曲线积分及其与路径无关问题

曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为
),(y x ρ求弧AB 的质量m 。

⎰=L
ds y x f m ),(,
(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1
),(L ds y x f =⎰2
),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。

(3)对弧长的曲线积分的计算
设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)
()
(t y t x ψϕ ，
)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，
则曲线积分⎰L
ds y x f ),(存在，且
⎰
L
ds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβ
α
+⋅⎰ )(βα<
特别,当1),(=y x f 时,
⎰
L
ds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。

当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则
⎰
L
ds y x f ),(=[]dx x g x g x f d
a
)(1)(,2'+⋅⎰；
把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩
⎨⎧==)(x g y x
x ，)(b x a ≤≤，
⎰
L
ds y x f ),(=[]dy y h y y h f d
c
)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤
2. 第二型曲线积分
(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线
L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。

dy y x Q dx y x P W L
),(),(+=⎰，
(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则
dy y x Q dx y x P L
),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L
),(),(+-=⎰
-
即第二型曲线积分方向无关
(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()
(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α
变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L
),(),(+⎰存在，且
⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}
dt t t t Q t t t P ⎰+β
α
ψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''
这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。

若曲线L 的方程为),(x f y =a x =对应于L 的起点，b x =应于L 的终点，则
⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}
dx x f x f x Q x f x P b
a
⎰+)()(,)(,'；
若曲线L 的方程为),(y g x =c y =对应于L 的起点，d y =应于L 的终点，则
⎰
+L
dy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}
dy y y g Q y g y y g P d
c
⎰+),()(),('。

同样，以上并不要求b a <，d c <。

公式可推广到空间曲线C 上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线L 的参数方程为)(),(),(t z t y t x ωψϕ===，则
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P C
),,(),,(),,(++⎰
=
[][][]{}dt t t t t R t t t t Q t t t t P ⎰++β
α
ωωψϕψωψϕϕωψϕ)()(),(),()()(),(),()()(),(),('
'
'
这里
下限α为曲线C 的起点所对应的参数值，上限β为曲线C 的终点所对应的参数值。

例1 计算⎰+L
ydy xydx ，其中
(1)L 为抛物线x y =2上从点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧。

(2)L 为从A 到点B 的直线段.
解法1 (1)由x y =2知y 不是x 的单值函数，因此不能运用公式（2），但可运用公式（3），这里2y x =，y 从1-变到1，于是
⎰
+L
ydy xydx =[]
d y y y y y ⎰-+⋅⋅1
1
'22)(=dy y ⎰1
44=
5
4。

解法2 当把曲线L 分成AO 与OB 两部分时，在每一部分上y 都是x 的单值函数。

在AO 上x y -=，x 由1变到0；在OB 上，x y =，x 由0变到1。

于是
⎰+L
ydy xydx =⎰
+OA
ydy xydx +⎰+OB
ydy xydx
=[]
d x x x x x ⎰--+-0
1
'))(()(+[]
d x x x x x ⎰+1
')(
=dx x dx x )2
1
()21(1023
1
2
3
+++-⎰⎰
=54
(2) 直线AB 的方程为1=x ,0=dx ,y 从1-到1,于是
⎰
+L
ydy xydx =⎰-1
1
ydy =0
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则
⎰⎰⎰++=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q )(
其中+L 是D 的正向边界曲线。

在公式(1)中取x Q y P =-=,，可得⎰⎰⎰+-=L
D
ydx xdy dxdy 2，
上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此计算有界闭区域的D 面积的公式为:
2
1
=
A ⎰
+
-L ydx xdy 。

例2 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围图形的面积. 解 由公式(2)得
21
=
A ⎰+-L ydx xdy =dt t t a t a t t a t a )]sin (cos 3sin cos sin 3cos [212320
23-⋅-⋅⎰π
=⎰
π
20
222cos sin 2
3tdt t a =28
3
a π.
例3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族x a y sin =中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分⎰+++C
dy y x dx y )2()1(3的值最小。

解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。

令0:,0:0→=πx y C ，即AO 直线段。

⎰⎰
⎰
+++-+++=++++0
)2()1()2()1()2()1(333C c C C
dy
y x dx y dy y x dx y dy y x dx y a a dy y dx dx dxdy y x a D
43
4)32()01()32(3
sin 0
20
32-+
=+-=+--=⎰
⎰⎰⎰⎰ππππ。

