高中数学人教A版必修5《基本不等式》PPT

，此时 x 6 。
2
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？
１．已知函数 f (x) x 1 ，求函数的 最小值和此时x的取值． x
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
２．已知函数 f (x) x 3 (x 2) ， x2
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
3.4.1《基本不等式 -均值不等式》
教学目标
• 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极 值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 • 教学重点： • 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。 了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）
证明： a2 b2 2ab (a b)2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a
b)2
0
a2 b2 2ab
1．指出定理适用范围： a,b R
2．强调取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a, b∈R+，那么 a b ab
3 求函数y sin 4 其中 （0， ]
sin
2
的最小值。
解：y sin 4 2 sin • 4
sin
sin
4,函数的最小值为4。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
练习题： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值，
3.我们把不等式 a b ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
a
b 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
例1．求函数 f (x) 2x2 x 3 (x 0) 的最大
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3.已知x<0，求函数 f (x) x 2 的最大值.
x
4
2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求
u
1 x，及此时x的值。
解： f (x) 1 (2x 3) ，因为x>0，
x
所以 2x 3 ≥ 2 2x 3 2 6
x
x
得 (2x 3)≤ -2 6
x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 2x 3 ，即 x2 3 时，式中等
x
2
号成立。
由于x>0，所以 x
6 2
，式中等号成立，
因此 f (x)max 1 2 6
2
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明：∵ ( a )2 ( b)2 2 a b
∴a b 2 ab 即：a b ab
2
当且仅当a=b时 a b ab
2
称 a b为a，b 的算术平均数，
2
称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。