河南省非凡吉创联盟2021届高三下学期3月调研考试数学理试题含答案

【高三理科数学试卷 （第 ３页 共 ４页）】 【高三理科数学试卷 （第 ４页 共 ４页）】
高三理科数学参考答案
１．【答案】 Ｂ 【解析】 Ｎ＝{ｘｘ＜３}，∴Ｍ∩Ｎ＝{１，２} ．
２．【答案】 Ｄ 【解析】 ｚ＝１＋ｉ＝（１＋ｉ）２ ＝ｉ，∴ｚ＝－ｉ． １－ｉ ２
２２．［选修 ４－４：坐标系与参数方程］（１０分）
{ { 在直角坐标系 ｘＯｙ中，曲线 Ｃ的参数方程为：ｘ＝ｃｏ２ｓθ （θ为参数），直线 ｌ的参数方程为：ｘ＝－槡２＋２ｔ（ｔ
ｙ＝槡２ｔａｎθ
ｙ＝ｔ
为参数），曲线 Ｃ与直线 ｌ交于 Ａ、Ｂ两点．
（１）把曲线 Ｃ和直线 ｌ的参数方程化为普通方程；
（２）设 ＡＢ中点为 Ｍ，以原点 Ｏ为圆心、 ＯＭ 为半径的圆与 ｘ轴正半轴交于 Ｎ，以原点 Ｏ为极点，ｘ轴
ＡＡ１ 中点．
２０．（１２分） 椭圆 Ｃ：ａｘ２２ ＋ｙｂ２２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左右焦点分别为 Ｆ１（－２，０）、Ｆ２（２，０），且椭圆过点 Ａ（２，槡２）． （１）求椭圆 Ｃ的标准方程； （２）过原点 Ｏ作两条相互垂直的直线 ｌ１、ｌ２，ｌ１ 与椭圆交于 Ｍ，Ｎ两点，ｌ２ 与椭圆交于 Ｐ，Ｑ两点，求证：
１５．【答案】 ２３０
【解析】 正方体体积为：２３ ＝８，三棱锥
Ｂ－Ｂ１ＰＱ体积为
１ ３
×２×１ ２ ×１×１＝１ ３，故所求多面体
体积为：８－４·
１ ３
＝２３０．
１６．【答案】 槡２
【解析】 ｘ２
＋ｙ２
＝ｃ２ 与
ｘ２ ａ２
－ｂｙ２ ２
＝１联立解得：ｙ２
＝ｂｃ２４，ｘ２
＝ｃ２
－ｙ２
＝ａ２（ｃ２ｃ２＋ｂ２），由
２槡３ａｂ＝４
ｘｙ１２ａ２ｂ２＝１６ｘ２ｙ２ ＝１６ａ２ｂ４（ｃ４ｃ２＋ｂ２）５ｃ４ －１２ａ２ｃ２ ＋４ａ４ ＝０５ｅ４ －１２ｅ２ ＋４＝０ｅ２ ＝２或
２ ５，∵ｅ＞１，故 ｅ２＝２ｅ＝槡２．
１７．【答案】 见解析
【解析】 （１）Ｐ（Ｘ＞１０．２）＝１２［１－Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋σ）］＝１ ２（１－０．６８２６）＝０．１５８７，
１２０°ｋ＝±槡３．
１１．【答案】 Ｃ
【解析】 设ｌｏｇ２ｘ＝ｌｏｇ３ｙ＝ｌｏｇ５ｚ＝ｋ，∵ｘ、ｙ、ｚ∈（１，＋∞），故 ｋ＞０，则 ｘ＝２ｋ槡ｘ＝（槡２）ｋ，ｙ＝３ｋ
槡３ｙ＝（槡３３）ｋ，ｚ＝５ｋ槡５ｚ＝（槡５５）ｋ，∴
只需
比较槡２、槡３３、槡５５的大
１
小，９＞８９６
＞８１６槡３３＞槡２，３２＞
１
３．【答案】 Ａ 【解析】 设等差数列{ａｎ}的公差为 ｄ，则 ａ１＋２ｄ＋ａ１＋３ｄ＝１２２ａ１＋５ｄ＝１２（１） Ｓ７ ＝７ａ１ ＋２１ｄ＝４９ａ１ ＋３ｄ＝７（２）， （１）（２）联立得：ｄ＝２，ａ１ ＝１．
４．【答案】 Ｂ 【解析】 ｆ（ｘ－１） ＜１ －１＜ｆ（ｘ－１）＜１，∵ｆ（ｘ）为奇函数，故由 ｆ（２）＝１ｆ（－２）＝－１， 则有 ｆ（－２）＜ｆ（ｘ－１）＜ｆ（２），又 ｆ（ｘ）单调递增，可得：－２＜ｘ－１＜２ －１＜ｘ＜３．
（４分）
答案解析不等式组对应的平面区域为图中阴影部分易知abc为锐角三角形故其外接圆直absinacb10则所求圆半径的最小值为
２０２０－２０２１学年高三年级三月调研考试卷 高三理科数学试卷
注意事项：
１．本试卷共 ４页，考试时间 １２０分钟，卷面总分 １５０分。
２．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。
