
【反思·感悟】1.熟记正弦、余弦、正切函数的单调区间是求 较复杂的三角函数单调区间的基础. 2.求形如y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把ωx+φ看作 一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内求得x的区间即可,求 y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.
y
1
图像 O
π
-1
y
2π
1
x -O1
π 2π
x
y=tanx
y
2O
x
2
定义域 值域
x∈R [-1,1]
x∈R [-1,1]
x∈R且x≠ +kπ ,
k∈Z
2
R
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
单调性
递增区间是
[2kπ
-
2
,2kπ
+
]
2
(k∈Z),
递减区间是
[2kπ + ,2kπ + 3 ]
三角函数的单调性 【方法点睛】三角函数单调区间的求法 (1)代换法 所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一 个角ｕ(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角 函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单 调区间.
(2)图像法 函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区 间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，如 果能画出三角函数的图像，那它的单调区间就直观明了了.
1.周期函数及最小正周期 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x 值,都有_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_,那么把函数f(x)称为周期函数，T__称为 这个函数的周期. (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数__，那 么这个_最__小__正__数__称为f(x)的最小正周期.
正确的一个命题______(用序号表示即可).
【解题指南】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图像及单 调性、周期性以及对称性逐一判断.
【规范解答】若①、②成立，则 2 2；令

2g k , k Z, 且|φ|＜ ，故k=0， . 此时
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2
用cosx∈［0,1］求得x;(3)利用同角三角函数关系式转化成
sinx的二次函数求解.
【规范解答】(1)由tanx-1≠0,且x≠kπ+ ,k∈Z得
2
x≠kπ+ 且x≠kπ+ ,k∈Z，所以函数的定义域为：
4
2
{x | x k 且x k , k Z}
66 2
y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1= 2(sinx 1)2 7 ,
48
所以当 sinx
1 4
时，ymin

7； 8
当sinx=1或 1 时，ymax=2.
2
答案：7
2
8
【反思·感悟】1.求三角函数的定义域主要是解三角不等式. 2.在求三角函数的值域时，很多时候要进行三角变换或三角转 化，这时候一定要注意所给的角的范围和有关三角函数式的范 围.
(3)函数 y 2sin x 的最小正周期是______.
2
【解析】 y 2sin x 2sin( x 2) 2sin 1 (x 4),
2
2
2
∴由周期函数的定义知原函数的最小正周期是4π.
答案：4π
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
函数
y=sinx
y=cosx
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D［ k, 5 k］, k Z
36
(2)求函数y=-|sin(x+ )|的单调区间.
4
【解题指南】(1)将 2x 看成整体,然后求解.
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(2)可画出 y | sin(x ) | 的图像,利用图像求解.
4
【规范解答】(1)选D.当 2k 2x 2k 3 ,k Z 时，
时,
ymin=-1
x= 2kπ (k∈Z) 时, ymax=1; x=π +2kπ (k∈Z) 时, ymin=-1
无最大值 和最小值
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对
对称 中心
(kπ ,0),k∈Z
(kπ + ,0),k∈Z
2
( k ,0),k∈Z
2
称
性
对称 轴
以上结论正确的是______(写出正确结论的编号).
【解题指南】先将f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0，变形为
2
24
24
为y=cos2x的对称中心，故⑥不正确.
(2)如图所示:
y=sinx,x∈［-2π,2π)有两个周期, 故若y=sinx与y=a有4个交点,则-1＜a＜1.
(3)由x- ≠kπ+ ,k∈Z得x≠kπ+ 3 ,k∈Z,所以y=tan( -x)
4
2
4
4
的定义域为{x|x≠kπ+ 3 ,k∈Z}
2
(k∈Z)
2
递增区间是 [2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z), 递减区间是 [2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z)
递增区间是
(kπ -
2
,
kπ + )
2
(k∈Z)
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
最值
x=
2
+2kπ
(k∈Z)
时,
ymax=1;
x=

