2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知a、b∈R，若3﹣4i3=，则a+b等于（）
A．﹣9 B．5 C．13 D．9
2．已知集合A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|4x＞2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是（）
A．[3，6） B．[1，2） C．[2，4） D．（2，4]
3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）
A．B．C．
D．
4．已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）
A．B．C．D．
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
6．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条
渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．2 C．D．3
7．已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“＜x＜2”是“f[log2
（2x﹣2）]＞f（log）”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．12 B．15 C．18 D．21
9．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则|
|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．1
10．将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）
的图象，若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，且函数g（x）的最大负
零点在区间（﹣，0）上，则φ的取值范围是（）
A．[，]B．[，）C．（，]D．[，）
11．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）
A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直
B．异面直线BM与A1E所成角是定值
C．一定存在某个位置，使DE⊥MO
D．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
12．若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）
A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数x，y满足约束条件，若∃x、y使得2x﹣y＜m，则实数m的取值范围是．
14．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．
15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，△ABC 的面积为S ，（a 2+b 2）tanC=8S ，则
= ．
16．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，以抛物线C 上的点M （x 0，2）（x 0＞）为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线x=截得的弦长为|
|，若=2，则|
|= ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．已知等差数列{a n }的前n （n ∈N*）项和为S n ，a 3=3，且λS n =a n a n +1，在等比数列{b n }中，b 1=2λ，b 3=a 15+1． （Ⅰ）求数列{a n }及{b n }的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n }的前n （n ∈N*）项和为T n ，且
，求T n ．
18．某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2． 表1：男生身高频数分布表
表2
：女生身高频数分布表
（1）求该校高一女生的人数；
（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180）学生的人数，求X 的分布列及数学期望．
19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．
20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的
左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（2）若a∈（﹣∞，﹣]，且函数g（x）=xe ax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参
数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．
2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知a、b∈R，若3﹣4i3=，则a+b等于（）
A．﹣9 B．5 C．13 D．9
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】根据对应关系得到关于a，b的方程组，解出即可．
【解答】解：若3﹣4i3=，
则（3+4i）（a+i）=2﹣bi，
则3a﹣4+（3+4a）i=2﹣bi，
故，
解得：
故a+b=﹣9，
故选：A．
2．已知集合A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，B={x|4x＞2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是（）
A．[3，6） B．[1，2） C．[2，4） D．（2，4]
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】分别求出集合A和B，根据A∩B有三个元素，能求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}={0，1，2，3，4}，
B={x|4x＞2m}={x|x＞}，
∵A∩B有三个元素，
∴，解得2≤m＜4，
∴实数m的取值范围是[2，4）．
故选：C．
3．为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）
A．B．C．
D．
【考点】BN：独立性检验的基本思想．
【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论．
【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，
图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，
它最能体现该药物对预防禽流感有效果．
故选：D．
4．已知3sin2θ=4tanθ，且θ≠kπ（k∈Z），则cos2θ等于（）
A．B．C．D．
【考点】GT：二倍角的余弦．
【分析】由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可求
=4tanθ，由已知可得tanθ≠0，进而可求tan2θ=，利用倍角公
式，同角三角函数基本关系式可求cos2θ的值．
【解答】解：∵3sin2θ=4tanθ，
∴==4tanθ，
∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，
∴=2，解得：tan2θ=，
∴cos2θ===．
故选：B．
5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k 的值为（）
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
【考点】EF：程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不
满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
n=1，S=k
满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，
满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，
此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，
由题意可得：=1.5，解得：k=6．
故选：B．
6．已知双曲线l：kx+y﹣k=0与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条
渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的离心率为（）
A．2 B．2 C．D．3
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的渐近线方程可知丨k丨=，根据两平行线之间的距离公式，即可求得k的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案．
【解答】解：由题意可知：直线l：kx+y﹣k=0，则渐近线方程kx+y=0，即y=﹣kx，
∴丨k丨=，
由这两条平行线间的距离为，即=，整理k2=8，
解得：k=±2，
即=k2=8，
由双曲线的离心率e===3，
∴双曲线C的离心率3，
故选D．
7．已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）为增函数，则“＜x＜2”是“f[log2
（2x﹣2）]＞f（log）”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：由f（x）是偶函数且当x≤0时，f（x）为增函数，
则x＞0时，f（x）是减函数，
故由“f[log2（2x﹣2）]＞f（log）”，
得：|log2（2x﹣2）|＜|log|=log2，
故0＜2x﹣2＜，
解得：1＜x＜，
故“＜x＜2”是“1＜x＜“的既不充分也不必要条件，
故选：D．
8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．12 B．15 C．18 D．21
