广西省钦州市2021届新高考数学五月模拟试卷含解析

广西省钦州市2021届新高考数学五月模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2
ln e x f x x =，若关于x 的方程2
1[()]()08
f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3
(0,)4
B
．(0,
2
C
．3(
)24
D
．2
【答案】C 【解析】 【分析】
求导，先求出()f x
在(x ∈
单增，在)
x ∈+∞
单减，且max 1
()2
f x f ==
知设()f x t =，则方程2
1
[()]()08
f x mf x -+
=有4个不同的实数根等价于方程 2108
t mt -+=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，2
43
2ln (12ln )()e x xe x
e x x
f x x x '⋅--==
， 令()0f x '=，解得1
ln 2
x =
，x =
x ∈时，()0f x '>，
当)x ∈+∞，()0f x '<
，且1
2
f =
=， 故方程2
108
t mt -+
=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，
故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211
082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪
⎩
解得3,)24
m ∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
2．已知函数2ln(2),1,
()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩„若()0f x ax a -+…
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．[0,1]
C ．[1,)+∞
D ．[0,2]
【答案】D 【解析】 【分析】
由()0f x ax a -+…
恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案. 【详解】
因为2
ln(2),1,()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨->⎩„由()(1)f x a x -…恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a …的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =…
图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2x a x '
==-=，故02a 剟
. 故选：D
【点睛】
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
3．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r
”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】
由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r
；而
当a b ⊥r r
，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以
“2m =”是“a b ⊥r r
”的充分不必要条件.
故选：A 【点睛】
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
4．已知椭圆22
22:1(0)x y a b a b
Γ+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为点A ，延长2AF 交椭圆Г于
点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率e =
A ．
1
3
B
C ．12
D ．
2
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
设2||BF t =，则12||BF a t =-，||AB a t =+，
因为1||AF a =，所以1||||AB AF >．若11||||AF BF =，则2a a t =-，所以a t =， 所以11||||||2A A a BF B F =+=，不符合题意，所以1||||BF AB =，则2a t a t -=+， 所以2a t =，所以1||||3BF AB t ==，1||2AF t =，设12BAF θ∠=，则sin e θ=，
在1ABF V 中，易得1cos23θ=，所以2
112sin 3θ-=，解得sin 3
θ=（负值舍去），
所以椭圆Г的离心率3
3
e =
．故选B ． 5．函数()sin 2sin 3f
x x m x x =++在[,]63
ππ
上单调递减的充要条件是（ ）
A ．3m ≤-
B ．4m ≤-
C ．83
3
m ≤-
D ．4m ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
先求导函数，函数在[,]63
ππ
上单调递减则()0f x '
≤恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次
函数的性质和图象，列不等式组求解可得. 【详解】
依题意，2
()2cos 2cos 34cos cos 1f x x m x x m x '
=++=++， 令cos x t =，则13[,
]2t ∈，故2410t mt ++≤在[13
,2]上恒成立； 结合图象可知，114104
233410
4
m m ⎧⨯+⨯+⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⎪⎩„„，解得483m m -⎧⎪⎨-⎪⎩„„
故83
m ≤-
. 故选：C. 【点睛】
本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法:
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 6．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =
，
现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．
82
3
π 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果. 【详解】
解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．
又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．
计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．
故选：C. 【点睛】
本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．
7．已知函数22
log ,0()22,0
x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
2
k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，
，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件
的定义即可判断．
【详解】 作出函数()22
log x ,0f x x 22,0
x x x ⎧>=⎨
++≤⎩的图象如图，
由图可知，]
D (2,4=，
函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，
也就是y kx =与()y f x =在
2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为1
2
； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为
01
x ln2
， 则切线方程为()2001
y log x x x x ln2
-=
-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-
，即0x e =，∴切线斜率为1eln2
， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫
⎪⎝⎭
，
∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
k 2
>”的充分不必要条件， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题．
8．在复平面内，复数z=i 对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转6
π
，所得向量对应的复
数是（ ） A ．132-
+ B ．3122
i -
+ C ．1322
-
- D ．3122
i -
- 【答案】A 【解析】 【分析】
由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ uuu r
