虚位移原理与力学的变分原理

解：平衡时悬绳张力通过球心，三球所受主动力只有重力，如 图建立坐标系，设小球半径为r，
OB OC l
由虚功原理得：
mg yA mg yB mg yC 0
Fi
ri
V
r1, r2 ,
, rn
i 1, 2,
,n
Q
n
i1
V ri
ri q
V q
Q
V q
0,
1,2,, s
V V r q,t
s 1
V q
q
0 V
0
V 0 1, 2, , s
q q0
表明处于静平衡的系统的势能取极小值、极大值、或是稳 定值。且对有势系,势能取极值是系统静平衡的充要条件.
WR Ri ri 0，i为质点数
注意：对每个质点上约束力所做的元功求和，是对质点数求和。
理想约束：力与位移垂直，或相互抵消。 常见的几种理想约束 :
(1) 光滑支承面/不可伸长的绳索。约 束力恒垂直于虚位移，在质点系的任何虚 位移中约束力的元功都等于零。
δr FN
(2) 连结两刚体的滑轮。如图所示。绳
xB , yA
xB2
y
2 A
l2
有约束方程 xA 0, yB 0
方法1：对上式进行变分运算得：
2xBxB 2 yAyA 0
xB yA tg
yA
xB
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
参考：变分的运算规则
( y1 y2 ) y1 y2
( y1
•
y2 )
y1y2
W1 a sin W2 2a sin F 2a cos 0 W2 b sin F 2b cos 0
联立求解可得：
tan 2F ,
W1 2W2
tan 2F
W2
例题：四根相同的均质杆，用光滑铰链连接，两端位 于同一水平线上。证明：平衡时， tg 3tg
A α 1
解: 这是一个具有两个自由度的系统，取角 φ及θ为广义坐标。 解法一（解析法）： 应用虚位移原理写出：
W1yc W2yD FxB 0
各力作用点的虚位移用广义坐标的虚位移 （实际是投影）表示为：
yc a cos , yc a sin
yD 2a cos b cos , yD 2a sin b sin
PC
2
β E
B
4 3D
y1
y4
l 2
sin ,
y2
y3
l
sin
l 2
sin
y1
y4
l 2
cos a
y2
y3
l
cos a
l 2
cos
Py1 Py2 Py3 Py4 0
3Pl cos Pl cos 0 (1)
2l cos 2l cos C, 变分得 2l sin a 2l sin 0 (2)
q1
zi q2
q2
zi qk
qk
虚位移
广义虚位移
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qk
qk
(i=1,2,……,n)
解析法实例 OC=CB=a
将C、A、B点的坐标表示成
广义坐标 的函数，得
对广义坐标 求变分，得各点虚
位移在相应坐标轴上的投影：
xC acos , yC asin xA lcos , yA lsin xB 2acos , yB 0
以后用 x,y,z,r代表虚位移，以区别实位移 dx, dy, dz, , dr, 。
3在完整定常约束的情形下，实位移必然是虚位移之一。 4在完整非定常约束情形下，所谓虚位移，是指在给定瞬时，把约束看作不 变的，而为约束所容许的任何微小位移。实位移就不再是虚位移之一。
三.虚位移原理
1.理想约束:设某一约束的约束力在质点系的任何虚位移中 的元功(虚功)之和等于零，则该约束称为理想约束 .
对于非理想约束的处理
理想约束的条件是从实际约束的主要因素中抽象出 来的，在理想约束不满足的情况下，可增加主动力 和约束力而视为理想约束。 具体处理方法是：
把非光滑约束中起限制作用的法向分量视为约 束力，而将起限制作用的切向分量——摩擦力视为 待求的主动力。
4. 虚功原理的应用实例
虚功原理主要用于求解:1)系统的静平衡位置; 2)维持系统平衡时作用 于系统的主动力间的关系.