Ｂ．槡５ｚ＞槡３ｙ＞槡ｘ
Ｃ．槡３ｙ＞槡ｘ＞槡５ｚ
Ｄ．槡３ｙ＞槡５ｚ＞槡ｘ
１２．自然奇数列：１，３，５，…，按如下方式排成三角数阵，第
ｎ行最后一个数为
ａｎ，则ａｎ
＋２０２１ ｎ 的最小值为
（ ）
Ａ．４槡５０５＋１
Ｂ．１０１０１０
Ｃ．９１
Ｄ．８９１８
二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分。
＋ｎｎ＋２０２０＝ｎ
＋２０ｎ２０＋１，函数 ｙ＝ｘ＋２０ｘ２０（ｘ＞０）在（０，槡２０２０）上递减，在（槡２０２０，＋∞）上递增，且 ４４＜
【高三理科数学参考答案 （第 ２页 共 ７页）】
槡２０２０＜４５．
当 ｎ＝４４时，ａ４４＋２０２１＝４５＋２０２０＝１０００
４４
４４ １１
当 ｎ＝４５时，ａ４５＋２０２１＝４６＋２０２０＝８１８
Ｏ为圆心， ＯＦ１
为半径的圆交双曲线于
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，矩形 ＡＢＣＤ的面积为 ２槡３ａｂ，则双曲线的离心率为 ．
【高三理科数学试卷 （第 １页 共 ４页）】 【高三理科数学试卷 （第 ２页 共 ４页）】
三、解答题：本题共 ６小题，共 ７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 １７～２１题为必考 题，每个考生都必须回答。第 ２２～２３题为选考题，考生根据要求作答。
Ａ．４
Ｂ．４ ３
Ｃ．２
Ｄ．２ ３
９．ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ－π３）的图象向左平移 φ个单位，恰与 ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ（２ｘ＋π３）的图象重合，则 φ的取值可能
是（ ）
Ａ．π３
Ｂ．５１π２
Ｃ．π２
Ｄ．７１π２
１０．抛物线 ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为 Ｆ，过 Ｆ且斜率为 ｋ的直线 ｌ交抛物线于 Ａ、Ｂ两点，分别以 ＦＡ、ＦＢ为直
１８．（１２分） △ＡＢＣ的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，ｃ＝４，面积 Ｓ＝ｃｂｓｉｎＢ． （１）若∠Ｃ＝６０°，求 Ｓ； （２）若 Ｓ＝２槡３１５，求△ＡＢＣ的周长．
１９．（１２分） 三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，平面 ＡＣＣ１Ａ１⊥平面 ＡＢＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１，∠Ａ１ＡＣ＝６０°，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｍ 为
四边形 ＭＱＮＰ的内切圆半径 ｒ为定值．
２１．（１２分） 已知函数 ｆ（ｘ）＝ｘ－ｘ２ －ｓｉｎｘ． ２ （１）证明：ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＜０； （２）证明：ｎ≥２时，ｓｉｎ１１＋ｓｉｎ１２＋… ＋ｓｉｎ１ｎ＞１２＋１３… ＋１ｎ．
（二）选考题：共 １０分。请考生从 ２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
２５３２１０
＞２５１１０槡２＞槡５５
