高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件

x y

f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
x1y1 x1
2 （x 2

2），②
联立①②,解得

x＝
2 x1
，

所以

x1＝
2 x
，
y＝
2y1 ， x1

y1＝
2y， x
③所以x≠0,且|x|< 2 ,
因为点P(x1,y1)在双曲线
x2 2
-y2=1上,所以 x12
2
y12＝1，
x1＋x 2 y1＋y2
，又因为kPQ=kAM,所以
y－1＝－1 x－2 2
x， y
所以2y(y-1)=-x(x-2),即x2+2y2-2x-2y=0,所以弦的中 点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部).
【规律方法】定义法求轨迹方程 求轨迹方程时,若动点与定点、定直线间的等量关系满 足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定 义先确定轨迹类型,再写出其方程.
【解析】设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦 点F的坐标为(1,0).
因为M是FQ的中点,
所又以Q是Oxy＝P＝的1y22中2,x 2点，即,所 xy以22＝＝22yxxy，22＝＝1，xy2211
， 即
,

x1＝2x2＝4x y1＝2y2＝4y.
2.已知双曲线 x2 -y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点
2
P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同
的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为________.
【解析】由已知,|x1|> 2 ,A1(- 2 ,0),A2( 2 ,0),则
直线A1P的方程为y= y1 （x 2），①
因为 PM PF，PM =(x0,-y0), PF =(1,-y0),
所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+
y
2 0
=0.
由MN 2MP 得(x-x0,y)=2(-x0,y0),
所以
x y

x0 2y0 ,
2x
0
, 即

x
0
y0

x, 1 y, 2

1 2 1 2
x（1 x x1），得y=
x（2 x x2），
1 4
x1x2,
再由①可得x1x2=-4, 即y=-1,
所以原抛物线C相应点P的轨迹方程为x=-1.
答案:x=-1
【状元笔记】
无明确等量关系时求轨迹方程的步骤
(1)选取参数k,用k表示动点M的坐标.
(2)得出动点M的参数方程
16 7
(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].
由已知 OP2 =λ2及点P在椭圆C上,
OM2
所以 9x2 112 =λ2,整理得
16（x2 y2）
(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
①当λ= 3 时,化简得9y2=112,
4
所以点M的轨迹方程为y=± 4 7(-4≤x≤4),
将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为 x2 +y2=1
2
(x≠0且x≠± 2 ).
答案: x2 +y2=1(x≠0且x≠± 2 )
2
考点三 直接法求轨迹方程 【明考点·知考法】
直接法求轨迹方程是对圆锥曲线等内容的综合考 查,在高考中题型主要以解答题的形式出现,有时也会 在填空题中出现,题目为中档题.解题过程中常渗透分 类讨论思想,数形结合思想,转化思想,函数与方程思想.
AC＝2CB ,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即 把②代入①式整理得x2+ 1 y2=1.
a＝3x，②
b＝
3 2
y.
4
答案:x2+ 1 y2=1
4
2.已知过定点C(2,0)的直线l与抛物线y2=2x相交于A,B 两点,作OE⊥AB于E(O为坐标原点).则点E的轨迹方程是 ________.
所以-x+ y2 =0,即y2=4x.
4
故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
答案:y2=4x
【规律方法】相关点(代入)法求轨迹方程的四个步骤 (1)设出所求动点坐标P(x,y). (2)寻找所求动点P(x,y)与已知动点Q(x′,y′)的关系. (3)建立P,Q两坐标间的关系,并表示出x′,y′. (4)将x′,y′代入已知曲线方程中化简,得动点P的轨 迹方程.
世纪金榜导学号
【解析】设弦两端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为
M(x,y),
由
x12
2

x
2 2
2
y12 1, y22 1,
得 x1 x2 x1 x2
2
+(y1+y2)(y1-y2)=0,所
以
y1－y2 x1－x 2
＝－
1 2

命题角度1 已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判
断轨迹)
【典例】已知点Q在椭圆C: x2 y2 =1上,点P满足 OP＝
16 10
1 2
(OF1