用一元函数极值的方法得1=a 时达到最小值3
8
-π。

4. 平面曲线积分与路径无关的条件
从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关；
定义：（曲线积分与路径无关问题）设D 是xoy 平面上的一个开区域，),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对D 内任意两点A 与B ，以及D 内从点A 到点B 的任意两条曲线1L 、2L ，恒有⎰+1
L Qdy Pdx =⎰+2
L Qdy Pdx ，则称
曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 在D 内与路径无关。

定理：以下条件等价
(1) 在区域D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零；
(3) 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶连
续偏导数且
x
Q
y P ∂∂=
∂∂在D 内恒成立； (4) Qdy Pdx +为全微分．
例3 计算⎰-++L
y y dy y e x dx xe )()1(2222,其中L 是从点)0,0(O 经圆周
4)2(22=+-y x 上半部到点)0,4(A 的弧段。

解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关. 这里y xe y x P 21),(+=,222),(y e x y x Q y -=, 有
y xe x Q 22=∂∂=y
P
∂∂,且),(y x P 与),(y x Q 在全平面上有一阶连续偏导数. 因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段OA 作为积分路径.于是
⎰-++L
y y
dy y e x dx xe
)()1(2222=⎰-++OA
y y dy y e x dx xe )()1(2222
=12)1(4
=+⎰dx x
例4 计算⎰
+-=L y x ydx
xdy I 2
2,其中L 为:
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周.
解 这里22),(y x y y x P +-=
,2
2),(y
x x
y x Q +=, x P
y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂2
2222)(,且),(y x P 与),(y x Q 在不含原点的任意一个区域内具有一阶连续偏导数.
（1） 这个曲线积分与路径无关,所以
02
2=+-=⎰
L y x ydx
xdy I .
（2）由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件,
只能直接计算.这一圆周L 的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin cos r y r x ,)20(πϑ≤≤,
则 πθθθπ2)
s i n (c o s 2022
2222=+=+-=⎰⎰d r
r y x y d x x d y I L . 例5设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分
⎰
++L
y
x xydy
dx y 4
2
22)(ϕ的值恒为同一常数.
（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有
022)(4
2=++⎰
C
y x x y d y
dx y ϕ；
（II ）求函数)(y ϕ的表达式.
【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.
【详解】 （I ）
如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则
=
++⎰
C
y
x x y d y
dx y 4
2
22)(ϕ-
++⎰
+3
14
2
22)(l l y
x x y d y
dx y ϕ022)(3
24
2
=++⎰
+l l y
x x y d y
dx y ϕ.
（II ） 设24
24
()
2,22y xy
P Q x y
x y ϕ=
=++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，
由（Ⅰ）知，曲线积分
2
4
()22L
y dx xydy
x y
ϕ++⎰
在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有
Q P
x y
∂∂=∂∂. 2425
2422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243
242242()(2)4()2()()4().(2)(2)
P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ②
比较①、②两式的右端，得
435
()2,
()4()2.
y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-
【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
5. 二元函数的全微分求法
定义：若函数),(y x u 使dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=,则称函数),(y x u 是表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的一个原函数。

判别法： 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 以及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数,则在D 内dy y x Q dx y x P ),(),(+存在原函数的充分必要条件是等式
x
Q
y P ∂∂=∂∂在D 内恒成立。

求法：⎰⎰+=y
y x x dy y x Q dx y x P y x u 0
),(),(),(0
⎰⎰+=y
y x x dy y x Q dx y x P y x u 0
),(),(),(0
一般取)0,0(),(00=y x .
例5验证在整个xoy 在平面内dy y x dx y x )2()2(+++是存在原函数,并求出一个原函数。

解 这里y x y x P 2),(+=,y x y x Q +=2),(, 且
2=∂∂y
P
x Q ∂∂=在整个x o y 在平面内恒成立,因此在整个xoy 在平面内
dy y x dx y x )2()2(+++存在原函数.
⎰
+++=)
,()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u
=⎰⎰+⨯++y
x
dy y dx y x 00)02()2(=xy y x 2)(2
1
22++. 对于常微分方程0)2()2(=+++dy y x dx y x ,由上面可知这个微分方程的通解
③ ④
为
C xy y x =++2)(2
122
(C 为任意常数).。