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，
切去一半得到的，其直观图如下所示：
其体积为：×4×3×3=18，
故选：C
9．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则|
|等于（）
A．2 B．4 C．6 D．1
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】依题意，作出图形，设=k，利用三角形法则可知=+=﹣
+k，再由•=5可求得k，从而可求得||的值．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，
作图如下：
设=k，
∵=+=﹣+k，
∴•=•（﹣+k）=﹣||||cos60°+k=﹣5×4×+25k=5，
解得：k=，
∴||=5×=3，
∴||=5﹣3=2．
故选：A．
10．将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）
的图象，若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，且函数g（x）的最大负
零点在区间（﹣，0）上，则φ的取值范围是（）
A．[，]B．[，）C．（，]D．[，）
【考点】H7：余弦函数的图象．
【分析】根据函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，可得2•（﹣）+2φ
≥2kπ，且2•+2φ≤2kπ+π，k∈Z，求得kπ+≤φ≤kπ+①．再根据函数g
（x）的最大负零点在区间（﹣，0）上，可得﹣φ＜0，且﹣φ＞﹣，
求得＜φ＜②，由①②求得φ的取值范围．
【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=cos（2x+2φ）的图象，
若函数g（x）在区间[﹣，]上单调递减，2•（﹣）+2φ≥2kπ，且2•
+2φ≤2kπ+π，k∈Z，
求得kπ+≤φ≤kπ+①．
令2x+2φ=kπ+，求得x=+﹣φ，根据函数g（x）的最大负零点在区间（﹣
，0）上，
∴﹣φ＜0，且﹣φ＞﹣，求得＜φ＜②，
由①②求得φ的取值范围为（，]，
故选：C．
11．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）
A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直
B．异面直线BM与A1E所成角是定值
C．一定存在某个位置，使DE⊥MO
D．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
【考点】MT：二面角的平面角及求法．
【分析】对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；
对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；
对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；
对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．
【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，
可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，
A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；
对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，
则∠A1EG=∠EA1H，
在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；
对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，
即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，
可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．
则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；
对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得
三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为，
即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．
故选：C．
12．若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）
A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的
坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a后
构造函数h（x）=，利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），y1=f（x1）=，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），
则=0，x2=﹣x1，∴．
，，
由题意，，即=0，
∴，
∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，
∴，
则．
设h（x）=，则h′（x）=，
∵e﹣1＜x＜e2﹣1，
∴h′（x）＞0，
即函数h（x）=在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，
则，
即e＜a＜．
∴实数a的取值范围是（e，）．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知实数x，y满足约束条件，若∃x、y使得2x﹣y＜m，则实
数m的取值范围是m＞﹣．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出m的范围即可．
【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：
若∃x、y使得2x﹣y＜m，则2x﹣y的最小值为：m．
平移直线2x﹣y=0可知：直线经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由
可得A（，），
则2x﹣y的最小值为：﹣，可得m．
给答案为：m＞﹣．
14．把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16．
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．
【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，
需要先把5人分析两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，
则将5人分配到2个班级，有10×2=10种分配方法；
其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：
甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，
甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，
则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，
则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；
故答案为：16．
15．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）
tanC=8S，则=2．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知，利用三角形面积公式，余弦定理可得a2+b2=2c2，利用正弦定理化简所求即可计算得解．
【解答】解：由于：（a2+b2）tanC=8S，
可得：a2+b2=4abcosC=4ab•，
可得：a2+b2=2c2，
则：==2．
故答案为：2．
16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，以抛物线C上的点M（x0，2）
（x0＞）为圆心的圆与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为|
|，若=2，则||=1．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】由题意，|MF|=x0+．利用圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=
截得的弦长为||，可得|MA|=2（x0﹣），利用=2，求出x0，p，即可
求出||．
【解答】解：由题意，|MF|=x0+．
∵圆M与线段MF相交于点A，且被直线x=截得的弦长为||，
∴|MA|=2（x0﹣），
∵=2，
∴|MF|=|MA|，
∴x0=p，
∴2p2=8，∴p=2，
∴||=1．
故答案为1．
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17．已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n
，在等比
+1
数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．
（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；
（II）求出c n，根据裂项法计算T n．
【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，
∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①
∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②
由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，
∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，
∴或b n=（﹣2）n+1．
（Ⅱ）由（I）知，∴=，
∴T n =
=1+﹣﹣
=．