C
vB cos vA cos 90 ( ) vA sin( )
y
rB vB sin( )
rA vA
cos
三角形OAB内角和 Θ+φ+∠OAB= 180º
A
O
rA
B rB
x
Fra Baidu bibliotek
方法②：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度分布，等同于平 面图形绕其速度瞬心的定点转动。－瞬心法
若已知平面图形上A、B 两点速度VA 、VB 的方向，则作VA 、VB 的垂 线，其交点P 为该瞬时平面图形的速度瞬心,其速度为零。
1)虚功原理是一条运用统一观点和方法处理各类力学系统 (质点、质点系、刚体等）静力学问题的基本原理，有 很大普适性。
2)虚功原理不是用静止观点解决静力学问题,而是采用变 动观点来寻找平衡的条件.
3)虚功原理只涉及到主动力,包括外力和内力中的主动力, 而未涉及未知的约束力,从而给解决受有理想约束的多 约束力学系统的静力学问题带来极大的简化.
y2y1
(
y1 y2
)
y2y1 y1y2
y22
(xy) xy
(dy) d (y)
(
dy dx
)
d dx
(y)
t2 ydt t2 ydt
t1
t1
(x 0)
方法2：把xB , yA表示成 的函数，
也可求出虚位移间的关系。
因为 xB l cos yA l sin
作变分运算
xB l sin yA l cos
4)虚功原理中的主动力所做的虚功之和为零,是对任意的 虚位移而言,而不是特殊的虚位移.
3.以广义坐标中的虚功原理
W
n
Fi ri
i 1
n i 1
Fi
(
k j 1
ri q
q j
j
)
k j 1
n i 1
Fi
ri q j
q j
0
在上式中，令
Qj
n i 1
Fi
ri q j
则 Q j称为对应于广义坐标 q j
设用Fi代表作用于任一质点Mi的主动力的合力，以δri 代表该点的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：
F r 0 i i
注意：对每个质点上主动力所做的元功 求和，也是对质点数求和。
证明：(1) 必要性：即质点系平衡， Fi ri 0 成立。
质点系处于平衡 →任一质点Mi也平衡→ Fi Ni 0 设Mi 的虚位移为 ri ，则 (Fi Ni ) ri 0
Fi Ni Ri 0 在 Ri 作用下Mi产生实位移 dri ，取 ri dri ，则
(Fi Ni ) ri Ri ri 0
对质点系： (Fi Ni ) ri 0 理想约束： Ni ri 0
Fi ri 0 与前述条件矛盾
故 Fi ri 0 时质点系必处于平衡。
关于虚功原理几点说明:
的广义力。广义力的数目与广义坐标的数目相等（自由度）。
n k
则 W Fi ri Qjq j 0
i 1
j 1
Q1 Q2 Qj 0
广义坐标是相互独立的 广义虚位移是任意的
具有理想约束的完整系质点平衡的必要与充分条件是：对应于 所有广义坐标的广义力都等于零。
补充参考：主动力均为保守力的平衡条件
对整个质点系：
(Fi Ni ) ri 0
或：
F i ri N i ri 0
由于是理想约束 Ni ri 0
所以
Fi ri 0
(2) 充分性：即 Fi ri 0 成立，质点系一定平衡。 反证法：假设 Fi ri 0 成立，质点系不平衡（运动）。 设质点系开始处于静止，在主动力和约束力作用下，质点系 中至少有一个质点由静止开始运动。令Mi为这样的质点，则
q
,
5)求解广义平衡方程.