∴槡３３＞槡２＞槡５５槡３ｙ＞槡ｘ＞槡５ｚ．
１２．【答案】 Ｄ
【解析】 由题意知：
ａ２ －ａ１ ＝４
ａ３ －ａ２ ＝６
ａ４ －ａ３ ＝８
…………
ａｎ －ａｎ－１ ＝２ｎ
累加得：ａｎ
－ａ１
＝（４＋２ｎ）（ｎ－１）＝ｎ２ ２
＋ｎ－２，则：ａｎ
＝ｎ２
＋ｎ－１∴
ａｎ
＋２０２１＝ｎ２ ｎ
Ｃ．{１，２，３}
Ｄ．{１，２，３，４}
２．ｉ是虚数单位，复数 ｚ满足：ｚ（１－ｉ）＝１＋ｉ，则 ｚ＝（ ）
Ａ．１＋ｉ
Ｂ．１－ｉ
Ｃ．ｉ
Ｄ．－ｉ
３．Ｓｎ是等差数列{ａｎ}的前 ｎ项和，ａ３＋ａ４＝１２，Ｓ７＝４９，则首项 ａ１＝（ ）
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．３
Ｄ．４
４．函数 ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ上的奇函数，且单调递增，ｆ（２）＝１，则 ｆ（ｘ－１） ＜１的解集为（ ）
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，求以 ＯＮ为直径的圆的极坐标方程．
（１）证明：平面 ＡＢＢ１Ａ１⊥平面 ＭＢＣ； （２）求直线 ＢＣ１与平面 ＭＢＣ所成角的正弦．
２３．［选修 ４－５：不等式选讲］（１０分） 已知 ａ，ｂ，ｃ为正数，且满足 ａ＋ｂ＋ｃ＝１．证明：
（１）１－ａ≤ 槡２（ｂ２＋ｃ２）；
（２）２ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥ ２５．
Ａ．（－２，２）
Ｂ．（－１，３）
Ｃ．（－３，１）
Ｄ．（－３，３）
５．已知 α∈（－π４，π４），且 ｓｉｎ２α＝４ ５，则 ｔａｎα＝（ ）
Ａ．２
Ｂ．１ ２
Ｃ．２或
１ ２
６．（１＋ｘ）３（１－ｘ＋ｘ２）２展开式中 ｘ３项的系数为（ ）
Ｄ．－２或
１ ２
Ａ．１
Ｂ．２
Ｃ．－１
Ｄ．－２
７．某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（ ）
第 ７题图 第 ８题图 ８．△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，内切⊙Ｍ的半径为 ｒ，ＢＣ上高为 ｈ，ｈ＝４ｒ，现从△ＡＢＣ内随机取一点，则该点取自
⊙Ｍ内的概率是（ ）
Ａ．槡８２π
Ｂ．π４
Ｃ．π８
Ｄ．槡８３π
１６．双曲线
ｘ２ ａ２
－ｙｂ２２
＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的
左
右
焦点分别为
Ｆ１、Ｆ２，以
４５
４５ ９
比较可得：当 ｎ＝４５时，取最小值为８１９８
１３．【答案】 ２
【解析】 ａ２＋ａ·ｂ＝２１＋１· ｂ· １ ２＝２ ｂ ＝２．
１４．【答案】
槡１０ ２
【解析】 不等式组对应的平面区域为图中阴影部分，易知△ＡＢＣ为锐角三角形，故其外接圆直
径为：
ｓｉｎ∠ＡＢＡＣＢ＝槡槡２５＝槡１０，则所求圆半径的最小值为：槡２１０． ２
３．全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。
４．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。 １．已知集合 Ｍ＝{１，２，３，４，５} ，Ｎ＝{ｘ２ｘ＜８}，则 Ｍ∩Ｎ＝（ ）
Ａ．{１}
Ｂ．{１，２}
径作⊙Ｍ、⊙Ｎ，不过 Ｆ点的⊙Ｍ、⊙Ｎ的两条公切线交于点 Ｑ，两公切线分别切⊙Ｍ 于 Ｓ、Ｔ，∠ＳＱＴ＝