18．某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm ）频数分布表如表1、表2． 表1：男生身高频数分布表
表2：女生身高频数分布表
（
1
）求该校高一女生的人数；
（
2）估计该校学生身高在
[165
，180）的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X 表示身高在[165，180）学生的人数，求X 的分布列及数学期望．
【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CC ：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CG ：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设高一女学生人数为x ，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，则
=
，解得x ．
（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．可得样本中该校学生身高在[165，180）的概率=．即估计该校学生身
高在[165，180）的概率．
（3）由题意可得：X 的可能取值为0，1，2．由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概率为．即可得出X 的分布列与数学
期望．
【解答】解：（1）设高一女学生人数为x，由表1和2可得样本中男女生人数分别为40，30，
则=，解得x=300．
因此高一女学生人数为300．
（2）由表1和2可得样本中男女生人数分别为：5+14+13+6+3+1=42．样本容量为70．
∴样本中该校学生身高在[165，180）的概率==．
估计该校学生身高在[165，180）的概率=．（3）由题意可得：X的可能取值为0，1，2．
由表格可知：女生身高在[165，180）的概率为．男生身高在[165，180）的概
率为．
∴P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）
==．
∴X的分布列为：
∴E（X）=0++=．
19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．
（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．
【考点】MI：直线与平面所成的角；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取DB中点G，连结EG、FG．证面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．
（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，则A（0，0，），E
（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．求出平面ACE的法向量即可【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．
∵F是AD的中点，∴FG∥AB．
∵BD=2CE，∴BG=CE．
∵∠DBC=∠BCE
∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，
∵EG∩FG=G
∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．
解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，
∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．
，．
设平面ACE的法向量，
=x+y=0
令y=1，则，|cos|=．
∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：
20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的
左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．
【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．
∴丨PF1丨=a=3|PF2|，
则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，
由c＜a＜3，
∴c=2，
则丨PF1丨=3=a，则a=2，
b2=a2﹣c2=4，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），
①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，
则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，
由⊥，
∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，
解得：m=±，
故直线l的方程为x=±，
∴原点O到直线l的距离d=，
②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，
则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，
由⊥，
∴x1x2+y1y2=0，故+=0，
整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①
则原点O到直线l的距离d=，
∴d2=（）2==，②
将①代入②，则d2==，
∴d=，
综上可知：点O到直线l的距离为定值．
21．已知函数f（x）=ax﹣lnx，F（x）=e x+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；
（2）若a∈（﹣∞，﹣]，且函数g（x）=xe ax﹣1﹣2ax+f（x）的最小值为M，求M的最小值．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，分别讨论﹣1≤a＜0及a ＜﹣1，结合F（x）的单调性即可求得区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求得a的取值范围；
（2）利用导数研究函数的单调性可得g（x）min=g（﹣）=M，构造辅助函数求导，根据函数的单调性即可求得．
【解答】解：（1）求导，f′（x）=a﹣=，F′（x）=e x+a，x＞0，
a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，…当﹣1⩽a＜0时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意
当a＜﹣1时，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），∴F（x）的单调减区间为（0，ln（﹣a）），单调增区间为（ln（﹣a），+∞）…
∵f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，
∴ln（﹣a）⩾ln3，解得：a⩽﹣3，
综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣3]；…
（2）g′（x）=e ax﹣1+axe ax﹣1﹣a﹣=（ax+1）（e ax﹣1﹣），
由e ax﹣1﹣=0，解得：a=，设p（x）=，
则p′（x）=，
当x＞e2时，p′（x）＞0，当0＜x＜e2，p′（x）＜0，
从而p（x）在（0，e2）上单调递减，在（e2，+∞）上单调递增，
p（x）min=p（e2）=﹣，
当a≤﹣，a≤，即e ax﹣1﹣≤0，
在（0，﹣）上，ax+1＞0，g′（x）≤0，g（x）单调递增，
在（﹣，+∞）上，ax+1＜0，g′（x）≥0，g（x）单调递增，
∴g（x）min=g（﹣）=M，
设t=﹣，∈（0，e2]，M=h（t）=﹣lnt+1，（0＜t≤e2），
h′（t）=﹣≤0，h（x）在，∈（0，e2]上单调递减，
∴h（t）≥h（e2）=0，
∴M的最小值为0．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．在极坐标系中，已知三点O（0，0），A（2，），B（2，）．
（1）求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参
数方程为（θ是参数），若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．【考点】QK：圆的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）求出圆C1的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；
（2）将圆C2化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出a．
【解答】解：（1）将O，A，B三点化成普通坐标为O（0，0），A（0，2），B（2，2）．
∴圆C1的圆心为（1，1），半径为，
∴圆C1的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，
将代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0，
∴ρ=2sin（）．
（2）∵圆C2的参数方程为（θ是参数），
∴圆C2的普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2．∴圆C2的圆心为（﹣1，﹣1），半径为|a|，
∵圆C1与圆C2外切，∴2=+|a|，解得a=±．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．
【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．
【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，
∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，
∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，
∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．
（Ⅱ）当时，f（x）=5，
则，解得，
∴当x＜2时，，
令，得∈（﹣1，3），
∴，则a+b=6．
2017年6月3日。