的坐标，逆时针旋转6
π
，得到向量OB uuu r 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】
解：∵复数z=i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ uuu r ＝(0，1)，将OZ uuu r
绕原点O 逆时针旋转6
π
得到OB uuu r ， 设OB uuu r
＝(a ，b)，0,0a b <>，
则cos 6OZ OB b OZ OB π⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，
即2
b =
， 又221a b +=，
解得：1,22
a b =-
=
，
∴12OB ⎛=- ⎝⎭
u u u r ，
对应复数为12-+. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
9．已知椭圆22
:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )
A ．3320x y --=
B ．3320x y -+=
C ．3340x y +-=
D ．3340x y ++=
【答案】C 【解析】 【分析】
设()11,A x y ，()22,B x y ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=，相减得到22033k +=，解得答案. 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线斜率为k ，则22
1113
x y +=，
222213x y +=， 相减得到：
()()()()1212121203
x x x x y y y y -++
+-=，AB 的中点为11,3P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
即
22033k +=，故1k =-，直线AB 的方程为：4
3
y x =-+. 故选：C . 【点睛】
本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10．若0,0a
b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 11．把函数2()sin f x x =的图象向右平移12
π
个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题
①()g x 的值域为(0,1] ②()g x 的一个对称轴是12
x π
=
③()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝
⎭ ④()g x 存在两条互相垂直的切线 其中正确的命题个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】 【分析】
由图象变换的原则可得11()cos 2262g x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,由cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭可求得值域；利用代入检验
法判断②③；对()g x 求导,并得到导函数的值域,即可判断④. 【详解】
由题,2
1cos 2()sin 2
x f x x -==
, 则向右平移12
π个单位可得,1cos 21112()cos 22262x g x x ππ⎛
⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==--+ ⎪⎝⎭ cos 2[1,1]6x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭Q ,()g x ∴的值域为[0,1],①错误；
当12
x π
=时,206
x π
-
=,所以12
x π
=
是函数()g x 的一条对称轴,②正确；
当3
x π
=
时,226x ππ-
=,所以()g x 的一个对称中心是1,32π⎛⎫
⎪⎝⎭
,③正确； ()sin 2[1,1]6g x x π⎛
⎫'=-∈- ⎪⎝
⎭,则1212,,()1,()1x x R g x g x ''∃∈=-=,使得12()()1g x g x ''⋅=-,则()g x 在
1x x =和2x x =处的切线互相垂直,④正确.
即②③④正确,共3个. 故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.
12．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，
PA =
PB =，AB ＝4，CA ＝
CB =，
面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．
103
π
B ．
256
π
C ．
409
π
D ．
503
π
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意画出图形，找出△PAB 外接圆的圆心及三棱锥P ﹣BCD 的外接球心O ，通过求解三角形求出三棱锥P ﹣BCD 的外接球的半径，则答案可求.
如图；设AB 的中点为D ； ∵PA 2=
，PB 14
=，AB ＝4，
∴△PAB 为直角三角形，且斜边为AB ，故其外接圆半径为：r 1
2
=AB ＝AD ＝2； 设外接球球心为O ；
∵CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，
∴CD ⊥AB 可得CD ⊥面PAB ；且DC 226CA AD =-=. ∴O 在CD 上；
故有：AO 2＝OD 2+AD 2⇒R 2＝（6-R ）2+r 2⇒R 6
=
； ∴球O 的表面积为：4πR 2＝4π2
5036π
⨯= ⎪⎝⎭
.
故选：D.
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，4250S S -=，则63S S -的值为__________． 【答案】56 【解析】 【分析】
根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案. 【详解】
Q 22a =，4250S S -=，
∴1142
112,
1,(1)(1)5,2,11a q a a q a q q q q =⎧=⎧⎪⇒--⎨⎨
==⎩⎪--⎩
∴3456345622256S S a a a -=++=++=.
故答案为：56.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
14．若函数()()(3)f x x a x =-+为偶函数，则(2)f =________.
【答案】5-
【解析】
【分析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0，求得参数a ，将2x =代入表达式即可求解
【详解】
由2()(3)3f x x a x a =+--为偶函数，知其一次项的系数为0，所以30a -=，3a =，所以()2
9f x x =-，2(2)295f =-=-
故答案为：-5
【点睛】
本题考查由奇偶性求解参数，求函数值，属于基础题
15．已知双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x =,则焦点到这条渐近线的距离为_____． 【答案】2.
【解析】
【分析】 由双曲线2
2
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x =，解得b ．求出双曲线的右焦点(),0c ，利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】
Q 双曲线22
21(0)y x b b -=>的一条渐近线为2y x = 21b ∴=
解得：2b = c ∴=
∴双曲线的右焦点为)
∴2=
本题正确结果：2
【点睛】
本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题．
16．在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答） 【答案】-40
【解析】
【分析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项()51031521r
r r r r T C x --+=-，再令10-3r=1，得r=3即可得出x 项的系数
【详解】
5212x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式的通项公式为()()5251031551221r
r r r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭， r=0，1，2，3，4，5，
令1031,3r r -==， 所以5
212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为()3325=4210C ⋅--. 故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()2x
f x x e ax =-+. （Ⅰ）已知2x =是()f x 的一个极值点，求曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程
（Ⅱ）讨论关于x 的方程()()ln f x a x a R =∈根的个数.
