北京市海淀区人大附中2024届高三下学期统练2(3月月考)数学试题

北京市海淀区人大附中2024届高三下学期统练2（3月月考）
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}139,{Z 1}x A x B x x =<≤=∈≥∣∣，则A B =I （ ） A ．(1,2]
B ．{1,2}
C ．[1,2]
D ．{1}
2．已知复数2i (1i)z =⋅-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点0P x ⎛ ⎝⎭
，则cos2=α（ ）
A ．1
3-
B ．13
±
C D ．13
4．设{}n a 为等差数列，下列结论正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<
C ．若10a <，则()()21230a a a a -->
D ．若120a a <<，则2a >
5．已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆22:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，若(,0),(,0),0A a B a a -≠，则||PA PB +u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
7．函数()cos()(0)f x A x ωϕω=+>，在区间[,]a b 上是增函数，且(),()f a A f b A =-=，则函数()sin()g x A x ωϕ=+在[,]a b 上（ ） A ．单调递增 B ．单调递减 C ．最大值A
D ．最小值A -
8．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑
动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已滑动到D ¢的位置，且A 、B 、D ¢三点共线，
40cm AD '=，B 为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（ ）
A ．17
25
-
B
．C ．35
-
D ．825
-
9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(2ln )ln(21)f x x x =--的零点个数
为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2
，高为 ）
A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B ．该“十字贯穿体”
的表面积是C ．该“十字贯穿体”
D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B
的最短路线长为
二、填空题
11．已知a ，4，c 成等比数列，且0a >，则22log log a c +=．
12．如图，,BC DE 是半径为3的圆O 的两条直径，2BF FO =u u u r u u u r ，则FD FE ⋅=u u u r u u u r
．
13．设1F ，2F 为双曲线22
22 1(0,0)x y C a b a b
-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰
好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为．
14．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令
()1(1,2,3,)n n x f x n -==L ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则
称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点．若()1
e x
f x -=，写出一个()f x 周期为1的周期点．
15．定义平面向量的一种运算||||sin a b a b a b a =+⨯-⨯<r r r r r r r
e ，b >r ，其中a <r ，b >r 是a r 与b
r 的夹角，给出下列命题：①若a <r ，90b >=︒r ，则22a b a b =+r r r r
e ；②若||||a b =r r ，则
()()4a b a b a b +-=⋅r r r r r r e ；③若||||a b =r r ，则22||a b a r r r e …；④若(1,2)a =r ，(2,2)b =-r ，则
()a b b +r
r r e .
三、解答题
16．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为2
0s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅
读量为10，则记新甲组阅读量的方差为2
1s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的
方差为22s ，试比较2
0s ，21s ，2
2s 的大小.（结论不要求证明）
17．在平面直角坐标系xOy 中，点000(,)(0)P y y x ≠在椭圆:C 2
212
x
y +=上，过点P 的直
线l 的方程为0012
x x
y y +=．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若直线l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，试求OAB ∆面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点Q 与点1F 关于直线l 对称，求证：点2
,,Q P F 三点共线．。