【最新推荐】2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3配套限时规范训练：第3章 统计案例 3.1 Word版含解析

第三章 3.1
【基础练习】
1．对两个变量y 与x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法不正确的是( )
A ．若求得相关系数r ＝－0.89，则y 与x 具备很强的线性相关关系且为负相关
B ．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E 1＝1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E 2＝2.4，则模型1的拟合效果更好
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，模型1的相关指数R 21＝0.48，模型2的相关指数
R 22
＝0.91，则模型1的拟合效果更好 D ．该回归分析只对被调查样本的总体适用 【答案】C
2．设有一个线性回归方程y ^
＝2－3.5x ，则变量x 增加1个单位时( ) A ．y 平均增加3.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少3.5个单位 D ．y 平均减少2个单位
【答案】C
3．在对两个变量y 与x 进行回归分析时，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A ．模型1，相关指数R 2为0.98
B ．模型2，相关指数R 2为0.80
C ．模型3，相关指数R 2为0.50
D ．模型4，相关指数R 2为0.25 【答案】A
4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【答案】D
5．已知x 与y 之间的一组数据如下，则y 与x 的线性回归方程为y ^
＝bx ＋a 必过点________.
x
1
3
4
【答案】(2,4)
6．某次测量发现一组数据(x i ，y i )具有较强的相关性，并计算得y ^
＝x ＋1，其中数据(1，y 0)因书写不清，只记得y 0是[0,3]上任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率为________．(残差＝真实值－预测值)
【答案】2
3
【解析】由题意，其预测值为1＋1＝2，该数据对应的残差的绝对值不大于1时，1≤y 0≤3，其概率可由几何概型求得，即该数据对应的残差的绝对值不大于1的概率p ＝
3－1
3＝23
. 7．(2017年烟台期中)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据．
(1)
(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤．
参考公式：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，a ^＝y －b ^x .
【解析】(1)x ＝1
4×(3＋4＋5＋6)＝4.5，
y －＝1
4
×(2.5＋3＋4＋4.5)＝3.5，
∑i ＝1
4
x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
∑i ＝1
4
x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，
b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81
＝0.7，
a ^＝y －－
b ^
x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 所以所求的回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. (2)x ＝100时，y ＝100×0.7＋0.35＝70.35，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)． 8．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
(1)(2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数R 2.
【解析】(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)x ＝39.25，y ＝40.875，∑i ＝18
x 2i ＝12 656，
∑
i ＝18
y 2i ＝13 731，∑i ＝1
8
x i y i ＝13 180，
∴b ^
＝
∑i ＝1
8
x i y i －8x y
∑i ＝18
x 2i －8x
2
≈1.041 5.
∴a ^
＝y －b ^
x ≈－0.003 02. ∴回归方程为y ^
＝1.041 5x －0.003 02. (3)作残差图如图所示，
由图，可知残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
【能力提升】
9.(2019年天津期末)某研究机构在对具有线性相关的两个变量x,y 进行统计分析时，得到如下数据，由表中数据求得y 关于x 的回归方程为^y=0.7x+a ，则在这些样本点中任取一点，该
A.1
4
B.1
2
C.34
D.0
【答案】B
【解析】由题意得_x=6,_
y=3，所以3=0.7×6+a ，解得a=-1.2,则^y=0.7x-1.2.四个样本点中，(3,1)，
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^
>a ′ B.b ^>b ′，a ^
<a ′ C.b ^<b ′，a ^
>a ′ D.b ^<b ′，a ^
<a ′
【答案】C
【解析】计算得x ＝3.5，y －＝13
6，画出散点图，并根据各个点和回归中心画出回归直
线的大致图形如图所示，由图易知b ^<b ′，a ^
>a ′.故选C.
11．(2018年珠海阶段性测试)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，计算得∑i ＝1
10
x i ＝80，∑i ＝1
10
y i ＝20，∑i ＝1
10
x i y i
＝184，∑i ＝1
10
x 2i ＝720.已知家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，则变量y
与x________(填“正相关”或“负相关”)；若该居民区某家庭月收入为8千元，预测该家庭的月储蓄是________千元．
【答案】正相关 2
【解析】由题意知x＝1
10
∑
i＝1
10
x i＝8，y
－＝1
10
∑
i＝1
10
y i＝2，∴b
^＝184－10×8×2
720－10×82
＝0.3，a^＝2
－0.3×8＝－0.4，∴y^＝0.3x－0.4.∵0.3>0，∴变量y与x正相关．当x＝8时，y^＝0.3×8－0.4＝2(千元)．
12．(2016年唐山二模)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0＜x≤10)与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如表的对应数据：
(1)试求y关于x
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为w＝0.05x2－1.75x＋17.2万元，根据(1)中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．
【解析】(1)由表中数据得，x＝1
5×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y＝
1
5×(16＋13＋9.5＋7
＋4.5)＝10，
所以b^＝2×16＋4×13＋6×9.5＋8×7＋10×4.5－5×6×10
22＋42＋62＋82＋102－5×62
＝－1.45，
a
^＝10－(－1.45)×6＝18.7.
所以y关于x的回归直线方程为y＝－1.45x＋18.7.
(2)z＝y－w＝(－1.45x＋18.7)－(0.05x2－1.75x＋17.2)＝－0.05x2＋0.3x＋1.5，
当x＝－0.3
2×(－0.05)
＝3时，二次函数z取得最大值，
即预测x＝3时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大．。