６０°，则 ห้องสมุดไป่ตู้＝（ ）
Ａ．±１
Ｂ．±槡２
Ｃ．±槡３
Ｄ．±２
１１．已知 ｘ、ｙ、ｚ∈（１，＋∞），ｌｏｇ２ｘ＝ｌｏｇ３ｙ＝ｌｏｇ５ｚ，则槡ｘ、槡３ｙ、槡５ｚ的大小关系是（ ）
Ａ．槡ｘ＞槡３ｙ＞槡５ｚ
（一）必考题：共 ６０分。 １７．（１２分）
２０２０年初，新冠病毒肆虐．疫情期间，停课不停学，各学校以网课形式进行教学．教育局抽样对某所学 校的高三 １０００名学生某日学习时间进行了调查．其中该校所有高三学生在本日学习时间 Ｘ服从正态分布 Ｎ（９．１，１．１２）．
（１）求出这一日这 １０００名学生学习时间在 １０．２以上的人数（四舍五入保留到个位）； （２）以该校高三学生学习时间在 １０．２以上的频率为概率，对同层次的另外 ５所学校各随机抽查 １人， ξ表示学习时间超过 １０．２小时的人数，求 Ｅξ 参考数据：Ｐ（μ－σ≤Ｘ≤μ＋σ）＝０．６８２６，Ｐ（μ－２σ≤Ｘ≤μ＋２σ）＝０．９５４４
＝πｒ２，故所求概率为：πｒ２ ＝ ４槡２ｒ２
２
４π槡２＝槡２８π． ９．【答案】 Ｄ
【高三理科数学参考答案 （第 １页 共 ７页）】
【解析】 ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ－π３）取最大值时，２ｘ－π３ ＝２ｋ１π＋π２ｘ＝ｋ１π＋５１π２（ｋ１∈Ｚ）， ｇ（ｘ）＝ｃｏｓ（２ｘ＋π３）取最大值时，２ｘ＋π３ ＝２ｋ２π ｘ＝ｋ２π－π６（ｋ２∈ Ｚ），故 ｆ（ｘ）的图像左移 （ｋ１－ｋ２）π＋７１π２（ｋ１，ｋ２∈Ｚ）可与 ｇ（ｘ）的图像重合，符合条件的选项为 Ｄ． １０．【答案】 Ｃ
１３．＜ａ，ｂ＞＝６０°， ａ ＝１，ａ·（ａ＋ｂ）＝２，则 ｂ ＝ ．
{ｘ＋ｙ－２≤０
１４．不等 式 组： ｘ－２ｙ－２≤０表 示 的 区 域 为 Ｍ，一 圆 面 可 将 区 域 Ｍ 完 全 覆 盖，则 该 圆 半 径 的 最 小 值 为 ｘ≥０
．
１５．棱长为 ２的正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｍ、Ｎ、Ｐ、Ｑ分别是 Ａ１Ｄ１、Ｃ１Ｄ１、Ｂ１Ｃ１、Ａ１Ｂ１ 的 中 点，沿 平 面 ＡＭＱ、ＢＱＰ、ＣＰＮ、ＤＭＮ截去 ４个小三棱锥后，所得多面体体积为 ．
【解析】 Ｍ为 ＦＡ的中点，由抛物线的定义可知： ＦＡ ＝ｘＡ ＋２ｐ＝２ｘＭ，故⊙Ｍ与 ｙ轴相切，同 理，⊙Ｎ与 ｙ轴相切，故 ｙ轴是⊙Ｍ、⊙Ｎ的一条公切线，由圆的几何性质可知直线 ｌ与 ｙ轴交点 为 Ｑ，不妨设圆 Ｍ与 ｙ轴相切于 Ｓ，则由∠ＳＱＴ＝６０°∠ＳＱＭ ＝３０°直线 ｌ的倾斜角为６０°或
５．【答案】 Ｂ 【解析】 ｓｉｎ２α＝４５ｓｉ２ｎｓ２ｉαｎα＋ｃｃｏｏｓｓα２α＝４ ５，等式左边分子、分母同除ｃｏｓ２α得：ｔａ２ｎｔ２ａαｎα＋１＝４ ５，化为： ２ｔａｎ２α－５ｔａｎα＋２＝０ｔａｎα＝２或 １２，∵α∈（－π４，π４）∴ｔａｎα∈（－１，１），故 ｔａｎα＝１ ２．
６．【答案】 Ｂ 【解析】 （１＋ｘ）３（１－ｘ＋ｘ２）２＝（１＋ｘ）（１＋ｘ３）２＝（１＋ｘ）（１＋２ｘ３＋ｘ６），ｘ３ 项为：１·２ｘ３，故 ｘ３ 项的系数为 ２．
７．【答案】 Ｂ 【解析】 该几何体嵌入棱长为 ２的正方体，即四面体 ＡＢＣＤ，ＶＡＢＣＤ ＝１ ３×１ ２×２×２×２＝４ ３．
８．【答案】 Ａ
【解析】 设 ＢＣ＝ｘ，ＢＣ中点为 Ｄ，⊙Ｍ切 ＡＣ于 Ｅ，△ＡＭＥ～△ＡＣＤ
槡 ｘｒ＝ ２
（ｘ）３２ｒ＋（４ｒ）２ｘ＝２槡２ｒ，故
Ｓ△ＡＢＣ
＝１ ２ｘｈ＝４槡２ｒ２，Ｓ圆Ｍ