2
+2kπ
(k∈Z)
4
2
答案：{x|x≠kπ+ 且x≠kπ+ ,k∈Z}
4
2
(2)0≤cosx≤1⇒2kπ－ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).
2
2
∴所求函数的定义域为［2kπ－ ，2kπ+ ］(k∈Z).
2
2
答案：［2kπ－ ，2kπ+ ］(k∈Z)
2
2
(3)因为 x [ , 7], 1 sinx 1,
【例3】设函数f(x)=sin(ω x+φ)(ω ＞0,|φ|＜ )，给出以
2
下四个论断：
①它的最小正周期为π ；
②它的图像关于直线 x 成轴对称图形；
12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
③它的图像关于点( ,0 )成中心对称图形；
3
④在区间[ ,0 )上是增函数.
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以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为
答案：①②⇒③④(也可填①③⇒②④)
【反思·感悟】三角函数的周期性、对称性是三角函数的特有 性质，要切实掌握，而且经常考查.解决时要注意结合三角函 数的图像，其中对称性包含轴对称和中心对称.
【易错误区】有关三角函数图像与性质的易错点
【典例】(2011·安徽高考)设f(x)=asin2x+bcos2x，其中
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答案：(1)①× ②√ ③× ④√ ⑤× ⑥×
(2)-1＜a＜1
(3){x|x≠kπ+ 3 ,k∈Z}
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三角函数的定义域和值域 【方法点睛】 1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借 助三角函数线或三角函数图像来求解.
2.三角函数值域的不同求法 (1)利用sinx和cosx的值域直接求. (2)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ω x+φ)的形式求值域. (3)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域. (4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.
【例1】(1)函数 y 1 的定义域为______.
tanx 1
(2)已知f(x)的定义域为［0，1］，则f(cosx)的定义域为
______.
(3)当x∈[ , 7 ]时,函数y=3-sinx-2cos2x的最小值是_____,
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最大值是______.
【解题指南】(1)由tanx-1≠0,且x≠kπ+ ，k∈Z求得;(2)利
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2
可知①不正确,②正确；由y=tanx在(k ,k )(k Z)
2
2
上是增函数可知③不正确；由sin|-x|=sin|x|可知④正确；由
y=sin2x的周期为2 知⑤不正确；由余弦函数y=cosx的对称
2
中心为 (k ,0)(k Z) 可得 x k ， 所以 ( k ,0)(k Z)
【即时应用】 (1)思考:常函数f(x)=a(a∈R)是否为周期函数,有无最小正周期? 提示：是周期函数，但没有最小正周期. (2)思考:若函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，函数f(x)是周期函数， 对吗？ 提示：对，因为f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期函数， 最小正周期是4.
x=kπ + ,k∈Z
2
x=kπ ,k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π
【即时应用】
(1)判断下列命题的正误.(请在括号中填“√”或“×”)
①y=sinx在第一、第四象限是增函数.
②y=sinx在x∈[ , ]上是增函数.
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③y=tanx在定义域上是增函数.
() () ()
④y=sin|x|是偶函数.
【例2】(1)(2012·咸阳模拟)函数 y 3sin(2x ) 2 的单调递
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减区间是( )
A［ 2k, 2k］, k Z
6
3
B［ 2k, 5 2k］, k Z
3
6
C［ k, k］, k Z
()
⑤y=sin2x的周期为2π . ⑥y=cos2x的对称中心为(kπ + ,0)，k∈Z.
2
() ()
(2)若直线y=a与函数y=sinx,x∈［-2π ,2π )的图像有4个交点, 则a的取值范围是______. (3)函数 y tan( x) 的定义域是______.
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【解析】(1)由y=sinx的递增区间是 [2k ,2k ](k Z)
第三节 三角函数的图像与性质
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三年10考 高考指数:★★★ 1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像,了解三角函数的周期性. 2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在［0,2π ］,正切函数在 ( , ) 上的性质.
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1.三角函数的图像和性质是考查的重点，特别是定义域、值域、 周期性、奇偶性和单调性的应用. 2.在复习时要充分运用数形结合的思想，把图像与性质结合起 来，即利用图像的直观性得出函数的性质，同时既能利用函数 的性质来描绘函数的图像，又能熟练地运用数形结合的思想方 法. 3.主要以选择题、填空题的形式考查，性质的综合应用有时会 在解答题中考查，属中档题.
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6
2
即 2k 2 2x 2k 5 ，k Z,
3
3
∴当 k x k 5 (k Z) 时，y随x的增大而减小，
3
6
∴单调减区间为［ k ,k 5 ］(k∈Z),故选D.
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(2)y=－|sin(x+ )|的图像如图，单调递增区间为[kπ+ ，
a,b∈R,ab≠0，若 f (x) | f ( ) | 对一切x∈R恒成立，则
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①f (11) 0 12
② | f (7) || f ( ) |
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③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
④f(x)的单调递增区间是 [k ,k 2](k Z)
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3
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.
为 2 , y=tan(ω x+φ)的最小正周期为

.
(3)利用图像.
3.三角函数的对称性
正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切
函数的图像只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中
心,并注意数形结合思想的应用.
【提醒】判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否是 关于原点对称的区间.要注意以下两种情况：一是没有考虑原 函数的定义域；二是化简时没有注意等价变形.