【答案】（Ⅰ）()2120e x y +-+=；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f (x)的一个极值点，得f' (2) =0建立方程求出a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到()()2ln x x e a h x x x -==-，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，
利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.
【详解】
（Ⅰ）因为()()2x f x x e ax =-+，则()()'1x
f x x e a =-+， 因为2x =是()f x 的一个极值点，所以()'20f =，即()2
120e a -+=， 所以2a e =，
因为()02f =，()2
'01f e =+， 则直线方程为()221y e x -=+，即()
2120e x y +-+=；
（Ⅱ）因为()ln f x a x =，所以()2ln 0x x e a x ax -+-=， 所以()()2ln x x e a x x -=--，设()()ln 0g x x x x =->，则()()1
'10g x x x =->， 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，
故()()110g x g <=-<，
所以()()2ln x
x e a h x x x -==-，所以()()()
221ln 1'ln x x e x x x x h x x ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭=-，
设()2ln 1m x x x x =+--，则()()()222'11121x x x x x x
m =--=-+， 所以()m x 在()0,2上是减函数，()2,+∞上是增函数，
所以()()22ln 20m x m >=->，
所以当01x <<时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1是减函数，
当1x >时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞是增函数，
因为01x <<时，()0h x <，()1h e =-，()20h =，
所以当a e <-时，方程无实数根，
当e a -<<0时，方程有两个不相等实数根，
当a e =-或0a ≥时，方程有1个实根.
【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.
18．已知椭圆：22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22153x y +=；（2
）存在，且方程为2y x =+
或2y x =+. 【解析】
【分析】
（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k x kx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C
的左顶点()
D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v ，结合韦达定理可得到参数值.
【详解】
（1）直线1x y a b
+=的一般方程为0bx ay ab +-=.
依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩
，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ， 当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点，
所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.
由2223515
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=.
由()2240020350k k ∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122
535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.
要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v
，
即(1212y y x x + ()(()21212
129k x x k x x =+++++ 0=，
所以()(222
5201293535k k k k k +-+++ 0=，
整理解得5k =或5
k =， 所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l
的方程为25
y x =
+或25y x =+. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，0y --=过椭圆C 的右焦点F ,过F 的直线m 交椭圆C 于,M N 两点(均异于左、右顶点).
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:4l x =,A 为椭圆C 的右顶点. 若直线AM 交l 于点P ，直线AN 交l 于点Q ，试判断()FP FQ MN +⋅u u u v u u u v u u u u v 是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）定值为0. 【解析】
【分析】
（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c ，再根据离心率得a b ，，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简()FP FQ MN +⋅u u u r u u u r u u u u r ，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.
【详解】
（1
0y -=过椭圆C 的右焦点F ,所以(1,0)1F c ∴=， 因为离心率为12
，所以22
12,1243
c x y a b a =∴==+=， （2）(2,0)A ，设直线:1m x ty =+，1122(,)(,)M x y N x y 则11112:(2)(4,)22
y y AM y x P x x =-∴-- 22222:(2)(4,)22
y y AN y x Q x x =-∴-- 因此1221211222()(33,)(,)22
y y FP FQ MN x x y y x x +⋅=++⋅----u u u r u u u r u u u u r 12212112226()()()22
y y x x y y x x =-+-+-- 121221212121212212242()()6()]()6]11()1
y y ty y y y y y t y y t ty ty t y y t y y -+=-++=-+---++[[ 由22
143
1x x y ty ，+=+=得22(34)690t y ty ++-=， 所以12122269,3434
t y y y y t t --+=
=++， 因此2221221222122122236122442()3434346496()11343434t t t ty y y y t t t t t t t y y t y y t t t --+-++++===---+++++++ 即()0.FP FQ MN +⋅=u u u r u u u r u u u u r 【点睛】
本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．已知函数2()ln 1()f x x a x a R =--∈
（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；
（2）若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）(,0]{2}-∞⋃；（2）[0,)+∞.