利用释放约束的方法求约束力：根据需要把所求的约束力相关的约束释放 ，然后分析由于约束释放增加了的自由度，并先择好广义坐标，注意要把 欲求的约束力视为“主动力”与主动力一起代入虚功原理方程中，就可求 得约束力。
例1 均质杆ＯＡ及ＡＢ在Ａ点用铰连接，并在Ｏ点用铰支承，如图所示。两杆各 长2a及2b，各重W1及W2。设在Ｂ点加水平力F以维持平衡，求两杆与铅直线所 成的角φ及θ。
l
B
xx o DD
c
mg[(2a cos l ) cos 2a sin 2 ] 0
2
A
0
l
4a(2cos2 cos
1)
mg y
c 2a cos
l 4(c2 2a2 ) c
利用广义力解
yc (AD AC)sin
(2a cos l )sin
Q
i
Fi
•
2
ri q
mgj
子作用于两刚体的力FN与F`N大小和方 向都相同，即FN＝F`N。但两刚体的虚 位移刚好大小相等，方向相反。
W FN r FN r FN r FN r 0
2. 虚位移原理 可表述如下：受理想、双面、定常约束的质点系在某一位置保 持平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任 何虚位移中的元功之和等于零。
xB 2a sin 2b sin , xB 2a cos 2b cos
代入虚位移方程得：
(W1 a sin W2 2a sin F 2a cos ) (W2b sin F 2b cos ) 0
因δφ与δθ是彼此独立的，所以，要上式成立，δφ与δθ前的系数 （实际是广义坐标对应的广义力）都必须等于零，于是有：
由(1)(2)可得 tg 3tg
参考：例题2
半径为a的光滑半球形碗固定在水平面上。一匀质棒斜靠在
碗缘，在碗内长度为c,试用虚功原理证明： l 4(c2 2a2 )
取为广义坐标，设杆长为
c
yc ( AD AC) sin (C 2l )sin
(2a cos 2l )sin
w mgyc 0
xC asin , yC acos xA lsin , y A lcos xB 2asin , yB 0
问题一：虚位移与实位移的区别
1实位移是在力的作用下和实际发生的；虚位移则是在约束容许的条件下可能 发生的。一个静止的质点或质点系不会发生实位移，但可以使其有虚位移。
2实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关。
§1.2 虚功原理
参考：P5－12(T)，P25-29(L)
静力学
动力学
➢ 虚位移及其计算
➢ 虚功和理想约束
➢ 虚位移原理及其应用
拉格朗日方程
重点 1.理解虚位移的概念和实位移的对比。 2.虚功原理的含义和应用。
一、虚位移的概念
在给定瞬时，质点或质点系为约束所容许的任何微小位 移，称为该质点或质点系的虚位移。
由于 C为AB的瞬心，故
vA AC*
=
vB BC*
= AB
由正弦定理可得出
C
y
A
O
rA
B rB
x
BC
sin(
)
AC
sin(90
)
AC
cos
2、解析法
由速度投影定理 vA sin vB cos
yA vA ctg xB vB
解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。
所以
xB tg
yA
y
yA A(xA, yA )
l
xB
O
x
B(xB , yB )
几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。
3.广义虚位移 ri ri (q1 , q2 , , qk )
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
q1
yi q2
q2
yi qk
qk
zi
zi q1
图中杠杆ＡＢ在水平位置的虚位移是绕Ｏ点的微 小转动，即由ＡＢ转过一微小角度到。
虚位移处在约束曲面的切平面内。
二、虚位移的计算
各质点的虚位移，必须满足约束条件，存在一定的关系。常用的 分析方法有几何法和解析法。虚位移与速度成比例。
1、几何法
rB vBt vB rA vAt vA
方法①：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在此两点连线上 的投影相等——速度投影定理
•
rc
0
mg[2asin 2 2a cos2 l cos] 0
2
mg[(2a cos l ) cos 2a sin 2 ] 0
2
mg[(2a cos l ) cos 2a sin 2 ] 0
2
l 4(c2 2a2 ) c
参考：例题3
相同的两个均质光滑球悬在结于顶点O的两根绳子上，此两球 同时又支持一个等重的均质球，求角 α及 角β的关系。
虚功原理解题的主要步骤: 1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理要求的条件. 2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标 3)分析并图示系统受到的主动力;
4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成
s
Qq
0
的形式,进而得到平衡方
1
程 Q 0, 1,2,, s . 得到广义平衡方程.
对有势系,可求出系统势能V,再由 V 0, 1,2,,s