OQ)
(其中O为坐标原点,F1为椭圆C的左焦点),
则点P的轨迹为________. 世纪金榜导学号
【解析】因为点P满足 OP＝12（OF1 OQ），所以P是线段QF1
【对点训练】 1.动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的 中由中点坐标公式,可得A(2x3,2y),因为点A在圆上,将点A的坐标代入圆的方程,所 以轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1. 答案:(2x-3)2+4y2=1
【解析】OM =(x,1),ON =(x,-2),A1P =(x+ 2 ,y), A2P =(x- 2 ,y). 因为 2 OM ON＝A1P A2P ,所以(x2-2)λ2=x2-2+y2, 整理得(1-λ2)x2+y2=2(1-λ2).
①当λ=±1时,方程为y=0,轨迹为一条直线; ②当λ=0时,方程为x2+y2=2,轨迹为圆;
【解析】设P(x,y),则有 （x－1）2＋y2 =|x|+1,两边平方
并化简得y2=2x+2|x|.所以y2=
4x, x 0, 0, x＜0.
故点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0).
4.(2019·徐州模拟)过点A(2,1)的直线l与椭圆 x2 +y2
2
=1相交,求l被截得的弦的中点的轨迹方程.
2，
因为P在抛物线y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M点的轨
迹方程为y2=x- 1 .
2
答案:y2=x- 1
2
(2)设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且 MN 2MP， PM PF, 当点P在y轴上运动时,点N的轨迹方程为 ________. 世纪金榜导学号
【解析】设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),
2.设过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 且AB的中点为M,求点M的轨迹方程.
【解析】由题意知F(1,0),设
A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
则y1+y2=2y①,
y12 =4x1②,
y
2 2
=4x2③,
②③式相减并将①式代入,得(y1-y2)y=2(x1-x2).
③当λ∈(-1,0)∪(0,1)时,方程为 x2 y2 =1,轨
(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上
的一点, OP =λ ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么
OM
曲线.
【解析】(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c,由已 知所以aa椭 cc圆＝＝1C7，，的解标得准方ac＝ ＝程34，，为所x以2 by2=2 a=21-.c2=7,
当x1≠x2时,
y1 y2 x1 x2
·y=2,④
又A,B,M,F四点共线,所以 y1 y2 ＝ y ，⑤
x1 x2 x 1
将⑤式代入④式,得y2=2(x-1);
当x1=x2时,M(1,0)也满足这个方程, 即y2=2(x-1)是所求的轨迹方程.
3.(2019·通州模拟)平面上动点P到定点F(1,0)的距离 比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
【解析】直线l过定点C(2,0), 因为O(0,0),C(2,0),OE⊥CE,所以△OEC为直角三角形, 点E的轨迹是以线段OC为直径的圆除去点O, 所以点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠0), 即x2+y2-2x=0(x≠0). 答案:x2+y2-2x=0(x≠0)
思想方法系列19——分类整合思想在曲线方程中的应
用 【思想诠释】分类整合思想是指在解决一个问题时,无 法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成 几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一 加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类整合思想.
【典例】已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原 点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别 是7和1. (1)求椭圆C的方程.
x y
2 4y， 得x2-4kx-4=0①,易
kx 1，
得抛物线x2=4y在点A处的切线方程为y-
1 4
x12
=
1 2
x1(x-
x1) ,同理
可得抛物线x2=4y在点B处的切线方程为y-
1 4
x12
=
1 2
x2(x-x2),联立

y
y

1 4 1 4
x12
x
2 2
第十二节 抛物线与轨迹方程(江苏卷5年4考)
考点一 定义法求轨迹方程 【题组练透】 1.(2019·徐州模拟)若动圆与圆(x-2)2+y2=1外切,又 与直线x+1=0相切,则动圆圆心的轨迹方程为 ________.
【解析】设动圆半径为r,动圆圆心O′(x,y)到点(2,0) 的距离为r+1.O′到直线x=-1的距离为r,所以O′到 (2,0)的距离与O′到直线x=-2的距离相等,由抛物线的 定义知动圆圆心的轨迹方程为y2=8x. 答案:y2=8x
当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭
圆.
【技法点拨】求轨迹方程思考的两个角度 在探求轨迹时,我们需要注意的是轨迹的“完备性”和 “纯粹性”: (1)是否还遗漏了一些点,是否还有另一个满足条件的 轨迹方程存在.
(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么 限制条件.
【即时训练】 在平面直角坐标系中,已知A1(- 2 ,0),A2( 2 ,0),P(x, y),M(x,1),N(x,-2),若实数λ 使得 2 OM ON＝A1P A2P (O为坐标原点).求P点的轨迹方程,并讨论P点的轨迹类 型.
的中点,由于F1为椭圆C:
x2 y2 16 10
=1的左焦点,则F1(-
6,
0),设P(x,y),则Q(2x+
6
,2y).由点Q在椭圆C: x2
2
16

y2 10
=1上,得点P的轨迹方程为 2x 6 (2y）2 =1,可知点P
16
5
的轨迹为椭圆.
答案:椭圆
【状元笔记】 关于直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量 关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.求出曲线 的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.