【解析】
【分析】
（1）求导得到22()x a f x x -'=，讨论0a ≤和0a >两种情况，计算函数的单调性，得到min ()f x f =，
1=1<1>三种情况，计算得到答案. （2）计算得到2(),()x x a a g x e e g x e x x
'''=
+-=-，讨论0a ≥，0a <两种情况，分别计算单调性得到函数最值，得到答案.
【详解】 （1）22
2()ln 1,()x a f x x a x f x x -'=--=， ①当0a ≤时()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意；
②当0a >时，令()0,f x x '==
函数在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，函数min ()f x f =。

（i 1,2a ==,min ()(1)0f x f ==所以2a =符合题意，
（ii ）当即
1,02a <<< 时(1)0f f <=， 因为1
221()1110,1a a a a f e e
e e ----=+-=+><，
故存在1
1(a x e -∈,1()(1)0f x f ==所以02a << 不符题意
（iii 1,2a >> 时(1)0f f >=， 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，
设11,2ln(1)1ln a t a a t t -=>---=--，
所以1()10h t t '=->,()h t ∴单调递增，即()(1)0,(1)0,1h t h f a a >=->->
故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0,2f x f a ==>，不符题意； 综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞⋃。

（2）2()ln ,(),()x x x a a g x a x e ex g x e e g x e x x
'''=+-=+-=-。

①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，
即0a ≥符合题意；
②当0a < 时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增， 又因为(1ln())(1)0,(ln()0ln()ln()
a a e a g a g e a a e a e a --''=<-=-=>--， 所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得00()g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<。

即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0,0g x g a <=<，不符题意。

综上，a 的取值范围为[0,)+∞.
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和综合应用能力.
21．已知数列{}n a 满足123123252525253
n n n a a a a ++++=----L . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：16n T <. 【答案】（1）352n n a +=
；（2）见解析. 【解析】
【分析】
（1）令3n n S =，25n n n b a =-，利用11,1,2
n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式，由此可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）求得()153********n n n a a n +⎡⎤=-⎢⎥++⎢+⎥⎣⎦
，利用裂项相消法求得n T ，进而可得出结论. 【详解】
（1）令3
n n S =，25n n n b a =-， 当2n ≥时，111333n n n n n b S S --=-=
-=； 当1n =时，113b =，则1253n n n b a ==-，故352
n n a +=；
（2）()()()11441133531535315n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥+++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦
Q ， ()11111131532532533535315n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
L ()41141138315386
n ⎡⎤=-<⨯=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查利用n S 求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
22．已知曲线1C
：sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C
：x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的方程化为极坐标方程；
（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.
【答案】（1
）x +=22612sin ρθ=+；（2）1. 【解析】
【分析】
（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线1C 的直角坐标方程；先写出曲线2C 的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；
（2）先求出,M N 的直角坐标，据此求得中点P 的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线12,C C 的极坐标方程，即可求得,P Q 两点的极坐标，则距离可解.
【详解】
（1）1C
：sin 6πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
可整理为cos sin ρθθ+=，
利用公式可得其直角坐标方程为：x +=
2C
：x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩的普通方程为22162x y +=， 利用公式可得其极坐标方程为22612sin ρθ
=+ （2）由（1）可得1C
的直角坐标方程为x +=
故容易得M ，(0,1)N ，
∴122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，∴OP 的极坐标方程为6πθ=，
把6πθ=代入sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭得11ρ=，1,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 把6π
θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，2,6Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭
. ∴21||1PQ ρρ=-=，
即P ，Q 两点间的距离为1.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.
23．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,3sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=.
（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）若射线m 的极坐标方程为3πθ=
（0ρ≥）.设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求||MN .
【答案】（1）曲线C 的普通方程为2
219
y x +=；直线l 的直角坐标方程为60x y +-=（2）||6MN = 【解析】
【分析】
（1）利用消去参数α，将曲线C 的参数方程化成普通方程，利用互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩
， 将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线C 的极坐标方程，分别联立射线m 与曲线C 以及射线m 与直线l 的极坐标方程，求出1ρ和2ρ，即可求出||MN .
【详解】
解：（1）因为cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以消去参数α，得2219y x +=， 所以曲线C 的普通方程为2
219y x +=.
因为cos ,sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以直线l 的直角坐标方程为60x y +-=. （2）曲线C 的极坐标方程为2222sin cos 19ρθρθ+
=. 设,M N 的极径分别为1ρ和2ρ，
将3πθ=
（0ρ≥）代入2222sin cos 19ρθρθ+=，解得1ρ，
将3π
θ=（0ρ≥）代入sin cos 6ρθρθ=”，解得26ρ=.
故12||6MN ρρ=
-=.
【点睛】 本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.。